APS_Atividade Pratica Superficionada_Laje em Balanço

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Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas 
 
Campus São José dos Campos – Dutra 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE PRATICA SUPERFICIONADA 
(DIMENSIONAENTO DE LAJE EM BALANÇO) 
 
 
 
 
 
 
Universidade Paulista - UNIP 
São José dos Campos, 2015 
 
 
 
 
 
Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas 
 
Campi São José dos Campos – Dutra 
 
 
 
Bruno Sales de Oliveira (B4172C-3 / EC8-Q) 
Charles Pedro de Jesus Campos (B41FGC-0 / EC8-S) 
Klever de Souza Fernandes (B45859-3 / EC8-Q) 
Jeferson Fernando dos Santos Souza (A94FAJ-0 / EC8-P) 
Renata Sayuri Saito (B34033-9 / EC8-Q) 
Roberto Shoiti Tsushima Junior (B356CG-0 / EC8-Q) 
Silas Claudio V. T. Ferreira (B44489-4 / EC8-Q) 
 
 
Relatório técnico apresentado como requisito 
parcial para obtenção de aprovação na disciplina 
Atividade pratica superficionada, do Curso de 
Engenharia Civil, na Universidade Paulista de São 
José dos Campos. 
 
Prof. MSc. Joaquim Araújo Júnior. 
 
 
 
 
 
Universidade Paulista - UNIP 
São José dos Campos, 2015 
 
 
 
RESUMO 
 
O presente relatório será realizado considerações sobre laje em balanço no edifício 
localizado na Rua Anápolis, n° 1000, Bairro Parque Industrial, município de São 
José dos Campos, Estado de São Paulo. Além de realizar o dimensionamento de 
esta laje demonstrar os cálculos e fazer uma comparação entre os resultados do 
projetista do edifício e os universitários, aplicando o conhecimento apreendido em 
sala. 
 
Palavra-chave: laje, cálculo, resultados. 
 
 
ABSTRACT 
 
This report will be held on the balance sheet considerations slab in the building 
located in the State of São Paulo, São José dos Campos , District Industrial Park, 
Annapolis Street , n° 1000; and perform the design of this slab show the calculations 
and make a comparison between the building designer's results and university , 
applying the knowledge gained in the classroom. . 
 
 
Keyword : slab , calculation results. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO GERAL 
 
O presente estudo tem por finalidade realizar uma visita em um edifício com 
laje em balanço e recolher o memorial de cálculo do edifício. Após a visita o mesmo 
deve apresentar os cálculos e dimensionar a laje e fazer o detalhamento da mesma 
e por fim realizar uma comparação de resultados encontrados. 
 
 
OBJETIVO ESPECIFICO 
 
O objetivo específico e calcular momentos e cargas em uma laje em balanço 
e dimensionar armaduras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÃO 
 
Figura 1 - Bordo engastado ......................................................................................... 7 
Figura 2 - Bordo apoiado ............................................................................................. 8 
Figura 3 - Bordo livre ................................................................................................... 8 
Figura 4 - Visualização dos três tipos de bordos ......................................................... 8 
Figura 5 - Condições de contorno ............................................................................... 9 
Figura 6 - Três bordas com apoios simples e um engaste em ly .............................. 11 
Figura 7 - Diagrama dos momentos fletores ............................................................. 12 
Figura 8 - Vista da fachada ....................................................................................... 13 
Figura 9 - Projeto de implantação ............................................................................. 13 
Figura 10 - Laje em balanço construída .................................................................... 14 
Figura 11 - Momento Fletor ....................................................................................... 16 
Figura 12 - área de seção de barras por metro de largura (cm²/m) ........................... 18 
Figura 13 - Dimensionamento das armaduras de aço ............................................... 19 
Figura 14 - Dimensionamento vista lateral ................................................................ 19 
 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 1 - Valores do coeficiente adicional γn para lajes em balanço ........................ 5 
Tabela 2 - Classes de agressividade ambiental (CAA) ............................................... 6 
Tabela 3 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento 
nominal ........................................................................................................................ 7 
 
 
 
 
 
