ENG 1029 - AULA 10 - 2013.2

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street@ele.pucstreet@ele.puc--rioi.br jjampinho@gmail.comrioi.br jjampinho@gmail.com
roxanajc@ele.pucroxanajc@ele.puc--rio.brrio.br 1
PROBESTPROBEST
Aula 10Aula 10
Reinaldo Castro Souza, Reinaldo Castro Souza, PhDPhD
Alexandre Alexandre StreetStreet
Roxana C. Roxana C. ContrerasContreras
José Daniel Hernández Vásquez, Monitor José Daniel Hernández Vásquez, Monitor 
José Aguinaldo M.Pinho, AuxiliarJosé Aguinaldo M.Pinho, Auxiliar
2013.22013.2
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Testes de HipótesesTestes de Hipóteses
 Muitos problemas práticos exigem que a gente 
decida aceitar ou rejeitar alguma afirmação a 
respeito de um parâmetro de interesse.
 Esta afirmação é chamada de hipótese estatística 
e o procedimento de tomada de decisão é um 
teste de hipóteses.
 Muitos problemas reais podem ser formulados 
naturalmente como testes de hipóteses.
 Existe uma conexão muito próxima entre 
Intervalos de Confiança e Testes de Hipóteses.
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Testes de HipótesesTestes de Hipóteses
 Objetivo geral
 Inferir sobre os parâmetros desconhecidos de 
uma população usando uma amostra (de 
tamanho possivelmente reduzido).
 Testar hipóteses é um problema que envolve 
a tomada de uma decisão. Eventualmente, 
após “recolhermos” (ou processarmos) a 
informação contida numa amostra, devemos 
chegar a uma conclusão sobre parâmetros não 
observáveis relacionados à população que 
gerou aquela amostra.
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Testes de HipótesesTestes de Hipóteses
 Qual o teste ideal?
 É aquele que sempre toma a decisão correta. É 
claro que isso é uma abstração, e não existe 
na realidade. 
 Na prática ...
 Procuraremos limitar a probabilidade de um 
certo tipo de erro, mas não se pode descartá-
lo totalmente.
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Testes de HipótesesTestes de Hipóteses
 O Teste de Hipóteses é um procedimento em que 
procuramos testar uma hipótese inicial contra 
uma alternativa. 
 A primeira hipótese (hipótese inicial) é 
denominada hipótese nula e representada por H0.
 A segunda hipótese é chamada hipótese 
alternativa e representada por Ha ou H1. 
 Em geral a hipótese alternativa representa uma 
conjectura nova a ser testada, e a hipótese nula 
representa a situação usual, o "status quo". 
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Testes de HipótesesTestes de Hipóteses
 A partir dos dados observados, como podemos 
decidir sobre qual hipótese (nula ou alternativa) 
deverá ser rejeitada? 
 A rejeição da hipótese nula implica na aceitação 
da hipótese alternativa e vice-versa. 
 Não é possível aceitar (ou rejeitar) ambas as 
hipóteses simultaneamente.
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Testes de HipótesesTestes de Hipóteses
 O que é um teste de hipóteses?
 É qualquer regra usada para nos levar à 
decisão sobre qual hipótese devemos aceitar. 
 Podemos criar um número infinito de testes 
de hipóteses, o problema é identificar quais 
são os bons testes, e tentar obter um 
"algoritmo" para criar bons testes em diversas 
situações.
 Aqui estaremos concentrados em obter testes de 
hipóteses para a média de distribuições.
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Construção de um Teste de Construção de um Teste de 
HipótesesHipóteses
 Teste
 Rejeitar H0 se T(x), uma função apropriada 
dos Xi’s da amostra, está numa região 
especificada R.
 Do contrário, se T(x) não está na região R, não 
rejeitamos a hipótese nula.
 A região R é chamada de região de rejeição ou 
região crítica. 
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Erros do Tipo I e IIErros do Tipo I e II
 A partir do que foi observado na amostra 
podemos tomar a decisão de aceitar ou rejeitar 
H0 e esta decisão não é necessariamente 
correta, como mostra a tabela a seguir.
Decisão tomada 
Estado da realidade 
Aceitar H0 (Rejeitar H1) Rejeitar H0 (Aceitar H1)
H0 é verdadeira
(H1 é falsa)
DECISÃO CORRETA Erro do tipo I (a)
H1 é verdadeira
(H0 é falsa)
Erro do tipo II (b) DECISÃO CORRETA
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Erros do Tipo I e IIErros do Tipo I e II
 A eficiência do teste pode ser medida através 
das probabilidades dos erros de tipo I e II.
 Idealmente gostaríamos que a probabilidade de 
incorrermos em qualquer tipo de erro fosse 
zero, mas isto não é possível . 
 Para um tamanho de amostra fixo também não é 
possível fixarmos ambos os erros de tipo I e II.
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Erros do Tipo I e IIErros do Tipo I e II
 a = Probabilidade de erro do tipo I
 a = Pr{ rejeitar H0 | H0 é verdadeira }
 a = Pr{ T(x) na região crítica | H0 é verdadeira }
 a é chamado de tamanho do teste ou nível de 
significância do teste.
 b = Probabilidade de erro do tipo II
 b = Pr{ aceitar H0 | H0 é falsa }
 b = Pr{ T(x) fora da região crítica| H0 é falsa }
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Potência de um TestePotência de um Teste
 Potência do teste (ou poder do teste)
 1- b = 1- Probabilidade de erro do tipo II 
 1- b = Pr{ rejeitar H0 | H0 é falsa }
 Ou seja, a potência do teste é a 
probabilidade de uma decisão correta!
 Idealmente, a potência de um teste seria 
sempre alta, mas isso não é sempre 
verdade. 
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Função Função PotênciaPotência
 Define-se a função potência como:
 K(K(qq) = Pr{ rejeitar H) = Pr{ rejeitar H00 | o valor do parâmetro é | o valor do parâmetro é qq}}
 O que é uma “boa” função potência?O que é uma “boa” função potência?
 Se q está na região da hipótese nula, a função 
potência deve ser pequena (pois não queremos 
rejeitar H0 quando ela é verdadeira). Ao contrário, 
se q estiver na região onde a hipótese alternativa 
é válida, gostaríamos que a função potência 
fosse alta. 
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Função Característica de Função Característica de 
Operação (OCC)Operação (OCC)
 É definida como:
 J(q) = 1 – K(q) = Pr{ aceitar H0 | o valor do 
parâmetro é q }
 Note que, ambas K(q) e J(q) são probabilidades, e 
portanto limitadas ao intervalo [0,1].
 A OCC é muito utilizada em Controle de 
Qualidade, mas não falaremos mais dela aqui 
neste curso.
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Testes de Hipóteses Testes de Hipóteses -- intuiçãointuição
 Suponha que temos uma amostra de tamanho 25 
de uma Normal com variância conhecida 100 e 
desejamos testar as seguintes hipóteses:
 O que a nossa intuição nos diz? A média amostral, , é 
um bom estimador de , e portanto deve trazer evidência 
sobre qual hipótese (H0 ou H1) é verdadeira. Imagine que 
observamos = 50000. Dados os parâmetros (n = 25 e 
variância 100), este parece um número bem exagerado, e 
então H0 deve ser falsa. Logo, a nossa intuição parece 
apontar para a seguinte regra de decisão:
2:
2:
1
0

