IHAC-UFBa-AM-Aula13-PadroesFinal

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Federal 
da Bahia 
 INSTITUTO DE HUMANIDADES, 
ARTES & CIÊNCIAS ‘MILTON 
SANTOS’ 
mlfn@ufba.br 
Marcio Luis Ferreira Nascimento 
HACA82: Arte & Matemática: 
Aula 13 – Padrões 
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Resumo da Apresentação 
 Padrões Humanos e da Natureza 
 Padrões Instintivos das Abelhas 
 Padrão Kruskal 
 Motivação: Escher & seus Mosaicos 
 Empacotamento bidimensional 
 Problema de Gauss 
 Mosaicos 
 Critério de Conway-Gardner 
 Construções simples 
 Construções animadas 
 Mosaicos Especiais da Natureza 
 Quasicristais 
 Penrose 
 
Universidade 
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da Bahia Padrões1 
 Para todo lugar que se olha, certamente deverão existir padrões... Nos 
desenhos dos grandes pintores, nos rabiscos das crianças, nos bolos e 
quitutes da doceira, nas construções do pedreiro, no tricô e no crochê das 
avós, nos versos poéticos, no gingado da dançarina, na música que emociona... 
Principalmente nos comportamentos humanos - quando se discute ou quando 
se ama... Na incessante busca do cientista ao tentar compreender um problema 
– em tudo isto e em muito mais existe uma procura de padrões. 
Calçadão de Copacabana, Rio de Janeiro 
Tricô 
 Por exemplo, ao observar 
caminhando as diversas 
figuras regulares que 
preenchem as calçadas? 
Simples como quadrados 
ou retângulos, na forma 
de paralelepípedos, 
encontradas aos montes 
em Sevilha, Espanha. Calçamento, São Paulo 
Fachada da Casa de Jorge Amado, Pelourinho 
Calçada Sevilha 
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Padrões Humanos  Quarto 
 Cesto indígena 
 Coroa Bororo 
– Mato Grosso 
 
 Labrete Uruku Kaapor – Maranhão 
 Tangas Wapixana – Roraima 
 Azulejos portugueses 
 Notas musicais 
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Padrões da 
Natureza 
escamas de peixe folha de outono 
flor de lótus 
náutilo abacaxi concha 
carapaça tatu 
estrela-do-mar 
 Estrela do mar, flores, casca do abacaxi, carapaças do tatu e 
da tartaruga, colméia, escamas de peixe, concha do mar, 
centopéia, notas musicais... são pecas de um grande quebra-
cabeças que há milênios a humanidade tenta compreender 
centopéia carapaça tartaruga margarida 
colméia gata 
flor maracujá 
Lobélia gigante 
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 Padrões Instintivos: 
Abelhas 
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Geometria Instintiva das 
Abelhas 
 As abelhas usam cera para construir os alvéolos das colméias, que 
servem depois de depósito para o mel que fabricam. Maeterlinck observou 
em La Vie des Abeilles (1901) que, ao contrário de muitos planejadores 
humanos, as abelhas constroem os alvéolos procurando uma forma que 
otimize a economia, isto é, que apresente o maior volume para a menor 
porção de material gasto 
Maurice Polidore Marie Bernhard Maeterlinck (1862-1949) 
– Prêmio Nobel Literatura 1911 
 Para isto, os alvéolos não 
poderiam ser cilíndricos, pois 
a falta de paredes comuns 
entre eles deixaria uma 
grande quantidade de 
espaços inaproveitados 
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Construção de Prismas 
Regulares 
 Assim, para que a parede de um alvéolo servisse também ao alvéolo vizinho, eles 
deveriam, obviamente, ter a forma de um prisma. E os únicos prismas regulares que 
se justapõem sem deixar vazios (buracos) são os prismas triangulares, os 
quadrangulares e os hexagonais. 
 Tente fazer a experiência usando uma mesma quantidade de cartolina para três 
prismas (abertos nas duas extremidades): um de base triangular, um de base 
quadrada e outro de base hexagonal. 
 
 Como as áreas laterais dos três são equivalentes (as tiras de cartolina são do mesmo 
tamanho), o de maior volume será aquele cujo polígono da base tiver a maior área. 
Mas não se esqueça: esses polígonos devem ter o mesmo perímetro (comprimento 
da cartolina), por exemplo, 12 cm. Suponha ainda que a altura seja de 6 cm. 
4 cm 
12 cm 
3 cm 2 cm 
12 cm 12 cm 
6cm 
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 A base triangular tem 6,92 
centímetros quadrados 
 A base quadrangular tem 
9 centímetros quadrados 
 A base hexagonal tem 10,38 
centímetros quadrados 
Super 40 (1991) 45 
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 Um Outro Exemplo da 
Natureza: Calçada de 
Gigantes 
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Calçada dos Gigantes1 
 Giant's Causeway (Clochán an Aifir ou Clochán na bhFomhórach em 
Irlandês), situada em Antrim, Irlanda do Norte Pa
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) 
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Calçada dos 
Gigantes2 
 Formações basálticas de mais de 40.000 estruturas regulares geradas há 50 - 60 
milhões de anos, após intensa atividade vulcânica. A maioria dos formatos é 
hexagonal, atingindo até 12 m de altura 
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 Novos Padrões: 
Contagem Kruskal 
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 Padrões de contagem: selecione uma das palavras do 
primeiro versículo do Gênesis. Conte o número de letras da 
palavra escolhida. Leia a próxima palavra tantas palavras 
depois da letra escolhida. Por exemplo: No tem 2 letras, 
conte duas palavras, até chegar em criou. Criou tem 5 letras: 
pule cinco palavras. Continue a contar as palavras de acordo 
com a regra, até alcançar o terceiro versículo do Gênesis. 
Em qual palavra recairá a contagem? 
Martin David Kruskal (1925 - 2006), físico-matemático americano 
Gênesis: no Princípio... 
Não importa qual escolha você faça, se você contar deste 
modo sempre recairá na palavra DEUS. Será que isto 
acontece naturalmente ou faz parte de algum plano divino? 
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 Padrões Artísticos: 
Escher 
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Experimento: Densificação de 
Moedas num Plano 
 Qual é o arranjo espacial de 
moedas mais denso no plano? 
(ou que deixa o menor espaço) 
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), matemático, astrônomo e físico alemão 
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 Noção artística de densificação / empacotamento: 
 
Escher e seus Mosaicos 
Maurits Cornelis Escher (1898 – 1972), artista gráfico holandês 
www.mcescher.com 
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Empacotamento 
Bidimensional1 
 Quais são os arranjos espaciais de 
figuras regulares (polígonos) possíveis 
num plano? 
 Quando preenchemos polígonos lado a lado 
sem deixar espaços, temos um mosaico 
 
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Empacotamento Bidimensional2 
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Empacotamento 
Bidimensional3 
 Se as figuras forem regulares e iguais, 
existem apenas poucas configurações 
possíveis 
 Maiores informações: Série Arte & 
Matemática, episódio 4: Ordem no Caos 
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Mosaicos 
 O estudo de estruturas regulares (polígonos) deve-
se aos antigos gregos 
 Os árabes desenvolveram e ampliaram a idéia, 
incutindo forte apelo religioso 
 Escher, ao se deparar 
com tais motivos, 
passou a estuda-los 
Esboço de Escher, feito 
na região de Alhambra, 
província de Granada, 
Andaluzia (Espanha, 
1936) 
Uma sala em 
Alhambra e 
uma vista do 
Pátio dos 
Leões 
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Escher & os Mosaicos1 
www.mcescher.com 
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Escher & os Mosaicos2 
www.mcescher.com 
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Escher & os Mosaicos3 
www.mcescher.com 
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Problema de Escher Resolvido 
por Conway & Gardner1 
John Horton Conway (n. 1937), matemático britânico 
Martin Gardner (1914 
- 2010), jornalista 
americano 
 Critério de Conway - para saber
se um grafo (desenho) pode 
preencher um plano sem deixar 
espacos vazios (auto-encaixante), 
divida-o em seis partes: 
P2 
P3 
P1 
P4 
P5 
P6 
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 Critério de Conway - para saber se um grafo (desenho) 
pode preencher um plano sem deixar espaços vazios 
(auto-encaixante), divida-o em seis partes: 
 
 
 Os lados opostos P1 e P4 são 
opostos, paralelos e congruentes 
 Os outros lados, P2, P3, P5 & P6 
devem possuir simetria central 
quando girados de 180o em torno 
do eixo médio 
 
