AULA 12 Geometria 1 – Semelhança, Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo versao 1

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Geometria Plana 1 
Semelhança, Razões trigonométricas no triângulo retângulo 
 
Introdução 
Considere o triângulo retângulo ABC, com ângulo reto no vértice A, e os ângulos agudos  e . Note que  +  = 90o 
(são ditos complementares) e que a é a hipotenusa, b e c são os catetos. 
 
Baseado na figura acima definimos as razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo num 
triângulo retângulo, como sendo: 
 
a
b
sen 
 
a
c
cos
 
c
b
tg 
 
 
a
c
sen 
 
a
b
cos 
 
b
c
tg 
 
 
Como  +  = 90o, então: 
 
sen  = cos  cos  = sen  tg  = cotg  
 
Lembrete!!! 
cotg x = 1/tg x ou cotg x = cos x/sen x 
sec x = 1/cos x cossec x = 1/sen x 
 
Tabela de Valores de Seno, Cosseno e Tangente de Ângulos Notáveis. 
Ângulo Sen Cos Tg 
30º 
1
2
 
3
2
 
3
3
 
45º 
2
2
 
2
2
 1 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
Aula 12 – Prof Raul Brito 
 
2 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
 
 
 
 
 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
 
 
 
 
1o Caso (AAA): 
MA
 e 
 NB
  
 PC
 
 
2º Caso (LAL): 
MA
 e 
MP
AC
MN
AB

 
3º Caso (LLL): 
NP
BC
MP
AC
MN
AB

 
 
Para indicar que um triângulo ABC é semelhante a um triângulo MNP, usamos a notação: 
ABC ~ MNP 
 
Toda vez que dois triângulos forem semelhantes, poderemos montar a seguinte razão entre seus lados: 
ABC ~ MNP  
k
NP
BC
MP
AC
MN
AB

 
 
k  razão de semelhança entre os dois triângulos 
 
Dicas !!! 
 
Se dois triângulos são semelhantes, com razão de semelhança igual a k, então: 
 
 Os lados correspondentes são proporcionais (com razão k) 
 As alturas correspondentes são proporcionais (com razão k) 
 As bissetrizes correspondentes são proporcionais (com razão k) 
 As medianas correspondentes são proporcionais (com razão k) 
 Os perímetros são proporcionais (com razão k) 
 Os raios das circunferências inscritas (e também das circunscritas) são proporcionais (com razão k) 
 
Se dois triângulos são semelhantes, com razão de semelhança igual a k, então: 
 
 As áreas dos triângulos são proporcionais (com razão k2) 
 As áreas dos círculos inscritos são proporcionais (com razão k2) 
 As áreas dos círculos circunscritos são proporcionais (com razão k2) 
 
PROPRIEDADES 
 
1. Em todo triângulo, um segmento de reta paralelo a um dos lados e que intercepta os outros dois, determina um novo 
triângulo semelhante ao primeiro. 
60º 
3
2
 
1
2
 
3
 
 
3 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
 •ABC ~ •AMN 
 
 
 
 
2. Em todo triângulo, o segmento de reta que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e igual à 
sua metade. 
 
 
 
Na figura acima temos 
MBAM 
, 
NCAN 
 e 
BC//MN
, de onde concluímos que: 
 
BC
2
1
MN 
 
AMN ABC
1
A A
4

 
MNCB ABC
3
A A
4

 
 
 
3. A partir da propriedade acima, podemos demonstrar que a base média de um trapézio é igual à média aritmética das 
bases. 
 
 
 
Na figura acima, temos: 
MEHM
 e 
NFGN 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H
N
Bb G
E F
M
B
bb
BC//MN
2
bB
bm


 
4 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 1 
A figura representa uma fileira com n livros idênticos, em 
uma estante de 2,2 m de comprimento. Sabe-se que AB = 
DC = 20 cm e que AD = BC = 6 cm. Nessas condições, n é 
igual a: 
 
a) 32 
b) 33 
c) 34 
d) 35 
e) 36 
 
Questão 2 
Na figura seguinte, o raio da circunferência maior é o 
triplo do raio da menor. A reta s é tangente às duas 
circunferências. A reta t é tangente às duas 
circunferências no ponto em que elas se tangenciam 
externamente. 
t
s
 