=


H
H
X
X
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Testes de Hipóteses Testes de Hipóteses -- intuiçãointuição
 Devemos rejeitar H0 se é grande. 
 Ou seja, a região crítica tem a forma:
 A questão que surge agora é: como escolher 
a constante k? Uma possibilidade é arbitrar 
o máximo erro do tipo I, ou seja, a maior 
probabilidade de rejeitar H0 quando H0 é 
verdadeira. 
X kXR =
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Testes de Hipóteses Testes de Hipóteses -- intuiçãointuição
 Mas, esta probabilidade pode ser escrita em 
termos da função potência. Suponha que 
FIXAMOS a, a probabilidade do erro do tipo I, isto 
é:
 Por exemplo:
 
 





 
=
=





 


===
==
2
2
1
25/100
2
25/100
2
Pr2Pr
Verdadeiro é HHRejeitar Pr 00
k
kX
kX 
a
a k z (da N(0,1))
1% 6.65 2.33
5% 5.29 1.64
10% 4.56 1.28
 k na tabela ao lado 
é o valor a partir do 
qual rejeita-se a 
hipótese nula
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Testes de Hipóteses Testes de Hipóteses -- intuiçãointuição
 Vamos ver a função potência em cada um dos casos anteriores
Funções Potência para Diversos Valores de Alfa
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
2.0
0
2.5
0
3.0
0
3.5
0
4.0
0
4.5
0
5.0
0
5.5
0
6.0
0
6.5
0
7.0
0
7.5
0
8.0
0
8.5
0
9.0
0
9.5
0
10
.00
10
.50
11
.00
11
.50
12
.00
12
.50
k(mu) - alfa = 1% k(mu) - alfa = 5% k(mu) - alfa = 10%
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Testes de Hipóteses Testes de Hipóteses -- intuiçãointuição
 Conclusões
 Se a é muito pequeno (erro do tipo I muito 
pequeno, p.ex., 1%), a região de rejeição 
“exige” um valor de k muito grande para 
rejeitar a hipótese nula neste caso, e a função 
potência “demora muito” a crescer.
 À medida que passamos a aceitar erros do 
tipo I maiores (por ex, 5% ou 10%, a função 
potência já começa a rejeitar a hipótese nula 
“com mais facilidade”, pois o valor de k 
diminui.
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Testes de Hipóteses Testes de Hipóteses -- intuiçãointuição
 Conclusões
 A título de exemplo, se o valor de  fosse 
5 (e a hipótese nula decididamente falsa!), 
as probabilidades de rejeição usando as 
funções potência do exemplo seriam 
20.4%,44.8% e 58.7% respectivamente.
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Testes de Hipóteses uniTestes de Hipóteses uni--caudaiscaudais
 E agora, o que acontece se estendemos o nosso 
teste de hipótese para:
 A resposta é: basicamente nada! Por que?
 Considere a função potência para valores de 
dentro da hipótese nula – estes valores estarão 
abaixo do a especificado.
 O próximo gráfico mostra esta idéia para a 
função potência com k = 5.29 (isto é, a = 5%)
2:
2:
1
0




H
H
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Testes de Hipóteses uniTestes de Hipóteses uni--caudaiscaudais
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Testes de Hipóteses uniTestes de Hipóteses uni--caudaiscaudais
 Generalização
 Suponha que desejamos testar as seguintes 
hipóteses:
 O teste tem exatamente a forma descrita antes, 
em que a região de rejeição é: 
01
00
:
:




H
H
 kXR =
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Testes de Hipóteses uniTestes de Hipóteses uni--caudaiscaudais
 Como escolher k? 
 Através do erro do tipo I (a), previamente 
especificado, que leva às seguintes 
“receitas de bolo”:
 Rejeitar H0 se:
n
zXz
n
X 


aa 

0
0
 conhecido
n
s
zXz
ns
X
aa 



0
0
 desconhecido e usando a 
hipótese de uma amostra 
grande, o que possibilita o 
uso da Normal
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Testes de Hipóteses uniTestes de Hipóteses uni--caudaiscaudais
 O nível de significância de um teste (a) é 
definido como a maior probabilidade de 
rejeição de H0 quando H0 é verdadeira.
 Ou seja, o nível de significância é o maior 
erro do tipo I cometido pelo teste.
 No exemplo anterior, a é apenas o valor 
da função potência em  = 2.
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Testes de Hipóteses uniTestes de Hipóteses uni--caudaiscaudais
 Suponha que agora desejamos testar as 
seguintes hipóteses:
 Pelos mesmos argumentos que no teste anterior, 
faz sentido rejeitar a hipótese nula quando a 
média amostral for “pequena”. 
 O que é um valor “pequeno”? Vai depender do 
nível de significância especificado para o teste, 
ou seja, do erro máximo do tipo I.
01
00
:
:




H
H
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Testes de Hipóteses uniTestes de Hipóteses uni--caudaiscaudais
 “Receita de Bolo”
 Rejeitar H0 se:
n
zXz
n
X 

aa .0
0 
  conhecido
n
s
zXz
ns
X
.0
0
aa  
 desconhecido
 Estes testes são válidos para amostras Normais com variância 
conhecida ou para amostras não necessariamente Normais de 
tamanho GRANDE e  desconhecido. Note que estamos usando 
za , que é um ponto obtido da tabela N(0,1).
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Testes de Hipóteses uniTestes de Hipóteses uni--caudaiscaudais
 Exemplo
 Uma empresa produz café em pó em embalagens de 
1 kg. O gerente de produção deseja saber se as 
embalagens realmente possuem em média 1 kg do 
produto e decidiu realizar um teste. 
 Ele retirou uma amostra de 50 embalagens e obteve 
uma um peso médio de 0,985 kg de produto. 
 Informações anteriores a respeito da quantidade de 
produto por embalagem indicaram um desvio-
padrão de 0,075 kg. O gerente deseja saber, com um 
nível de significância de 1% se o conteúdo de cada 
embalagem é de, no mínimo, 1 kg.
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Teste de Hipóteses uniTeste de Hipóteses uni--caudaiscaudais
 Solução: As hipóteses nula e alternativa para o 
teste são:
1:
1:0


aH
H
 Para Para aa = 1%, o valor de z= 1%, o valor de zaa é (a partir da tabela é (a partir da tabela 
normal) de 2.33. A região de rejeição é:normal) de 2.33. A região de rejeição é:
975.0
50
0.075
2.33-1 . se Rejeitar 00 = X
n
zXH
 a
 Como a média amostral (0,985) não é menor que Como a média amostral (0,985) não é menor que 
0.975, a hipótese nula 0.975, a hipótese nula não podenão pode ser rejeitada.ser rejeitada.
 Se Se  não fosse conhecido, deveríamos utilizar o não fosse conhecido, deveríamos utilizar o 
desviodesvio--padrão da amostra padrão da amostra ss..
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 A região crítica do teste anterior é:
 A função potência deste teste é então:
Teste de Hipóteses uniTeste de Hipóteses uni--caudaiscaudais
975.0 se Rejeitar 0 XH
 )  )
 )
 ) )



=
=










 
=










 
=










 
=
=












 





 
==
==
975.028.94
075.0
975.0
50
075.0
975.0
50
075.0
975.0
50Pr
075.0
975.0
50
075.0
50Pr975.0Pr
 é média aHRejeitar Pr 0
Z
X
X
K
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Teste de Hipóteses uniTeste de Hipóteses uni--caudaiscaudais
 Pela magnitude dos números envolvidos (tamanho da amostra 
grande e desvio padrão pequeno) é intuitivo perceber que 
qualquer pequena variação na média amostral levará a grandes 
oscilações da função potência, o que pode ser confirmado no 
próximo gráfico. 
Função Potência - Alfa = 1%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
0.
90
0
0.
91
0
0.
92
0
0.
93
0
0.
94
0
0.
95
0
0.
96
0
0.97
0
0.
98
0
0.
99
0
1.
00
0
1.
01
0
1.
02
0
1.
03
0
1.
04
0
1.
05
0
1.
06
0
1.
07
0
1.
08
0
1.
09
0
1.
10
0
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VValoralor dede p (“p value”)p (“p value”)
 Muitos softwares estatísticos calculam e exibem o 
“p-value”, que é a probabilidade de que a estatística 
de teste tenha valor pelo menos tão extremo (muito 
grande ou muito pequeno) quanto o valor 
encontrado na amostra.
 O “valor-p” (p-value) indica o menor nível de 
significância que levaria à rejeição da hipótese nula.
 Por exemplo, se o p-value é 0.04, a hipótese H0 seria 
rejeitada com nível 5%, mas não com nível 1%. 
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Testes de Hipóteses uniTestes de Hipóteses uni--caudaiscaudais
 Uma outra forma para realizar o teste de 
hipótese é através do “p value”.
 A hipótese nula é rejeitada se essa 
probabilidade (“p value”) for menor que o 
nível de significância definido para o teste
a value"p" se Rejeitar 0 H
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Teste de hipótese biTeste de hipótese bi--caudalcaudal
 Agora vamos desenvolver um teste de hipótese 
bi-caudal, para uma amostra grande (n  30) e 
da população conhecido
0
00
:
:

