IHAC-UFBa-AM-Aula14-ContinuacaoPadroesProbabilidadeFinal

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Universidade 
Federal 
da Bahia 
 INSTITUTO DE HUMANIDADES, 
ARTES & CIÊNCIAS ‘MILTON 
SANTOS’ 
mlfn@ufba.br 
Marcio Luis Ferreira Nascimento 
HACA82: Arte & Matemática: 
Aula 14 – Continuação: Padrões 
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Resumo da Apresentação 
 Padrões no Triângulo de Pascal 
 Passo do Bêbado 
 Percepção da Aleatoreidade – Fractal 
 Passos do Bêbado em Duas Dimensões 
 Noção de Probabilidade 
 Princípio Fundamental da Contagem 
 Vamos Fazer um Trato? 
 Probabilidade Inversa ou Condicional 
 Fórmula de Bayes 
 Aplicação 
 Shall We Dance? 
 
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Motivação 
 
Le Tricheur à l'as de Carreau (‘O trapaceiro com ás de ouros’, 1635), por Georges de La Tour 
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 Padrões 
nos Passos 
de um 
Bêbado 
Karl Pearson: The Problem of the Random 
Walk. Nature 72 (1905) 294, onde o termo 
‘random walk’ foi aplicado pela primeira vez 
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 Caminhos Aleatórios: o 
Passo do Bêbado 
1 2 passos: 2 1 
1 3 passos: 3 3 1 
1 4 passos: 4 6 4 1 
1 5 passos: 5 10 10 5 1 
E D 
Bebo Porque é 
Líquido... 
Jânio da Silva Quadros (1917-1992), político brasileiro 
n = 1 → E + D 
n = 2 → EE + ED + DE + DD 
n = 3 → EEE + EED + EDE + DEE + EDD + DED + DDE + DDD 
Note a formação do Triângulo de Pascal: 
1 1 passo: 1 
Universidade 
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da Bahia Blaise Pascal 
 Filósofo, religioso, físico e matemático 
francês (1623-1662) 
Pensées: ‘O coração tem razões que a própria razão desconhece’ 
Relação entre o 
Triângulo de Pascal & 
a Seqüência de 
Fibonacci – é só 
somar os números 
em diagonal... 
Primeira máquina de calcular mecânica (soma & subtração) 
‘Se Deus não existe, não se perde nada acreditando nele, mas se 
ele existe, perde-se muito não acreditando’ 
 Ao se escrever o Triângulo de Pascal 
no formato abaixo, destacando 
apenas os números impares e 
deixando os números pares e os 
vazios em branco, obtém-se um 
fractal: Sierpinski 
 Esquema de 
construção 
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Como se Calcula (x+y)2? y x 
x+y 
y 
(x+y)(x+y) = (x+y)2 = xx + xy + yx + yy 
= xx + 2xy + yy = x2 + 2xy + y2 
E Como se 
Calcula 
(a+b)3? 
(a+b)(a+b)(a+b) = (a+b)3 
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
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 Aleatório (Random) 
Um experimento que pode fornecer diferentes resultados, 
muito embora seja repetido toda vez da mesma maneira, é 
chamado de aleatório 
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 ooooxxxxoooxxxooooxxooxoooxxxooxxoooxxxx
oooxooxoxoooooxooxoooooxxooxxxoxxoxoxxxx
oooxxooxxoxooxxxooxooxoxoxxoxoooxoxoooox
xxxoooxxooxoxxoooxoooxxoxooxxooooxooxxxx
ooooxxxoooxoooxxxxxxooxxxooxooxoooooxxxx 
 Em 1934, Hans Reichenbach havia pesquisado e descoberto que pessoas leigas 
em probabilidade tinham dificuldade em reconhecer padrões aleatórios, como a 
serie aleatória acima, verdadeira. Embora seja fácil encontrar padrões, por 
exemplo quatro o’s seguidos de quatro x’s no inicio da serie, alem da seqüência 
de seis x’s perto do final. Embora a matematica preveja tais padrões, a maioria 
das pessoas se surpreende com o resultado, que é totalmente ALEATORIO. 