Determine o valor de 
 
 
 
cos
2
: 
a) 
1
3
 d) 
3
2
 
b) 
1
2
 e) 
2
3
 
c) 
2
2
 
 
Questão 3 
 
5 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
Duas circunferências tangentes entre si são ambas 
tangentes aos dois lados de um ângulo de medida 2. 
Sabendo que a circunferência maior possui raio R, 
calcule o raio da circunferência menor. 
a) 
 

 
R.(1 sen )
r
1 sen
 d) 

 
R
r
1 sen 
 
b) 
 

 
R.(1 sen )
r
1 sen 
e) 

 
R
r
1 sen
 
 
c) 
 

 
R.(sen 1)
r
1 sen 
 
 
Questão 4 
Uma folha de papel ABCD de formato retangular é 
dobrada em torno do segmento EF, de maneira que o 
ponto A ocupe a posição G como mostra a figura. Se AE 
= 3 e BG = 1, então a medida do segmento AF é igual 
a: 
a) 
3 5
2
 
b) 
7 5
8
 
c) 
3 5
4
 
d) 
3 5
5
 
e) 
5
3
 
 A F B
E
D C
G
 
 
Questão 5 
Partindo ponto A caminhei 5km em linha reta, desviei 60° 
para a esquerda e caminhei mais 8km em linha reta, 
chegando ao ponto B, como se vê no esquema abaixo. 
 
 
 
Qual é a distância aproximada entre os pontos A e B? 
a) 9km d) 15km 
b) 11km e) 17km 
c) 13km 
 
Questão 6 
Na figura abaixo, considerando as dimensões fornecidas, 
determine a altura H do retângulo: 
 
6 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
105o
18 m
18 m
H
 
a) 
18 ( 3 + 1)m
 d) 58 m 
b) 
(10 3 + 9)m 
e) 
( 3 + 28)m
 
c) 
(2 + 3)m
 
 
 
Questão 7 
A figura mostra duas circunferências de raios 12 cm e 4 
cm, tangentes entre si e a uma reta horizontal. Determine 
a medida do ângulo . 
 
O

O’
 
 
Questão 8 
Na figura abaixo, ABCD é um retângulo, ABMN é um 
quadrado e MD é um arco de circunferência de centro A 
e raio AM. O valor de tg é: 
a) 
3
 
b) 
3
2
 
c) 
2
 
d) 
2
2
 
 
A
B C
D
M
N

 
 
Questão 9 
A grande sensação da última Expoarte foi a escultura 
“O.I.T.O.”, de 12 m de altura, composta por duas 
circunferências que reproduzimos abaixo com 
exclusividade: 
12 m
 
Para poder passar por um corredor de apenas 9 m de 
altura e chegar ao centro do salão principal, ela terá que 
ser inclinada. A escultura atravessou o corredor 
tangenciando o chão e o teto, como mostra a figura a 
seguir. 
Determine o ângulo de inclinação  indicado na figura. 
a) 15o 
b) 30º 
c) 20º 
d) 60º 
e) 45º 
 
9 m

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
Questão 10 
A área do triângulo ABC em função da altura há e dos 
ângulos  e  que ela forma com os dois lados 
adjacentes é: 
a) 
  2Ah (tg tg )
 
b) 
  2Ah (tg 2tg )
 
c) 
  2Ah (tg tg )
2
 
d) 
  2Ah (tg tg )
 
e) 
  2Ah (tg tg )
4
 
 


hA
A
B
C
 
 
 
Questão 11 
Em canteiros de obras de construção civil é comum 
perceber trabalhadores realizando medidas de 
comprimento e ângulos e fazendo demarcações por 
onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses 
canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. 
Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, 
três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras 
três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, 
conforme pode ser visto na figura, em que as estacas 
foram indicadas por letras. 
 
 
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria 
ser calçada com concreto.Nessas condições, a área a 
ser calçada corresponde: 
a) à mesma área do triângulo AMC. 
b) à mesma área do triângulo BNC. 
c) à metade da área formada pelo triângulo ABC. 
d) ao dobro da área do triângulo MNC. 
e) ao triplo da área do triângulo MNC. 
 
Questão 12 
A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada 
uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar 
sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e 
alcançou uma altura de 0,8 metros. A distância em 
metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir 
o ponto mais alto da rampa é: 
a) 1,16 metros. 
b) 3,0 metros. 
c) 5,4 metros. 
d) 5,6 metros. 
e) 7,04 metros. 
 
