Probabilidade_e_distribuicao_de_probabilidade_completo_2010 da Prof Isabel

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PROBABILIDADE 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 
 
ISABEL C. C. LEITE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALVADOR – BA 
2010 
 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 1 
 
 
Probabilidades 
 
Introdução 
 
De modo geral ao estudarmos qualquer fenômeno devemos procurar um modelo 
matemático que nos ajude a descrever de forma satisfatória o fenômeno apresentado. Assim, 
necessitamos materializar uma forma matemática para os fenômenos de observação, tais modelos 
matemáticos são de dois tipos: Determinístico e Não-Determinístico. 
 
O Modelo determinístico é relativo aos experimentos que apresentam um resultado com um padrão 
matemático, ou seja, quaisquer desvios ou erros se apresentaram pequenos o suficiente para jamais 
alterar o modelo que com isto se torna suficiente. São exemplos: As leis da Física (Gravitacional e 
as de Kepler) 
O Modelo Não-Determinístico (probabilístico ou estatístico) se apresenta como resultados 
irregulares quando analisados individualmente, ou seja, existiram desvios suficientes que podem 
alterar um dado comportamento de um fenômeno qualquer, mesmo que saibamos todas as 
possíveis respostas do experimento. São exemplos quaisquer experimentos com resultados 
aleatórios (jogar um dado comum, tirar uma carta de um baralho de 52 cartas, etc.). 
 
 Experimentos Aleatórios 
 
 O experimento aleatório tem sua formação num conjunto circunstancial com respostas 
observáveis e incertas, com três características fundamentais: 
 
 O experimento pode ser repetido quantas vezes desejarmos; 
 A cada resultado individual observa-se total irregularidade dos resultados tornando-os 
sem previsão exata; 
 Após uma grande repetição do experimento observamos impressionante regularidade 
estatística quando da análise dos dados em conjunto. 
 
Exemplos de experimentos aleatórios: 
 
Observar o naipe sorteado de um baralho comum com 52 cartas; 
 
Observar o resultado da face voltada para cima de um dado ao arremessá-lo uma vez. 
 
Contar o número de parafusos defeituosos produzidos diariamente por uma dada máquina. 
 
Espaço Amostral () 
 
 Ao realizarmos um experimento aleatório, o conjunto de todos os resultados possíveis do 
experimento será chamado de espaço amostral. 
 Indicaremos o número de elementos do espaço amostral por 
 N
 
 
Exemplos: Construa o espaço amostral () dos seguintes experimentos aleatórios: 
a) Jogar um dado e observar a face voltada para cima. 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e 
 N
 = 6 
 
 
 
 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 2 
 
 
b) Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima. 
 = {K, C}, onde K = cara e C = coroa e 
 N
 = 2 
 
c) Lançar uma moeda e um dado ao mesmo tempo. 
 = {1K, 2K, 3K, 4K, 5K, 6K, 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C} e 
 N
 = 12 
 
 O espaço amostral () poderá ser finito ou infinito. Aqui veremos apenas experimentos com 
espaço amostral finito. 
 
O resultado obtido quando se realiza um experimento aleatório pode ser formado por um 
número ou um grupo de números, um atributo ou grupo de atributos, ou, ainda, por uma 
combinação de aspectos quantitativos e/ou qualitativos. Assim, as características de interesses 
associadas a um experimento, aleatório será chamado de espaço amostral. 
Na teoria das probabilidades o espaço amostral () é um termo primitivo, logo sem definição a 
partir de outros termos, alguns autores consideram-no mesmo inserido no conceito de experimentos 
aleatórios. 
 
Eventos 
 
Os subconjuntos de  são chamados eventos. Ao realizarmos um experimento aleatório diz-se 
que o evento A, A   (A está contido em ômega), se realiza se o resultado é um elemento 
pertencente a A. A importância do espaço amostral provém sobretudo de ser o meio empregado 
para a definição do evento. Há, em regra, muito mais interesse nos eventos e nas famílias de 
eventos do que nos elementos daquele espaço. 
 
Através das operações dos conjuntos matemáticos por todos conhecidas, poderemos sempre 
criar novos eventos: 
 
11.. AB = o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem; 
22.. AB = o evento que ocorre se A e B ocorrem; 
33.. A
C
 = o evento que ocorre se A não ocorre. 
 
Exemplo1: No lançamento de duas moedas honestas, sejam os eventos: 
 
A = {sair exatamente uma cara e uma coroa} 
B = {sair uma cara na primeira moeda} 
C = {sair pelo menos uma coroa} 
 
 = {KK, KC, CK, CC} 
 
A = {KC, CK} 
B = {KK, KC} 
C = {KC, CK, CC} 
 AB = {KC, CK, KK} 
 BC = {KC} 
 A
C 
= {KK, CC} 
 
 
 
 
 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 3 
 
 
Exemplo2: No lançamento de dois dados ordinários, seja o evento 
A = {(i, j): i + j = 5; i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Assim, seu espaço amostral () será: 
 
 
 
A = {(1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1)} 
 
 
 Definição de Probabilidade 
 
 
Clássica: “A probabilidade de um evento ocorrer é o quociente entre o número de casos favoráveis 
ao evento e o número de casos possíveis, supondo todos os casos igualmente possíveis”. 
 
 
 
 

N
An
AP
 
 
Empírica ou pelo enfoque da frequência relativa: 
“A probabilidade é determinada com base na proporção de vezes que ocorre um resultado 
favorável em um certo número de observações ou experimentos”. 
 
 
totalfrequência
 evento do frequência A
AP 
 
 
Dado um espaço amostral, , a função probabilidade associa a cada evento um número real, onde: 
 
11.. 0  P(A)  1; 
22.. Se P(A) = 1, A é dito evento certo; 
33.. Se P(A) = 0, A é dito evento impossível. 
44.. Se A
C
 é o complemento do evento A, então P(A
C
) = 1 – P(A) 
55.. Se A  B, então P(A)  P(B). 
 
 
Eventos Mutuamente Exclusivos 
 
Dois eventos são mutuamente exclusivos ou disjuntos se eles não ocorrem simultaneamente, 
isto é, AB = Ø. 
Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, então, P(AB) = P(A) + P(B). 
 
 
 
 
 
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
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Teorema da Soma: Se A e B são dois eventos quaisquer, então: 
 
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) 
 
Obs.: 
 Quando associamos a cada ponto do espaço amostral a mesma probabilidade, o espaço amostral 
será denominado equiprovável. 
 
 Podemos representar a probabilidade como fração própria, número decimal ou percentual. 
 
 
Exemplo3: Qual é a probabilidade de um número ímpar aparecer quando jogamos um dado ? 
 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A = {aparecer um número ímpar} = {1, 3, 5} 
P{aparecer um número ímpar} =  
 N
An
 
P{aparecer um número ímpar} = 
2
1
6
3

 
 
Exemplo4: Qual é a probabilidade de uma “cara” aparecer ao jogarmos uma moeda não viciada? 
 