=
aH
H
 OO nívelnível dede significânciasignificância aa éé taltal que,que, sese aa
hipótesehipótese nulanula forfor falsa,falsa, queremosqueremos terter umauma
probabilidadeprobabilidade máximamáxima aa dede aceitáaceitá--la,la, istoisto
é,é, queremosqueremos cometercometer umauma probabilidadeprobabilidade
especificadaespecificada dede erroerro dodo tipotipo II..
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Teste de hipótese biTeste de hipótese bi--caudalcaudal
 Mas, intuitivamente, qual a “cara” da região
crítica? Devemos rejeitar H0 quando estivermos
“longe” de 0, ou seja, quando o módulo da
média amostral estiver muito distante de 0.
 Suponha inicialmente que a hipótese nula seja 
verdadeira. Para uma amostra grande, podemos 
considerar a distribuição da média amostral 
como praticamente Normal (pelo teorema central 
do limite).
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Teste de hipótese biTeste de hipótese bi--caudalcaudal
 Agora, dado um nível de significância a, devemos 
considerar dois valores de Z
 Um, abaixo do qual há uma probabilidade a/2 da 
média de uma amostra estar localizada (– za/2) 
 Outro, acima do qual há uma probabilidade a/2 
da média de uma amostra estar localizada (za/2) 
 A regra de rejeição é:
2/2/
0
0 ou se Rejeitar aa

zZz
n
X
ZH 

=
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Teste de hipótese biTeste de hipótese bi--caudalcaudal
 Ou seja, em termos da média amostral, a região 
crítica pode ser descrita como:
 Isto é, rejeita-se a hipótese nula se a média 
amostral estiver “longe” de 0.
 Note que, analogamente ao teste uni-caudal, a é 
o nível de significância do teste, isto é, o maior 
erro do tipo I. 
n
zX
n
zXH
 aa 2/02/00 seou se Rejeitar 
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Teste de hipótese biTeste de hipótese bi--caudalcaudal
 Mas, como aqui rejeita-se a hipótese nula 
dos dois lados, o ponto usado da Normal 
é za/2 e não za (que era usado nos testes 
uni- caudais), de tal forma que Pr(Z > za/2 ) 
= a/2.
 “Receita de Bolo” – pontos percentuais da 
distribuição N(0,1) para testes bi-caudais
a z
1% 2.576
5% 1.960
10% 1.645
Testes Bi-caudais
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Teste de hipótese biTeste de hipótese bi--caudalcaudal
 Exemplo
 Um fabricante de autopeças utiliza esferas de aço 
na fabricação de rolamentos. Essas esferas 
devem ter um diâmetro de 12 mm, caso contrário 
os rolamentos não atingem as especificações 
exigidas. 
 Uma amostra de 30 rolamentos escolhidos ao 
acaso forneceu um diâmetro médio de 11,45 mm 
e um desvio-padrão de 1 mm. 
 PodePode--se dizer que o diâmetro médio dos se dizer que o diâmetro médio dos 
rolamentos utilizados é igual a 12 mm com um rolamentos utilizados é igual a 12 mm com um 
nível de significância de 5%?nível de significância de 5%?
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Teste de hipótese biTeste de hipótese bi--caudalcaudal
 Solução: este é um teste de hipótese bi-caudal, 
com a = 0.05, onde:
12:
12:0

=
aH
H
 Para Para aa = 0,05, z = 0,05, z aa/2/2 = 1,96= 1,96
 Para = 11,45mm, temos:Para = 11,45mm, temos:
E portanto podemos rejeitar a hipótese nula. Note que E portanto podemos rejeitar a hipótese nula. Note que 
rejeitar a hipótese nula para Z < rejeitar a hipótese nula para Z < -- 1,96 é completamente 1,96 é completamente 
equivalente à rejeitáequivalente à rejeitá--la para: la para: 
01.3
30/1
1245.11
/
=

=

=
n
X
Z 

 
30
1
96.112 X
X
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 41
Teste de hipótese biTeste de hipótese bi--caudalcaudal
 A região crítica neste exemplo é:
 A função potência é, neste caso (verifique!):
 O gráfico desta função potência é mostrado na próxima 
página. Note que a potência (probabilidade de rejeitar a 
hipótese nula) cresce à medida que nos afastamos de  = 
12 e, em  = 12, o valor da função potência é exatamente o 
erro do tipo I, estipulado em 5%.
36.12ou 64.11:se Hrejeitar é, Isto
30
1
96.112 seou 
30
1
96.112 se Rejeitar 
0
0


XX
XXH
 )  )  )
