SUMARIO 
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 1 
2 LAJE EM BALANÇO ........................................................................................... 2 
3 AÇÕES A CONSIDERAR NOS PROJETOS DE EDIFICIOS .............................. 2 
3.1 Ações permanentes ....................................................................................... 2 
3.1.1 Ações permanentes diretas ..................................................................... 2 
3.1.2 Ações permanentes indiretas .................................................................. 3 
3.2 Ações Variáveis .............................................................................................. 3 
3.2.1 Ações variáveis diretas ............................................................................ 3 
3.2.2 Ações variáveis indiretas ......................................................................... 4 
3.3 Ações Excepcionais ....................................................................................... 4 
4 DISPOSIÇÕES NORMATIVAS............................................................................ 4 
4.1 Coeficiente de ponderação adicional para lajes em balanço.......................... 4 
4.2 Agressividade do ambiente ............................................................................ 5 
4.3 Cobrimento mínimo ........................................................................................ 6 
5 CONDIÇÕES DE CONTORNO ............................................................................ 7 
5.1 Lajes Isoladas ................................................................................................ 7 
6 MÉTODOS APROXIMADOS ............................................................................... 9 
6.1 Processo de Marcus ....................................................................................... 9 
7 CÁLCULO DOS ESFORÇOS NAS LAJES ....................................................... 11 
7.1 Procedimento ............................................................................................... 11 
8 VISITA NO EMPREENDIMENTO ...................................................................... 12 
9 MEMORIAL DE CÁLCULO ............................................................................... 14 
9.1 Dados iniciais ............................................................................................... 14 
9.2 Cálculos ....................................................................................................... 15 
10 CONCLUSÃO .................................................................................................... 20 
11 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 21 
 
1 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Este trabalho busca fazer uma analise dimensional comparativa de uma laje 
em balanço existente com mesma laje calculada pelos autores. 
Desta forma, no capitulo dois trazemos uma revisãobibliográfica de lajes em 
balanço. 
No capitulo três falamos sobre as cargas que devem ser analisadas e podem 
ser consideradas no dimensionamento da estrutura. 
No capitulo quatro é citada as disposições normativas, tudo conforme a NBR 
6118:2014. 
Da mesma forma, no capitulo cinco e seis trazemos as condições de contorno 
a considerar e o método de resolução do calculo dos esforços e em seguida, no 
capitulo oito temos a visita da nossa laje, seguindo nosso memorial de calculo no 
capitulo nove, sintetizado no capitulo dez com a conclusão do trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
2 LAJE EM BALANÇO 
 
Laje em balaço ou sacadas em balanço são estruturas formadas por vigas e 
lajes ou por apenas uma laje. A estrutura da sacada a ser projetada, depende 
principalmente do vão do balanço e da carga aplicada. As mais comuns na prática, 
como se pode verificar nas construções existentes, são formadas por lajes simples 
em balanço. Sacadas mais complexas, formadas por vigas e lajes, são pouco 
comuns. 
Nas sacadas devem ter um cuidado especial no cálculo das armaduras, e tem 
a característica de um momento negativo atuando da borda engastada, sendo assim 
a armadura negativa é essencial para que a laje não venha à ruína, principalmente 
quando é solicitada próxima a sua borda, aumentando o momento à medida que a 
carga é multiplicada pela distância do engastamento. 
 
3 AÇÕES A CONSIDERAR NOS PROJETOS DE EDIFICIOS 
 
3.1 Ações permanentes 
 
As ações permanentes são aquelas que ocorrem nas estruturas com valores 
constantes ou de pequena variação em torno de sua média, durante praticamente 
toda a vida da construção. As ações permanentes podem ser diretas ou indiretas: 
 
3.1.1 Ações permanentes diretas 
 
As ações permanentes diretas são assim consideradas aquelas oriundas dos 
pesos próprios dos elementos da construção, incluindo-se o peso próprio da 
estrutura e de todos os elementos construtivos permanentes, os pesos dos 
equipamentos fixos e os empuxos relativos ao peso próprio de terras não removíveis 
e de outras ações permanentes sobre a estrutura aplicadas. 
Em casos particulares, por exemplo, reservatórios e piscinas, os empuxos 
hidrostáticos também podem ser considerados permanentes. 
3 
 
Entre as ações permanentes diretas, no caso de estruturas de edifícios, podem 
ser incluídos os pesos próprios dos elementos de concreto armado, os pesos 
próprios dos pisos e revestimentos e das paredes divisórias que podem ser em 
alvenaria de tijolos. 
 
3.1.2 Ações permanentes indiretas 
 
No caso de estruturas de concreto as ações permanentes indiretas podem ser 
consideradas como as forças de protensão em peças de concreto protendido, os 
recalques de apoio por causa de deslocamentos dos elementos estruturais que 
servem de apoio ou por recalques do solo e retração dos materiais. A retração é 
uma ação importante no caso de elementos estruturais protendidos ou de pequena 
espessura. 
 