  = {K, C} 
A = {uma “cara” aparece} = {K} 
P{uma “cara” aparece} = 
2
1
 
 
Exemplo5: Ao retirar uma carta do baralho, os eventos “ás” e “espadas” não são mutuamente 
exclusivos. A probabilidade de retirar um ás (A) ou uma espada (E), ou ambos, em só uma 
tentativa, pelo teorema da soma, é 
P(AE) = 
13
4
52
16
52
1
52
13
52
4

 
 
Diagramas de Venn 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
A
C 
  
A A A 
B 
 
A e B não exclusivos A e B mutuamente exclusivos A  A
C
 =  
Estatística Prof.ªIsabel C. C. Leite 5 
 
 
Probabilidade Condicional e Independência 
 
 
Probabilidade Condicional 
 
 Seja B um evento arbitrário compondo um espaço amostral , onde P(B) > 0 por já ter 
ocorrido. Uma vez que B já ocorreu, a probabilidade de um outro evento A ocorrer dado que o 
evento B tenha ocorrido será dada pela seguinte probabilidade condicional, definido por: 
 
 
 
 
 BP
BAP
BAP

/
 
 
 Analogamente, a probabilidade de ocorrer o evento B tendo já ocorrido o evento A: 
 
 
 
 AP
BAP
ABP

/
; (neste caso P(A) > 0, pois o evento A já ocorreu) 
 
 
Teorema: Seja  um espaço finito equiprovável composto pelos eventos A e B. Assim, 
 
Número de elementos em (A  B) 
P(A / B) = 
 Número de elementos em B 
 
 
Exemplo6: Dois dados não viciados são lançados. 
a)Se a soma dos resultados apresentados pelos dados foi 5, qual é a probabilidade de ter ocorrido a 
face 2 em um deles ? 
 
b) Se uma face 2 ocorreu, qual é a probabilidade da soma dos dados ser 5 ? 
 
Solução: O espaço amostral  é o mesmo do exemplo2, onde N
 
= 36. 
Sejam B = {soma 5} = {(1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1)} e 
 A = {ocorre a face 2} = {(1,2); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 2); (4, 2); (5, 2); 
(6, 2)} 
 AB = {(2, 3); (3, 2)} 
 P(AB) = 2/36, P(B) = 4/36, P(A) = 11/36 
 
a) Desejamos saber a probabilidade de A tendo ocorrido B: 
P(A/B) = 
2
1
36
4
36
2

 
 
b) Neste caso desejamos saber a probabilidade de B tendo ocorrido A: 
P(B/A) = 
11
2
36
11
36
2

 
 
 
 
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Teorema do Produto 
 
 Este teorema pode ser dado a partir do enunciado de probabilidade Condicional: 
 
 “A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B do mesmo espaço 
amostral, é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, 
dado o primeiro”. Assim: 
 
 
 
 
     BAPBPBAP
BP
BAP
BAP // 


 
 
 
 
     ABPAPBAP
AP
BAP
ABP // 


 
 
Independência Estatística 
 
Um evento A é considerado independente de um outro evento B se a probabilidade de A é 
igual à probabilidade condicional de A dado B, isto é, 
 
P(A) = P(A/B) 
 
e, é evidente que, se A é independente de B, B também o é em relação a A, assim: 
 
P(B) = P(B/A) 
 
Considerando o teorema do produto, podemos afirmar que sempre que A e B são 
independentes, teremos como relação: 
     BPAPBAP 
 
 
 Assim, dados n eventos, diremos que eles serão independentes, se o forem 2 a 2, 3 a 3, ...., n a n. 
 
Exemplo7: Dois diferentes departamentos de produção de uma grande empresa são: Produtos 
Marítimos (M) e Equipamentos para Oficinas (O). A probabilidade de que a divisão de Produtos 
Marítimos tenha, no corrente ano fiscal, uma margem de lucros de no mínimo 10% é estimada em 
0,30; a probabilidade de que a divisão de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de lucros 
de pelo menos 10% é 0,20; e a probabilidade de que ambas as divisões tenham uma margem de 
lucro de no mínimo 10% é 0,06. 
a) Determinar a probabilidade de que a divisão de Equipamentos para Oficinas tenha uma 
margem de lucro no mínimo de 10% dado que a divisão de Produtos Marítimos tenha 
alcançado tal nível de lucro. 
b) Aplicar um teste apropriado para determinar se a consecução das metas de lucro nas duas 
divisões é estatisticamente independente. 
 
Solução: a) 
20,0
30,0
06,0
)(
)(
)/( 


MP
MOP
MOP
 
 b) 
)./()(
?
MOPOP 
 Uma vez que 0,20 = 0,20, os dois eventos são independentes. 
 
 
 
 
 
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Análise Combinatória 
 
 Pelo enfoque clássico para determinar as probabilidades devemos conhecer o número de 
resultados igualmente prováveis que são favoráveis ao evento e o número total de casos possíveis. 
Quando os problemas são simples, estes números podem ser diretamente contados. Contudo, para 
problemas mais complexos é necessária a teoria da análise combinatória para determinar o número 
de tais resultados possíveis. 
 
Princípio fundamental da contagem (multiplicativo) 
Se algum procedimento pode ser efetuado de n1 formas diferentes e se, seguindo este, um 
segundo procedimento pode ser efetuado de n2 formas diferentes, e assim sucessivamente, então o 
número de formas que o conjunto de procedimentos pode ser efetuado é indicado pelo produto 
 
 21 nn
 
 
Exemplo8: Escolher duas pessoas para compor uma comissão, sendo que uma delas deve ser 
homem, escolhido entre 4 homens e a outra deve ser mulher, escolhida entre 6 mulheres. O número 
de formas diferentes de escolher estas duas pessoas é 4·6 = 24. 
 
 
Permutações 
 O número de permutações de n objetos é o número de maneiras pelas quais os objetos 
podem ser arrumados em termos de ordem: 
 
Permutações de n objetos = 
  121!  nnn
 
 
O símbolo n! é lido “n fatorial”. Em problemas de permutações e combinações n é sempre positivo. 
Matematicamente, 0! = 1, por definição. 
 
Exemplo9: Três membros de uma organização social se oferecem como voluntários para comporem 
a diretoria para o próximo ano, assumindo as funções de Presidente, Secretário e Tesoureiro. O 
número de maneiras (permutações) pelas quais os três podem assumir tais cargos é: 
6123!3! n
 
 
 
Arranjos 
 Geralmente estamos interessados no número de permutações de algum subgrupo dos n 
objetos, e não em todos os n objetos. Isto é, dizemos que estamos interessados no número de 
arranjos de n objetos tomados r de cada vez, onde r < n: 
 !
!
,
rn
n
A rn


 
 
Exemplo10: No exemplo9, suponha que existem 10 membros na organização social e que nenhuma 
indicação haja sido feita para os cargos de Presidente, Secretário e Tesoureiro. O número de 
diferentes disposições de três diretores eleitos entre os 10 membros do clube é: 
7208910
!7
!78910
!7
!10
)!310(
!10
3,10 



A
 
 
 
 
 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 8 
 
Combinações 
 No caso das permutações e arranjos é importante a ordem na qual estão dispostos os 
objetos. No caso das combinações interessa-nos o número de diferentes agrupamentos que se 
podem formar com os n objetos sem levar em consideração a ordem. Por conseguinte, o número de 
combinações de n objetos tomados r de cada vez é: 
 !!
!
,
rnr
n
C rn


 
A combinação de n objetos tomados r de cada vez é também representada por 






r
n
. 
Observe que 
!
,
,
r
A
C
rn
rn 
, o que nos sugere que estamos eliminando a ordem dos r objetos 
agrupados no arranjo. 
 
Exemplo11: Suponhamos que três membros de uma pequena organização social de 10 membros vão 
ser escolhidos para formar uma comissão. O número de diferentes grupos de três pessoas que 
podem ser formados, sem ter em conta as diferentes ordens em que cada indivíduo poderia ser 
escolhido, é: 
 
120
123
8910
!7!3
!78910
!310!3
!10
3,10 







C
 
Tendo concluído esta revisão dos conceitos básicos da análise combinatória, vejamos a sua 
aplicação no cálculo de probabilidades. 
 