 
 
8 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
Questão 13 
(Fuvest) Um avião levanta voo para ir da cidade A à 
cidade B, situada a 500 km de distância. Depois de voar 
250 km em linha reta, o piloto descobre que a rota está 
errada e, para corrigi-la, ele altera a direção do voo de 
um ângulo de 90º. Se a rota não tivesse sido corrigida, a 
que distância ele estaria de B após ter voado os 500 km 
previstos? 
a) 500 km 
b) 450 km 
c) 300 km 
d) 250 km 
e) 200 km 
 
Questão 14 
(G1-Adaptada) Na figura a seguir, 
ˆ ˆC E
, BC = 2 cm, 
AB = 4 cm, DE = 6 cm e AE = 9 cm. Qual o valor de 
AC + AD? 
 
a) 18 
b) 15 
c) 14 
d) 12 
e) 10 
 
Questão 15 
(G1-Adaptada) Na figura, sabe-se que 
ˆ ˆS e B
 são 
congruentes, AR = 7 cm, AS = 5 cm, SR = 4 cm e 
AB = 10 cm. Qual o valor de AD + BD? 
 
a) 32 
b) 28 
c) 22 
d) 20 
e) 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
Questão 16 
A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura 
mede 60 cm. No mesmo momento, ao seu lado, a sobra 
projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a 
sobra do poste diminui 50 cm, a sombra da pessoa 
passou a medir: 
a) 30 cm 
b) 45 cm 
c) 50 cm 
d) 80 cm 
e) 90 cm 
 
Questão 17 
(FGV-Adaptada) Na figura a seguir, AB e CD são 
paralelas, AB = 136, CE = 75 e CD = 50. Quanto mede o 
segmento AE? 
 
a) 136 
b) 306 
c) 204 
d) 163 
 
Questão 18 
O dono de um sítio pretende colocar uma haste de 
sustentação para melhor firmar dois postes de 
comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a 
situação real na qual os postes são descritos pelos 
segmentos AC e BD e a haste é representada pelo 
segmentos EF, todos perpendiculares ao solo, que é 
indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e 
BC representam cabos de aço que serão instalados. 
 
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? 
a) 1 m 
b) 2 m 
c) 2,4 m 
d) 3m 
e) 
2 6 m
 
 
 
 
10 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
Questão 19 
(UEL) Na figura a seguir, são dados: ângulo
ˆABC
= 
ângulo
ˆEDC
, ED = 2,5 cm, AB = 6 cm, BC = 9 cm e AC = 
12 cm. 
 
Se os triângulos da figura são semelhantes, o perímetro 
do triângulo EDC é, em centímetros: 
a) 11,25 
b) 11,50 
c) 11,75 
d) 12,25 
e) 12,50 
 
Questão 20 
(UFRS) Para estimar a profundidade de um poço com 
1,10 m de largura, uma pessoa cujos olhos estão a 1,60 
m do chão posiciona-se a 0,50 m de sua borda. Desta 
forma, a borda do poço esconde exatamente seu fundo, 
como mostra a figura. 
 
Com os dados acima, a pessoa conclui que a 
profundidade do poço é: 
a) 2,82 m 
b) 3,00 m 
c) 3,30 m 
d) 3,52 m 
e) 3,85 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas 
uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, 
na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a 
vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a 
altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas 
torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de 
base quadrada e uma delas pode ser observada na 
imagem. 
 
 
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 
15º e duas casas decimais nas operações, descobre-se 
que a área da base desse prédio ocupa na avenida um 
espaço 
a) menor que 100m2. d) entre 500m2 e 700m2. 
b) entre 100m2 e 300m2. e) maior que 700m2. 
c) entre 300m2 e 500m2. 
 
Questão 02 
Em uma das primeiras tentativas de determinar a medida 
do raio da Terra, os matemáticos da antiguidade 
observavam, do alto de uma torre ou montanha de altura 
conhecida, o ângulo sob o qual se avistava o horizonte, 
tangente à Terra, considerada esférica, conforme mostra 
a figura. Segundo esse raciocínio, o raio terrestre em 
função do ângulo 
α
 é dado por: 
 
a) 
 sen h
R
1 sen
α
α


 d) 
1 sen
R
hsen
α
α


 
b) 
hsen
R
1 sen
α
α


 e) 
1 sen
R
hsen
α
α


 
c) 
hsen
R
sen – 1
α
α

 
 
 
 
 
 
12 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
Questão 03 
Um empreendedor está desenvolvendo um sistema para 
auxiliar o julgamento de lances duvidosos em partidas de 
futebol. Seu projeto consiste de um chip instalado na 
bola e um sensor posicionado em um dos cantos do 
campo (ponto P). 
 