= 96.112
1
30
196.112
1
30 K
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 42
Teste de hipótese biTeste de hipótese bi--caudalcaudal
Função Potência - Teste bi-caudal
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
10
.0
0
10
.1
0
10
.2
0
10
.3
0
10
.4
0
10
.5
0
10
.6
0
10
.7
0
10
.8
0
10
.9
0
11
.0
0
11
.1
0
11
.2
0
11
.3
0
11
.4
0
11
.5
0
11
.6
0
11
.7
0
11
.8
0
11
.9
0
12
.0
0
12
.1
0
12
.2
0
12
.3
0
12
.4
0
12
.5
0
12
.6
0
12
.7
0
12
.8
0
12
.9
0
13
.0
0
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 43
Teste de hipótese Teste de hipótese –– amostra amostra 
pequenapequena
 Até o momento, consideramos o caso de uma 
amostra grande (n  30)
 Para n < 30 existem as seguintes possibilidades:
 A população é Normal e  é conhecido: utilizamos o 
mesmo procedimento que para o caso de n  30, com 
conhecido (use a distribuição Normal)
 A população é normalmente distribuída e  não é 
conhecido: utilizamos o mesmo procedimento que para 
o caso de n  30, utilizando s como estimador de  e a 
distribuição t ao invés da Normal
 A população não é normalmente distribuída: 
aumentamos o tamanho da amostra pois não é possível 
usar uma aproximação Normal.
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 44
Teste de hipótese Teste de hipótese –– amostra amostra 
pequenapequena
 Exemplo
 Uma revista decidiu realizar uma pesquisa sobre a 
qualidade de serviço em grandes aeroportos ao redor do 
mundo. 
 O nível de serviço de um aeroporto é considerado superior 
se a nota obtida é igual ou superior a 7. Para o aeroporto de 
Heathrow, em Londres, foram entrevistadas 12 pessoas 
que atribuíram as seguintes notas: 7, 8, 10, 8, 6, 9, 6, 7, 7, 8, 
9, e 8. 
 Determine, com um nível de significância de 5%, se o 
serviço do aeroportode Heathrow pode ser considerado 
superior. Suponha que a população é normalmente 
distribuída.
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 45
Teste de hipótese Teste de hipótese –– amostra amostra 
pequenapequena
 Solução: As hipóteses nula e alternativa para o 
teste são:
7:
7:0




aH
H
 Com uma população normal, n < 30 e  desconhecido, 
utilizaremos s e a distribuição t com 11 graus de liberdade para 
o teste.
 A média da amostra é 7,75 e s = 1,215
 O valor de ta para o teste é 1,796
 A regra de rejeição é:
796,114,2
12215,1
775,7
 se Rejeita 00 ==

=

= aa ttt
ns
x
tH
 Logo, existe evidência para rejeitar a hipótese nula!Logo, existe evidência para rejeitar a hipótese nula!
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Teste de hipótese Teste de hipótese –– amostra amostra 
pequenapequena
 Exemplo 
 Historicamente, a comissão média paga por 
pessoas físicas para operações em bolsa de 
valores através de internet numa corretora é 
R$15. 
 Neste mês você fez uma pesquisa com 16 
clientes da corretora e notou que a comissão 
média foi de R$ 10 e o desvio padrão R$ 6. Com 
nível de significância 10%, há evidência para 
afirmar que a comissão neste mês foi mais baixa 
que historicamente? E com nível de significância 
5%? Suponha que os valores pagos são 
Normalmente distribuídos.
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 47
Teste de hipótese Teste de hipótese –– amostra amostra 
pequenapequena
 Desejamos testar as hipóteses:
 A região crítica tem a forma: rejeitar H0 se a 
média amostral é pequena, e como o tamanho da 
amostra é pequeno devemos usar a distribuição t 
de Student.
15:
15:
1
0

=


H
H
 )5.115 se Rejeitar 
16
6
.-15 se Rejeitar 
:sejaOu 
. se Rejeitar 
,150
,10
,100
a
a
a
tXH
tXH
n
s
tXH
n
n





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Teste de hipótese Teste de hipótese –– amostra amostra 
pequenapequena
 Do Excel:
 Para o teste com nível 5% usamos t15,0.05 = 
INVT(0.10,15) = 1.753
 Para o teste com nível 1% usamos t15,0.01 = 
INVT(0.02,15) = 2.602
 Região crítica a 5%: 
 )5.115 se Rejeitar 
16
6
.-15 se Rejeitar 
:sejaOu 
. se Rejeitar 
,150
,10
,100
a
a
a
tXH
tXH
n
s
tXH
n
n





reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 49
Teste de hipótese Teste de hipótese –– exercício 1 exercício 1 
(para casa)(para casa)
 Uma amostra de 50 botas usadas por soldados em 
uma operação numa região de deserto apresentou 
uma vida média de 1,24 anos e desvio padrão de 0,55 
anos.
 Por outro lado, em situações normais o tempo médio 
de vida nominal destas botas é 1,40 anos.. 
 Podemos afirmar, do nível de significância de 5% que 
a utilização destas botas no deserto diminui o seu 
tempo de vida?
Resposta:
Rejeita H0 ao nível de significância de 5%.
]645,1[]057,2[ 0 == ZZComo
0Z0Z
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Teste de hipótese Teste de hipótese –– exercício 2 exercício 2 
(para casa)(para casa)
 Uma amostra de 9 medidas de participação de 
manganês numa liga de ferro-manganês apresentou 
média de 84% e desvio padrão de 1,2%. 
 Assumindo que a distribuição populacional da 
participação do manganês na liga é NORMAL com 
média 80.
 Teste ao nível de 5% que esta participação de 
manganês é superior a 80%.
Resposta:
Rejeita H0 ao nível de significância de 5%.
]86,1[]10[ 0 == tTComo
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Teste de hipótese Teste de hipótese –– exercício 3 exercício 3 
(para casa)(para casa)
 A performance nominal de uma ferramenta de 
corte é de 2000 peças cortadas por vida útil. 
 Uma amostra de 6 destas ferramentas apresentou 
performance em suas vidas úteis de 2010, 1980, 
1920, 2005, 1975 e 1950 peças cortadas. 
 Teste, ao nível de significância de 1% se esta 
performance nominal é inferior a 2000 peças 
cortadas.
Resposta:
Aceita H0 ao nível de significância de 1%.
]365,3[]921,1[ 0 == tTComo
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 52
Teste de hipótese Teste de hipótese –– exercício 4 exercício 4 
(para casa)(para casa)
 Uma amostra aleatória de 100 pneus produzida 
por uma fábrica apresentou duração média de 
32.000 km com desvio padrão de 2000 km. . 
 Teste se o tempo médio de vida dos pneus é de 
30.000 km conforme afirma o fabricante, os níveis 
de 1% e 10%.
Resposta:
Rejeita H0 ao nível de significância de 1%.
Rejeita H0 ao nível de significância de 10%.
]578,2[]10[ 0 == ZZComo
]645,1[]10[ 0 == ZZComo
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 53
Revisão Revisão –– Teste de média para Teste de média para 
grandes amostras (n≥30)grandes amostras (n≥30)
 Suposições: Xi ~ N (µ, 2 )
 Então, para X = (Xi,...,Xn) a.a. (n)
 Hipótese nula:
dodesconhecié
n
Nx
conhecidoé
n
Nx
s 