Exemplo12: Continuando o exemplo11, se o grupo contém seis mulheres e quatro homens, qual a 
probabilidade de que uma comissão escolhida aleatoriamente seja composta de duas mulheres e um 
homem? 
A abordagem fundamental é determinar o número decombinações de resultados que contêm 
exatamente duas mulheres (das seis mulheres) e um homem (dos quatro homens), e então tomar a 
razão deste número para o total de combinações. 
 
Número de comissões com 2M e 1H = 
1,42,6 CC 
 
 = 
60415
!3!1
!4
!4!2
!6




 
Número total de comissões possíveis = 
 
120
123
8910
!310!3
!10
3,10 




C
 
 P(2M e 1H) = 
5,0
120
60
3,10
1,42,6


C
CC 
 
No exemplo12 foi usado o princípio multiplicativo para resultados sequenciais. 
 
Exemplo13: Num lote de 6 peças 4 são perfeitas; duas são retiradas aleatoriamente. Calcule: 
a) A probabilidade de ambas serem defeituosas; 
b) A probabilidade de pelo menos uma peça ser perfeita. 
a) P(ambas defeituosas) = 
15
1
!4!2
!6
!0!2
!2
2,6
2,2



C
C 
b) P(pelo menos uma perfeita) = 1 – P(ambas defeituosas) = 
15
14
15
1
1 
 
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Exercícios 
 
1. Qual é a probabilidade de tirarmos a carta de número 3 de um grupo de 10 cartas numeradas de 1 até 10? 
Resp: 1/10 
 
2. Com relação ao problema anterior, qual é a probabilidade de sacarmos uma carta de número par? 
Resp: 1/2 
 
3. Dois dados não viciados são jogados. Qual é a probabilidade de que o primeiro resultado seja maior do 
que o do segundo dado? Resp: 5/12 
 
4. Três Cavalos A, B e C, estão numa corrida; A é duas vezes mais provável de ganhar do que B e B é duas 
vezes mais provável do que C. Responda: Quais são as probabilidades de vitória de cada um? Qual é a 
probabilidade de que B ou C ganhe a corrida? 
Resp: P(A) = 4/7, P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7; P(B ou C) = 3/7 
 
5. Três gatinhos caçam um pobre ratinho acuado em uma sala. Considere que o infeliz ratinho não escapará 
em hipótese nenhuma e que apenas um dos gatinhos irá devorá-lo, sabendo que o gatinho mais velho é 
três vezes mais provável de levar o quitute ao estômago em relação ao gatinho intermediário, e este 
quatro vezes mais provável de levá-lo ao estômago que o gatinho mais novo. Responda: a) Quais são as 
probabilidades de caçar o ratinho de cada gatinho? b) Qual é a probabilidade do gatinho intermediário 
ou do gatinho mais novo caçar o ratinho? c) Qual é a probabilidade de qualquer um dos gatinhos sair-se 
bem sucedido da empreitada? Justifique este último resultado. 
Resp: a) P(Velho) = 12/17, P(Int.) = 4/17, P(Novo) = 1/17; b) 5/17; c) 1 ou 100% 
 
6. Dada uma urna contendo 2 bolas brancas, 4 vermelhas e 6 amarelas e retirando apenas uma bola desta 
urna, encontre a probabilidade de: a) Escolhermos uma bola qualquer da urna? b) Escolhermos uma 
bola branca? c) Escolhermos uma bola vermelha? d) Escolhermos uma bola amarela da urna? 
Resp: a) 1; b) 1/6; c) 1/3; d) 1/2 
 
7. Três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente dentre 15 lâmpadas, das quais 5 são defeituosas. Encontre 
a probabilidade de que: a) nenhuma seja defeituosa; b) exatamente uma seja defeituosa; c) pelo menos 
uma seja defeituosa. 
Resp: a) 24/91; b) 45/91; c) 67/91 
 
8. Duas cartas são selecionadas aleatoriamente dentre 10 cartas numeradas de 1 a 10. Encontre a 
probabilidade de que a soma seja ímpar: a) se as duas cartas são retiradas juntas; b) se as duas cartas são 
retiradas uma após a outra sem reposição; c) se as duas cartas são retiradas uma após a outra com 
reposição. Resp: a)5/9; b) 5/9; c) 1/2 
 
9. Numa classe há 10 homens e 20 mulheres; a metade dos homens e a metade das mulheres têm olhos 
castanhos. Ache a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter olhos castanhos ou ser homem. 
Resp.: 2/3 
 
10. Das 10 alunas de uma classe, 3 têm olhos azuis. Se duas delas são escolhidas aleatoriamente, qual é a 
probabilidade de (a) ambas terem olhos azuis; (b) nenhuma ter olhos azuis; (c) Pelo menos uma ter olhos 
azuis. Resp.: a) 1/15; b) 7/15; c) 8/15 
 
11. Dez estudantes A, B, C, ..., estão numa classe. Se uma comissão de 3 é escolhida aleatoriamente, 
encontre a probabilidade de: 
a) “A” pertencer à comissão; 
b) “B” pertencer à comissão; 
c) “A e B” pertencerem à comissão; 
d) “A ou B” pertencerem à comissão. 
Resp.: a) 3/10; b) 3/10; c) 1/15; d) 8/15 
 
 
 
 
 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 10 
 
 
12. Lança-se um par de dados não viciados. Ache a probabilidade de a soma das faces dos dados ser maior 
ou igual a 10, se a) ocorrer 5 no primeiro dado; b) ocorrer 5 em pelo menos um dos dados. 
Resp.: a) 1/3 ; b) 3/11 
 
13. Lançam-se três moedas não viciadas. Encontre a probabilidade de ocorrer cara em todas elas, se a) 
ocorre cara na primeira moeda; b) ocorre cara numa das moedas. Resp.: a) 1/4; b) 1/7. 
 
14. Em certo colégio 25% dos estudantes foram reprovados em matemática, 15% e química e 10% em 
matemática e química ao mesmo tempo. Um estudante é selecionado aleatoriamente. 
a) Se ele foi reprovado em química, qual é a probabilidade dele Ter sido reprovado em matemática ? 
b) Se ele foi reprovado em matemática, qual é a probabilidade dele ter sido reprovado em química ? 
c) Qual é a probabilidade dele ter sido reprovado em matemática ou química ? 
d) Qual é a probabilidade dele não ter sido reprovado nem em matemática nem em química ? 
Resp.: a) 2/3; b) 2/5; c) 3/10; d) 7/10 
 
15. Uma urna possui 8 objetos dos quais 3 são defeituosos. São escolhidos aleatoriamente 4 objetos. 
Pergunta-se: a) Qual é a probabilidade dos 4 serem perfeitos; b) pelo menos um ser defeituoso; c) pelo 
menos dois serem defeituosos; d) Se é sabido que um objeto defeituoso foi sorteado, qual é a 
probabilidade de sairem mais dois defeituosos? 
Resp.: a) 1/14; b)13/14; c)1/2; d)1/7 
 
16. Lança-se um par de dados não viciados. Se ocorrem dois números diferentes, encontre a probabilidade 
de: a) a soma ser 6; b) de ocorrer um 1; c) a soma ser menor ou igual a 4. 
Resp.: a) 2/15; b) 1/3 ; c) 2/15. 
 
17. Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas e 2 peças são retiradas uma após a outra sem reposição. a) 
Qual a probabilidade de que ambas sejam boas? b) Qual a probabilidade de que ambas sejam 
defeituosas? 
Resp: a) 14/33, b) 1/11 
 
18. Lança-se uma moeda viciada de modo que P(cara) = 2/3 e a P(coroa) = 1/3. Se aparecer cara, então se 
seleciona aleatoriamente um número dentre os de 1 a 9; se aparecer coroa, seleciona-se aleatoriamente 
um número dentre os de 1 a 5. Ache a probabilidade de um número par ser selecionado. Resp: 58/135 
 
19. A probabilidade de dois competidores em um torneio de tiro ao alvo é dada da seguinte maneira: o 
atirador A acerta o alvo com probabilidade de 1/4, enquanto o atirador B, com 2/5. a) Qual é a 
probabilidade de ambos acertarem o alvo? b) Qual é a probabilidade de pelo menos um errar o alvo? c) 
Qual é a probabilidade A errar e B acertar o alvo? d) Qual é a probabilidade A errar ou B acertar o alvo? 
Resp: a) 1/10; b)9/10; c)3/10; d)17/20. 
 
20. A probabilidade de um homem viver mais dez anos é 1/4 e a probabilidade de sua esposa viver mais dez 
anos é 1/3. Encontre a probabilidade de a) ambos estarem vivos dentro de dez anos; b) ao menos um 
estar vivo dentro de dez anos; c) nenhum estar vivo dentro de dez anos; d) somente a esposa estar viva 
dentro de dez anos. Resp.: a) 1/12; b) ½; c) ½; d) ¼. 
 
21. Sendo o espaço amostra  = {1, 2, 3, 4 } equiprovável e A = {1, 2}; B = {1, 3}; C = {1, 4} três 
eventos de . Verificar se os eventos A, B e C são independentes. 
Resp.: Não, pois são independentes dois a dois, mas não os três juntos. 
     CPBPAPCBAP  )(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 11 
 
 
VARIÁVEL ALEATÓRIA 
 
Na primeira partedeste curso conceituamos variáveis como características observadas, 
medidas ou contadas nos elementos da população ou da amostra e que apresentam variabilidade de 
elemento para elemento. Agora, com a ajuda da Teoria da Probabilidade, estaremos interessados no 
comportamento destas variáveis na população, e sendo este aleatório, associamos a cada possível 
valor sua probabilidade de ocorrência. 
 
 
Definição: Uma variável aleatória é uma função real (isto é, que assume valores em R) que associa 
a cada evento do espaço amostral Ω um número real. 
 
 
Para simplificar a notação, a expressão variável aleatória será muitas vezes abreviada por 
v.a. A convenção usual para representar uma v.a. consiste em usar letras maiúsculas como X, Y, etc. 
Um valor específico, mas genérico, dessa variável será representado pela letra minúscula 
correspondente: x, y, etc. 
 
Exemplos: 
 
Consideremos o lançamento de dois dados equilibrados. Como já visto, o espaço amostral 
desse experimento é formado pelos pares ordenados (i, j), sendo i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Esse é um 
experimento em que o espaço amostral não é formado por números. Suponhamos que nosso 
interesse esteja na soma das faces dos dois dados. Nesse caso, a v.a. X = “soma das duas faces” 
pode assumir os valores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 conforme ilustrado na tabela abaixo. 
 
Eventos de Ω X 
(1,1) 2 
(1,2), (2,1) 3 
(1,3), (2,2), (3,1) 4 
(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) 5 
(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) 6 
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 7 
(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) 8 
(3,6), (4,5), (5,4), (6,3) 9 
(4,6), (5,5), (6,4) 10 
(5,6), (6,5) 11 
(6,6) 12 
 
Podemos ver que o valor X = 4 corresponde ao evento A = {(1,3), (2,2), (3,1)}. 
 
Neste caso temos uma variável aleatória discreta, pois a sua imagem (conjunto de valores 
que ela assume) é um conjunto enumerável. 
 
Suponhamos, agora, que o experimento consista em sortear uma pessoa de um grupo de 20 
adultos e a esse experimento associemos a v.a. X = “altura (em cm) da pessoa sorteada”. Nesse 
caso, os possíveis valores de X estariam em um intervalo, por exemplo, [120, 210]. 
 
Temos aí uma variável aleatória contínua, pois o conjunto de valores que ela assume é 
qualquer intervalo dos números reais, ou seja, um conjunto não enumerável. 
 
 
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FUNÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE 
 
É a função que atribui a cada valor possível x da variável aleatória discreta X sua 
probabilidade de ocorrência p(x). Pode ser denominada simplesmente por função de probabilidade. 
Ou seja, sendo X uma v.a. discreta e x1, x2, x3,... seus diferentes valores, temos que 
 
p(xi) = P(X = xi), i = 1, 2, 3,... 
 
Exemplo: Consideremos o lançamento de dois dados equilibrados e a v.a. X = “soma das duas 
faces”. Para cada valor de X podemos determinar a sua probabilidade. 
 
Eventos de Ω X p(x) 
(1,1) 2 
36
1 = 0,0278 
(1,2), (2,1) 3 
36
2 = 0,0556 
(1,3), (2,2), (3,1) 4 
36
3 = 0,0833 
(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) 5 
36
4 = 0,1111 
(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) 6 
36
5 = 0,1389 
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 7 
36
6 = 0,1667 
(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) 8 
36
5 = 0,1389 
(3,6), (4,5), (5,4), (6,3) 9 
36
4 = 0,1111 
(4,6), (5,5), (6,4) 10 
36
3 = 0,0833 
(5,6), (6,5) 11 
36
2 = 0,0556 
(6,6) 12 
36
1 = 0,0278 
 
Propriedades 
 
 Cada probabilidade precisa estar entre 0 e 1, inclusive: 
  10  ixp
 
 A soma de todas as probabilidades é 1: 
  1
i
ixp
 
Representação gráfica da função de probabilidade 
 
 
 
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ESPERANÇA, VALOR ESPERADO OU MÉDIA 
 
É o valor médio que resulta das inúmeras observações de uma variável aleatória, 
representado por 
  ou XE
. 
É uma média ponderada de todos os valores possíveis de X. O peso, ou ponderação, de cada 
valor é igual à probabilidade de X assumir esse valor. 
 
    
i
ii xpxXE
 
 
Exemplo: Em determinado setor de uma loja de departamentos, o número de produtos vendidos 
em um dia pelos funcionários é uma variável aleatória Y com a seguinte distribuição de 
probabilidades (esses números foram obtidos dos resultados de vários anos de estudo): 
 
Nº de produtos (Y) 0 1 2 3 4 5 6 
Probabilidade de venda p(y) 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 
 
Cada vendedor recebe comissões de venda distribuídas da seguinte forma: se ele vende até 
2 produtos em um dia, ganha uma comissão de R$10,00 por produto vendido. A partir da terceira 
venda, a comissão passa para R$50,00 por produto. Qual é o número médio de produtos vendidos 
por cada vendedor e qual a comissão média de cada um deles? 
 
