3.3 Angulos Diretores e Cossenos diretores de um vetor

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR 
 
Seja o vetor 𝑣 = 𝑥𝚤 + 𝑦𝚥 + 𝑧𝑘 
 
Ângulos diretores de 𝑣 são os ângulos 𝛼,𝛽    𝑒  𝛾 que 𝑣 forma com os vetores 𝚤, 𝚥  𝑒  𝑘, 
respectivamente. 
 
 
Cossenos diretores de 𝑣 são os cossenos de seus ângulos diretores, isto é, 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽  𝑒  𝑐𝑜𝑠𝛾. 
Para o cálculos dos cossenos diretores temos: 
 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑣. 𝚤𝑣 𝚤 = 𝑥,𝑦, 𝑧 . (1,0,0)𝑣 . 1 = 𝑥𝑣 
 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑣. 𝚥𝑣 𝚥 = 𝑥,𝑦, 𝑧 . (0,1,0)𝑣 . 1 = 𝑦𝑣 
 𝑐𝑜𝑠𝛾 = 𝑣. 𝑘𝑣 𝑘 = 𝑥,𝑦, 𝑧 . (0,0,1)𝑣 . 1 = 𝑘𝑣 
 
 
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Exemplos: 
 
1) Calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor 𝑣 = (6,−2,3) 
2) Dados os pontos A(2,2,-3) e B(3,1,-3), calcular os ângulos diretores 
do vetor 𝐴𝐵. 
 
Propriedades 
 
I) seja o vetor 𝑣 = (𝑥,𝑦, 𝑧). Designando o versos de 𝑣 por 𝑢, vem: 𝑢 = 𝑣𝑣 = (𝑥,𝑦, 𝑧)𝑣 = 𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 , 𝑧𝑣 
ou 𝑢 = (𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾) 
portanto, as componentes do versor de um vetor são os cossenos diretores deste 
vetor. 
 
II) Como o versor de 𝑣 é um vetor unitário, tem-se (𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾) = 1 
mas: 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾 = 𝑐𝑜𝑠!𝛼 + 𝑐𝑜𝑠!𝛽 + 𝑐𝑜𝑠!𝛾 
 
logo: 𝑐𝑜𝑠!𝛼 + 𝑐𝑜𝑠!𝛽 + 𝑐𝑜𝑠!𝛾 = 1 
e 𝑐𝑜𝑠!𝛼 + 𝑐𝑜𝑠!𝛽 + 𝑐𝑜𝑠!𝛾 = 1 
 
portanto, a soma dos quadrados dos cossenos diretores de um vetor é igual a 1. 
 
Exemplos: 
 
1) Os ângulos diretores de um vetor são 𝛼, 45°  𝑒  60°. Determinar 𝛼. 
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2) Um vetor 𝑣 = (𝑥,𝑦, 𝑧) forma com os vetores 𝚤  𝑒  𝚥 ângulos de 60º e 120º, 
respectivamente. Determinar o vetor 𝑣, sabendo que 𝑣 = 2. 
 
 
PROJEÇÃO DE UM VETOR 
 
Sejam os vetores 𝑢  𝑒  𝑣 , com 𝑢 ≠ 0  𝑒  𝑣 ≠ 0 , e 𝜃 o ângulo formado por eles. 
Pretendemos calcular o vetor 𝑤 que representa a projeção de 𝑢 sobre 𝑣. Observe na 
ilustração a seguir duas situações possíveis, podendo ser 𝜃 um ângulo agudo ou 
obtuso. 
 
 
 
Do triângulo retângulo, vem: 
 𝑤 = 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑢 𝑢. 𝑣𝑢 . 𝑣 = 𝑢. 𝑣𝑣 
 
considerando 𝑤  𝑒  𝑣 com a mesma direção, segue-se que: 
 𝑤 = 𝑘𝑣, 𝑘 ∈ ℝ 
Então: 
 𝑤 = 𝑘 𝑣 
ou 𝑘 = 𝑤 . 1𝑣 = 𝑢. 𝑣𝑣 . 1𝑣 ∴ 𝑘 = 𝑢. 𝑣𝑣 ! 
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logo, 𝑤 = 𝑢. !! ! 𝑣 
 
Portanto o vetor projeção de 𝑢 sobre 𝑣 𝑝𝑟𝑜𝑗.! 𝑢 = 𝑤 é: 
 𝑝𝑟𝑜𝑗.! 𝑤 = 𝑢. 𝑣𝑣 𝑣𝑣 
ou 𝑝𝑟𝑜𝑗.! 𝑤 = 𝑢. 𝑣𝑣. 𝑣 𝑣 
 
 
Exemplos: 
 
1) Determinar o vetor projeção de 𝑢 = (2,3,4) sobre 𝑣 = (1,−1,0) 
2) Sejam os pontos A(1,2,-1), B(-1,0,-1) e C(2,1,2). Pede-se: 
a. Mostrar que o triângulo ABC e retângulo em A; 
b. Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC; 
c. Determinar o pé de altura do triângulo relativa ao vértice A.