Eletricidade apostila 2

Prévia do material em texto

62
7 – COMPONENTES REATIVOS. 
 
Campo elétrico 
 
Vamos supor que se introduz uma diferença de potencial V entre duas chapas 
condutoras. Ver fig. 7-1. 
 
 
V
ε
 
 
 Fig. 7-1 
 
Em todo ponto, situado no espaço entre essas duas chapas, passa uma linha invisível 
chamada de linha de campo elétrico. A fig. 7-1 mostra algumas dessas linhas. Se for 
colocada, sobre uma destas linhas, uma partícula carregada com carga negativa, esta 
partícula se desloca, ao longo da linha, no sentido da flecha, até atingir a chapa positiva. 
Se a partícula estiver carregada positivamente, o deslocamento é em sentido contrário. 
Por isto essas linhas são também chamadas de linhas de força. 
A chapa ligada ao potencial negativo se chama catodo e a outra tem o nome de anodo. 
Podemos dar, como exemplo de partícula com carga negativa, um elétron. Dentro de um 
tubo de um televisor, por exemplo, tem-se o deslocamento de um feixe de elétrons que 
saem, continuamente, do catodo e atingem o anodo. 
Outros exemplos de partículas carregadas negativamente ou positivamente são os íons. 
Íon é um átomo ou uma molécula que perdeu ou ganhou elétrons. No primeiro caso esse 
elemento se transformou em um íon positivo e no segundo caso tornou-se um íon 
negativo. As principais aplicações do deslocamento de íons, entre catodo e anodo, são a 
eletrólise e a galvanoplastia. 
A entidade física que provoca o deslocamento dessas partículas é chamada de “campo 
elétrico”. Em cada ponto, situado entre as duas chapas, existe um campo elétrico. As 
velocidades e acelerações, daquelas partículas, dependem dos valores, desse campo 
elétrico, ao longo das linhas de força. 
O valor do campo elétrico, presente em cada ponto, pode ser determinado por meio de 
expressões matemáticas. Sua unidade física é volt por metro e seu símbolo matemático, 
mais usual, é a letra grega .ε 
Por exemplo, quando a distância entre as placas é muito menor do que suas dimensões, 
o campo elétrico é, aproximadamente constante, e tem o valor: 
 
 
d
V
≈ε 
 
onde V é a diferença de potencial entre as chapas e d é a distância entre elas.. 
Exemplo: Sejam duas chapas quadradas com 1 metro de lado, distantes, entre si, de 2 
cm. Se introduzirmos uma diferença de potencial de 5 volt, entre elas, teremos em 
qualquer ponto, situado no espaço compreendido entre essas chapas, o campo elétrico: 
 
 63
 
 
m
v
m
v
d
V 250
02,0
5
==≈ε 
 
 
Na realidade, para que haja formação de campos elétricos, não é necessário que o anodo 
e o catodo tenham o formato, das chapas, descrito. Quaisquer dois condutores, com uma 
diferença de potencial entre si, geram campos elétricos. A fig. 7-2.a mostra o caso em 
que o catodo e o anodo são fios condutores. A fig. 7-2.b mostra as linhas de força em 
um plano transversal a esses condutores. 
 
 
 
V
V
(a) (b)
 
 
 Fig. 7-2 
 
 
Capacitor 
 
Quando se tem um dispositivo na forma de duas chapas colocadas a uma pequena 
distância entre si, tem-se um capacitor. Portanto o dispositivo mostrado na fig. 7-1 é um 
capacitor. 
Quando se coloca entre as chapas, por meio de uma bateria, uma diferença de potencial 
V, esta diferença de potencial permanece, mesmo depois que a bateria for retirada. Ver 
fig.7-3. 
Diz-se que este capacitor ficou carregado com a tensão V. O capacitor é um componente 
elétrico muito usado em circuitos de corrente alternada. 
 64
V Vε⇒ε
 
 
 
 Fig. 7-3 
 
Construção do capacitor 
Um capacitor pode ser construído usando-se duas placas condutoras, isoladas entre si, 
cuja distância, uma da outra, é muito menor do que as dimensões das placas. A fig. 
7-4.a mostra este dispositivo em perspectiva. A fig. 7-4.b mostra o corte na posição BB 
da primeira figura. 
 
B B
(a) (b)
d
A
B B
 
 
 Fig. 7-4 
 
 
Nessa fig.7-4, o parâmetro A representa a área de cada placa e d é a distância entre 
essas placas. Estão mostrados, ainda, os terminais condutores que são conectados 
individualmente a cada placa. Estes terminais são necessários para que se possa 
intercalar este dispositivo em circuitos elétricos. A fig. 7-5, mostra como um capacitor 
é representado no esquema de um circuito elétrico. 
 
 
C
 
 
 
 Fig. 7-5 
 65
No capacitor da fig. 7-4 as placas estão isoladas apenas pela presença de ar entre elas. 
Entretanto, o mais comum é ter um material não condutor (isolante) separando essas 
placas. Este material recebe o nome de dielétrico. A fig. 7-6 mostra o corte, ainda na 
posição BB, de um capacitor contendo dielétrico entre as placas. 
 
rε
B B
 
 
 Fig. 7-6 
 
O material isolante possui um parâmetro denominado constante dielétrica relativa. Seu 
símbolo matemático é rε . O capacitor construído, conforme mostrado nas figuras 7-4 
e 7-6, possui a o valor da capacitância, na unidade Farad,. Esse valor é calculado pela 
fórmula: 
 
 
d
AC r ×××=
− ε121085,8 [ ]Farad 
 
Nesta expressão, rε é um número adimensional, d deve ser dado em metro e A, em 
metro quadrado. 
A tabela 7-1 mostra os valores de rε para alguns dielétricos. 
 
 Tabela 7-1 
 
Dielétrico 
 
Const. Dielétrica ( )rε 
Ar 1,00 
Baquelite 5 
Vidro 6 
Mica 5 
Óleo 4 
Papel 2,5 
Borracha 3 
Teflon 2 
 
 
 
 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 7-1 
 66
Um capacitor de F1210200 −× (200 pF), deve ser construído conforme as figuras 7-4 e 
7-6, utilizando chapas quadradas. Sabendo que a distância entre as placas é 
md 4101 −×= , determinar a medida de cada lado dessas placas, para os seguintes casos: 
 
a) Dielétrico ar 
b) Dielétrico mica. 
 
 Solução: 
 
a) Para o ar, tem-se 00,1=rε 
d
AC r ×××=
− ε121085,8 = FA 124
12 10200
10
00,11085,8 −
−
− ×=××× 
 
23
12
412
1026,2
1085,8
1010200
mA −
−
−−
×=
×
××
= 
 
2lllA =×= 
 
 
mAl 23 1075,41026,2 −− ×=×== = cm75,4 
 
b) Para a mica, tem-se 5=rε 
d
AC r ×××=
− ε121085,8 = FAC 124
12 10200
10
51085,8 −
−
− ×=×××= 
 
24
12
412
105,4
1085,85
1010200
mA −
−
−−
×=
××
××
= 
 
 ml 24 1013,2105,4 −− ×=×= = cm13,2 
 
Conclusão: a presença do dielétrico faz diminuir o tamanho do capacitor. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Campo magnético 
 
Um ímã, com seus pólos norte e sul, também pode produzir movimentos em partículas, 
devido ao seu magnetismo. Contudo, essas partículas, para sofrerem esses 
deslocamentos, têm que ter propriedades magnéticas, como por exemplo, o ferro. 
Na região, onde se encontra o ímã, tem-se a presença de linhas de campo magnético. O 
conjunto dessas linhas se chama fluxo magnético. 
Entretanto, temos aqui, uma característica básica diferente em relação ao campo 
elétrico.As linhas de fluxo magnético são sempre fechadas. Ver fig. 7-7 
 67
 
S N
 
 
 Fig. 7-7 
 
 
Essas linhas partem do pólo norte para o pólo sul na parte externa do material, e do pólo 
sul para o pólo norte na região do material. 
 
Linhas de campo magnético produzidas pela corrente elétrica. 
 
Nas primeiras experiências históricas, com a eletricidade, notou-se que quando a 
corrente elétrica percorria um fio condutor, a agulha magnética de uma bússola, situada 
perto do condutor, sofria um desvio. Portanto, a corrente elétrica, de alguma forma, 
provocava o fenômeno do magnetismo. Este fenômeno ficou conhecido como 
eletromagnetismo. 
A fig. 7-8.a mostra, em perspectiva, algumas linhas de campo magnético provocadas 
pela corrente elétrica no fio condutor. A fig. 7-8.b, mostra essas mesmas linhas em um 
plano transversal ao fio condutor. Supõe-se que o sentido da corrente é do papel para o 
leitor. Podemos observar que cada linha forma um círculo perfeito. 
 
 
 
I
(a) (b)
 
 
 
 Fig. 7-8 
 
Aqui a unidade do campo magnético é ampere por metro. 
 68
Exemplo: Seja um fio condutor de 1 metro de comprimento percorrido por uma corrente 
elétrica de 1 ampere. O campo magnético em um ponto, distante 1 cm deste fio, resulta: 
 
 
m
A
m
A
r
IH 9,15
01,02
1
2
≈
×
=
×
≈
pipi
 
 
Campos magnéticos resultantes de uma corrente elétrica que percorre uma espira. 
 