Solução: 
O número médio de vendas por funcionário é 
 
E(Y) = 0 × 0,1 + 1 × 0,4 + 2 × 0,2 + 3 × 0,1 + 4 × 0,1 + 5 × 0,05 + 6 × 0,05 
 = 2, 05 
 
Com relação à comissão, vamos construir sua função de probabilidade: 
 
Nº de produtos (Y) 0 1 2 3 4 5 6 
Comissão (C) 0 10 20 70 120 170 220 
Probabilidade de venda p(y) 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 
 
E(C) = 0 × 0,1 + 10 × 0,4 + 20 × 0,2 + 70 × 0,1 + 120 × 0,1 + 170 × 0,05 + 220 × 0,05 
 = 46, 5 
 
ou seja, a comissão média diária de cada vendedor é R$46,50. 
 
VARIÂNCIA 
 
É a medida de dispersão de uma variável aleatória X calculada em relação a E(X), representada por 
Var(X) ou 
2
 e definida por 
  
    
      
    2
i
2
22
i
2
2
 
ou 
)(
XExpx
XEXEXVar
xpXEx
XEXEXVar
ii
ii






 
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DESVIO PADRÃO: DP(X) ou 
)(XVar
 
 
No exemplo anterior, a variância e o desvio padrão da comissão dos vendedores são obtidos 
fazendo-se 
 
Comissão (C) 0 10 20 70 120 170 220 
Probabilidade de venda p(y) 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 
c²  p(y) 0 40 80 490 1440 1445 2420 
 
 
      
    
reais25,6175,3752
75,3752
²5,4624201445144049080400 
 
2
i
2
22







CExpc
CECECVar
ii
 
 
Propriedades 
 
Sejam X e Y variáveis aleatórias e a, b constantes reais quaisquer. 
 
   
       
             YXCovYVarXVarYXVarYEXEYXEiii
XVaraaXVarXaEaXEii
aVaraaEi
,2)
)
0)
2



 
 
OBS: Cov(X,Y) é a covariância entre X e Y, grandeza que mede o grau de dependência entre estas 
duas variáveis e definido por 
     YEYEXEXEYXCov ),(
 
 
Exercício: 
Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de certo aparelho. O quadro a seguir dá a 
distribuição de probabilidades do número de aparelhos vendidos em uma semana. Se o lucro por 
unidade vendida é de R$500,00, qual o lucro esperado em uma semana? Qual é o desvio padrão do 
lucro? Resp: E(L) = R$ 1350,00 e σ(L) = R$ 708,87 
 
Nº de aparelhos (X) 0 1 2 3 4 5 
Probabilidade de venda p(x) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 
 
 
 
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ALGUNS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA V.A. DISCRETAS 
 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 
Consideremos 
 n tentativas de um mesmo experimento aleatório; 
 cada tentativa admite apenas dois resultados: sucesso com probabilidade p e fracasso com 
probabilidade q = 1 – p; 
 os resultados das tentativas são independentes, ou seja, as probabilidades de sucesso e 
fracasso são as mesmas em cada tentativa. 
Um experimento aleatório com as três características descritas acimaé dito um experimento 
binomial. 
Seja a v.a. X: número de sucessos em n tentativas. 
A função de probabilidade da variável X é dada por 
 
 
 
 
,
!!
!
)( ,
xnx
xnx
xn
qp
xnx
n
xp
qpCxXPxp





 
em que X = 0, 1, 2, ..., n. 
 
Dizemos que a v.a. X tem distribuição binomial com parâmetros n e p, que se denota por 
),(~ pnBX
. 
 
Ex1: Uma moeda não viciada é lançada 6 vezes, ou equivalentemente, seis moedas são lançadas; 
chamemos de sucesso o evento “ocorrência da face cara”. 
a) Qual é a probabilidade de exatamente duas caras ocorrerem? 
b) Qual é a probabilidade de ocorrerem pelo menos 4 caras? 
c) Qual é a probabilidade de não ocorrerem caras? 
d) Qual é a probabilidade de ocorrer pelos menos uma cara? 
 
a)
64
15
2
1
2
1
!4!2
!6
)2(
262














XP
 
 
 
b)
)6()5()4()4(  XPXPXPXP
 
 
061524
2
1
2
1
!0!6
!6
2
1
2
1
!1!5
!6
2
1
2
1
!2!4
!6





































 
 
64
22
64
1
64
6
64
15

 
 
 
c)


























64
1
2
1
2
1
2
1
!6!0
!6
)0(
6060
XP
 
 
 
d)
64
63
64
1
1)0(1)1(  XPXP
 
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Construindo uma tabela de distribuição binomial para o número de caras em seis 
lançamentos de uma moeda não viciada: 
 
Número de caras X 0 1 2 3 4 5 6 
Probabilidade p(x) 
64
1
 
64
6
 
64
15
 
64
20
 
64
15
 
64
6
 
64
1
 
 
Ex2: Um dado não viciado é lançado 7 vezes; chamemos de sucesso a ocorrência de um 5 ou um 6. 
Então, determine a probabilidade de: 
a) Ocorrer 5 ou 6 exatamente 3 vezes; 
b) Um 5 ou um 6 nunca ocorrer; 
c) Um 5 ou um 6 ocorrer pelo menos uma vez: 
 
a) 
 
2187
560
3
2
3
1
!4!3
!7
3,65
43












XouP
 c) 
   
2187
2059
011,65  PXouP
 
b) 
 
2187
128
3
2
3
1
!7!0
!7
0,65
70












XouP
 
 
Cada tentativa de uma distribuição binomial é chamada de distribuição de Bernoulli. 
O valor esperado (média) e a variância para uma dada distribuição binomial poderiam ser 
determinados listando-se a distribuição de probabilidade em uma tabela e aplicando as fórmulas já 
apresentadas anteriormente. Contudo, a distribuição binominal apresenta as seguintes propriedades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex3: A probabilidade de que um possível cliente realize uma compra é 0,20. O valor esperado de 
vendas e o desvio padrão associado com a visita de 15 possíveis clientes são: 
 
  320,015 XE
vendas 
55,180,020,015 
 
 
 
Observações importantes: 
 
 Uma distribuição binomial fica caracterizada pelos parâmetros n e p. 
 Se n for pequeno, os cálculos serão relativamente fáceis. Contudo, se n for relativamente 
grande, os cálculos tornam-se cansativos. Felizmente dispomos de calculadoras, tabelas 
apropriadas, e também poderemos aproximar a distribuição binomial pela de Poisson, como 
veremos a seguir. 
 Para qualquer n, a distribuição será 
o simétrica: se p = q = 0,5 
o assimétrica à direita, se p > q 
o assimétrica à esquerda, se p < q. 
 
Valor esperado ou média 
  pnXE 
 
Variância 
  qpnXVar 
 
Desvio padrão 
npq
 
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DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 
A distribuição de Poisson pode ser usada para determinar a probabilidade de um dado 
número de sucessos quando os eventos ocorrem em um continuum de tempo ou de espaço, ao invés 
de ocorrerem em tentativas ou observações fixadas como na distribuição binomial. 
 
Exemplos: 
 Chamadas telefônicas por unidade de tempo. 
 Defeitos por unidade de área. 
 Acidentes por unidade de tempo. 
 Chegada de clientes a um supermercado por unidade de tempo. 
 Número de glóbulos vermelhos visíveis ao microscópio por unidade de área. 
 
A expressão que dá a probabilidade de x sucessos em um intervalo (tempo, área,...) é: 
 
   
!x
e
xpxXP
x  

 
sendo: 

 = frequência média ou esperada de ocorrências num determinado intervalo; 
e = base dos logaritmos naturais (2,71828); 
x = número de ocorrências (sucessos). 
 