3.2 Ações Variáveis 
 
São as que ocorrem nas estruturas com valores que apresentam variações 
significativas em torno de sua média, durante a vida da construção. São as ações de 
uso das construções (pessoas, móveis, materiais diversos, veículos), bem como 
seus efeitos (forças de frenação, de impacto e centrifugas), efeitos do vento, das 
variações de temperatura, do atrito nos aparelhos de apoio e das pressões 
hidrostáticas e hidrodinâmicas. 
Em função de sua probabilidade de ocorrência durante a vida da construção, 
as ações variáveis são classificadas também em ações diretas e indiretas. 
 
 
3.2.1 Ações variáveis diretas 
 
As ações variáveis diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas 
para o uso da construção, pela ação do vento e da água, devendo-se respeitar as 
prescrições feitas por Normas Brasileiras específicas. As cargas acidentais 
correspondem normalmente a cargas verticais de uso da construção, cargas móveis, 
4 
 
considerando o impacto vertical, impacto lateral, força longitudinal de frenação ou 
aceleração e força centrífuga. 
Essas cargas devem ser dispostas nas posições mais desfavoráveis para o 
elemento estudado. 
 
 
3.2.2 Ações variáveis indiretas 
 
As ações variáveis indiretas são causadas pelas variações da temperatura, 
podendo ser com variação uniforme e não uniforme de temperatura. 
 
3.3 Ações Excepcionais 
 
São ações de duração extremamente curta e com muito baixa probabilidade 
de ocorrência durante a vida útil da construção. Devem ser consideradas no projeto 
se seus efeitos não puderem ser controlados por outros meios. São exemplos os 
abalos sísmicos, as explosões, os incêndios, choques de veículos, enchentes. 
 
4 DISPOSIÇÕES NORMATIVAS 
 
4.1 Coeficiente de ponderação adicional para lajes em balanço 
 
No dimensionamento das lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo 
a ser considerado dever ser multiplicados por um coeficiente adicional , de 
acordo com o indicado na Tabela 1. 
 
5 
 
Tabela 1 - Valores do coeficiente adicional γn para lajes em balanço 
 
 
 
4.2 Agressividade do ambiente 
 
 
Item 6.4.1 NBR6118: 2014; A agressividade do meio ambiente está 
relacionada às ações físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de concreto, 
independentemente das ações mecânicas, das variações volumétricas de origem 
térmica, da retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento das 
estruturas. 
 
Item 6.4.2 NBR6118: 2014; nos projetos das estruturas correntes, a 
agressividade ambiental deve ser classificada de acordo com o apresentado na 
Tabela 2 e pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições de 
exposição da estrutura ou de suas partes. 
 
Item 6.4.3 NBR6118: 2014; o responsável pelo projeto estrutural, de posse de 
dados relativos ao ambiente em que será construída a estrutura, pode considerar 
classificação mais agressiva que a estabelecida na Tabela 2. 
 
6 
 
Tabela 2 - Classes de agressividade ambiental (CAA) 
 
 
4.3 Cobrimento mínimo 
 
No item 7.4.7.2 da NBR6118: 2014, para garantir o cobrimento mínimo 
( ), o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal ( ), 
que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução ( ). Assim, as 
dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos 
nominais, estabelecidos na Tabela 3, para = 10 mm. 
E no item 7.4.7.3 da NBR6118: 2014, nas obras correntes, o valor de 
deve ser maior ou igual a 10 mm. 
 
7 
 
Tabela 3 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal 
 
 
5 CONDIÇÕES DE CONTORNO 
 
5.1 Lajes Isoladas 
 
 Para lajes isoladas, admite-se que utilize: 
 O bordo engastado representado pela figura 1 para quando tivermos vigas de 
apoio com grande rigidez; 
 
 
Figura 1 - Bordo engastado 
Fonte: Elaborado pelos autores 
8 
 
 
 O bordo apoiado representado pela figura 2 para quando tivermos vigas de 
apoio rigidez; 
 
 
Figura 2 - Bordo apoiado 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 E bordo livre representado pela figura 3, este é quando não existirem vigas de 
apoio. 
 