O sensor detecta a distância r entre os pontos P e B 
(bola) e a medida 
α
 do ângulo 
ˆBPQ.
 Em seguida, 
transforma essas informações nas distâncias x e y 
indicadas na figura. Isso pode ser feito por meio das 
expressões 
a) 
1
x sen
r
α
 e 
1
y cos .
r
α
 
b) 
2x r cosα
 e 
2y r sen .α
 
c) 
x r sen2α
 e 
y r cos2 .α
 
d) 
x r cosα
 e 
y r sen .α
 
e) 
1
x sen2
r
α
 e 
1
y cos2 .
r
α
 
 
Questão 04 
Numa escola, o acesso entre dois pisos desnivelados é 
feito por uma escada que tem quatro degraus, cada um 
medindo 24 cm de comprimento por 12 cm de altura. 
Para atender à política de acessibilidade do Governo 
Federal, foi construída uma rampa, ao lado da escada, 
com mesma inclinação, conforme mostra a foto a seguir. 
 
 
 
Com o objetivo de verificar se a inclinação está de 
acordo com as normas recomendadas, um fiscal da 
Prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz com 
o solo. 
O valor encontrado pelo fiscal 
a) estava entre 
30
 e 
45 .
 
b) era menor que 
30 .
 
c) foi exatamente 
45 .
 
d) era maior que 
45 .
 
 
 
 
13 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
Questão 05 
Os lados iguais de um triângulo isósceles têm 
comprimento 
3
cm e os ângulos congruentes medem 
30 .
 O perímetro deste triângulo em cm é 
a) 
2 3 3
 
b) 
2 3 2
 
c) 
8 3
 
d) 
3 3
 
e) 
3 3
 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de 
Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. 
Uma das constatações que fez foi a de que existe 
grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 
 
Questão 06 
Em uma aula prática de Topografia, os alunos aprendiam 
a trabalhar com o teodolito, instrumento usado para 
medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é 
possível medir a largura y de um rio. De um ponto A, o 
observador desloca-se 100 metros na direção do 
percurso do rio, e então visualiza uma árvore no ponto C, 
localizada na margemoposta sob um ângulo de 60°, 
conforme a figura abaixo. 
 
 
 
Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em 
metros, é 
a) 
100 3
3
 
b) 
100 3
2
 
c) 
100 3
 
d) 
50 3
3
 
e) 200 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
As ruas e avenidas de uma cidade são um bom exemplo 
de aplicação de Geometria. 
Um desses exemplos encontra-se na cidade de Mirassol, 
onde se localiza a Etec Prof. Mateus Leite de Abreu. 
A imagem apresenta algumas ruas e avenidas de 
Mirassol, onde percebemos que a Av. Vitório Baccan, a 
Rua Romeu Zerati e a Av. Lions Clube/Rua Bálsamo 
formam uma figura geométrica que se aproxima muito de 
um triângulo retângulo, como representado no mapa. 
 
 
 
Considere que 
– a Rua Bálsamo é continuação da Av. Lions Clube; 
– o ponto A é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a 
Av. Lions Clube; 
– o ponto B é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a 
Rua Bálsamo; 
– o ponto C é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a 
Rua Romeu Zerati; 
– o ponto D é a intersecção da Rua Bálsamo com a Rua 
Vitório Genari; 
– o ponto E é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a 
Rua Vitório Genari; 
– a medida do segmento 
AC
 é 220 m; 
– a medida do segmento 
BC
 é 400 m e 
– o triângulo ABC é retângulo em C. 
 
Questão 07 
Para resolver a questão, utilize a tabela abaixo. 
 
 26° 29° 41° 48° 62° 
sen 0,44 0,48 0,66 0,74 0,88 
cos 0,90 0,87 0,75 0,67 0,47 
tg 0,49 0,55 0,87 1,11 1,88 
 
No triângulo ABC, o valor do seno do ângulo 
ˆABC
 é, 
aproximadamente, 
a) 0,44. 
b) 0,48. 
c) 0,66. 
d) 0,74. 
e) 0,88. 
 