Temos para a distribuição de Poisson 
 
 
 
 
 
 
 
Ex1: Um departamento de consertos de máquinas recebe uma média de duas chamadas por hora. 
Vamos calcular as probabilidades de, em uma hora, este departamento receber: nenhuma chamada, 
uma, duas, três, ... 
 
Temos: 
2
 
 
Nenhuma chamada: 
  1353,0
!0
2
0
20



e
XP
 
Uma chamada: 
  2706,0
!1
2
1
21



e
XP
 
Duas chamadas: 
  2706,0
!2
2
2
22



e
XP
 
Três chamadas: 
  1804,0
!3
2
3
23



e
XP
 
Quatro chamadas: 
  0902,0
!4
2
4
24



e
XP
 
 
 
Cinco chamadas:
  0361,0
!5
2
5
25



e
XP
 
Seis chamadas: 
  0120,0
!6
2
6
26



e
XP
 
Sete chamadas: 
  0034,0
!7
2
7
27



e
XP
 
Oito chamadas: 
  0009,0
!8
2
8
28



e
XP
 
Nove chamadas:
  0002,0
!9
2
9
29



e
XP
 
 
Valor esperado ou média 
    ou XE
 
Variância 
   XVar
 
Desvio padrão 
 
 
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Observe que 
  19997,0
9
0

i
ixp
. Este resultado é explicado, pois X, número de sucessos, 
teoricamente, tende ao infinito. Neste caso, x = 9 já é considerado um número muito grande de 
sucessos. 
Temos ainda as medidas: 
2)( XE
 
Var(X) = 2 
4142,12 
 
 
Ex2: O pessoal de inspeção de qualidade afirma que os rolos de fita isolante apresentam, em média, 
uma emenda a cada 50 metros. Admitindo que a distribuição do número de emendas é dada pela 
Poisson, vamos calcular as probabilidades de: 
 
a) nenhuma emenda em um rolo de 125 metros: 
dado que λ = 1 emenda a cada 50 m, 
 para 125 m temos 
5,2125
50
1

 
 
  %21,80821,0
!0
5,2
0
5,20
ou
e
XP 


 
 
b) ocorrerem no máximo duas emendas em um rolo de 125 metros: 
       
%40,545440,02566,02053,00821,0
!2
5,2
!1
5,2
0821,02102
5,225,21
ou
ee
pppXP






 
 
c) de ocorrer pelo menos uma emenda em um rolo de 100 metros: 
para 100 m temos 
2100
50
1

 
        ...3211  PPPXP
 
 = 1 
 0P
 
 = 1
%47,868647,02 oue  
 
 
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APROXIMAÇÃO DAS PROBABILIDADES BINOMIAIS COM AS PROBABILIDADES 
DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 
Na aplicação do modelo de distribuição binomial, quando n for grande (n > 50) e np < 5, é 
possível obter as probabilidades binomiais por meio do modelo de Poisson. 
A média da distribuição de probabilidade de Poisson utilizada como aproximaçãodas 
probabilidades binomiais é: 
np
 
 
Ex3: Em um cruzamento de duas avenidas de tráfego intenso, a probabilidade de um carro sofrer 
acidente é de 0,0001. Se entre as 17 h e 19 h passam 1000 veículos nesse cruzamento, qual é a 
probabilidade de que dois ou mais acidentes ocorram durante esse período? 
 
Solução pela distribuição binomial: 
p = 0,0001, n = 1.000, q = 0,9999 
      
        







999110000
9999,00001,0
!999!1
!1000
9999,00001,0
!1000!0
!1000
1
1012 PPXP
 
 = 0,00467 
 
É evidente que o cálculo deste resultado é muito trabalhoso. 
Como n > 50 e np = 0,1 < 5, podemos obter este resultado (aproximado) pelo modelo de Poisson. 
Assim, 
1,00001,01000  
      
   
%468,000468,0
!1
1,0
!0
1,0
1
1012
1,011,00
ou
ee
PPXP





 




 
 
 
 
 
 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 20 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. O número de caminhões que chegam, por hora, a um depósito segue a distribuição de 
probabilidade da tabela abaixo. Calcule (a) o número esperado de chegadas por hora e (b) a 
variância e desvio padrão desta distribuição de probabilidade. 
 
Nº de caminhões X 0 1 2 3 4 5 6 
2. Probabilidade P(X) 0,05 0,10 0,15 0,25 0,30 0,10 0,05 
 
2. Construa a tabela e o gráfico da distribuição de probabilidade para a variável aleatória: número 
de coroas obtidas no lançamento de duas moedas. 
 
3. Um homem de vendas calcula que cada contato resulta em venda com probabilidade de 20%. 
Certo dia, ele contata dois possíveis clientes. a) Construa a tabela de distribuição de 
probabilidade para a variável X: número de clientes que assinam um contrato de vendas. b) 
Calcule a número esperado de clientes que assinam um contrato de vendas, a variância e o 
desvio padrão desta distribuição. 
 
4. O número de chamadas telefônicas recebidas por uma central e suas respectivas probabilidades 
para um intervalo de um minuto são: 
 
 
 
a) Determine P(1
4 X
) e 
 1XP
. 
b) Qual é o número esperado de chamadas em 1 minuto? 
c) Sendo o coeficiente de variação o quociente entre o desvio padrão e a média, avalie o 
coeficiente de variação para esta distribuição. 
 
5. Em uma sala, temos cinco rapazes e quatro moças. São escolhidas aleatoriamente três pessoas. 
Considere X a variável aleatória: número de rapazes. a) Construa a tabela de distribuição de 
probabilidade da variável X. b) Determine a probabilidade do grupo escolhido ter no máximo 
dois rapazes. 
 
6. Admitindo que os nascimentos de meninos e meninas sejam iguais, calcule a probabilidade de 
um casal com seis filhos ter quatro filhos homens e duas mulheres. 
 
7. Em 320 famílias com quatro crianças cada uma, em quantas famílias espera-se que haja: a) 
nenhuma menina? b) três meninos? c) quatro meninos? 
 
8. Um time Y tem 
3
2
 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se Y jogar cinco partidas, 
calcule a probabilidade de Y vencer: a) exatamente três partidas; b) ao menos uma partida; c) 
mais da metade das partidas. 
 
9. Devido às altas taxas de juros, uma firma informa que 30% de suas contas a receber de outras 
firmas comerciais se encontram vencidas. Se um contador escolhe aleatoriamente uma amostra 
de cinco contas, determine a probabilidade de: a) nenhuma das contas estar vencida; b) a 
maioria das contas estarem vencidas; c) exatamente 20% das contas estarem vencidas. 
 
10. Uma fábrica de pneus verificou que, ao testar seus pneus nas pistas, havia em média um 
estouro de pneu a cada 5.000 km. Qual a probabilidade de que 
a. num teste de 3.000 km haja no máximo um pneu estourado? 
b. um carro ande 8.000 km sem estourar nenhum pneu? 
Número de chamadas (X) 0 1 2 3 4 5 
Probabilidades P(X) 0,55 0,25 0,10 0,04 0,04 0,02 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 21 
 
 
11. Certo posto de bombeiros recebe em média três chamadas por dia. Calcule a probabilidade de: 
a. receber quatro chamadas num dia; 
b. receber três ou mais chamadas num dia. 
 
12. Suponha que haja em média dois suicídios por ano numa população de 50.000 habitantes. Em 
cada cidade de 100.000 habitantes, determine a probabilidade de que em dado ano tenha 
havido: a) nenhum; b) um; c) dois; d) dois ou mais suicídios. 
 