 
“É esquisito que eu pareça abordar teorias matemáticas, sem que eu próprio as conheça" 
Esboço de Escher para pintura na região de Alhambra, 
cidade de Granada (região da Andaluzia, Espanha, 1936) 
Problema de Escher Resolvido 
por Conway & Gardner2 
P2 
P3 
P1 
P4 
P5 
P6 
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Problema de Escher Resolvido 
por Conway & Gardner3 
 Exemplos 1& 2: 
P2 P3 
P1 P4 
P5 P6 
P2 
P3 P1 
P4 
P5 
P6 
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 Exemplos 3 & 4: 
Problema de Escher Resolvido 
por Conway & Gardner4 
P2 
P3 
P1 
P4 
P5 
P6 
P2 P3 
P1 
P5 
P6 
P4 
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 Criar um padrão do tipo mosaico auto-
encaixante de sua autoria numa folha A4, 
seguindo o critério de Conway & Gardner. 
Exemplos: 
Problema de Escher Resolvido 
por Conway & Gardner5 
 Segunda Prova: 
06/08/13 
 
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Martin Gardner, Jornalista 
 
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 Padrões de Escher: 
Construções Simples 
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Mosaicos de Escher e a 
Estrutura de Célula Unitária 
 Qual é a estrutura que se repete na figura? 
Esta é a célula unitária do desenho de 
Escher (1959) 
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Construções Animadas1 
 Buldogue 
 Leão Alado 
Esboço 66 
Esboço 97 
Site “Math and the Art of M. C. Escher” 
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Construções Animadas2 
 Lagarto 
 Reptil 
Site “Math and the Art of M. C. Escher” 
Esboço 25 
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 Mosaicos Especiais 
da Natureza: Quase-
Cristais 
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Mosaicos e Simetria 
 A matemática estabelece que um eixo de simetria de quinta 
ordem não pode existir num plano porque não é possível 
preenche-lo totalmente mediante uma disposição continua de 
pentágonos 
Acima, todos os ângulos são múltiplos de 36º. Abaixo, 
combinações das formas acima: 
No entanto, a escolha de algumas formas provenientes 
do pentágono podem preencher um plano: 
A partir de pentágonos regulares, 
composições similares podem ser 
elaboradas de forma a preencher um 
plano 
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Mosaicos Penrose (1974) 
Físico - matemático inglês Roger Penrose (n. 1931) no salão do Instituto Mitchell de Física & 
Astronomia Fundamental, Universidade do Texas A&M 
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Quase-Cristais 
Dan Shechtman 
(n.1941), Prêmio Nobel 
israelense (2012) 
 Correspondem a formas estruturais que são 
ordenadas mas não periódicas. Produzem padrões 
que preenchem um plano (ou espaço) mas que não 
apresentam simetria translacional. Os primeiros 
materiais do tipo quase-cristais foram descobertos 
por Dan Shechtman et al. em 1984. 
Mosaicos de 
Penrose 
Liga Ho-Mg-Zn de um 
quase-cristal icosaedrico 
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Fulerenos 
 Correspondem a formas 
alotrópicas do carbono (assim 
como o grafite e o diamante) 
descobertas recente-mente 
(1985), como a estrutura do lado, 
com 60 átomos de carbono. 
Sepak (bola de 
futebol feita de 
tiras de palha da 
Malásia) 
 São similares as bolas de 
futebol matematicamente 
identificadas como 
icosaedros truncados: 
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Referências 
 www.mcescher.com 
 G. H. Hardy – Em Defesa de um 
Matemático (2000). Martins Fontes 
 J. A. Paulos – Analfabetismo em 
Matemática e Suas Conseqüências 
(1998). Nova Fronteira 
 
 
 
	Slide Number 1
	Resumo da Apresentação
	Padrões1
	Padrões Humanos
	Padrões da Natureza
	Slide Number 6
	Geometria Instintiva das Abelhas
	Construção de Prismas Regulares
	Slide Number 9
	Slide Number 10
	Calçada dos Gigantes1
	Calçada dos Gigantes2
	Slide Number 13
	Slide Number 14
	Slide Number 15
	Experimento: Densificação de Moedas num Plano
	Slide Number 17
	Empacotamento Bidimensional1
	Empacotamento Bidimensional2
	Empacotamento Bidimensional3
	Mosaicos
	Escher & os Mosaicos1
	Escher & os Mosaicos2
	Escher & os Mosaicos3
	Slide Number 25
	Problema de Escher Resolvido por Conway & Gardner1
	Slide Number 27
	Slide Number 28
	Slide Number 29
	Slide Number 30
	Martin Gardner, Jornalista
	Slide Number 32
	Mosaicos de Escher e a Estrutura de Célula Unitária
	Construções Animadas1
	Construções Animadas2
	Slide Number 36
	Mosaicos e Simetria
	Mosaicos Penrose (1974)
	Quase-Cristais
	Fulerenos
	Referências