Figura 3 - Bordo livre 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
 
 
Modelo dos tipos de contorno: 
 
Figura 4 - Visualização dos três tipos de bordos 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
9 
 
Em função das várias combinações possíveis de vínculos nas quatro bordas 
das lajes retangulares, as lajes recebem números que diferenciam as combinações 
de vínculos nas bordas, como indicados na Figura 5.Figura 5 - Condições de contorno 
Fonte: Elaborado pelos autores 
Notas: 
O lado maior da laje denominou de Ly e o lado de menor dimensão denominou Lx. 
Só consideramos lado engastando, quando o engaste representar mais que dois terços do 
lado. 
6 MÉTODOS APROXIMADOS 
 
6.1 Processo de Marcus 
 
Marcus observou que o processo das grelhas fornecia valores relativamente 
altos para os momentos fletores positivos, propondo então coeficientes de correção 
para os mesmos. 
Os momentos negativos apresentaram valores semelhantes, não sendo, 
portanto alterados. 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
O processo de Marcus fornece, a partir dos coeficientes ( ) obtidos no 
processo das grelhas e dos coeficientes de correção propostos, as seguintes 
expressões que permitem calcular os momentos nos painéis isolados de lajes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 menor vão; 
 maior vão; 
 - momento fletor positivo na direção x; 
 - momento fletor positivo na direção y; 
 - momento fletor negativo (borda) na direção x; 
 - momento fletor negativo (borda) na direção y; 
 - carga uniformemente distribuída em toda laje; 
 - coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção x; 
 - coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção y; 
 - coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção x; 
11 
 
 - coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção y. 
 
A partir dos coeficientes de correção propostos por Marcus e dos resultados 
obtidos por Analogia de grelhas, Czerny construiu tabelas com valores dos 
coeficientes ( , , e ) em função dos valores de e do caso de condição 
de contorno da placa. 
Para o cálculo da laje em balanço utilizaremos a tabela Czerny conforme 
figura 5. 
 
Figura 6 - Três bordas com apoios simples e um engaste em ly 
Fonte: Elaborado pelos autores 
7 CÁLCULO DOS ESFORÇOS NAS LAJES 
 
7.1 Procedimento 
 
Para o procedimento de cálculo dos esforços nas lajes, determina-se, 
primeiramente, o carregamento sobre as lajes; segundo determina-se o caso de 
vinculação das tabelas de Czerny e obtém-se os coeficientes de Momento Fletor e 
por ultimo calculam-se os momentos fletores positivos e negativos nos painéis de 
lajes. 
 
 
12 
 
Diagrama dos momentos fletores, laje em balanço: 
 
 
Figura 7 - Diagrama dos momentos fletores 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Momentos fletores positivos e negativos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 VISITA NO EMPREENDIMENTO 
 
A visita realizada pelos componentes do grupo, no edifício localizado no 
Estado de São Paulo, município de São José dos Campos, Bairro Parque Industrial, 
Rua Anápolis, n° 1000; conseguimos recolher algumas informações com o mestre 
de obras, para a realização do relatório da laje em balanço. 
As informações do projeto de implantação do empreendimento residencial 
foram tiradas da planta de execução do mestre de obras, da parte da laje que está 
em balanço; o projetista utilizou 65 barras de 10 mm para armaduras negativas, 
além isso ele adotou armaduras positivas e armaduras contra fissuras o que não 
iremos dimensionar em nosso trabalho. 
13 
 
 
 
Figura 8 - Vista da fachada 
Fonte: Edifício Anápolis, Construtora San Bueno. 
 
 
Figura 9 - Projeto de implantação 
Fonte: Elaborado pelos autores 
14 
 
 
Figura 10 - Laje em balanço construída 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
9 MEMORIAL DE CÁLCULO 
 
9.1 Dados iniciais 
 
Para dar inicio aos cálculos precisamos saber o concreto e o aço determinado 
pelo projetista, assim temos: Concreto: C25 e Aço: CA-50. 
Além destes dados iremos determinar alguns parâmetros determinado por 
norma como o cobrimento, altura da laje não menor que 10 cm para lajes em 
balanço, as cargas permanentes de revestimentos, cargas acidentais, coeficiente de 
ponderação da resistência do concreto, coeficiente de ponderação das ações, 
coeficiente de ponderação da resistência do aço e coeficiente adicional para lajes 
em balanço; neste caso iremos adotar: 
Cobrimento nominal : 25 mm ou 2,5 cm 
Altura da laje adotada:12 cm 
15 
 