2
2
2
2
;~
;~


















00 :  =H
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 54
Revisão Revisão –– Teste de média para Teste de média para 
grandes amostras (n≥30)grandes amostras (n≥30)
 Estatística do teste:
 Hipóteses alternativas:
Regiões criticas para os 3 casos; ao nível de 
significância de (1-α). Verificamos o valor de Z nas 
regiões criticas:
)1,0(~)1,0(~ 00 N
n
s
x
ZouN
n
x
Z


 
=

=
)()()(
::: 010101
UnicaudalUnicaudalBicaudal
HHH  
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 55
Revisão Revisão –– Teste de média para Teste de média para 
grandes amostras (n≥30)grandes amostras (n≥30)
1 1 -- αα 1 1 -- αα
1 1 -- αα
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 56
O comprimento de parafusos produzidos
por uma máquina tem média nominal do
fabricante de 1,5020 cm. Uma amostra de
100 parafusos (desta máquina), forneceu
uma média amostral de 1,5032 cm e
desvio padrão de 0,0050 cm. Verificar, aos
níveis de 5% e 1% se a média nominal se
mantém.
Exemplo 1:Exemplo 1:
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 57
Solução Exemplo 1:Solução Exemplo 1:
 Suposições:
 v.a. comprimento dos parafusos: Xi ~ N (µ, 2 )
 Desvio padrão nominal conhecido:  = 0,005
 Estatística do teste:
5020,1:5020,1: 10 =  HH
n
x
Z

0=
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 58
Solução Exemplo 1:Solução Exemplo 1:
 Substituindo:
 Regiões críticas:
Como: Z = 2,4 > 1,96, então, Rejeita H0 ao nível de 5%
Z = 2,4 < 2,57, então, Aceita H0 ao nível de 1%
4,2
105
5020,15032,1
4
=

=
x
Z
%1=a %5=a
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 59
Exemplo 2:Exemplo 2:
Uma substancia contém 25% de certo
elemento em sua composição. Uma amostra
de 50 destas substancia foram analisadas
para estimar o percentual deste elemento.
Tem sido encontrado uma média de 25,2% e
um desvio padrão amostral de 1%. Pode-se
então dizer que a participação deste
elemento na substancia é superior aos 25%
nominais? (ao nível de 5%)
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 60
Solução exemplo 2:Solução exemplo 2:
 Suposições:
 v.a. participação do elemento: Xi ~ N (µ, 2 )
Dados:
 Estatística do teste:
)1,0(~0 N
n
s
x
Z

=
)(%25:%25:
50%1%2,25
10 unilateralHH
nsx
=
===

reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 61
Solução exemplo 2:Solução exemplo 2:
 Estatística do teste:
 Decisão:
41,1
50
1
252,25
=

=Z
1,645%5=a
Como Z=1,41 < 1,645
Então, Aceita H0 ao 
nível de 5%
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 62
Teste de diferencia de Teste de diferencia de 
médiasmédias
Seja as v.a. X e y independentes 
X ~ N (µx, x2 ) e Y ~ N (µY, Y2 )
Se X e Y são independentes, então a v.a. D = X-Y é tal 
que:
Se X= a.a. (nX) de X e Y = a.a. (nY) de Y, então:
 ) 22;~ YXYXND 
 )  )

















nn Y
Y
X
X
YX
Nyx 
22
;~ (*)
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 63
Teste de diferencia de Teste de diferencia de 
médiasmédias
Caso as variâncias x2 e Y2 não sejam 
conhecidas, então:
 )  )




















11
;~
22
n
S
n
S
Y
Y
X
X
YX
Nyx 
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 64
Teste de diferencia de Teste de diferencia de 
médiasmédias
 Teste de Hipóteses:
A estatística do teste seria, usando a expressão (*) 
do slide 11, seria:
YX
YXYX
YX
H
HContraH
H




=

:
::
:
1
10
1
)1,0(~
)()(
22
N
nn
yx
Z
Y
Y
x
x
Yx




=
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 65
Teste de diferencia de Teste de diferencia de 
médiasmédias
E, sob a hipótese nula (µX = µY):
Observação:
Caso as variâncias sejam desconhecidas o 
denominador seria:
)1,0(~
)(
22
N
nn
yx
Z
Y
Y
x
x  