13. Certa loja recebe em média cinco clientes por hora. Qual a probabilidade de receber: a) dois 
clientes em 24 minutos? b) pelo menos três clientes em 18 minutos? 
 
14. Uma amostra aleatória de 230 pessoas é selecionada. Cada indivíduo da amostra responde se 
prefere um desktop ou um notebook. Assumindo que 3% do público prefere um desktop, 
determine, aproximadamente, a probabilidade de um grupo de 10 pessoas preferir desktop. 
 
15. Se a probabilidade de um indivíduo sofrer uma reação nociva, resultante da injeção de um 
determinado soro, é 0,001, determine a probabilidade de, entre 2000 indivíduos: a) exatamente 
três; b) mais do que dois, sofrerem aquela reação. 
 
16. Uma companhia de seguros está considerando a cobertura de uma doença relativamente rara na 
área geral de seguros médicos. A probabilidade de que um indivíduo selecionado 
aleatoriamente venha a contrair a doença é 0,001, sendo que 3.000 pessoas são incluídas no 
grupo segurado. 
a. Qual o número esperado de pessoas, no grupo, que terão a doença? 
b. Qual a probabilidade de que nenhuma das 3.000 pessoas do grupo contraia a doença? 
 
17. Um jogador A paga R$5,00 a B e lança um dado. Se sair face 3, ganha R$20,00. Se sair face 4, 
5, ou 6, perde. Se sair face 1 ou 2, tem o direito de jogar novamente. Ao jogar novamente, lança 
dois dados. Se saírem duas faces 6, ganha R$50,00. Se sair uma face 6, recebe o dinheiro de 
volta. Não saindo nenhuma face 6, perde. Sabemos que o dado é honesto e que os lançamentos 
são independentes. Seja L o lucro líquido do jogador A nesse jogo. Calcule a função de 
distribuição de probabilidade de L e o lucro esperado do jogador A. 
 
18. As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas em cada carro que se dirige ao shopping 
em um sábado são, respectivamente, 0,05; 0,20; 0,40; 0,25 e 0,10. Qual o número médio de 
pessoas por carro? 
 
Respostas. 
1. a) 3,15 b) Var(X) 

 2,13 e 
46,1
 
2. 3. a) 
 X 0 1 2 
p(x) 0,25 0,50 0,25 
 
3. b) E(X) = 0,40 c) Var(X) = 0,32 e 
56,0
 4. a) 0,43 e 0,20 b) 0,83 c) 145,8% 
5. a) 
 b) 37/42 6. 15/64 7. a) 20 b) 80 c) 20 
 
 
8. a) 80/243 b) 242/243 c) 64/81 9. A)
  1681,00 p
 b) 
  1631,03 XP
 c) 
  3602,01 p
 
10. a) 0,8784 b) 0,2020 11. a) 0,1680 b) 0,5767 12. a) 0,0183 b) 0,0732 c) 0,1464 d) 0,9085 
13. a) 0,2707 b) 0,1912 14. 0,0679 15. a) 0,180 b) 0,323 16. a) 3 pessoas b) 0,0498 
17. 
 E(L) = – 0,74 reais 18. 3,15 pessoas por carro 
 X 0 1 2 
p(x) 0,64 0,32 0,04 
x 0 1 2 3 
p(x) 1/21 5/14 10/21 5/42 
Lucro l -5 0 15 45 
p(l) 79/108 10/108 18/108 1/108 
Estatística Prof.ª IsabelC. C. Leite 22 
 
 
DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE 
 
Seja X uma variável aleatória contínua e por isso não é possível enumerar todos os seus 
possíveis valores. Os valores de uma v.a. contínua são definidos a partir do espaço amostral de um 
experimento aleatório. O comportamento probabilístico de uma variável aleatória contínua será 
descrito pela sua função de densidade de probabilidade. 
 
 
Uma função de densidade de probabilidade é uma função f(x) que satisfaz as seguintes 
propriedades: 
 f(x) ≥ 0 
 A área total sob o gráfico de f(x) é igual a 1. 
Dada uma função f(x) satisfazendo as propriedades acima, então f(x) representa alguma v. a. 
contínua X, de modo que a área compreendida entre as verticais X = a e X = b (sombreada na 
figura) dá a probabilidade de X ser um valor entre a e b. 
 BXaP 
 
 
 
A definição anterior usa argumentos geométricos; no entanto, uma definição mais precisa 
envolve o conceito de integral de uma função de uma variável. A definição é apresentada a seguir, 
mas neste curso usaremos basicamente a interpretação geométrica da integral definida, que está 
associada à área sob uma curva. 
 
 
Uma função de densidade de probabilidade é uma função f(x) que satisfaz as seguintes 
propriedades: 
f(x) ≥ 0 
 
 
Dada uma função f(x) satisfazendo as propriedades acima, então f(x) representa alguma v. a. 
contínua X, de modo que 
 
 
OBS: Se X é uma v.a. contínua, então P(X = a) = 0, ou seja, a probabilidade de X ser exatamente 
igual a um valor específico é nula. Isso pode ser visto na figura anterior: o evento X = a 
corresponde a um segmento de reta, e tal segmento tem área nula. 
a b 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 23 
 
 
Como consequência, temos as seguintes igualdades: 
 
P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b) 
 
ESPERANÇA E VARIÂNCIA DE V.A. CONTÍNUA 
 
Os conceitos são análogos ao visto para a v.a. discreta, porém os somatórios são 
substituídos por integrais e a função de probabilidade é substituída pela função densidade de 
probabilidade. 
 
Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade f(x). 
A esperança (ou média ou valor esperado) de X é definida como 
 
 
e a variância de X é definida como 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
Uma v.a. X tem distribuição normal se sua função densidade de probabilidade é dada por 
 
 2)(
2
1
2
1
)( 





x
exf
 , 
 
sendo: 
 X
 

 = média da distribuição 

 = desvio padrão da distribuição 
...1416,3
. 
...71828,2e
 
 
Esta função é certamente um dos exemplos mais importantes de distribuição de 
probabilidade contínua. Cada distribuição normal fica determinada pelos parâmetros 

(média) e 

(desvio padrão). 
 
Notação: 
 2~ ,X N  
 
Principais características da distribuição normal: 
 é simétrica em torno do valor x = μ; 
 o ponto x = μ é o ponto de máximo e nesse ponto 
 2
1
)( xf
; 
 os pontos de inflexão da curva são x = µ -  e x = µ + ; 
 E(X) = µ e Var(X) =  ²; 
 f(x) tende a zero quando x tende a 

. 
 
 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 24 
 
 
As duas curvas abaixo mostram as mudanças na função onde 

 e 

 variam. 
 
 
 
 
VARIÁVEL NORMAL PADRONIZADA 
 
Sendo X uma variável aleatória com distribuição 
 2,N
, quando 
0 
 e 
2 1 
 temos 
uma distribuição padrão ou reduzida, ou brevemente N(0,1). 
Assim a função densidade reduz-se a 
 21
2
1
( ) ,
2
z
f z e z


    
 
 
sendo a variável Z obtida pela transformação linear: 


 ii
X
Z
 
 
A notação usada é Z ~ N(0,1) que tem distribuição normal de média zero e variância 1. 
 
 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 25 
 
 
TABELA DE CURVA NORMAL 
 
Há vários tipos de tabelas que nos oferecem as áreas (probabilidades) sob a curva normal. O 
tipo mais frequente é a tabela da faixa central. A tabela da faixa central dá a área sob a curva 
normal padrão entre z = 0 e qualquer valor positivo de z. 
 
Exemplo: As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com 
média 1,60 m e desvio padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno medir: 
a) entre 1,60 m e 1,75m; 
b) mais de 1,75 m; 
c) menos de 1,75 m; 
d) menos de 1,48 m; 
e) entre 1,50 m e 1,80 m; 
f) qual deve ser a medida mínima para escolhermos 10% dos mais altos? 
 

= 1,60 m 

= 0,30 m 
 
a) 
0
30,0
60,160,1
1 

z
 e 
5,0
30,0
60,175,1
2 

z
 
 
%15,19ou1915,0)5,00()75,160,1(  ZPXP
 
 
 
 
b) 
%85,30ou3085,01915,05,0)5,0(5,0)5,0()75,1(  ZPZPXP
 
 
 1,60 1,75 0 0,5 
 1,60 1,75 0 0,5 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 26 
 
 
c) 
%15,69ou6915,01915,05,0)5,00(5,0)5,0()75,1(  ZPZPXP
 
 ou = 1 – P(Z > 0,5) = 1 – 0,3085 = 0,6915 
 
 
 
 
d) 
4,0
30,0
60,148,1


z
 

 
%46,343446,01554,05,0)4,0()48,1(  ZPXP
 
 
 
 
 
 
e) 
33,0
30,0
60,150,1
1 

z
 e 
66,0
30,0
60,180,1
2 

z
 
 )66,033,0()80,150,1( ZPXP
 
 
%47,373747,02454,01293,0 
 
 
 
 
 
f) Na tabela z40%=1,28 
030
60,1
%40


x
z
 

 
98,160,1)30,0)(28,1( x
m 
 
 
 
 
 
 
 1,48 1,60 – 0,4 0 
40% = 0,40 
 0 1,28 
10% 
1,60 1,98 
 1,60 1,75 0 0,5 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 27 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela da Distribuição Normal Padronizada: Z ~N (0,1) 
Valores de α tais que P(0 < Z < z) =  
 
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 z 
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0 
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,1 
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,2 
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,3 
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,4 
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,5 
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,6 
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,7 
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,8 
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 0,9 
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,0 
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,1 
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,2 
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,3 
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,43060,4319 1,4 
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,5 
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,6 
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,7 
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,8 
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 1,9 
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,0 
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,1 
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,2 
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,3 
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,4 
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,5 
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,6 
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,7 
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,8 
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 2,9 
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,0 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 28 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Considere Z uma v.a. com distribuição normal padronizada e, com auxílio da tabela, determine: 
a) P(0 ≤ Z ≤ 1,44) 
b) P(− 0,85 ≤ Z ≤ 0) 
c) P(− 1,48 ≤ Z ≤ 2,05) 
d) P(0,72 ≤ Z ≤ 1,89) 
e) P( Z ≥ 1,08) 
f) P( Z ≥ − 0,66) 
g) P( |Z| ≤ 0,5) 
 
2) A duração de certo componente eletrônico pode ser considerada normalmente distribuída com 
média de 850 dias e desvio padrão de 45 dias. Calcule a probabilidade de um componente 
durar: 
a) Entre 700 e 1.000 dias; 
b) Mais que 800 dias; 
c) Menos que 750 dias; 
d) Exatamente 1.000 dias. 
 
3) Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média de 65,3 kg e desvio 
padrão de 5,5 kg. Encontre o número de alunos que pesam: 
a) Entre 60 e 70 kg; 
b) Mais que 63,2 kg. 
 
4) Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídas com média 73 e desvio 
padrão 15. Quinze por cento dos alunos mais adiantados recebem a nota A e 12% dos mais 
atrasados recebem nota F. Encontre o mínimo para receber A e o mínimo para passar, ou seja, 
não receber F. 
 
5) Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que 
eles seguiam uma distribuição normal de média 48.000 km e desvio padrão de 2.000 km. 
Calcule a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso: 
a) Durar mais que 46.000 km; 
b) Durar entre 45.000 e 50.000 km. 
 
6) Certo produto tem peso médio de 10 g e desvio padrão de 0,5 g. É embalado em caixas de 120 
unidades que pesam em média 150 g e têm desvio padrão de 8 g. Qual a probabilidade de que 
uma caixa cheia pese mais de 1.370g, supondo que os pesos são normalmente distribuídos? 
 
7) Em uma distribuição normal, 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores a 19. 
Encontre a média e a variância desta distribuição. 
 
8) Suponha que a duração de vida de dois equipamentos, E1 e E2, tenha, respectivamente, 
distribuições N(45;9) e N(40;36). Se o equipamento tiver que ser usado por um período de 45 
horas, qual deles deve ser preferido? 
 
9) Certa máquina de empacotar café oferece variações de peso com desvio padrão de 20 g. Em 
quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas 10% tenham menos que 400 
g? 
 
Estatística Prof.ª Isabel C. C. Leite 29 
 
 
10) Em uma grande empresa a avaliação de desempenho profissional dos funcionários acusou 
média 70 e desvio padrão 10. Se desejarmos atribuir aos 15% superiores o grau A, aos 20% 
seguintes o grau B, aos 30% médios o grau C, aos próximos 25% o grau D e aos últimos 10% o 
grau E, quais os intervalos de notas que serão abrangidos por essas classificações? 
 
11) Entre os 4.000 empregados de uma grande empresa, o QI (quociente de inteligência) é 
normalmente distribuído com uma média de 104 e desvio padrão de 15. Sabendo que uma 
tarefa específica requer um QI mínimo de 98 e que aborrece aqueles com QI acima de 110, 
quantos empregados estarão adaptados para exercer esta tarefa, com base apenas no QI? 
 
12) Constatou-se que o tempo médio para se fazer um teste-padrão de Matemática é 
aproximadamente normal, com média de 80 minutos e desvio padrão de 20 minutos. 
a) Que porcentagem de candidatos levará menos de 80 minutos? 
b) Que porcentagem não terminará o teste, se o tempo máximo concedido é de duas horas? 
c) Se 200 pessoas fazem o teste, quantas podemos esperar que o terminem na primeira hora? 
 
 
RESPOSTAS 
 
1) a) 0,4251 b) 0,3023 c) 0,9104 d) 0,2064 e) 0,1401 f) 0,7454 g) 0,3830 
2) a) 1 b) 0,8665 c) 0,0132 d) 0 
3) a) 380 b) 389 4) 88,5 e 55 5)a) 0,8413 b) 0,7745 
6) 0,0197 7) µ = 29,03 e  ² = 73,44 8) E1 9) 425,60 g 
10) E: de 0 a 57,2 11) 1.243 12) a) 50% b) 2,28% c) 32 candidatos 
 D: de 57,2 a 66,1 
 C: de 66,1 a 73,9 
 B: de 73,9 a 80,4 
 A: de 80,4 a 100 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 BUSSAB, Wilton de O. MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 6ª edição. São Paulo: 
Saraiva, 2010. 
 
 FARIAS, Ana Maria Lima de. Probabilidade e Estatística. Volume único. Rio de Janeiro: 
Fundação CECIERJ, 2009. 
 
 MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, A. C. P. Noções de Probabilidade e Estatística. 6ª edição. 
São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2005. 
 
 MARTINS, Gilberto de A. Estatística Geral e Aplicada. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 2005. 
 MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica – Volume 1 – Probabilidade – 7ª edição. São 
Paulo: Pearson Makron Books, 1999. 
 
 SPEIGEL, Murray R. Estatística. 3ª ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1993.