Trabalho de cálculo 2 -Gauss

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
TEOREMA DE GAUSS
MILENA C. FERNANDES RA: 94821
ANDRÉ F. BÓSIO RA: 93625
MARCOS V. DE MORAES RA: 93762
PROFª: JAMILE LORENA DE PAULA
29\02\2016
Definição 
Teorema da divergência (Gauss)
O teorema de Gauss, ou da divergência, relaciona a integral tripla sobre um sólido de com a integral sobre a superfície formada pelo bordo do sólido. Intuitivamente, uma superfície é fechada e limitada e separa o espaço numa parte interna e outra externa, como por exemplo o elipsóide ou a esfera (Figura 1). Uma supefície fechada e limitada é bordo de um sólido no espaço.Seja Q um sólido simples e seja a superfície que limita Q ( = fronteira de Q), orientada positivamente (para fora). Se F é um campo vetorial cujas funções componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém Q, então:
 eq. 01
Figura 1: Superfície gaussiana centrada em Q.
Se pegarmos o somatório dos divergentes em um volume, teremos uma integral de superfície. Considere infinitos pontos, de modo que formem algo contínuo, todos eles dentro de uma superfície, se fizermos o somatório de todos os seus divergentes, seria considerar apenas as setas divergentes em sua superfície, uma vez que todos os elementos internos se cancelariam pela soma de vetores. O somatório do volume de todos os divergentes será igual ao somatório da função na superfície que rodeia o volume.
Portanto, o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada é igual ao divergente de F sobre a região limitada por . Estabelecendo uma relação entre o fluxo do campo elétrico que passa através de uma superfície fechada com a carga elétrica que existe dentro do volume limitado por esta superfície. 
3. Aplicações
O teorema de Gauss é muito importante pois através dele, podemos calcular o fluxo de campos vetoriais. Na Física esse teorema é muito usado, pois descreve fenômenos como fluxo de fluidos, fluxo de campos magnéticos ou elétricos ou fluxo de calor. Esse teorema aplicado a a campos de quadrado inverso resulta na Lei de Gauss para Campos de Quadrado Inverso. Então, consideremos 𝐹(r)=𝑐||𝑟||³𝑟 como um campo de quadrado inverso no espaço tridimensional e σ uma superfície que envolve a origem. Então, o fluxo de F através de σ é:
 𝜙 =𝐹⋅𝑛 d𝑆 = 4𝜋𝑐
Como F não é continua na origem, não podemos aplicar o teorema de Gauss. Mas, podemos considerar uma esfera de raio a centrada na origem, e que seja tão pequena que esteja totalmente dentro da região σ. Denotaremos essa esfera por σ0 e G será a região compreendida entre σ0 e σ. Então: 
(𝐝𝐢𝐯 𝐅) d𝑉 =𝐹.𝑛𝑑𝑆 +𝐹.𝑛𝑑𝑆 
Mas, div F=0, logo:
𝐹.𝑛𝑑𝑆= −𝐹.𝑛𝑑𝑆 
∬𝐹.𝑛𝑑𝑆= − 𝑐\|𝑟|^3𝑟.(−𝑟\|𝑟|)𝑑𝑆 
=𝑐\|𝑟^|4(𝑟.𝑟)𝑑𝑆
=𝑐\|𝑟|²𝑑𝑆
=𝑐\𝑎²𝑑𝑆 𝑐𝑜𝑚𝑜 |𝑟| =𝑎 𝑒𝑚 σ0:
= 𝑐\𝑎² (4𝜋𝑎^2)
=4𝜋𝑐.
Agora, considere uma carga Q unitária isolada, que cria um campo de quadrado inverso, então, utilizando o que foi visto a cima:
 𝜙=𝐹⋅𝑛 d𝑆= 4𝜋(𝑄\4𝜋𝜖)= 𝑄\𝜖
Essa é a Lei de Gauss para Campos Elétricos, fundamental no eletromagnetismo.
Agora, considere um campo vetorial F, G será uma região esférica pequena, centrada no ponto Po, seu volume será Vol (G) e sua superfície σ(G) será orientada para fora. Então, se div F for continua em G, isso implica que div F ≈ div F(Po). Então, o fluxo será dado por: 
Φ(G) =F⋅n dS =∇⋅F dV = divF(p0) dV = divF(p0).Vol(G)
𝐷𝑖𝑣 F(p0) = Φ(G)\Vol(G).
O lado direito da equação acima é conhecida por densidade do fluxo de F para fora através de G.
Da equação acima, obtemos também que: 
Φ(G)=divF(p0).Vol(G)
Agora, se P0 for um ponto de um fluido incompressível onde Div F(P0) > 0, Φ(G) > 0. Então, há um volume de fluido maior saindo através da superfície do que entrando. Do mesmo modo, se Div F(P0) < 0, há um ponto do interior da esfera que no qual o fluido está saindo do fluxo. Os pontos em que Div F(P0) > 0, são chamados de fontes e os pontos em que Div F(P0) < 0 são chamados de poços. O fluido entra no fluxo de uma fonte e é drenado num poço. Se não há nem poços nem fontes, então:
Div F(P)=0
para qualquer ponto P. Em hidrodinâmica essa equação é conhecida como equação da continuidade para fluidos incompressíveis.
Bibliografia
Cálculo com geometria analítica de Earl Swokowski - Vol. 2;
Cálculo um novo horizonte de Howard Anton - Vol. 2;
Cálculo Volume 03 - MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA;
http://www.professores.uff.br/paulab/M13_aluno.pdf ;
http://www.ime.uerj.br/~calculo/LivroIII/cap9.pdf ;
http://www.fmatrm.if.usp.br/~mlima/teaching/4320292_2012/Cap2.pdf ;
Anton, Howard; Cálculo – Um novo horizonte; vol. 2; 5ª edição