=
11
22


 Y
Y
x
x
nn
SS
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 66
Exemplo 3:Exemplo 3:
Duas máquinas A e B produzem parafusos
teoricamente idênticos. Uma amostra de
tamanho 100 da máquina A apresentar média
2,0413 cm e desvio padrão 0,0064 cm. Outra
amostra de tamanho 200 da máquina B
apresentou média 2,0433 cm e desvio padrão
0,0058 cm.
Esta diferencia das médias produzidas pelas
duas máquinas e significante ao nível de α =
1%?
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 67
Solução exemplo 3:Solução exemplo 3:
 Suposições:
 Dados:
 Quer-se testar:
100
100
=
=
B
A
n
n
BA
BA
H
H



=
:
:
1
0
 )
 )s
s
AA
A
BB
B
Nx
Nx
2
2
;~
;~


reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 68
Solução exemplo 3:Solução exemplo 3:
 Estatística do teste:
 Decisão:
62,2
199
)0058,0(
99
)064,0(
0433,24413,2
19999
2222
=


=


=
ss BA
BA xx
Z
Como -2,62 < -2,57
Então, H0 é rejeitada!! 
o nível de 1%
%1=a
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Teste de Hipótese para a Variância de Teste de Hipótese para a Variância de 
uma População Normal uma População Normal 
 Suposição:
Seja X ~ N (µ, 2 )
 Queremos testar a seguinte hipótese nula simples:
 Conta as possíveis alternativas:
2
0
2
0 :  =H
2
0
2
2
0
2
2
0
2
1 :






H
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 70
 Seja X̰ = (X1, X2,..., Xn ) uma aa (n) da v.a. X͂.
 Estatística do Teste : א* dada por:
Onde S² é a variância amostral estimada por:
 Regra de Decisão:
 )
2
0
2
* .1

c
Sn
=
 )
 )1
1
2
2


=

=
n
XX
S
n
i
i
n
X
X
n
i
i
== 1
 )  )1~ 20* nverdH cc
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 71
 Exemplo:
 Decisão ao nível de α %:
Região de Aceitação H0
Região de Rejeição H0 
 20212020 :: = HContraH
 ) %
2
a
 ) %
2
a
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 72
 Decisão ao nível de α %:
Região de Aceitação H0 Região de Rejeição H0
Obs.: Caso então:
 ) %a
Região de Rejeição H0 Região de Aceitação de H0
 20
2
1 : H
 20212020 :: = HcontraH
 ) %a
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 73
Teste de variância de duas Teste de variância de duas 
populações Normais (Teste F)populações Normais (Teste F)
 Teste para verificar se as variâncias de duas
populações normais são iguais. Deve ser
usado antes de testar se as médias são
iguais.
 Suposições:
X ~ N (µx, x2 ) e Y ~ N (µY, Y2 )
X e Y são independentes e X= a.a. (nX) de X e Y = a.a. 
(nY) 
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 74
Teste de variância de duas Teste de variância de duas 
populações Normais(Teste F)populações Normais(Teste F)
 Teste de Hipóteses:
Se SX2 e SY2 são as variâncias amostrais de X e Y, 
então, a estatística:
 Decisão
)(::
22
1
22
0 = ouHContraH YXYX 
1;1);(~)/( 0 == YYXXYX nnFVerdHf 
s
s
X
Xf
2
2
=
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 75
Exemplo 4:Exemplo 4:
Tem-se duas amostras A e B com valores 
e tamanho nA=nB =10
Teste a hipótese de nível α = 5%:
A 50,8 51,0 49,5 52,1 51,8 47,4 51,5 48,2 49,0 48,0
B 49,3 48,9 49,2 50,0 48,8 49,5 49,2 49,6 48,8 47,5
 221220 :: BABA HContraH =
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Solução exemplo 4:Solução exemplo 4:
 Suposições:
Estimando as médias e variâncias de A e B, 
obtem-se:
Estatística do teste:
451,0;08,49;97,2;93,49 22 ==== BBAA SXSX
 )
 )



2
2
;~
;~
BB
AA
NB
NA
59,6
451,0
97,2
2
2
===
s
s
X
Xf
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 77
Solução exemplo 4:Solução exemplo 4:
 Decisão:
Observação:
)9;9(~)/( 0 == YXFVerdaderaHf 
1 / 4,03 4,03 (da Tabela F)
2,5%2,5%
Como f = 6,59 > 4,03
Então, H0 é rejeitada!! 
o nível de 5%
),(
1),(
1 YX
YX
F
F