A fig. 7-9 mostra a configuração das linhas, de campo magnético, provocadas por uma 
corrente elétrica ao percorrer um condutor com a forma de uma espira circular. 
 
I
 
 
 Fig. 7-9 
 
 
Indutor 
 
Quando o fio condutor tem a forma de um conjunto de espiras, como mostrado na 
fig. 7-10, temos um indutor ou bobina. 
 
 
I
 
 
 Fig. 7-10 
 
 69
Podemos observar que as linhas de fluxo possuem configuração semelhante àquelas de 
um ímã. Portanto, neste caso temos a produção de um dispositivo com o comportamento 
de um ímã. Entretanto, para correntes elétricas, de valores moderados, a intensidade do 
campo magnético é muito mais fraca do que a de um ímã que possuísse a mesma 
configuração de linhas de fluxo magnético. 
Além disto, ao contrário do que acontece com o campo elétrico, ao se desligar a 
corrente elétrica, as linhas de fluxo magnético desaparecem. 
 
Indutor com núcleo de ferro 
 
A fig. 7-11 mostra um indutor que contém, internamente, um núcleo de ferro doce. Este 
núcleo, isoladamente, não é um ímã. Entretanto, quando a corrente elétrica percorre as 
espiras, as linhas de fluxo magnético se concentram dentro desse núcleo. Desta maneira 
o sistema se converte em um dispositivo chamado eletro ímã. Mesmo para correntes 
elétricas moderadas, a presença desse núcleo, torna os campos magnéticos muito mais 
intensos. Esses campos magnéticos podem se tornar tão intensos como os de um ímã 
propriamente dito. 
A principal diferença entre um ímã e um eletro ímã é que este último deixa de se 
comportar como ímã quando a corrente elétrica é desligada. 
 
 
I
 
 
 Fig. 7-11 
 
Principais aplicações do eletro magnetismo 
 
Os indutores, com ou sem núcleo de ferro, são muito empregados em circuitos de 
corrente alternada e aparelhos eletrônicos. 
Também, a produção da faísca elétrica, nos motores de combustão dos automóveis, é 
provocada por um circuito elétrico cujo principal elemento é um indutor. 
Outra aplicação importante, do eletromagnetismo, é na construção de motores elétricos. 
Podemos mencionar, ainda, os eletro ímãs propriamente ditos. São usados, 
principalmente, para transportar sucata de ferro de um lugar para outro. O eletro ímã é 
agregado a guindaste. Quando a corrente elétrica é ligada, ele atrai e segura a sucata de 
ferro. Dessa maneira, essa sucata é transportada até outro local onde é liberada por meio 
da interrupção daquela corrente elétrica. 
 
 70
Construção do indutor utilizado em circuitos elétricos. 
 
Vimos que um indutor vem a ser um fio condutor formando uma determinada 
quantidade de espiras. Quando uma corrente percorre esse condutor são geradas linhas 
de campo magnético de tal maneira que o dispositivo se comporta como um ímã. Ver 
Fig. 7-12. 
 
 
I
 
 
 Fig. 7-12 
 
Vimos, também, que o efeito eletro-magnético se torna mais intenso quando se tem um 
material ferroso colocado no interior das espiras. Diz-se que o indutor contém um 
núcleo ferroso. Este material concentra as linhas de campo magnético existentes no 
interior dessas espiras.Ver fig, 7-13. 
 
 
I
 
 
 Fig. 7-13 
 
O núcleo fica magnetizado apenas durante a presença da corrente elétrica. Quando esta 
corrente cessa, a imantação desaparece. Se a corrente elétrica for alternada, o sentido 
das linhas magnéticas também se alterna. Neste caso dizemos que temos um campo 
magnético alternado. Isto significa que os pólos norte e sul do eletro-imã se alternam 
acompanhando a alternância da corrente. 
Na fig. 7-15 nota-se que o percurso das linhas de fluxo acontece uma parte no núcleo e 
outra parte no ar. 
 
Indutor com núcleo fechado 
 
A intensidade do campo magnético fica ainda bem maior quando se consegue fazer com 
que o percurso total, das linhas de fluxo, seja dentro do material ferroso. Isto se 
 71
consegue, usando um núcleo fechado tendo, por exemplo, o formato mostrado na fig. 
7-14. 
 
 
Linha do fluxo magnético
I
 
 
 
 Fig. 7-14 
 
A intensidade do campo magnético, além de depender da intensidade da corrente 
elétrica, depende, também, de uma grandeza física chamada de permeabilidade relativa 
do núcleo. Este parâmetro tem como símbolo rµ . Quando não se usa núcleo no indutor 
(núcleo de ar), tem-se 1=rµ . Quando se usa núcleo fechado como na fig. 7-16, o 
parâmetro rµ possui um valor que é específico do material ferroso: rmµ . Entretanto, 
muitos indutores são do tipo de núcleo aberto, como mostrado na fig. 7-15. Neste 
arranjo, como já vimos, uma parte do percurso das linhas magnéticas acontece no 
núcleo ferroso e outra parte no ar. Neste caso tem-se uma permeabilidade equivalente 
cujo valor é intermediário entre 1 e rmµ : 
 
 
 rmre µµ <<1 
 
Os núcleos dos indutores são ligas metálicas onde se tem, em maior porcentagem, o 
elemento ferro. Em eletro-técnica o material mais empregado é uma liga ferro-silício, 
onde se tem 4 % de silício e 96 % ferro. Neste caso, 900≈rmµ . 
 
A unidade mks, para a indutância, é o Henry. O valor de um indutor, construído com 
núcleo fechado, como mostrado na Fig. 7-16, obedece à fórmula matemática: 
 
 
 
l
NSL rm
2
7104 ××= − µpi [ ]Henry 7-1 
 
Nesta expressão tem-se: 
l = comprimento do trajeto total, das linhas do fluxo, no núcleo fechado. Sua unidade 
deve ser dada em metro. 
S = área da secção do núcleo em 2m . 
N= quantidade de espiras 
 
 
 72
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 7-4 
Um indutor, construído em núcleo fechado, como mostrado fig. 7-15, foi enrolado com 
200 espiras. Seu núcleo possui 900=rmµ . O comprimento do trajeto das linhas do 
fluxo magnético, nesse núcleo, é ml 1,0= . A área de sua secção é 24104 mS −×= . 
Determinar o valor desse indutor. 
 
 
1,0
200104900104
24
7 ××××=
−
−piL H181,0= 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Quando o núcleo é aberto, as formulas para o projeto são muito complexas e pouco 
confiáveis. O mesmo acontece para os indutores com núcleo de ar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 73
8 - OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Número real e número imaginário. 
 
No século 18, o matemático inglês, de ascendência francesa, Abraham Moivre, 
introduziu, na matemática, um número, que ele chamou de imaginário, cujo símbolo 
universal é i. Este número obedece a seguinte igualdade: 
 
 1−=i 
 
Como sabemos, a raiz quadrada de um número negativo não existe fisicamente. Esta é a 
razão de ser chamado de número imaginário. Quando este número é usado em 
eletricidade, muda-se seu símbolo para j. Isto se faz para que não haja confusão com o 
símbolo da corrente elétrica que também é i. Portanto, adotaremos como número 
imaginário, o elemento: 
 1−=j 
 
Quando este número é multiplicado por um número real, o resultado se torna 
imaginário. Assim, por exemplo, embora o número 3 seja um número real, o número 
3×j é imaginário. 
Um número complexo é aquele que pode ter uma parte real, além da parte imaginária. 
Exemplo: 
 5,33,5 jZ += 
Neste exemplo, a parte real é representada pelo número 5,3 e a imaginária pelo número 
j3,5. 
O número complexo pode ser representado graficamente. Existem duas representações 
gráficas. Uma delas é chamada de representação na forma retangular ou cartesiana. A 
outra é a representação na forma polar. 
 
Representação do número complexo na forma cartesiana. 
 
Na forma cartesiana, a parte real é representada no eixo x e a parte imaginária no eixo 
y. Isto acarreta um ponto P, no plano xy, que representa o número complexo. A 
 fig. 8-1.a mostra esta representação cartesiana para o número complexo 
 
 5,33,5 jZ += . 
 
Parte
real
Parte
imaginária
3,5
5,3j 5,3
3,5
Z
θ
(a) (b)
x
5,33,5 jZ +=
jy
5,3
y
x0 0
ZZ = θ,
P P
 
 Fig. 8-1 
 74
Representação do número complexo na forma polar. 
 
A forma polar, deste mesmo número, está representada na fig. 8-1.b. Neste caso o 
número complexo é representado pelo módulo e ângulo de um vetor. O módulo é o 
comprimento do seguimento que liga a origem ao ponto P. O ângulo é aquele existente 
entre esse segmento e o eixo x. Portanto, a forma polar é representada pelo par de 
parâmetros: Z e θ . 
 
O ângulo θ costuma ser chamado de argumento do número complexo. 
Portanto, um número complexo, na forma cartesiana, possui uma parte real e outra 
imaginária. Na forma polar, o número complexo possui módulo e argumento. 
 