 
 
 
 
15 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
Questão 08 
Considere um triângulo 
ABC
 retângulo em 
C
 e 

 o 
ângulo 
ˆBAC.
 Sendo 
AC 1
 e 
1
sen( ) ,
3
 
 quanto vale a 
medida da hipotenusa desse triângulo? 
 
 
a) 
3
 
b) 
2 2
3
 
c) 
10
 
d) 
3 2
4
 
e) 
3
2
 
 
Questão 09 
O valor de 
cos45 sen30
é :
cos60

 
a) 
2 1
 b) 2 c) 
2
4
 
d) 
2 1
2

 e) 0 
 
Questão 10 
A figura a seguir apresenta um quadrado DEFG e um 
triângulo ABC cujo lado BC mede 40 cm e a altura AH, 
24 cm. 
 
 
 
A medida do lado desse quadrado é um número 
a) par. 
b) primo. 
c) divisível por 4. 
d) múltiplo de 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
Questão 11 
A figura abaixo tem as seguintes características: 
 
- o ângulo 
Eˆ
 é reto; 
- o segmento de reta 
AE
 é paralelo ao segmento 
BD;
 
- os segmentos 
AE,
 
BD
 e 
DE,
 medem, 
respectivamente, 5, 4 e 3. 
 
 
 
O segmento 
AC,
 em unidades de comprimento, mede 
a) 8. 
b) 12. 
c) 13. 
d) 
61.
 
e) 
5 10.
 
 
Questão 12 
Numa festa junina, além da tradicional brincadeira de 
roubar bandeira no alto do pau de sebo, quem 
descobrisse a sua altura ganharia um prêmio. O 
ganhador do desafio fincou, paralelamente a esse 
mastro, um bastão de 1m. Medindo-se as sombras 
projetadas no chão pelo bastão e pelo pau, ele 
encontrou, respectivamente, 25 dm e 125 dm. Portanto, 
a altura do “pau de sebo”, em metros, é 
a) 5,0. 
b) 5,5. 
c) 6,0. 
d) 6,5. 
 
Questão 13 
 
 
O valor do lado de um quadrado inscrito em um triângulo 
retângulo, conforme o esboço mostrado na figura, é 
a) 10. 
b) 8. 
c) 6. 
d) 4. 
e) 2. 
 
 
 
 
 
17 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
Questão 14 
O retângulo DEFG está inscrito no triângulo isósceles 
ABC, como na figura abaixo: 
 
Assumindo DE GF EF DG AB ,= =12, = = 8 e =15 a 
altura do triângulo ABC é: 
a) 
35
4
 d) 
180
7
 
b) 
150
7
 e) 
28
5
 
c) 
90
7
 
 
Questão 15 
Numa projeção de filme, o projetor foi colocado a 12 m 
de distância da tela. Isto fez com que aparecesse a 
imagem de um homem com 3 m de altura. Numa sala 
menor, a projeção resultou na imagem de um homem 
com apenas 2 m de altura. Nessa nova sala, a distância 
do projetor em relação à tela era de 
a) 18 m. 
b) 8 m. 
c) 36 m. 
d) 9 m. 
 
Questão 16 
Um telhado inclinado reto foi construído sobre três 
suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e 
C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas 
extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros 
e 6 metros de altura. 
 
 
 
A altura do suporte em B é, então, de: 
 
a) 4,2 metros. 
b) 4,5 metros. 
c) 5 metros. 
d) 5,2 metros. 
e) 5,5 metros. 
 
 
 
18 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
Questão 17 
No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são 
respectivamente pontos médios dos lados 
AB
e 
AC
.O 
segmento 
MN
mede 6 cm. 
 
 
 
A área do triângulo ABC mede: 
 
a) 
218 3 cm
 
b) 
224 2 cm
 
c) 
230 2 cm
 
d) 
230 3 cm
 
e) 
236 3 cm
 
 
Questão 18 
Uma folha de papel retangular foi dobrada como mostra 
a figura abaixo. De acordo com as medidas fornecidas, a 
região sombreada, que é a parte visível do verso da 
folha, tem área igual a: 
 