Carga de revestimento gr: 1 
 
 
 
Carga acidental q: 2 
 
 
 
Coeficiente de ponderação da resistência do concreto Ύc: 1,4 
Coeficiente de ponderação das ações Ύf: 1,4 
Coeficiente de ponderação da resistência do aço Ύs:1,15 
Coeficiente adicional para lajes em balanço Ύn: 1,35 
 
9.2 Cálculos 
 
fcd – resistência de cálculo à compressão do concreto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fyd – resistência de cálculo à compressão do aço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Peso próprio da laje: 
 
 
 
 
 
 
Pd – Carga de projeto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
Área de Concreto: 
 
 
 
 
Momento fletor da laje em balanço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 - Momento Fletor 
Fonte: Elaborado pelos autores 
Altura útil da laje: 
 
 
 
Onde: 
d – altura útil da laje 
 – Cobrimento nominal 
h – espessura da laje 
 
 
 
17 
 
Linha Neutra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
X – Linha Neutra 
d – altura útil da laje 
fcd - resistência de cálculo à compressão do concreto 
 momento fletor de cálculo, onde tem que entrar com o valor KN.cm 
 
Nota: O dimensionamento é feito para uma seção retangular de largura unitária 
(normalmente, bw=1m = 100cm) e altura igual á espessura total da laje, h. 
 
Área de aço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Armadura negativa (principal) de lajes armadas em uma direção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adotamos armadura final de 8,15 metros, pois ele e a maior ente armadura de 
aço. Depois vamos para a tabela de área de seção de barras por metro de largura 
(cm²/m) que se baseia na NBR 7480:1996 Barras e fios de aço destinados a 
armaduras para concreto armado conforme figura 12, e procuramos pela área igual 
a 8,15 ou a mais próxima, sempre adotando área acima. 
18 
 
 
Figura 12 - área de seção de barras por metro de largura (cm²/m) 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
Como podemos observar na figura 12, encontramos uma área de aço de 
(8,27 cm²/m), assim podemos determinar a quantidade de barras de aço e os 
espaçamentos, necessário para arma a laje. Desta forma sabemos que a laje tem 
uma dimensão de 520 cm na direção de Ly. 
Pegamos o valor de 520 cm e dividimos pelo espaçamento da barra de 9,5, 
para descobrir o numero de barras. 
 
 
 
 
 
Neste caso utilizaremos então55 barras com o diâmetro de 10 mm, conforme 
figura 13 e 14. 
 
Croqui das armaduras negativas na laje em balanço: 
 
19 
 
 
Figura 13 - Dimensionamento das armaduras de aço 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
Figura 14 - Dimensionamento vista lateral 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
10 CONCLUSÃO 
 
Na comparação entre os cálculos do projetista e o nosso, foi notado que 
houve uma diferença no numero de barras, isso deve ter ocorrido devido as 
considerações de cálculo, por exemplo; no nosso não adotamos carga de vento, 
analise combinatórias, os momentos fletores das outras lajes, dentre outros 
requisitos. O nosso cálculo foi simplificado, calculamos a nossa laje como viga. 
Outro critério que notamos foi em relação as armaduras positivas e de fissuras 
adotadas pelo projetista. Portando podemos concluir que o mais correto e utilizar as 
armadura realiza pelo o projetista uma vez que foram realizadas por software e 
consideração outras ações no calculo da laje em balanço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
11 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 8118:2014: Projeto de 
estruturas de concreto. Rio de Janeiro, 2014. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 7480:1996: Barras e 
fios de aço destinados a armaduras para concreto armado. Rio de Janeiro, 1996. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 6120:1980: Cargas 
para o cálculo de estrutura de edificações. Rio de Janeiro, 1980. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 7191:1982: Execução 
de desenhos para obras de concreto simples ou armado. Rio de Janeiro, 1982. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, NBR 8681:1984: Ações e 
segurança nas estruturas. Rio de Janeiro, 1984. 
GIONGO, José Samuel. Concreto Armado: Projeto Estrutural de Edifícios. São 
Carlos: Departamento de Engenharia de Estruturas Universidade de São Paulo 
Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 188 p. 
FRUCHTENGARTEN, Júlio; SILVA, Valdir Pegnatta e. Dimensionamento de 
Estrutura de Aço: PEF 2402 - Estruturas Metálicas e de Madeira. São Paulo: 
Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica da Escola Politécnica da 
Usp, 2012. 136 p.