Transformação da forma cartesiana para a forma polar 
 
Usando o teorema de Pitágoras para o desenho da figura 8-9.b, tem-se: 
 
 
35,634,40
34,405,33,5 222
≈=
=+=
Z
Z
 
 
Usando fórmulas trigonométricas tem-se: 
 
 66,0
3,5
5,3
==θtg 
 
 
01 4,3366,0 ≈= −tgθ ou rd58,0=θ 
 
Generalização da transformação da forma cartesiana para a forma polar 
 
Dado o número complexo jBAZ += , tem-se: 
 
 
22 BAZ +=
 
 
 
A
B
tg 1−=θ 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Exercício 8-1 
Passar para a forma polar o número complexo 03 jZ += 
Solução: 
 
3032 =+=Z
 
 
 00
3
0 11
===
−− tgtgθ 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 8-2 
Passar para a forma polar o número complexo 43 jZ −= 
 75
Solução: 
 ( ) 516943 22 =+=−+=Z 
 
 ( ) 011 1,5333,1
3
4
−=−=
−
=
−− tgtgθ 
 ou rd93,0−=θ 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Transformação da forma polar para a forma cartesiana 
 
Seja a representação, na forma polar, do número Z mostrada na fig. 8-2. 
Vemos que a parte real tem o valor A e a parte imaginária possui o valor B. 
 
 
B
Z
θ
A
B
 
 
 Fig. 8-2 
 
Notamos que 
Z
A
=θcos
 e 
Z
B
=θsen
 
Portanto: 
 
 
θcosZA =
 
θsenZB =
 
 
 
θθ sencos ZjZjBA +=+
 
 
ou ( )θθ sencos. jZjBA +=+ 8-1 
------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exercício 8-3 
Dado um número complexo em que 30=Z e 045=θ , determinar sua 
representação na forma jBA + . 
Solução: 
 
θcosZA = = 2,21707,03045cos30 0 =×= 
 
 
== θsenZB 2,21707,03045sen30 0 =×= = 
 
 2,212,21 jjBA +=+ 
------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Número neperiano 
 
O número neperiano é uma constante matemática altamente empregada em diversos 
ramos da ciência, especialmente na engenharia elétrica e eletrônica. 
Esta constante é representada, universalmente, pela letra e. Seu valor é: 
 
 76
 7183,2≈e 
 
O número neperiano nasceu a partir dos estudos do matemático escocês John Neper que 
viveu no século XVI. Ele foi, também, o inventor dos logaritmos. 
 
Fórmulas de Euler 
 
O matemático suíço-alemão Leonard Euler, que viveu no século XVII, demonstrou as 
seguintes fórmulas: 
 
 θθθ sencos je j += 
 
θθθ sencos je j −=− 
Aplicando estas fórmulas na expressão 8-5, resulta: 
 
 
( ) θθθ jeZjZjBA =+=+ sencos
 
 
Portanto: θjeZjBA =+ 8-2 
 
onde 22 BAZ += e 
A
B
tg 1−=θ 
 
Com relação à igualdade 8-2, o lado esquerdo, desta igualdade, é a expressão de um 
número complexo na forma cartesiana. O lado direito é a expressão matemática, do 
mesmo número complexo, na forma polar. 
Observação importante: - Na igualdade 8-2, é obrigatório que o ângulo θ seja 
explícito em radianos e não em graus. Seja, por exemplo, o número complexo Z que 
possui 30=Z e 045=θ . Como rd
4
450 pi= , expressa-se este número na forma 
abaixo: 
 
430
pij
eZ = 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 8-3 - Demonstrar que 
a)je j =2
pi
 
b) 10 =je 
Solução: 
 
a) 
2
sen
2
cos2
pipipi je j += 
 
Mas 
 
090cos
2
cos 0 ==
pi
 
 77
 
e 190sen
2
sen 0 ==




pi
 
 
Portanto jje j =×+= 102
pi
 
b) 0sen0cos0 je j += 
 
Mas 
 
10cos = 
 
e 00sen = 
 
Portanto 10 =je 
----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Conjugado de um número complexo 
 
Dado um número Z = A + jB, o conjugado desse número é *Z =A – jB 
 
Exemplo: 
 
Se Z = 3 + j5 , então é =*Z 3 – j5. 
 
Conjugados na forma polar 
 
Se jBAZ += tem-se jBAZ −=* 
 
Neste caso A
Bjtg
eBAZ
1
22
−
+= 
 e ( ) ABjtgeBAZ −−−+= 122* ABjtgeBA 122 −−+= 
 
Portanto, os números complexos conjugados, na forma polar, possuem o mesmo 
modulo e ângulos com sinais contrários, ou seja: 
 
Se θjeZZ = então θjeZZ −=* 
 
Soma algébrica de números complexos 
 
Usam-se as mesmas regras da soma algébrica de polinômios. Considera-se a parte real 
como se fosse um termo do polinômio e a parte imaginária como outro termo do 
polinômio.Desta maneira, a soma de dois números complexos é igual a outro número 
complexo onde a parte real resultante é a soma das partes reais e a parte imaginária, 
também é a soma das partes imaginárias daqueles números: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )DBjCAjDCjBA +++=+++
 
 78
 
A mesma regra se aplica para diferenças entre números complexos: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )DBjCAjDCjBA −+−=+−+ 
 
Multiplicação de números complexos 
 
a) Os números complexos estão expressos na forma cartesiana. 
 
Usam-se as mesmas regras da multiplicação de polinômios, onde cada polinômio possui 
um termo real e outro imaginário. Não se pode esquecer, ao se realizar esta operação 
algébrica, que 12 −=j . 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 8-4. 
Multiplicar os números 2 + j3 e 4 + j5 
Solução: 
 
( )( ) =×+×+×+×=++ 534352425432 2jjjjj 
 
2271512108 jjj +−=−++= 
------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) Os números complexos estão expressos na forma polar. 
 
Neste caso a operação multiplicação se torna mais fácil: - Multiplica-se os módulos 
e somam-se os expoentes. Sejam os números: 
 
1
11
θj
eZZ =
 
2
22
θj
eZZ =
 
 
 
( )212
212
1
121
θθθθ +×=×=× jjj eZZeZeZZZ
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 8-5 
Multiplicar 630
pij
e por 65
pij
e 
Solução: 
 
36
1
6
1
6666 150150530530
pipi
pipipipi jjjjj
eeeee ==××=×






+





+
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Multiplicação de um número pelo seu conjugado 
 
Quando se multiplica um número complexo pelo seu conjugado, resulta um número real 
cujo valor é igual ao quadrado do módulo do referido número complexo. 
Demonstração: 
 
Seja jBAZ += e jBAZ −=* 
 79
 
( )( ) 22222* BABjjABjABAjBAjBAZZ +=−+−=−+=× 
 
Portanto 
 
222* ZBAZZ =+=× 
 
Vamos repetir a demonstração, utilizando a fórmula polar: 
 
Seja θjeZZ = e θjeZZ −=* 
 
2202* 1 ZZeZeZeZZZ jjj =×==×=× − θθ
 
 
 
Divisão de números complexos 
 
a) Os números complexos estão expressos na forma cartesiana. 
 Seja a divisão: 
 
 jDC
jBAZ
+
+
= 
Multiplica-se o denominador e numerador pelo conjugado do denominador. Desta 
maneira chega-se ao resultado 
 
( )( )
( )( )
( ) ( )
22 DC
ADBCjBDAC
jDCjDC
jDCjBAZ
+
−++
=
−+
−+
= 
 
ou 2222 DC
ADBCj
DC
BDACZ
+
−
+
+
+
= 8-7 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 8-6 
Dividir os números 2 + j3 e 4 + j5 
Solução: 
 
Aplicando a expressão 8-7, resulta: 
 
2222 54
5243
54
5342
54
32
+
×−×
+
+
×+×
=
+
+
= jj
jZ
41
2
41
23 j+= 
 
ou 0488,0561,0 jZ += 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
b) Os números complexos estão expressos na forma polar. 
 
Neste caso, também aqui, a operação divisão se torna mais fácil: - Divide-se os 
módulos e subtrai-se os expoentes. Sejam os números: 
 
 80
1
11
θj
eZZ =
 
2
22
θj
eZZ =
 
 
( )21
2
1
2
1
2
1
2
1 θθ
θ
θ
−
==
j
j
j
e
Z
Z
eZ
eZ
Z
Z
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 8-7 
Dividir 330
pij
e por 65
pij
e 
 
Solução: 
 
66
1
3
1
63
6
3
66
5
30
5
30 pipipipi
pi
pi
jjj
j
j
eee
e
e
===






−





−
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Teorema 
Quando se divide um número complexo por outro, resulta um número complexo em que 
o módulo é o quociente dos módulos e o argumento é a diferença ente os argumentos 
 
Demonstração: 
 
Seja 11 jBA + = 11 θjeZ 
 
 22 jBA + = 22 θjeZ 
Dividindo membro a membro, resulta: 
 
 
( )21
2
1
2
1
2
1
22
11 θθ
θ
θ
−
==
+
+ j
j
j
e
Z
Z
eZ
eZ
jBA
jBA
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício – Calcular o módulo e fase do número complexo 
52
34
j
jZ
+
+
=
 
 
534 221 =+=Z rdtg 54,05
31
1 ==
−θ
 
 
 
38,552 222 =+=Z rdtg 19,12
51
2 ==
−θ
 
 
 
 81
93,0
38,5
5
==Z
 
( ) rdrd 65,019,154,0 −=−=θ
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 82
9 - DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES E CORRENTES EM 
CIRCUITOS CONTENDO RESISTORES, INDUTORES E 
CAPACITORES. 
 