Verdadeiro ou Falso? 
Percepção da Aleatoriedade1 
 Considere a seguinte seqüência de 200 
lançamentos de uma moeda: cara (o) e 
coroa (x): 
De
st
e r
es
ul
ta
do
 h
á 1
09
 ca
ra
s e
 91
 co
ro
as
 – 
re
su
lta
do
 p
os
sív
el 
de
nt
re
 20
0 
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 Desta forma, quando em vez de representarem os resultados de 
cara e coroa as seqüência de x’s ou o’s representam 
acontecimentos que afetam nossas vidas, muitas vezes 
buscamos explicações significativas para padrões aleatórios. 
Verdadeiro ou Falso? 
Percepção da Aleatoriedade2 
 Quando uma serie de x’s representa dias de baixa no 
mercado financeiro, as pessoas acreditam nos 
especialistas que explicam que o mercado esta “ansioso”. 
 Quando uma serie de o’s representa uma 
seqüência de gols do atacante do time de futebol 
preferido, os comentaristas parecem convincentes 
ao comentarem a “boa fase” do jogador 
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 R. H. Koning, ‘Uma Avaliação 
Econométrica do Efeito da 
Demissão de um Técnico (de 
Futebol) no Desempenho da 
Equipe’. App. Econ. 35 (2003) 
555-564 
Rudy Hans Koning (n. 1966), 
economista holandês 
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Aleatoriedade Aparente - 
IPod 
 A empresa Apple teve um problema com a aleatoriedade ao 
desenvolver o primeiro programa para embaralhar músicas 
num iPod. 
 Notaram que a verdadeira 
aleatoriedade às vezes gera 
repetições, mas ao ouvirem uma 
música repetida, ou músicas de um 
mesmo artista tocadas em sequencia, 
os usuários não acreditavam no 
embaralhamento. 
 Assim, a companhia fez com que 
a função se tornasse “menos 
aleatória para parecer mais 
aleatória”, nas palavras de Steve 
Jobs. Ste
ve
n L
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y, 
“T
he
 P
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Si
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20
07
) –
 C
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 Passos de Bêbado em 
Duas Dimensões 
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N 
0 
NE 
1 
2 E 
3 
SE 4 
S 
SO 
5 
O 6 
NO 
7 
4 
1 1 
5 
5 
(sem o 9) 
5 
2 
6 
3 
0,141592635... 
inicio fim 
 Considere um ponto. A partir dele, oito direções são 
possíveis num plano: N, NE, E, SE, S, SO, O e NO. 
Atribua números de 0 a 7 a cada direção. Escolha um 
numero irracional, como π = 3,141592635... (PI) e 
considere apenas a parte decimal (e excluindo os 
números 8 e 9) - o resultado acima foi estabelecido por 
Venn em 1888. 
J. Venn, Logic of Chance (1888), 3th Ed., pg. 118 
Passo do 
Bêbado em 2D 
va
lo
re
s d
e π
 d
e S
ha
nk
s, 
Ph
il. 
R.
 S
oc
. 2
1 
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Para Casa: Passo do 
Bêbado e Raiz de Dois 
 Seguindo a proposta de Venn, 
estabelecer os passos aleatórios 
utilizando os primeiros dígitos da 
raiz de dois (com 65 casas 
decimais) – sem o uso dos dígitos 8 
e 9: 
√2=1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799... 
N 
0 
NE 
1 
2 E 
3 
SE 4 
S 
SO 
5 
O 6 
NO 
7 
4 
1 1 
5 6 
3 
1, 41421356237309504880168872... 