a
a


reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 78
Teste de hipótese Teste de hipótese –– exercício 5(para casa)exercício 5(para casa)
 Quer-se testar dois métodos de aprendizados de estatística 
entre estudantes de pós-graduação. Para tal, foram 
selecionados aleatoriamente dois grupos de 50 alunos e 
ambos foram submetidos ao teste de avaliação.
 O grupo “A” apresentou nota média de 120 pontos e um 
desvio padrão de 12 pontos, enquanto o grupo “B” 
apresentou média de 112 pontos de 9 pontos.
 Se MU(A) é a média verdadeira do desempenho do grupo 
“A” e MU(B) do grupo “B”, teste aos níveis de 1% e 5% que 
MU(A)-MU(B) contra a alternativa MU(A)≠MU(B).
Resposta:
Rejeita H0 ao nível de significância de 1%.
Rejeita H0 ao nível de significância de 5%.
]578,2[]73,3[ 0 == ZZComo
]96,1[]73,3[ 0 == ZZComo
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Teste de hipótese Teste de hipótese –– exercício 6(para casa)exercício 6(para casa)
 Uma indústria desenvolveu e implantou um novo programa 
de prevenção de acidentes. Para tal foram coletados de oito 
filiais desta indústria o número de horas perdidas na 
empresa devido a acidente de trabalho durante 1 ano, 
conforme tabela abaixo:
Resposta:
Aceita H0 ao nível de significância de 1%.
Aceita H0 ao nível de significância de 5%.
]624,2[]295,0[ 0 == tTComo
]761,1[]295,0[ 0 == tTComo
Filial 1 2 3 4 5 6 7 8
Antes do 
programa
38,5 69,2 15,3 9,7 120,9 47,6 78,8 52,1
Depois do 
programa
28,7 62,2 28,9 0 93,5 49,6 86,5 40,2
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Teste de hipótese Teste de hipótese –– exercício 7(para casa)exercício 7(para casa)
 Tem-se dois aparelhos para medir a pressão arterial de 
pacientes. Para testá-los, mediu-se com dois aparelhos as 
pressões de 10 pacientes, obtendo-se:
Resposta:
Aceita H0 ao nível de significânciade 1%.
Aceita H0 ao nível de significância de 5%.
Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pressão 
"A"
13,6 11,5 14,2 14,0 12,3 14,7 13,3 15,0 13,8 14,8
Pressão 
"B"
14,1 11,7 14,1 14,5 12,7 14,6 13,5 15,2 13,5 15,1
]878,2[]346,0[ 0 == tTComo
]101,2[]346,0[ 0 == tTComo
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Teste de hipótese Teste de hipótese –– exercício exercício 88(para casa)(para casa)
 O peso de sacos de trigo comercializado por uma 
fábrica é especificado como uma v.a. Normal com 
Variância Nominal de 1,5 Kg². Pegou-se uma amostra 
de 10 sacos e a Variância Estimada nesta amostra foi 
de 3 Kg².
 Podemos dizer aos níveis de 1% e 5% que a Variância 
Nominal aumentou? Ou seja, testar a hipótese:
Resposta:
Aceita H0 ao nível de significância de 1%.
Rejeita H0 ao nível de significância de 5%.
]7,21)9([]18[ 2 99,0
2 == ccComo
]92,16)9([]18[ 2 95,0
2 == ccComo
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TABELA DISTRIBUIÇÃO FTABELA DISTRIBUIÇÃO F
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TABELA DISTRIBUIÇÃO FTABELA DISTRIBUIÇÃO F
reinaldo@reinaldo@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 84
TABELA DISTRIBUIÇÃO FTABELA DISTRIBUIÇÃO F
85
0Z
z z) z z) z z) z z)
0.00 0.5000 0.62 0.7324 1.24 0.8925 1.86 0.9686
0.02 0.5080 0.64 0.7389 1.26 0.8962 1.88 0.9699
0.04 0.5160 0.66 0.7454 1.28 0.8997 1.90 0.9713
0.06 0.5239 0.68 0.7517 1.30 0.9032 1.92 0.9726
0.08 0.5319 0.70 0.7580 1.32 0.9066 1.94 0.9738
0.10 0.5398 0.72 0.7642 1.34 0.9099 1.96 0.9750
0.12 0.5478 0.74 0.7704 1.36 0.9131 1.98 0.9761
0.14 0.5557 0.76 0.7764 1.38 0.9162 2.00 0.9772
0.16 0.5636 0.78 0.7823 1.40 0.9192 2.02 0.9783
0.18 0.5714 0.80 0.7881 1.42 0.9222 2.04 0.9793
0.20 0.5793 0.82 0.7939 1.44 0.9251 2.06 0.9803
0.22 0.5871 0.84 0.7995 1.46 0.9279 2.08 0.9812
0.24 0.5948 0.86 0.8051 1.48 0.9306 2.10 0.9821
0.26 0.6026 0.88 0.8106 1.50 0.9332 2.12 0.9830
0.28 0.6103 0.90 0.8159 1.52 0.9357 2.14 0.9838
0.30 0.6179 0.92 0.8212 1.54 0.9382 2.16 0.9846
0.32 0.6255 0.94 0.8264 1.56 0.9406 2.18 0.9854
0.34 0.6331 0.96 0.8315 1.58 0.9429 2.20 0.9861
0.36 0.6406 0.98 0.8365 1.60 0.9452 2.22 0.9868
0.38 0.6480 1.00 0.8413 1.62 0.9474 2.24 0.9875
0.40 0.6554 1.02 0.8461 1.64 0.9495 2.26 0.9881
0.42 0.6628 1.04 0.8508 1.66 0.9515 2.28 0.9887
0.44 0.6700 1.06 0.8554 1.68 0.9535 2.30 0.9893
0.46 0.6772 1.08 0.8599 1.70 0.9554 2.32 0.9898
0.48 0.6844 1.10 0.8643 1.72 0.9573 2.34 0.9904
0.50 0.6915 1.12 0.8686 1.74 0.9591 2.36 0.9909
0.52 0.6985 1.14 0.8729 1.76 0.9608 2.38 0.9913
0.54 0.7054 1.16 0.8770 1.78 0.9625 2.40 0.9918
0.56 0.7123 1.18 0.8810 1.80 0.9641 2.42 0.9922
0.58 0.7190 1.20 0.8849 1.82 0.9656 2.44 0.9927
0.60 0.7257 1.22 0.8888 1.84 0.9671 2.46 0.9931
σZ
μ X
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