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�PAGE � �PAGE �1� CÁLCULO IV – ENG.CIVIL – 1° SEM/2003 – AULA 9 VOLUME DO SÓLIDO DE REVOLUÇÃO ( Método do Disco ) Abaixo temos o esquema de como calcularemos o volume de um sólido de revolução. 1 ) Seja a função f(x) geratriz, usamos o conceito, já visto, de integral definida , ou seja, aproximação por n retângulos . y f(xi) f(x) 0 a b x 2 ) Ao rotacionarmos cada retângulo em torno eixo 0x , temos vários discos ( cilindros circulares ) com volume V = área da base x Altura = { .[ f(xi) ]2}. onde f(xi) = raio. y f(xi) 0 x a b Somando-se o volume de cada disco temos o valor aproximado do volume do sólido de revolução, ou seja, aproximação por n discos. 3 ) Usando a lógica dos infinitésimos ( com ) temos o volume do sólido estudado. y 0 x a b Logo, temos, o Volume do sólido de revolução, em torno do eixo 0x, da região entre o gráfico de f e os eixos x [ a, b ] como sendo : Analogamente, ao rotacionarmos em torno do eixo 0y, temos o Volume do sólido de revolução,da região entre o gráfico de g e os eixos y [ c, d ] como sendo : Obs. : Se a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados, temos : y y = f(x) L 0 a b x M y d x x = g(y) c 0 x MÉTODO DA ARRUELA ( ou entre duas funções f(x) e g(x) Usado quando possui um “ buraco “. A demonstração é análoga ao método do disco onde f(x) e g(x) são os raios que delimitam o sólido externa e internamente, daí : Rotação em torno do eixo 0x Rotação em torno do eixo 0y Exemplos : 1 ) Determine volume do sólido formado pela revolução em torno do eixo x, da região delimitada pelo gráfico de f(x) = -x2 + x e pelo eixo x. Resolução : y y = -x2 + x a b x �� EMBED Equation.3 { -x2 + x x.( -x + 1 ) = 0 �� EMBED Equation.3 = = 2 ) Idem para y =x3 limitada por y = 8 e x = 0, rotação em torno do eixo 0y . Resolução : y y = x3 8 x 3 ) Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo 0x , da região limitada pelos gráficos das funções f(x) = e g(x) = 3. ( Método da arruela ) Resolução : x y f(x) = x g(x) = 3 ● Cálculo de a e b f(x) = g(x) = 3 = 3 25 – x2 = 9 x2 = 25 – 9 x2 = 16 . Portanto … a b ●● ●● � EMBED Equation.3 ��� y = f(x) = x3 � EMBED Equation.3 ��� portanto ... � EMBED Equation.3 ��� = � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 0 ● � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� �PAGE � _1111757555.unknown _1111761341.unknown _1111765558.unknown _1111769003.unknown _1111770927.unknown _1111770977.unknown _1111771001.unknown _1111770780.unknown _1111770412.unknown _1111768772.unknown _1111768799.unknown _1111768715.unknown _1111764542.unknown _1111765104.unknown _1111764708.unknown _1111763823.unknown _1111764277.unknown _1111764541.unknown _1111764026.unknown _1111763734.unknown _1111760455.unknown _1111761183.unknown _1111761211.unknown _1111760841.unknown _1111760176.unknown _1111760242.unknown _1111757607.unknown _1111737586.unknown _1111757017.unknown _1111757031.unknown _1111756938.unknown _1111756969.unknown _1111739362.unknown _1111728058.unknown _1111737557.unknown _1111727588.unknown
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