4 
1 
2 
2 3 
7 3 
0 
5 
0 
4 
0 
1 
6 
7 2 
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 Probabilidade enquanto enfoque 
frequentista, considerando objetos (dados, 
moedas, etc) perfeitos ou honestos – no 
caso dos dados cada face tem igual 
chance de ficar voltada para cima 
 Noção de 
Probabilidade 
“Doutrina das Chances” 
(1718), primeiro livro sobre 
teoria da probabilidade, 
escrito por Abraham de 
Moivre (1666-1754), 
matemático francês 
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Oeuvres de Fermat, volume 2 (1894) 288 - 314 
 Os conceitos modernos de 
probabilidade surgiram da 
discussão publicada na carta entre 
Pascal e Fermat em 1654 acerca 
de perguntas de um jogador 
profissional - Antoine Gombaud 
(1607-1684), o Chevalier de Méré 
Blaise Pascal (1623-
1662), filósofo, físico e 
matemático frances 
Pierre de Fermat (1601-
1665), advogado e 
matemático frances 
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Exemplo de Probabilidade 
 A♦ 2♦ 3♦ 4♦ 5♦ 6♦ 7♦ 8♦ 9♦ 10♦ J♦ Q♦ K♦ 
 A♣ 2♣ 3♣ 4♣ 5♣ 6♣ 7♣ 8♣ 9♣ 10♣ J♣ Q♣ K♣ 
 A♥ 2♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥ 7♥ 8♥ 9♥ 10♥ J♥ Q♥ K♥ 
 A♠ 2♠ 3♠ 4♠ 5♠ 6♠ 7♠ 8♠ 9♠ 10♠ J♠ Q♠ K♠ 
 ♦ ≡ ouros; ♣ ≡ paus; ♥ ≡ copas; ♠ ≡ espadas 
 As cartas devem ser embaralhadas. Retira-se aleatoriamente 
uma carta do baralho, significando que
qualquer carta tem a 
mesma chance de ser retirada. 
 Jogos como poker usam baralhos de 52 cartas: 
 Qual a probabilidade (P) da carta ser de ouros? 
P = n
o. resultados favoráveis a ouros 
no. resultados possíveis 
= 
13 
52 
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 Probabilidade 
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Probabilidade: Espaço 
Amostral 
 No lançamento de um dado perfeito (ou honesto) é possível 
apostar em qualquer um dos números indicados em suas faces, 
que indicam o ESPAÇO AMOSTRAL S: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S = { } 
 Qualquer subconjunto do ESPAÇO AMOSTRAL é definido como 
EVENTO (E) - por exemplo, somente os números pares, como o 
Epar: Epar = {2, 4, 6} 
 Ou o subconjunto Emaior4 – que 
consiste em todos os eventos com 
faces maiores que 4: 
Emaior4 = {5, 6} 
Os possíveis resultados de um processo aleatório podem ser compreendidos como pontos 
num espaço 
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 Exercícios de 
Probabilidade 
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Probabilidade1 
 O primeiro pode ser do sexo 
masculino (M) ou feminino (F). O 
segundo também poderá ser de um 
dos dois sexos. Que chance tem 
este casal de ter dois filhos do sexo 
masculino (M,M)? 
S = {(M,M),(M,F),(F,M),(F,F)} 
EMM = {(M,M)} 
= 
1 
4 
P = 
n(EMM) 
n(S) 
 Suponha que um casal queria 
ter dois filhos (não gêmeos). 
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Exercício para Casa2 
 Se a probabilidade de ter um menino ou uma 
menina é de 50% para cada gestação, qual a 
probabilidade de se ter OITO meninas? 
No
ta
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st
o 
po
de
 ac
on
te
ce
r d
e f
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o.
.. 
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Exercício: União e Intersecção 
de Dois Eventos 
 Numa pesquisa, entrevistaram 500 jovens acerca da preferência 
quanto a esportes individuais (EI) ou esportes coletivos (EC). 
O resultado foi o seguinte: 
 150 preferem os esportes individuais; 
 200 preferem os esportes coletivos; 
 50 gostam igualmente dos dois tipos 
EI 
EC D 
100 150 50 
 É possível representar graficamente o resultado 
da pesquisa num diagrama de Venn(-Euler) 
John Archibald Venn 
FRS (1834 – 1923), 
lógico e filósofo 
britânico 
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Super 3 (1987) Super 34 (1990) 79 
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 Mais sobre o Princípio 
Fundamental da 
Contagem 
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Jogar com Uma Moeda 
Desonesta?1 
 Ou seja: P(C) = 1/2 e P(K) = 1/2. Se lançarmos duas dessas 
moedas também teremos igual chance (1/4) de obter qualquer um 
dos quatro resultados possíveis: cara-cara (C, C), cara-coroa (C, 
K), coroa-cara (K, C) e coroa-coroa (K, K). 
