Aula05 FisicaA graficos

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AULA 05
Curso: ENGENHARIA ELÉTRICA Ano: 2015-2° semestre
Disciplina: Física A (Cinemática e Estática) Turma: 
PRO115ANProfessor: Cristiane Loesch de Souza Costa
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO MOVIMENTO
Referencial 
- conjunto de tres eixos ortogonais. 
- deve-se estabelecer como o sistema de tres eixos ortogonais está disposto em relação 
aos corpos que participam do fenomeno que se quer descrever.
POSIÇÃO
- conceito está associado à idéia de lugar.
- no referencial escolhido, a posição de um ponto P, por exemplo, é dada por tres números 
x, y e z, chamados de coordenadas de posição do ponto P. Noutro referencial, a posição 
do ponto P é dada por outros tres números x’, y’ e z’.
Gráfico Posição x Tempo
 Na figura, cada ponto (representado por um pequeno quadrado) está associado a um instante de
tempo e é correspondente à posição do móvel considerado.
VELOCIDADE MÉDIA
A velocidade média num certo intervalo de tempo é o cociente do deslocamento pelo intervalo de
tempo levado para percorre-lo. Como o deslocamento é um vetor, a velocidade média também é
um vetor.
A partir do gráfico observamos que o módulo da velocidade média entre os instantes de tempo t1
e t2 pode ser obtido seguindo os seguintes passos:
• Marcamos, no gráfico, os pontos correspondentes aos instantes de tempo dados. Como 
A e B na figura acima.
• Traçamos um segmento de reta secante ao gráfico unindo os pontos marcados.
• Construimos um triângulo retângulo tendo esse segmento de reta secante como 
hipotenusa.
 Como o triângulo ABC na figura acima.
• Estabelecemos, pela observaçõao direta do desenho, os valores de x e t.
• Calculamos o cociente de x por t e o resultado é o módulo da velocidade média entre os
 instantes de tempo considerados.
*** Trigonometria no triangulo retangulo sen x ; cos x e tg x 
Logo, o módulo da velocidade média pode ser escrito: v(t1,t2) = tg α
Exemplo 1
Com relação ao movimento de um móvel, consideremos os instantes de tempo t1 = 3 s e t2 = 8 s.
A esses instantes de tempo correspondem, respectivamente, as posições x1 ≈ 10,0 cm e x2 ≈
70,0 cm. Essas posições são determinadas a partir do gráfico posição x tempo (acima). O módulo
da velocidade média do móvel nesse intervalo de tempo é:
v(3s,8s) ≈ (70 m – 10 m) / (8 s – 3 s) = 12,0 cm/ s
Assim, a velocidade média do móvel entre 3,00 s e 8,00 s tem módulo de 12,0 cm/s. 
Em outras palavras, para cada segundo, o movel percorre, em termos médios, doze centímetros.
Como o resultado é positivo, o sentido do vetor velocidade média é o mesmo que o do eixo X
escolhido. A direção é certamente, aquela do eixo X.
Exemplo 2
Consideremos outro movimento do móvel, com posição x1 = 100 cm em t1 = 1s e x3 = 80 cm em
t3 = 9s. O módulo da velocidade média do móvel no intervalo de tempo que vai desde t1 = 1s até
t3 = 9s é:
v(1s,9s) = (80 cm - 100 cm)/(9 s 1s) = -2.5 cm/s
O sinal negativo indica que o sentido do vetor velocidade média oposto ao sentido do eixo X
escolhido. Mas a direção é, certamente, aquela do eixo X.
Velocidade Escalar Média
Podemos definir também a velocidade escalar média (vE) como a razão entre a distância
percorrida, em um intervalo de tempo, pelo intervalo de tempo para percorrê-la.
=> No caso do exemplo 1 acima: a velocidade escalar média tem o mesmo valor que o
 módulo da velocidade média. 
=>No caso do exemplo 2 acima, o mesmo não acontece porque: 
 Ve=(50 cm + 30 cm)/(9s-1s) = 10 m/s
 A velocidade escalar média como o nome indica é um escalar, positivo 
 (não toma o sentido do movimento)
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME
Móvel com velocidade constante. 
Exemplo, um automóvel numa estrada retilínea, cuja velocidade, num referencial fixo na estrada, é
mantida constante em 72 km/h durante 1 minuto.
Esse móvel percorre deslocamentos iguais em intervalos de tempo iguais (Fig.(a) ). E se a
trajetória for retilínea, dizemos que o móvel está em MRU, ou seja, em movimento retilíneo
uniforme.
Módulo da velocidade média:
(cte)
Posição de um móvel em MRU
ou seja,
Gráfico do módulo da velocidade X tempo = reta paralela ao eixo dos tempos (Fig. abaixo).
Logo, a área do retângulo definido entre o gráfico e o eixo dos tempos e entre os instantes t1 e t2
representa o módulo do deslocamento entre esses instantes.
Cinemática:
instante inicial = t1 = 0 (usualmente)
instante final = t2 = t
posição inicial = x(t1) = posição quando a observação do movimento teve início 
(x(t1) = x(0))
Expressão da posição em função do tempo fica:
 
