201654 185328 TrabalhoTansfLineares20141

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS
CIEˆNCIA EXATAS E TECNOLO´GICAS - Matema´tica
A´lgebra Linerar - Trabalho Transformac¸o˜es Lineares
Nome:.................................................................Data:29/05
As borboletas (butterfly) sa˜o recorrentes nas cieˆncias, o efeito borboleta faz parte da teoria
do caos, a qual encontra aplicac¸o˜es em qualquer a´rea das cieˆncias: exatas (engenharia, f´ısica,
etc), me´dicas (medicina, veterina´ria, etc), biolo´gicas (biologia, zoologia, botaˆnica, etc) ou
humanas (psicologia, sociologia, etc), na arte ou religia˜o, entre outras aplicac¸o˜es, seja em
a´reas convencionais e na˜o convencionais. Assim, o Efeito Borboleta encontra tambe´m espac¸o
em qualquer sistema natural, ou seja, em qualquer sistema que seja dinaˆmico, complexo e
adaptativo. Existe uma se´rie de filmes com o nome “The Butterfly Effect” (Efeito Borboleta)
fazendo refereˆncia a esta teoria.
Na f´ısica, a borboleta de Hofstadter e´ um objeto matema´tico que descreve o comporta-
mento teo´rico de ele´trons em um campo magne´tico. Foi descoberto por Douglas Hofstadter,
em 1976, que mais tarde abandonou a pesquisa f´ısica e tornou-se nota´vel como um cientista
da computac¸a˜o e autor. Leva o nome de sua semelhanc¸a visual com uma borboleta. E´
uma estrutura fractal e, como tal, apresenta auto-semelhanc¸a, o que significa que pequenos
fragmentos da estrutura conter uma (distorcida) co´pia de toda a estrutura. E´ um dos raros
estruturas fractais descobertas na f´ısica, juntamente com toro KAM.
Para testar se a borboleta de Hofstadter descreve o comportamento de ele´trons verdadeiros
exige medic¸o˜es precisas. Tal na˜o eram poss´ıveis quando escreveu seu artigo. Entretanto, a
pesquisa experimental mais recente confirmou a forma de borboleta caracter´ıstica.
Na figura abaixo apresentamos a curva da borboleta, que (incrivelmente) possui uma
parametrizac¸a˜o em coordenadas polares
r = ecos (θ) − 2 cos (4θ) + sin3 (θ/4).
Para cada uma das transformac¸o˜es do plano no plano abaixo determine:
(a) Escolha e apresente as coordenadas dos “ve´rtices” da borboleta que sa˜o mais relevantes
para estudar os efeitos das transformac¸o˜es lineares listadas abaixo.
(b) Baseado no item (a), estude o efeito geome´trico destas transformac¸o˜es sobre a borbo-
leta, aplicando estas transformac¸o˜es em cada um dos ve´rtices escolhidos. Denominem A, B,
C ... cada um destes ve´rtices (a livre escolha) e calculem a imagem destes pontos por cada
uma das TLs indicadas abaixo, isto e´, T (A), T (B), T (C) ....
(c) Represente para cada um dos casos, em dois planos xy independentes, a borbolta
original bem como sua imagem por cada uma das Ts. Dica: primeiro calculem a imagem dos
ve´rtices (item (b)) para somente depois representarem no gra´fico, pois assim sabera˜o melhor
como ajustar as escalas.
(d) Em cada caso verifique/comente se imagem da borboleta pelas Ts esta´ de acordo com
o que espera´vamos intuitivamente, principalmente se o nome dado a cada uma das Ts faz
sentido com o efeito geome´trico causado pelas mesmas (procure no Google a etimologia de
cada nome).
Obs:. Todos os ca´lculos devem aparecer no trabalho, se preferirem podem ser anexados
ao mesmo na forma de um apeˆndice (acredito que fique mais elegante assim). Estara´ sendo
avalidado na˜o somente a exatida˜o matema´tica, como tambe´m a organizac¸a˜o, apresentac¸a˜o,
criatividade e interpretac¸a˜o.
TRABALHOS IDEˆNTICOS SERA˜O AMBOS DESCONSIDERADOS!
1-Contrac¸a˜o uniforme: T1/2 : R
2 → R2
T1/2
(
x
y
)
=
(
1/2 0
0 1/2
)(
x
y
)
.
2-Reflexa˜o em torno do eixo x (e eixo y): Rx, Ry : R
2 → R2
Rx
(
x
y
)
=
(
1 0
0 −1
)(
x
y
)
; Ry
(
x
y
)
=
( −1 0
0 1
)(
x
y
)
.
3-Reflexa˜o em torno da origem: R0 : R
2 → R2
R0
(
x
y
)
=
( −1 0
0 −1
)(
x
y
)
.
4-Reflexa˜o em torno da reta r : y = ax, Rr : R
2 → R2 para a = 2 (Neste caso
representem esta reta tambe´m.(y = 2x))
Rr
(
x
y
)
=
(
1−a2
1+a2
2a
1+a2
2a
1+a2
a2−1
1+a2
)(
x
y
)
.
5-Projec¸a˜o no eixo x (e no eixo y): Px, Py : R
2 → R2
Px
(
x
y
)
=
(
1 0
0 0
)(
x
y
)
; Py
(
x
y
)
=
(
0 0
0 1
)(
x
y
)
.
6-Projec¸a˜o Ortogonal sobre a reta r : y = ax, Pr : R
2 → R2 para a = 1 (Neste caso
representem esta reta tambe´m.(y = x))
Pr
(
x
y
)
=
(
1
1+a2
a
1+a2
a
1+a2
a2
1+a2
)(
x
y
)
.
7-Rotac¸a˜o de um aˆngulo θ: Rθ : R2 → R2, para θ = 60o.
Rθ
(
x
y
)
=
(
cos (θ) − sin (θ)
sin (θ) cos (θ)
)(
x
y
)
.
8-Cisalhamento Horizontal: C1 : R
2 → R2
Cα
(
x
y
)
=
(
1 1
0 1
)(
x
y
)
.
9-Cisalhamento Vertical: C1/2 : R
2 → R2
Cβ
(
x
y
)
=
(
1 0
1/2 1
)(
x
y
)
.
10-Translac¸o˜es na direc¸a˜o do vetor (a, b)(NA˜O E´ TL): Tab : R
2 → R2, para (a, b) =
(1, 3).
Tab
(
x
y
)
=
(
1 0
0 1
)(
x
y
)
+
(
a
b
)
.