 Para uma moeda honesta, há uma probabilidade 
estimada de 1/2 (uma em duas chances iguais) 
de dar cara (C) ou de dar coroa (K). 
 Como o resultado de uma das moedas não afeta o resultado da 
outra, pode-se calcular a probabilidade da seguinte forma: P(C, C) 
= P(C) × P(C), ou seja, P(C, C) = ½ × ½ = ¼. 
 Num jogo de futebol, levando em conta uma moeda desonesta, 
considere que um juiz tenha uma dessas e que a chance de 
resultar coroa seja muito maior que a chance de resultar cara, por 
exemplo, 70% contra 30%. 
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Uma Moeda 
Desonesta?2 
 Teríamos, então, que P(K) = 0,7 e 
P(C) = 0,3. Seria possível utilizá-la? 
 A resposta é SIM: basta que em lugar de apostar cara ou coroa em 
um lançamento, combinemos que se vai lançar a moeda duas 
vezes e que cada um dos capitães escolherá ou cara, coroa (C, 
K), nessa ordem, ou coroa, cara (K, C). 
 A razão é simples. Basta observar que: 
 Ambos apostam em chances iguais. 
Se resultarem duas caras ou duas 
coroas? Bem, que se prossiga, com 
lançamentos duplos. 
P(C, K) = P(C) × P(K) = 0,3 × 0,7 = 0,21 
P(K, C) = P(K) × P(C) = 0,7 × 0,3 = 0,21 
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 Superinteressante 123 (1997) 
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Blaise Pascal 
Igreja de Saint-Étienne-du-Mont, Paris Pascal estudando a ciclóide – escultura em mármore de Augustin Pajou, Louvre (1785) 
“..
.p
ob
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 e 
hu
m
ild
ad
e..
.” 
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Pensata 
 “Uma resposta aproximada 
para o problema certo vale 
muito mais do que uma 
resposta exata para um 
problema aproximado” 
 "An approximate answer to 
the right problem is worth a 
good deal more than an 
exact answer to an 
approximate problem." 
John Wilder Tukey FRS (1915 -2000), estatístico americano 
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Referências 
 B. Pascal – Traité du Triangle Arithmétique 
(1653) 
 Leonard Mlodinow – O Andar do Bêbado 
(2010) Zahar 
 David Salsburg - Uma Senhora Toma Chá ... - 
Como a Estatística Revolucionou a Ciência no 
Século XX (2009) Zahar 
 G. H. Hardy – Em Defesa de um Matemático 
(2000). Martins Fontes 
 J. A. Paulos – Analfabetismo em Matematica e 
Suas Conseqüências (1998). Nova Fronteira 
 
	Slide Number 1
	Resumo da Apresentação
	Motivação
	Slide Number 4
	Slide Number 5
	Blaise Pascal
	Como se Calcula (xy)2?
	Slide Number 8
	Verdadeiro ou Falso? Percepção da Aleatoriedade1
	Slide Number 10
	Slide Number 11
	Aleatoriedade Aparente - IPod
	Slide Number 13
	Passo do Bêbado em 2D
	Para Casa: Passo do Bêbado e Raiz de Dois
	Slide Number 16
	Slide Number 17
	Exemplo de Probabilidade
	Slide Number 19
	Probabilidade: Espaço Amostral
	Slide Number 21
	Probabilidade1
	Exercício para Casa2
	Exercício: União e Intersecção de Dois Eventos
	Slide Number 25
	Slide Number 26
	Jogar com Uma Moeda Desonesta?1
	Uma Moeda Desonesta?2
	Slide Number 29
	Blaise Pascal
	Pensata
	Referências