Expressões matemáticas da corrente e da tensão na forma complexa 
 
Para o cálculo das tensões e das correntes em circuitos de corrente alternada, costuma-se 
expressar essas grandezas na forma complexa polar. 
 
Desta maneira, a corrente ( ) ( )ItIti θω += cos se expressa por 
 
 
IjIei θ= 
Neste caso, a amplitude ( )ti é igual ao módulo de i 
 
A fase inicial de ( )ti é igual ao argumento de i 
 
 
Da mesma forma, se tivermos a tensão ( ) ( )VtVtv θω += cos 
 
Então, VjVev θ= 
 
Amplitude de v(t) = Vv = 
 
Fase inicial de v(t) = ( )varg = Vθ 
 
Impedâncias 
 
Impedâncias são os parâmetros que substituem as resistências nos cálculos de circuitos 
de corrente alternada. São, também grandezas que são expressas com números 
complexos na forma polar. Seu símbolo matemático é a letra Z. 
 
Impedância de um resistor: 
 
RZ R =
0je 
 
Impedância de um indutor: 
 
2
pi
ω
j
L eLZ = 
 
Impedância de um capacitor: 
 
 
21
pi
ωj
C eC
Z
−
= 
 83
Tensão provocada por uma corrente que percorre uma impedância, Ver Fig. 9-1 
 
ZZv
i
 
 
 Fig. 9-1 
 
Seja ( ) ( )ItIti θω += cos 
 
Então IjIei θ= 
 
Usa-se a mesma lei de Ohm do caso de corrente continua. 
Entretanto, as três grandezas envolvidas são representadas por números complexos na 
forma polar. 
 
 iZvZ ×= 
 
Amplitude de ( ) iZvtv ZZ ×== 
 
Fase inicial de ( ) ( ) ( )iZvtv ZZ ×== argarg 
 
Portanto 
 
 
 
 
Exemplo 9-1: resistor 
 
 
IjIei θ= e RZ R =
0je 
 
II jjj
R IeRIeeRiZ
θθ ×=×=× 0 
 
IRiZ R ×=× 
 
( ) iR iZ θ=×arg 
 
Portanto 
 
 
 
Nota-se que a tensão fica em fase com a corrente 
 
Exemplo 9-2: indutor 
 
( ) ( )[ ]iZtiZtvZ ×+×= argcos ω 
( ) [ ]IR tIRtv θω +×= cos 
 84
 
IjIei θ= e 2
pi
ω
j
L eLZ = 
 






+
×=×=× 22
piθ
θ
pi
ωω
I
I
jjj
L IeLIeeLiZ 
 
ILiZ L ×=× ω 
 
( )
2
arg piθ +=× iL iZ 
 
Portanto 
 
 
 
 
 
Nota-se que a tensão fica com uma diferença de fase de + 90 grau em relação a corrente. 
 
 
Exemplo 9-3: capacitor 
 
 
IjIei θ= e 21
pi
ω
j
C eC
Z
−
= 
 






−
−
=×=× 22
1 piθθ
pi
ωω
I
I
jjj
C eC
IIee
C
iZ 
 
ωC
IiZC =× 
 
( )
2
arg piθ −=× iC iZ 
 
Portanto 
 
 
 
 
 
 Nota-se que a tensão fica com uma diferença de fase de - 90 grau em relação a corrente. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 9-1 
No indutor mHL 200= passa a corrente ( ) 





+=
3
100cos2 pittiL . Determinar a tensão 
( )tvL sobre esse indutor. 
( ) 



−+=
2
cos
piθω
ω IC
t
C
I
tv 
( ) 



++×=
2
cos
piθωω IL tILtv 
 85
 
Lv
i
L
 
Solução: 
AI 2= ; srd /100=ω ; rdI 3
piθ = 
 






+
=×= 3232
pipipipi
ωω
jj
L IeLIeeLv 
 
Amplitude de ( ) ILvtv LL ω== 40210010200 2 =×××= − volt 
 
Fase inicial de ( ) ( ) rdvtv LL 6
5
23
arg pipipi =+== 
Portanto: 
 
 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Associação de impedâncias em série. Ver fig. 9-2 
 
3Z
2Z
1Z
i
1v
2v
3v
Zv
 
 
 Fig. 9-2 
 
Neste caso, também vale a lei de Kirchhoff das tensões, ou seja: 
 
 321 vvvvZ ++= 
 
ou ( ) iZZZiZiZiZvZ ×++=×+×+×= 321321 
 
ou iZvZ ×= 
 
 
 onde 
( ) 





+=
6
5100cos40 pittvL 
321 ZZZZ ++= 
 86
Conclusão: - Impedâncias em série se somam. 
 
Amplitude de ( ) iZtvZ ×= 
 
Fase inicial de ( ) IZtvZ ×= arg( 
 
Exemplo 9-4 
Associação de R, L, e C em série 
 
Uma associação de um resistor R, em série com um iindutor L e um capacitor C é 
percorrida pela corrente ( ) ( )ItIti θω += cos . Determinar a tensão Zv indicada na 
figura abaixo. 
 
 
R
i
Zv L
C
 
 
Vimos, em capítulo anterior que a soma de números complexos é menos trabalhosa 
quando esses números estão na forma cartesiana, Portanto, vamos converter as 
impedâncias para a forma cartesiana. 
 
RZ R =
0je R= 
 
ωω
pi
jLeL j =2 
 
ωω
pi
C
j
e
C
j
−
=
−
21
 






−+=++=
ω
ω
C
LjRZZZZ 1321 
Exprime-se Z na forma polar 
 
2
2 1






−+=
ω
ω
C
LRZ 
 












−
=
−
R
C
L
tgZ
ω
ω
θ
1
1
 
 87
Resulta 
 
( )zItZ jjj
Z IeZIeeZv
θθθθ +×=×= 
 
 
Amplitude de ( ) IZvtv zz ×== 
 
Fase inicial de ( ) Ziz tv θθ += 
 
Resulta: 
 
 
 onde 
 
 
 
 e 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 9-2 
Uma associação série de impedâncias contem o resistor R = 60 ohm, o indutor 
mHL 200= e capacitor FC µ200= . Essa associação de componentes é percorrida 
pela corrente ( ) 





+=
3
100cos2 pitti . Determinar a tensão ( )tvZ sobre essa associação. 
Solução: 
AI 2= ; srd /100=ω ; rdI 3
piθ = 
 
2
6
32
10010200
11001020060 





××
−××+=
−
−Z Ω= 2,63 
 
( ) rdtgtgZ 46,05,060
10010200
110010200
1
6
3
1
−=−=












××
−××
=
−
−
−
−θ 
 
portanto 
 
( ) ( )48,0100cos4,12643,0
3
100cos22,63 +=





−+×= tttvZ
pi
 
 
 
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 
( ) ( )ZIZ tIZtv θθ ++×= 100cos 
2
2 1






−+=
ω
ω
C
LRZ 












−
=
−
R
C
L
tgZ
ω
ω
θ
1
1
 
( ) ( )48,0100cos4,126 += ttvZ 
 88
Corrente provocada por uma tensão aplicada a uma impedância, Ver Fig. 9-3 
 
Zv
Zi
 
 
 Fig. 9-3 
 
Seja ( ) ( )VtVtv θω += cos 
 
Então VjVev θ= 
 
Neste caso, aplicando a lei de ohm como no caso anterior, resulta 
 
 
Z
viZ = 
 
Amplitude de ( )
Z
viti ZZ == 
Fase inicial de ( ) ( ) 





==
Z
viti ZZ argarg 
 
Portanto 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9-5: resistor 
 
 
VjVev θ= e RZ R =
0je 
 
V
V j
j
j
e
R
V
eR
Ve
Z
v θ
θ
== 0 
 
R
V
Z
v
R
= 
 
V
RZ
v θ=





arg 
 
Portanto 
( ) 











+=
Z
v
t
Z
v
tiZ argcos ω 
 89
 
 
 
 
 
Nota-se que a corrente fica em fase com a tensão 
 
Exemplo 9-6: indutor 
 
 
VjVev θ= e 2
pi
ω
j
L eLZ = 
 






−
==
2
2
piθ
pi
θ
ω
ω
VV j
j
j
L
e
L
V
eL
Ve
Z
v
 
 
ωL
V
Z
v
L
= 
 
2
arg piθ −=





V
LZ
v
 
 
Portanto 
 
 
 
 
 
Nota-se que a corrente fica com uma diferença de fase de - 90 grau em relação a tensão. 
 
Exemplo 9-7: capacitor 
 
 
VjVev θ= e 21
pi
ω
j
C eC
Z
−
= 
 






+
−
==
2
21
piθ
pi
θ
ω
ω
VV jj
C
VeC
e
C
Ve
Z
v
 
 
VC
Z
v
C
ω= 
 
2
arg piθ +=





V
CZ
v
 
 
Portanto 
( ) 



−+=
2
cos
piθω
ω VL
t
L
V
ti 
( ) [ ]VR tR
V
ti θω += cos 
 90
 
 
 
 
 
 
Nota-se que a corrente fica com uma diferença de fase de + 90 grau em relação a 
tensão. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 9-3 
Sobre o indutor mHL 200= tem-se a tensão ( ) 





+=
6
5100cos40 pittv . Determinar a 
corrente ( )tiL que percorre esseindutor. 
 
v
Li
L
 
Solução: 
voltV 40= ; srd /100=ω ; rdV 6
5piθ = 
 






−
==
26
5
2
6
5
pipi
pi
pi
ω
ω
j
j
L eL
V
eL
Vei 
 
Amplitude de ( )
ωL
Viti LL == 210010200
40
3 =××
=
−
 ampere 
 
Fase inicial de ( ) ( ) rditi LL 326
5
arg pipipi =−== 
Portanto: 
 
 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Definição de admitância 
 
Admitância é o inverso da impedância. Seu símbolo matemático é a letra Y. 
 
Portanto 
 
 
Z
Y 1= 
 
( ) 



++=
2
cos
piθωω VC tVCti 
( ) 





+=
3
100cos2 pittiL 
 91
Desta maneira, para a resistência fica: 
 
R
YR
1
= 
 
Para a indutância fica 
 
ωjLYL
1
= 
 
Para a capacitância fica 
 
j
C
C
jYC
−
=
−
=
ω
ω
1
 
 
Demonstrar que jj −=
1
 e jj =−
1
 
 
jjjj
j
j
j
jj −=−=×
×
=×=
1
111
 
 
( ) j
j
jjj
j
j
j
jj ==−−=−=×−
×
=×
−
=
− 11
11111
2 
 
Conclusão: - Quando o operador j está no denominador, ele pode ser transferido para o 
numerador, com o sinal algébrico trocado. 
 
Portanto, as admtâncias do indutor e do capacitor assumem, também a forma 
alternativa: 
 
ωL
jYL
−
= e ωjCYC = 
 
Associação de impedâncias em paralelo. Ver fig. 9-4 
 
 
3Z2Z1Z
3i2i1i
v
Zi
 
 
 Fig. 9-4 
Neste caso, também vale a lei de Kirchhoff das correntes, ou seja: 
 
 92
 321 iiiiZ ++= 
 
ou v
ZZZZ
v
Z
v
Z
viZ ×





++=++=
321321
111
 
 
ou 
Z
v
v
Z
iZ =×=
1
 
 
 
 
onde 
 
 
ou 321 YYYY ++= 
 
onde 
Z
Y 1= e 
n
n Z
Y 1= 
Conclusão: - Em paralelo, os inversos das impedâncias se somam e resultam o inverso 
de uma única impedância equivalente. 
 
Podemos, também, dizer que, no arranjo paralelo, a admitância equivalente é igual a 
soma das admitâncias individuais. 
 
Portanto podemos concluir que 
 
vYiZ ×= 
 
onde 
321
111
ZZZ
Y ++= 
 
Amplitude de ( ) vYtiZ ×= 
 
Fase inicial de ( ) ( )vYtiZ ×= arg 
Exemplo 9-8 
Associação em paralelo de R e C 
 
Uma associação em paralelo de um resistor R e de um capacitor C está submetida à 
tensão ( ) ( )VtVtv θω += cos , Determinar a corrente Zi indicada na figura abaixo. 
 
R
Zi
v
C
 
 
321
1111
ZZZZ
++= 
 93
Vimos, em capítulo anterior que a soma de números complexos é menos trabalhosa 
quando esses números estão na forma cartesiana, Portanto, vamos utilizar as 
impedâncias na forma cartesiana. 
 
ωjC
R
Y += 1 
Passando Y para a forma polar, resulta 
( ) ( )ωω RCjtgeC
R
Y
12
21 −
+





= 
 
 
( ) ( ) VjRCjtgZ VeeCRvYi
θωω ×+





=×=
−12
21
 
 
ou ( ) ( )[ ]ωθω RCtgjZ VVeCRi
12
21 −+×+





= 
 
Portanto 
 
 
 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 9-4 
 
Sobre a associação em paralelo do resistor R = 60 ohm com o capacitor 
FC 610200 −×= , tem-se a tensão 





+=
3
100cos40 pitv . Determinar a corrente ( )tiZ 
fornecida por essa tensão. 
 
Solução 
( ) ( ) ( ) =



×××++×××+





=
−−− 1001020060
3
100cos4010010200
60
1 6126
2
tgttiZ
pi
 
 
[ ]rdtt 92,1100cos04,188,0
3
100cos04,1 +=



++=
pi
 
 
 
 
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
( ) ( ) ( )[ ]ωθωω RCtgtVC
R
ti VZ
12
2
cos
1
−++×+





= 
( ) [ ]rdttiZ 92,1100cos04,1 += 
 94
Associação de indutores em série 
 
Seja o circuito da fig. 9-5 
 
 
1L 2L
 
 
 
 Fig. 9-5 
 
Dada uma freqüência ω , a impedância total fica: 
 
 ( )ωωω 212121 LLjjLjLZZZ +=+=+= 
 
 
( )ω21 LLjZ += ωjL= 9-1 
 
 onde 21 LLL += 9-2 
 
As expressões 9-1 e 9-2 mostram que dois indutores em série equivalem a um único 
indutor cujo valor é a soma dos indutores individuais. 
Podemos generalizar dizendo que n indutores em série equivalem a um único indutor 
cujo valor é a soma dos n indutores individuais. 
 
Capacitores em série 
 
Seja o circuito da fig. 9-6 
 
 
1C 2C
 
 
 
 Fig. 9-6 
 
Dada uma freqüência ω , a impedância total fica: 
 
 
 





+
−
=
−
+
−
=+=
2121
21
11
CC
j
C
j
C
jZZZ
ωωω
 
 
 
C
j
C
j
CC
jZ
ωωω
−
=×
−
=





+
−
=
111
21
 
 
onde 
21
111
CCC
+= 9-3 
 
 
 95
ou 
22
21
CC
CCC
+
= 9-4 
 
As expressões 9-3 mostra que dois capacitores em série equivalem a um único 
capacitor cujo inverso de seu valor é igual a soma dos inversos dos valores dos 
capacitores individuais. 
 
Podemos generalizar dizendo que n capacitores, 1C , 2C , ......... nC em série, equivalem 
a um único capacitor C cujo inverso do valor obedece a expressão: 
 
nCCCC
1
..........
111
21
+++= 
------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 9-5 
Os circuitos (a) e (b) são equivalentes. Determinar L e C. 
 
F61030 −×
F61020 −×
H30H10
C
L
(a) (b)
 
Solução: 
 
HLLL 40301021 =+=+= 
 
F
CC
CCC 666
66
21
21 1012
10201030
10201030
−
−−
−−
×=
×+×
×××
=
+
= 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Associação de indutores em paralelo 
 
Seja o circuito da fig. 9-7 
 
 
2L1L
 
 
 Fig. 9-7 
 
Supondo que o sinal elétrico possui uma freqüência ω , as impedâncias destes indutores 
são: 
 
 96
ω11 jLZ = e ω22 jLZ = 
 
Suas admitâncias são: 
 
ω1
1
1
jLY = e ω22
1
jLY = 
 
A admitância equivalente é igual à soma das admitâncias individuais: 
 
LjLLjjLjLY
1111111
2121
×=





+=+=
ωωωω
 
 
Portanto 
LjY ω
1
= 
 
onde 
21
111
LLL
+= 
 
Generalização: - Se houver n indutores em paralelo, eles podem ser substituídos por um 
único indutor L cujo valor inverso é igual a soma dos valores inversos dos n indutores 
individuais.nLLLLL
11111
321
+⋅⋅⋅⋅⋅+++= 
 
Associação de capacitores em paralelo 
 
Seja um circuito formado por n capacitores em paralelo. Ver Fig. 9-8. 
 
 
1C nC3C2C
 
 
 Fig. 9-8 
 
As admitâncias individuais desses componentes são: 
 
11 CjY ω= , 22 CjY ω= , 33 CjY ω= , ------------, nn CjY ω= 
 
 
A admitância equivalente fica: 
 
nYYYYY +⋅⋅⋅⋅+++= 321 
 
 97
ou ( )nCCCCjY +⋅⋅⋅⋅⋅+++= 321ω 
 
ou CjY ω= 
 
onde nCCCCC +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++= 321 
 
Conclusão; - Quando se tem n capacitores em paralelo este conjunto equivale a um 
único capacitor cujo valor da capacitância é igual ao valor da soma das capacitâncias 
individuais. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 9-6 
Supondo que os circuitos abaixo são equivalentes, determinar os valores de L e C. 
 
 
L
Fµ10
H3 H1
Fµ25 C
 
 
Solução: 
 
21
12
21
111
LL
LL
LLL
+
=+= 
 
H
LL
LL
L 75,0
13
13
21
21
=
+
×
=
+
= 
 
FFFCCC µµµ 35251021 =+=+= 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 98
10 – RESOLUÇÃO DR CIRCUITOS QUE CONTÊM 
COMPONENTES RESISTIVOS E REATIVOS 
 
Procedimentos 
 
1 – Desenha-se o circuito indicando as impedâncias dos componentes na forma 
cartesiana 
 Seja o circuito da fig. 10-1 por exemplo 
 
 
( )te
R
ωjL C
j
ω
− ( )tv
( )ti
 
 
 Fig. 10-1 
 
2- Redesenha-se o circuito substituindo suas a impedâncias complexas pelos símbolos 
nZ . Ver fig. 10-2 
 
 
e v
i
1Z
2Z 3Z
 
 
 Fig. 10-2 
 
Note-se que RZ =1 , ωjLZ =2 e ωC
jZ −=3 
 
3 – Calcula-se como se o circuito fosse de corrente contínua 
 
 
32
32
1 ZZ
ZZ
Z
ei
+
+
= 
 
ou 
( )
323121
32
ZZZZZZ
ZZe
i
++
+
= 
 99
32
32
1
32
32
32
32
ZZ
ZZ
Z
ZZ
ZZ
e
ZZ
ZZ
iv
+
+
+
=
+
×= 
 
ou 
323121
32
ZZZZZZ
ZeZ
v
++
= 
 
4 – Substitui-se, na fórmula de v, os 
nZ pelos respectivos valores complexos 
Em nosso exemplo fica 
 
RZ =1 , ωjLZ =2 e ωC
jZ −=3 
 
5- Determina-se as amplitudes e as fases iniciais dos parâmetros calculados: 
 
A amplitude de ( )ti é i 
A fase inicial de ( )ti é ( )iarg 
A amplitude de ( )tv é v 
A fase inicial de ( )tv é ( )varg 
 
Consideração sobre a tensão da fonte de tensão alternada 
 
Normalmente, considera-se a fase inicial, da fonte de tensão, igual a zero. Desta 
maneira, se sua amplitude for E volt e sua frequência for ω radiano por segundo 
teremos: 
 
( ) tEte ωcos= 
Na forma complexa fica 
 
EEee j == 0 , 
 
Em nosso exemplo de circuito teríamos: 
 
 
( )
323121
32
ZZZZZZ
ZZE
i
++
+
= e 
323121
32
ZZZZZZ
ZEZ
v
++
= 
 
Determinação de ( )ti e de ( )tv no circuito exemplificado 
 
 
 
 
 
 
 
 100
C
L
C
RjjRL
C
jjLE
i
+−






−
=
ω
ω
ω
ω
1
 
 
Após algumas manipulações algébricas, chega-se à expressão 
 
 
 
 
 
 
 
 
C
L
C
RjjRL
C
LE
v
+−
=
ω
ω
 
 
Após algumas manipulações algébricas, chega-se à expressão 
 
 
 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 10-1 
No circuito exemplificado tem-se 
 
voltE 70= , rd300=ω , Ω= 60R , 200=L mH e FC µ200= 
 
Determinar ( )ti e ( )tv 
 
 ( )
( )1300102002,0603002,0
1300102002,070
26
26
−××××+×
−××××
=
−
−
j
ji 
 
ou 
21660
182
j
ji
+
= 
 
Passando para a forma polar fica 
 
 
3,1
2
60
216
22
2
2,224
182
21660
182
1 e
e
e
ei
j
jtg
j pipi
=
+
=
−
 
( )
( )1
1
2
2
−+
−
=
ωω
ω
LCjRL
LCjEi 
( )12 −+= ωω
ω
LCjRL
EL
v 
 101
ou 
2,224
182
3,1
2






−
=
pij
ei 
 
ou 27,081,0 jei = 
 
 Portanto 
 
 
 
 
 
b) ( )12 −+= ωω
ω
LCjRL
EL
v 
 
( )1300102002,0603002,0
3002,070
6
−××××+×
××
=
−jv 
 
ou 
21660
4200
jv += 
 
Passando para a forma polar fica 
 
 3,1
0
60
216
22
0
2,224
4200
21660
4200
1 j
j
jtg
j
e
e
e
e
v =
+
=
−
 
 
ou 3,17,18 −= ev 
 
Portanto 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )rdtti 27,0300cos81,0 += ampere 
( ) ( )rdttv 3,1300cos7,18 −= volt 
 102
11 – TRANSFORMADORES 
 
 
O transformador é um componente elétrico onde se tem dois ou mais indutores 
enrolados no mesmo núcleo. Os transformadores usados em eletrotécnica utilizam 
sempre núcleos fechados. 
Vimos que a intensidade do campo magnético, além de depender da intensidade da 
corrente elétrica, depende, também, da grandeza física chamada de permeabilidade 
relativa do núcleo. Este parâmetro tem como símbolo rµ . 
Os núcleos dos transformadores, são ligas metálicas onde se tem, em maior 
porcentagem, o elemento ferro. Em eletro-técnica o material mais empregado é uma 
liga ferro-silício, onde se tem 4 % de silício e 96 % ferro. Neste caso, 900≈rmµ . 
Na fig. 11-1 vemos um núcleo fechado onde se construiu dois indutores. 
 
 
pL
sLpN sN
 
 
 Fig. 11-1 
 
O valor de um indutor, construído com núcleo fechado, como mostrado nessa figura, 
obedece à fórmula matemática: 
 
 
l
NSL rm
2
7104 ××= − µpi [ ]Henry 11-1 
 
Nesta expressão tem-se: 
l = comprimento do trajeto total, das linhas do fluxo, no núcleo fechado. Sua unidade 
deve ser metro. 
S = área da secção do núcleo em 2m . 
N= quantidade de espiras 
----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 11-1 
Um indutor, construído em núcleo fechado, como mostrado fig. 11-1, foi enrolado com 
200 espiras. Seu núcleo possui 900=rmµ . O comprimento do trajeto das linhas do 
fluxo magnético, nesse núcleo, é ml 1,0= . A área de sua secção é 24104 mS −×= . 
Determinar o valor desse indutor. 
 
1,0
200104900104
24
7 ××××=
−
−piL H181,0= 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
 103
Influência do número de espiras no valor do indutor. 
 
Observe-se, na fórmula 11-1, que o valor do indutor é proporcional ao quadrado do 
número de espiras. 
Na fig. 11-1 chamamos de pL um indutor e de sL o outro. Se o indutor pL tiver pN 
espiras e o indutor sL contiver sN espiras, então seus valores obedecem as fórmulas: 
 
 
l
NS
L prmp
2
7104
×
×= − µpi 11-2 
 
 
l
NSL srms
2
7104 ××= − µpi 11-3 
 
Dividindo 11-3por 11-2, resulta: 
 
 2
2
p
s
p
s
N
N
L
L
= 11-4 
ou 
p
s
p
s
N
N
L
L
= 11-5 
 
Indução eletromagnética 
 
Na fig. 11-2 acrescentamos um gerador de tensão alternada, que é conectado ao 
indutor pL , de tal maneira a fornecer uma tensão 1v entre seus terminais. Esta tensão 
produz uma corrente 1i . Esta corrente, ao percorrer as espiras de pL , produz linhas de 
campo magnético alternado. O trajeto, destas linhas, passa pelo interior das espiras do 
indutor 
sL . Esse campo magnético alternado no interior de sL , faz aparecer, nos 
terminais deste indutor, uma tensão 2v . Se este indutor está ligado a um resistor 2R , será 
produzida, nesta resistência, uma corrente 2i . A tensão 2v e a corrente 2i são, 
respectivamente, tensão e corrente induzidos no enrolamento de
sL . 
 
 
Linha do fluxo magnético alternado
1i
sL
SR
pL 2R1
v
2v
2i
e
 
 
 
 Fig. 11-2 
 
 104
Fator de acoplamento. 
 
Um dispositivo como o mostrado na fig. 11-2, é classificado como acoplamento de 
circuitos. O circuito que contem o indutor pL é chamado de circuito primário. O outro 
circuito, que contém o indutor sL , é o circuito secundário. 
Em uma situação ideal, todas as linhas de fluxo magnético, geradas em pL , passariam 
pelo interior do enrolamento de sL . Chamando pΦ o conjunto de linhas magnéticas 
geradas em pL , e sΦ o conjunto de linhas magnéticas que passam pelo interior de sL , 
teríamos, então: 
 
 
 ps Φ=Φ 
 
Entretanto, na situação real, uma pequena parte das linhas magnéticas geradas em pL , 
passa por fora do enrolamento do indutor sL . Isto resulta ps Φ<Φ . 
Define-se o fator de acoplamento como sendo: 
 
 
 
p
sk
Φ
Φ
=
 
 
Portanto, idealmente poderíamos ter 1=k . Em situações reais tem-se 1<k . 
Entretanto, existe uma construção mais eficiente para aumentar o fator de acoplamento. 
Esta construção está mostrada na fig. 11-3. 
 
 
 
 Fig. 11-3 
 
Neste arranjo, os dois enrolamentos estão sobrepostos, na mesma posição, no núcleo. 
Nesta situação quase todas as linhas de campo magnético, geradas pelo enrolamento 
primário, estão também no interior do enrolamento secundário. Com isto, pode-se 
atingir valores de k da ordem de 0,98. Neste caso podemos usar a aproximação: 
 
 1≈k 
 
 105
Indutância mútua 
 
A indutância mútua é um parâmetro que obedece a expressão: 
 
 sp LLkM = 
 
Em uma freqüência ω ela produz a impedância reativa: 
 
 ωjMX M = 
 
Nos desenhos de circuitos elétricos, os dois circuitos acoplados seguem o esquema 
mostrado na fig. 11-4. Costuma-se indicar o início de cada enrolamento por um ponto, 
com se vê nessa figura 11-4. Os pontos indicam o início de cada enrolamento. 
 
 
MSR
e
pL sL R1v
 
 
 Fig. 11-4 
 
Equação de malha para circuitos acoplados 
 
A fig. 11-5 mostra o esquema que usaremos para o estabelecimento das equações de 
malhas. Vamos supor que a tensão 1v possui forma senoidal com freqüência ω . 
 
 
M
pL
sL
R1v 1
i
2i 2v
 
 
 
 Fig. 11-5 
 
Neste caso as equações de malhas ficam: 
 
 Circuito primário: 
 
 
0211 =−+− ijMijLv p ωω 
ou 121 vijMijLp =− ωω 
 106
 Circuito secundário: 
 
 01222 =−+ ijMiRijLs ωω 
 
Portanto temos o sistema de duas equações: 
 
 121 vijMijLp =− ωω (Circuito primário) 
 
 ( ) 0221 =++− iRjLijM sωω (Circuito secundário) 
 
Resolvendo-se este sistema, de duas equações e duas incógnitas, chega-se ao resultado: 
 
 
( )
2
12
1 RjL
vRjLi
p
s
ω
ω +
= 11-6 
 
 
2
222
1
2 RjLLLM
vjMi
psp ωωω
ω
+−
×
=
 11-7 
 
As amplitudes de ( )ti1 e ( )ti2 são, respectivamente, 1i e 2i 
As fases iniciais de ( )ti1 e ( )ti2 são, respectivamente ( )1arg i e ( )2arg i 
 
Transformador ideal 
 
Quando se tem dois circuitos acoplados, o dispositivo pode ser considerado um 
transformador ideal se, entre outras exigências, obedecer duas condições: 
 
1 – O fator de acoplamento precisa ser unitário: 
 
 1=k 
 
 2 – A reatância do indutor do circuito secundário deverá ser infinitamente maior do 
que a resistência de carga 2R . 
 
 2RLs >>ω 
 
 
 Tensão transferida do primário para o secundário no transformador ideal. 
 
A expressão 11-7 pode ser reescrita na forma: 
 
 
2
222
1
2 RjLLLLLk
vLLjk
i
pspsp
sp
ωωω
ω
+−
×
= 
 
Como k = 1, tem-se 
 
 107
 
2
22
1
2 RjLLLLL
vLLj
i
pspsp
sp
ωωω
ω
+−
×
= 
2
1
RL
vL
p
s
×
×
= 
 
ou 
2
1
2 R
v
L
L
i p
s ×
= 11-8 
 
Vamos supor que sobre o resistor 2R existe uma tensão 2v . Ver fig. 11-5. 
 Então a corrente 2i fica: 
 
 
2
2
2 R
vi = 11-9 
 
Substituindo 11-9 em 11-8, teremos: 
 
 
2
1
2
2
R
v
L
L
R
v p
s ×
= 
 
ou 12 vL
L
v
p
s ×= 
 
Mas, de acordo com a equação 11-5, sabemos que 
p
s
p
s
N
N
L
L
= 
Portanto: 
 
 
 12 vN
N
v
p
s ×= 11-10 
 
 
 
Conclusão: Em um transformador ideal, a condição k = 1, faz com que a tensão 
induzida no secundário seja igual à tensão do primário multiplicada pela relação entre 
os números de espiras do enrolamento secundário para o primário. 
 
A expressão 11-10 permite que se calcule, também, a tensão no primário quando se 
conhece a tensão no secundário: 
 
 11-11 
 
 
 
 
21 vN
N
v
s
p
×= 
 108
Corrente transferida do primário para o secundário no transformador ideal. 
 
A expressão 11-6 pode ser reescrita na forma polar: 
 
 
 
( )
2
2
1
22
2
1
1
ReL
veLR
i
j
p
j
s
×







×



 +
=
pi
θ
ω
ω
 onde 
2
1
1 R
L
tg sωθ −= 
 
Se a condição 2RLs >>ω for obedecida, então ficam válidas as aproximações: 
 
 ( ) ωω ss LLR≈+ 222 e 21
piθ ≈ 
 
Portanto: 
 
2
1
2
1
2
2
1
2
1 R
v
L
L
RL
vL
ReL
veL
i p
s
p
s
j
p
j
s
×
=
×
×
=
×







×
≈
pi
pi
ω
ω
 
 
Mas, de acordo com as expressões 11-4 e 11-11 sabemos que 
 
 2
2
p
s
p
s
N
N
L
L
= e 21 vN
N
v
s
p
×= 
 
Portanto 
 
 
2
2
2
22
2
1 R
v
N
N
R
v
N
N
N
N
i p
s
s
p
p
s
=
×
≈ 
 
Mas, vimos que 
2
2
2 R
vi = 
Portanto, 
 
 21 iN
N
i
p
s
≈ 
 
Conclusão: Em um transformador ideal, a condição adicional ωsL infinitamente maior 
do que 2R , faz com que a corrente que percorre o enrolamento primário seja igual a 
corrente do secundário multiplicada pela relação entre os números de espiras do 
enrolamento secundário para o primário: 
 
 109
 
 
 21 iN
N
i
p
s
= 11-12 
 
 
Também podemos dizer que: 
 
 12 iN
N
i
s
p
= 11-13 
 
Os transformadores práticos são construídos satisfazendo as condições para que seu 
comportamento fique bem próximo de um transformador ideal, podendo ser 
desprezadas as diferenças entre um e outro. 
 
É facilmente demonstrável que as relações expressas pelas igualdades 11-10, 11-11, 
11-12 e 11-13 são válidas tanto para valores instantâneo como para os valores de 
amplitudes como, também, para valores eficazes. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 11-2 
Um transformador possui uma tensão eficaz, no secundário, de 110 volt. A quantidade 
de espiras do primário e a do secundário são, respectivamente, 1000 e 100. Determinar a 
tensão eficaz no primário. 
Solução: 
 
s
p
eficaz
eficaz
N
N
V
V
=
−
−
2
1
 ou 
100
1000
110
1
=
−eficazV
 
 
Portanto voltV eficaz 1100100
1000110
1 =
×
=
−
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 11-3 
Um transformador possui uma corrente eficaz, no secundário, de 1 ampere. As 
quantidades de espiras, do primário e do secundário, são respectivamente, 1000 e 100. 
Determinar a corrente eficaz no primário. 
Solução: 
p
s
eficaz
eficaz
N
N
I
I
=
−
−
2
1
 ou 
1000
100
1
1
=
−eficazI
 
 
Portanto ampereI eficaz 1,01000
1001
1 =
×
=
−
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 11-4 
Um transformador possui, no secundário, uma tensão eficaz de 110 volt sobre uma 
resistência de carga de =2R 100 ohm. Nele tem-se 100=
s
p
N
N
. Determinar: 
a) A corrente eficaz no enrolamento secundário. 
 110
b) A potência média entregue à carga do secundário. 
c) A tensão do primário. 
d) A corrente eficaz no enrolamento primário. 
e) A potência média entregue ao enrolamento primário. 
f) A relação entre as potências no primário e no secundário 
Solução: 
a) Seja 2V e 2I as amplitudes respectivas da tensão e da corrente do secundário. 
Neste caso: 
 
2
2
2 R
V
I = ou 
2
2
2
2
2
R
V
I eficazeficaz
−
−
×
=× 
ou 
2
2
2 R
V
I eficazeficaz
−
−
= 
 
Portanto: amperevoltI eficaz 1,1100
110
2 =Ω
=
−
 
 
b) WattVIP eficazeficaz 1211101,12202 =×=×= −− 
 
c) 
s
p
eficaz
eficaz
N
N
V
V
=
−
−
2
1
 
 
ou 100
110
1
=
−eficazV
 ou voltV eficaz 000.111001101 =×=− 
 
d) 01,0
100
11
===
s
pp
s
N
NN
N
 
 
p
s
eficaz
eficaz
N
N
I
I
=
−
−
2
1
 ou 01,0
1,1
1
=
−eficazI
 ou ampereI eficaz 011,01,101,01 =×=− 
 
e) WattVIP eficazeficaz 12111000011,01101 =×=×= −− 
 
f) WPP 1210201 == ou 1121
121
02
01
==
P
P
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Conclusão: - O exercício 11-4 demonstrou que a potência média entregue a uma 
resistência de carga colocada no secundário de um transformador é igual a potência que 
o gerador envia para o primário do transformador. Portanto, o transformador ideal não 
consome potência do gerador. Ele apenas transfere a potência para a carga no 
secundário. 
 
 
 
 111
Perdas de energia em um transformador não ideal 
 
Na prática, os fios, dos enrolamentos do transformador, não são condutores perfeitos. 
As correntes elétricas, ao percorrerem esses fios, acarretam potência em suas 
resistências. Desta maneira é produzida dissipação de energia nesses enrolamentos. 
Além disto, no núcleo do transformador aparecem correntes induzidas conhecidas como 
correntes de Foucault. Como o núcleo, também é resistivo, existe dissipação adicional 
de energia nesse componente do transformador. Isto faz com que, em um transformador 
não ideal, a potência entregue em seu enrolamento primário seja maior do que a 
potência que é realmente entregue à resistência de carga conectada em seu secundário. 
Neste caso diz-se que o transformador possui perdas, não desprezíveis, de potência. 
A qualidade do transformador é quantizada por meio do rendimento energético: 
 
 
η =
Potência sobre a carga no secundário
Potência entregue ao primário
 
 
 ou 02
01
P
P
η = 
Consegue-se, sem grandes dificuldades, construir transformadores com rendimento 
maior do que 90 %. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 11-5 
Em um transformador não ideal tem-se, no secundário, uma tensão 2 10eficazV v− = sobre 
um resistor Ω= 1002R . Determinar a potência na carga do secundário e aquela 
entregue no primário sabendo-se que 0,95η = . 
Solução: 
 
2 2
2
02
2
10 1
100
eficazVP W
R
−
= = = 
02
01
P
P
η = 
 
02
01
1 1,05
0,95
PP W
η
= = ≈ 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Nota 
Neste primeiro curso de eletricidade por simplicidade, consideraremos 
transformadores com perdas desprezíveis. Estudos mais completos se encontram em 
cursos e livros técnicos mais especializados nesse componente elétrico. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 11-6 
Vamos considerar que um transformador, com perdas desprezíveis, se comporta, 
aproximadamente, como ideal quando 1≈k e 210 RLs ×=ω , onde 2R é a carga do 
secundário. 
 112
Determinar sL e pL sabendo-se que, Ω= 1002R , 50
2
1
=
−
−
eficaz
eficaz
V
V
 e srd /377=ω . 
Solução: 
 
a) 210 RLs ×=×ω 
 
ou Ω×=× 10010377sL 
 
HenryLs 65,2377
10010
=
×
= 
 
50
2
1
==
−
−
eficaz
eficaz
s
p
V
V
N
N
 
 
2






=
s
p
s
p
N
N
L
L
 
 
ou 250
65,2
=
pL
 
PortantoHenryLp 63,65065,2 2 =×= 
------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Principal aplicação de transformadores na eletrotécnica. 
 
Na eletrotécnica, o transformador é aplicado, principalmente, para diminuir as perdas de 
energia na linha de transmissão que transporta a eletricidade para os consumidores. 
Dada uma corrente elétrica eficazI e uma resistência linhaR dessa linha de transmissão, 
sabemos que a potência média nessa resistência da linha é dada por: 
 
2
0 linha eficaz linhaP I R− = × 
Essa potência acarreta energia 2n linha eficaz linhaE I R t− = × × que é dissipada na resistência 
dessa linha. Como isto é uma perda parcial da energia gerada pela concessionária, 
dizemos que 0 linhaP − é a potência perdida na linha de transmissão. 
Vemos que, quanto menor for eficazI , menor será a perda de energia perdida na linha de 
transmissão. 
Vamos supor que uma comunidade deve receber, da concessionária, uma tensão 
eficazV −2 . Seja eficazI −2 a corrente consumida por essa comunidade. Ver fig. 11-6. 
Se for usado um transformador com relação de espiras 
s
p
N
N
 teremos, no primário desse 
transformador, a corrente eficaz
p
s
eficaz IN
NI
−−
= 21 e a tensão eficaz
s
p
eficaz VN
N
V
−−
= 21 . 
 
 113
 
2
linhaR
pN sNeficazV −1 ComunidadeeficazV −2
eficazI −2eficazI −1
2
linhaR
 
 
 Fig. 11-6 
 
Se esse transformador for construído com sp NN > , a corrente do primário será menor 
do que a do secundário. Neste caso, a energia perdida na linha de transmissão será 
menor. Em compensação a tensão do primário será maior do que a do secundário, na 
mesma proporção. Isto requer maior cuidado na isolação dessa linha de transmissão em 
relação ao ambiente. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 11-7 
Uma concessionária de energia elétrica fornece, para uma indústria, no secundário de 
um transformador, a tensão e a corrente eficazes de 220 volt e 100 ampere 
respectivamente. Sabe-se que no enrolamento primário passa a corrente de 1 ampere. 
Determinar: 
a) A relação de espiras 
s
p
N
N
 desse transformador. 
b) A tensão eficaz no primário desse transformador. 
 
Solução: 
 
p
s
eficaz
eficaz
N
N
I
I
=
−
−
2
1
 ou 
s
p
eficaz
eficaz
N
N
I
I
=
−
−
1
2
 
 
Portanto 100
1
100
==
ampere
ampere
N
N
s
p
 
 
b) 
s
p
eficaz
eficaz
N
N
V
V
=
−
−
2
1
 ou 100
220
1
=
−eficazV
 
 
voltV eficaz 000.221002201 =×=− 
-------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 11-8 
Com referência ao exercício 11-7, vamos supor que a resistência da linha de transmissão 
é 0,1 ohm. Comparar a potência perdida na linha nas situações: 
a) Sem usar o transformador. 
b) Usando o transformador. 
 
Solução: 
a) A concessionária transmite pela linha 2 220eficazV v− = e 2 1eficazI A− = 
 114
2
0 2linha eficaz linhaP I R− −= × = ( ) WA 10001,0100 2 =× 
b) A concessionária transmite pela linha 1 22.000eficazV v− = e AI eficaz 11 =− 
 
2
0 1linha eficaz linhaP I R− −= × = W1,01,01
2
=× 
 
Conclusão: - O uso desse transformador diminuiu de 10.000 vezes a perda de energia na 
linha de transmissão. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Resistência refletida do secundário para o primário. 
 
Sabemos, pela lei de Ohm, que uma tensão com amplitude V, sobre uma resistência R, 
produz uma corrente com amplitude I dada por: 
 
R
VI = 
Dessa expressão podemos concluir que, se conhecermos as amplitudes da tensão e da 
corrente, poderemos calcular o valor da resistência por meio da equação: 
 
 
I
VR = 
Chamando de 2V e 2I as amplitudes da tensão e da corrente na resistência 2R do 
secundário, essas grandezas obedecem a fórmula: 
 
2
2
2 I
V
R = 11-14 
A resistência que o gerador enxerga no primário do transformador é: 
 
1
1
1 I
V
R = 11-15 
onde 1V e 1I são, respectivamente, as amplitudes da tensão e corrente no enrolamento 
primário. Ver Fig. 11-7. 
 
1R pN sN 2R1
V
1I 2I
2V
 
 
 Fig. 11-7 
 
Dividindo membro a membro 11-15 por 11-14, tem-se: 
 
 
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
I
I
V
V
V
I
I
V
R
R
×=×= 11-16 
 
Mas, 
s
p
N
N
V
V
=
2
1
 e 
s
p
N
N
I
I
=
1
2
 11-17 
 115
 
Substituindo as igualdades 11-17 em 11-16, resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exercício 11-9 
Um transformador possui uma resistência de 50 ohm colocada em seu secundário. 
Determinar a resistência vista no primário, sabendo-se que 10=
s
p
N
N
. 
Solução: 
 Ω=×=





= 50001050 2
2
21
s
p
N
N
RR 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Principal aplicação do transformador em circuitos eletrônicos 
 
Vimos que a potência que o gerador entrega ao primário de um transformador ideal é a 
mesma que é transferida para o secundário desse transformador. 
Vimos, também, que a potência máxima fornecida por um gerador, de resistência 
interna SR , para uma resistência externa CR , acontece quando SC RR = . 
Quando uma resistência externa 2R for diferente de SR , pode-se usar um 
transformador que produz no primário a resistência 1R tal que SRR =1 . Neste caso, o 
gerador fornecerá a potência máxima para o primário do transformador. O 
transformador transfere essa máxima potência para a resistência 2R . Diz-se que o 
transformador proporcionou o casamento de impedância entre o gerador e a carga 
externa. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 11-10 
Um gerador com força eletromotriz vEeficaz 220= e resistência interna Ω= 100SR , 
deve fornecer energia para uma resistência Ω= 102R . Calcular: 
a) A potência enviada para 2R quando não se usa transformador para o casamento 
de impedâncias. 
b) A potência enviada para 2R quando se usa transformador para o casamento de 
impedâncias. 
c) Determinar a relação de espiras do transformador usado para o casamento de 
impedâncias. 
 
Solução: 
 
a) A corrente produzida no circuito fica: 
2
2
1






=
s
p
N
N
R
R
 
 116
 A
RR
E
I
S
eficaz
eficaz 210100
220
2
2 =+
=
+
=
−
 
 
A potência na carga resulta: 
 
 WRIP eficaz 40102
2
2
2
20 =×=×= − 
b) O transformador oferece para o gerador a resistência SRR =1 Ω= 100 
Portanto, a corrente no primário fica: 
 
A
RR
E
I
S