 
 
a) 24 cm2 
b) 25 cm2 
c) 28 cm2 
d) 35 cm2 
e) 36 cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
Questão 19 
Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada 
na parede de sua casa, de forma que o topo da escada 
ficou a uma altura de 4 m. Enquanto Roberto subia os 
degraus, a base da escada escorregou por 1 m, tocando 
o muro paralelo à parede, conforme ilustração abaixo. 
Refeito do susto, Roberto reparou que, após deslizar, a 
escada passou a fazer um ângulo de 45º com o piso 
horizontal. A distância entre a parede da casa e o muro 
equivale a 
 
 
 
a) 4
3
+ 1 metros 
b) 3
2
−1 metros 
c) 4
3
metros 
d) 3
2
−2 metros 
e) 4
3
+ 2 metros 
 
Questão 20 
A figura abaixo exibe um retângulo 
ABCD
 decomposto 
em quatro quadrados. 
 
 
 
O valor da razão 
AB
BC
 é igual a 
a) 
5
.
3
 
b) 
5
.
2
 
c) 
4
.
3
 
d) 
3
.
2
 
e) 1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
RESOLUÇÕES DAS QUESTÕES DE CASA 
 
Questão 01: 
Resolução: Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa. 
 
 
 
Do triângulo 
ABC,
 obtemos: 
BC BC
tgBAC tg15 BC 114 tg15 BC 114 0,26 BC 29,64 m
114AB
            
. 
Portanto, como a base é um quadrado, segue-se que sua área é aproximadamente igual a: 
 
2 2 2BC 29,64 878,53 m . 
 
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 02: 
Resolução: Supondo que a Terra seja uma esfera, considere a figura. 
 
 
 
Como 
AB
 é tangente à esfera, segue que 
OB AB.
 Além disso, 
AO h R 
 e 
OB R.
 Portanto, do triângulo 
AOB,
 
obtemos: 
 
 
OB R
sen sen R h R sen R hsen Rsen R Rsenhsen
h RAO
hsen
 R 1 sen hsen R .
1 sen
                   


      
 
 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 03: 
Resolução: Considere a figura. 
 
 
21 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
 
 
Da figura, temos: 
x
cos x r cos
r
    
 e 
y
sen y r sen .
r
    
 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 04: 
Resolução: Seja 

 o ângulo que a rampa faz com o solo. 
O ângulo 

 é tal que 
12
tg 0,50.
24
  
 
Desse modo, como a função tangente é crescente, calculamos os ângulos notáveis de 30°, 45° e 60°. Como 
3
tg30 0,58 0,50 tg30 tg 30
3
           
 logo, temos 
30  
. 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 05: 
Resolução: Considere o triângulo isósceles 
ABC
, de base 
BC.
 Assim, 
AB AC 3 cm 
 e 
ABC ACB 30 .  
 Sendo 
M
 o ponto médio de 
BC,
 do triângulo 
AMC,
 vem: 
 
 
Da figura, temos: 
 
2x 3 x 3
cos30 2x 3 2x 3 x
2 23 3
         
. 
Note que 
3 3 6
BC x x BC BC BC 3 cm
2 2 2
        
. 
Portanto, o resultado é 
AB AC BC 3 3 3 AB AC BC (2 3 3)cm         
. 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 06: 
Resolução: Utilizando a razão trigonométrica tangente, temos: 
y y
tg 60 3 y 100 3 m
100 100
     
. 
 
Resposta: Alternativa C 
 
Questão 07: 
 
22 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
Resolução: Pelo Teorema de Pitágoras, segue que: 
2 2 2 2 2 22 2AB AC BC AB 220 400 AB 48400 160000 AB 208400 AB 208400 
 AB 456,5 m.
           
 
 
Portanto, 
     AC 220sen ABC sen ABC sen ABC 0,48.
456,5AB
    
 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 08: 
Resolução: Sabendo que 
AC 1
 e 
1
sen ,
3
 
 vem 
BC 1 BC AB
sen BC
3 3AB AB
     
. 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos: 
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22
2
AB AB 9AB AB 8 AB
AB AC BC AB 1 AB 1 1 1 8 AB 9 
3 9 9 9
9 9 9 3 3 2 3 2 3 2
 AB AB AB AB AB AB AB .
8 8 2 2 48 2 2 2 2 2
   
               
 
              

 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 09: 
Resolução: Chamando a expressão de E, e substituindo os valores, temos: 
 2 1 1 2 1
2 2 2E E E 2 1
1 1
2 2
  
     
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 10: 
Resolução: Seja a medida do lado do quadrado 
DEFG
. Então podemos montar a seguinte figura: 
 