 Equação horária da posição
 
 
a => inclinação da reta
b => parâmetro linear da reta
Exemplo
Um automóvel percorre uma estrada retilínea. A Fig.15 representa o gráfico da posição desse
automóvel num referencial fixo na estrada em função do tempo. 
Para construir o correspondente gráfico do módulo da velocidade do automóvel em função do
tempo temos que levar em conta que, se a velocidade é constante, o seu módulo pode ser
calculado pela expressão:
 => 
assim, o gráfico do módulo da velocidade X tempo:
O gráfico da Fig.16 mostra que, num referencial fixo na estrada, o automóvel anda em linha reta,
durante 2h, com v = 80 km/h, permanece parado durante as 2h seguintes e anda em sentido
contrário, durante mais 4h,v= 80 km/h.
Velocidade Instantânea
O conceito de velocidade instantânea está associado a um instante de tempo.
módulo da velocidade instantânea = módulo da velocidade média quando t2 é tomado muito
próximo de t1.
|v(t1)| = |v(t1,t2)| 
q se o segmento de reta secante é substituído por um segmento de reta tangente (ver gráfico) 
Para calcular o |v(t1)| temos os seguintes passos:
• define-se um ponto P correspondente ao instante de tempo t1
• traça-se um segmento de reta tangente pelo ponto P.
• constrói-se um triângulo retângulo ABC, no qual o segmento tangente é a 
hipotenusa e os catetos são formados paralelamente pelos eixos.
• obtém-se:
- valor de x, o comprimento do segmento BC, e
- valor de t, o comprimento do segmento AC.
• calcula-se o cociente de x por t => resultado = v(t1)
Os lados do triängulo podem ter quaisquer dimensões, desde que o triângulo 
resultante seja retângulo e a hipotenusa seja tangente ao gráfico. Contudo, como 
o módulo da velocidade instantânea é calculado pelo cociente das dimensões dos 
catetos e como essas dimensões são medidas com uma régua, para minimizar os 
erros associados a esse processo de medida, é conveniente que esses lados não 
sejam muito pequenos.
Exemplo
|v(t)|=? em t = 2s, t = 4s, t = 6s e t = 8s.
V(0) = 0
logo, o grafico de V(t) x t é:
ACELERAÇÃO
Apenas movimentos com aceleração constante. 
Gráfico do módulo da velocidade instantanea X tempo = uma reta 
Vetor aceleração
(v1 em t1 e v2 em t2)
 
 
Exemplo
Vamos calcular o módulo da aceleração de um móvel. Tomando t1 = 0 e t2 = 7s podemos ver, pelo
gráfico do módulo da velocidade instantanea em função do tempo (Fig.19), que v(0) = 0 e v(7s) =
14,7 cm/s. Assim:
Isso significa que, a cada segundo, o módulo da velocidade do móvel tem um aumento de 2,1
cm/s.
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
O movimento de um móvel é um exemplo de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV),
ou seja, um movimento ao longo de uma reta com aceleração constante.
 => t1 = 0 => 
Equação horária da velocidade, com gráfico
logo, a área da figura definida entre o gráfico do |v| x t e o eixo dos tempos entre os instantes t1 e
t2 representa o módulo do deslocamento no intervalode tempo definido por esses instantes
(Fig.22). Então:
areas A1 e A2
logo
Equação horária da posição
Exemplo
Num referencial fixo na estrada retilínea, o motorista de um automóvel faz com que ele inicie o seu
movimento com aceleração constante de módulo igual a 8 m/s2. Vamos calcular o intervalo de
tempo levado pelo automóvel para percorrer os primeiros 36 m com a mesma aceleração.
Fazendo x(0) = 0, x(t) = 36 m, v(0) = 0 e a = 8 m/s2, a equação horária da posição fica:
36 m = ½ ( 8 m/s2 ) t2
e dai t = 3s. Para calcular o módulo da velocidade do automóvel no instante em que ele atinge a
posição x = 36 m, fazemos v(0) = 0 e a = 8 m/s2 na equação horária da velocidade:
v(3s) = ( 8 m/s2 )( 3s ) = 24 m/s
Portanto, num referencial fixo na estrada, um automóvel, partindo do repouso e mantendo uma
aceleração constante de módulo 8 m/s2, alcança uma velocidade de módulo 24 m/s ao final de um
percurso de 36 m. Tudo isso acontece num intervalo de três segundos.