Os triângulos 
ABC
 e 
AEF
 são semelhantes por AA. 
Portanto, 
EF AP
 
40BC AH
 
5
24
24


3
120
 3 120 5 3 5 120 8 120 15cm
8
           
, que é um 
múltiplo de 
5.
 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 11: 
Resolução: Desde que os triângulos 
ACE
 e 
BCD
 são semelhantes por AA, vem: 
 
23 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
 CD BD CD 4 5CD 4 CD 3 5CD 4CD 12 5CD 4CD 12 CD 12
5CE AE CD 3
             

. 
Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo 
ACE,
 encontramos: 
2 2 2 2 2 22 2AC AE CE AC 5 15 AC 25 225 AC 250 AC 250 AC 25 10
 AC 5 10.
              
 
 
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 12: 
Resolução: Sabendo que a altura é proporcional ao comprimento da sombra projetada, segue-se que a altura 
h
 do pau 
de sebo é dada por: 
h 1 125
 25h 125 h h 5 m.
125 25 25
      
 
 
Resposta: Alternativa A 
 
Questão 13: 
Resolução: Considere a figura. 
 
 
 
É fácil ver que os triângulos 
BFE
 e 
DGC
 são semelhantes por AA. Portanto, se é a medida do lado do quadrado, 
temos: 
2DG BF 8 16 16 4
2GC FE
        
. 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 14: 
Resolução: Seja h a altura do triângulo ABC. 
Como os triângulos ABC e DGC são semelhantes, veja a figura, temos que: 
 
 
h 12 8 180
 15h 180 8h 15h 8h 180 7h 180 h u.c.
h 15 7

          
 
 
 
24 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 15: 
Resolução: Se 
d
 é a distância procurada, então temos: 
d 2 24
 3d 24 d d 8 m
12 3 3
      
. 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 16: 
Resolução: Por semelhança, na figura abaixo: 
 
GE HF x 2 x 2
 x 1,2 m
12 8 12 12 20ED FD
      

. 
Logo 
BG x 4 BG 1,2 4 BG 5,2      
 
 
Resposta: Alternativa D 
 
Questão 17: 
Resolução: Como M e N são os pontos médios, então MN é base média, logo: 
BC
MN BC 2MN BC 2 6 BC 12
2
       
. 
Assim, lembrando a expressão da área de um triângulo equilátero, temos: 
2
2
2
3
A , com 12 cm
4
12 3 144 3
A A A 36 3 cm
4 4
 
    
 
 
Resposta: Alternativa E 
 
Questão 18: 
Resolução: Completando a figura, temos: 
 
No triângulo 
1t
, temos por Pitágoras: 
2 2 2 2 210 6 BC 100 36 BC BC 64 BC 8 cm        
 
Como a folha foi dobrada, então conservamos as medidas, ou seja, AB = BF e AE = EF, assim temos, no retângulo: 
a + b = 8  b = 8 – a 
e no triângulo 
4t
: 
 
22 2 2 2 2 2 2 80a b 4 a a 8 4 a a 16a 64 16 16a 80 a a 5
16
                
. 
 
25 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
Logo a área sombreada será: 
2bh 10.5 50A A A A 25 cm
2 2 2
      
 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 19: 
Resolução: Da figura abaixo, temos: 
 
Passo 1: Pelo teorema de Pitágoras, na figura DEPOIS: 
2 2 2 2 2a c c a 2c   
. 
Passo 2: Pelo teorema de Pitágoras, na figura ANTES: 
2 2 2 2 2 2 2 2a b 4 2c b 16 b 2c 16 b c 16          
. 
Passo 3: Das duas figuras: 
 
 
 
2
22 2
2 2 2
2
b 1 c b c 1 2c 16 c 1 2c 16 c 1 
 2c 16 c 2c 1 c 2c 17 0
2 4.1. 17 4 68 72
2 72 2 6 2 2 6 2
c c c c 3 2 1
2.1 2 2
              
 
        
          
     
       
. 
 
Resposta: Alternativa B 
 
Questão 20: 
Resolução: Chamando o lado do quadrado menor de a, podemos encontrar os valores dos lados dos outros quadrados, 
em função de a, conforme a figura: 
 
Assim, temos AB = 5a e BC = 3a, logo: 
AB 5a AB 5
 
3a 3BC BC
  
 
 
Resposta: Alternativa A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 7 A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA