EP9 ME1 - Gabrito

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ME´TODOS ESTATI´STICOS I
EXERCI´CIO PROGRAMADO 9
2o Semestre de 2011
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. Dado P (A) = 1
2
, P (B) = 1
3
e P (A ∩B) = 1
4
. Determine:
a) P (A ∪B) ; b) P (A|B) ; c) P (B|A) ;
d) P [(A ∪B)|B] e) P (A|B) ; f) P (B|A) .
2. Assuma o experimento “lanc¸ar dois dados e verificar as faces voltadas para cima” onde x1 repre-
senta a face do dado 1 e x2 representa a face do dado 2 e sejam os eventos:
A = {(x1, x2)|x1 + x2 = 8} ;
B = {(x1, x2)|x1 = x2} ;
C = {(x1, x2)|x1 + x2 = 10} ;
D = {(x1, x2)|x1 > x2} ;
E = {(x1, x2)|x1 = 2x2} .
Determine:
a) P (A|B) ; b) P (C|D) ; c) P (D|E) ; d) P (A|C) ; e) P (C|E) ; f) P (C|A) ;
g) P (A|D) ; h) P (B|C) ; i) P (A|E) ; j) P (B|E) ; l) P [A|(B ∩ C)] ;
m) P [(A ∩B)|(C ∩D)] .
3. Em um grupo de 15 pessoas, temos a seguinte configurac¸a˜o:
Homens Mulheres
Menores 5 3
Adultos 5 2
Uma pessoa e´ escolhida ao acaso. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de ser homem?
b) Qual a probabilidade de ser adulto?
c) Qual a probabilidade de ser uma mulher menor?
d) Sabendo-se que foi escolhido um adulto, qual a probabilidade de ser homem?
e) Dado que foi escolhida uma mulher, qual a probabilidade de ser menor?
f) O fato de escolher uma mulher depende de a pessoa ser adulta?
4. Certo aparelho eletroˆnico tem duas laˆmpadas que podem estar acesas ou apagadas, com probabili-
dades como mostra a tabela abaixo:
1
Laˆmpada 1
Acesa
Apagada
Laˆmpada 2
Acesa Apagada
0,15 0,45
0,10 0,30
a) O fato “laˆmpada 1 acesa” e´ independente de “laˆmpada 2 acesa”?
b) O fato “laˆmpada 1 apagada” e´ independente de “laˆmpada 2 acesa”?
c) Qual a probabilidade de uma laˆmpada estar acesa enquanto a outra esta´ apagada?
5.(AD2 - Questa˜o 3)* - (2,5 pontos) A empresa M&B tem 15.800 funciona´rios classificados de
acordo com a tabela abaixo:
Sexo
Idade Masculino (M) Feminino (F) Total
< 25 anos (A) 2.000 800 2.800
De 25 a 40 anos (B) 4.500 2.500 7.000
> 40 anos (C) 1.800 4.200 6.000
Total 8.300 7.500 15.800
Se um funciona´rio e´ selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de ele:
a) Ter 40 anos ou menos?
b) Ser do sexo feminino com 25 anos ou mais?
c) Ser do sexo masculino ou ter menos de 25 anos?
d) Ser do sexo feminino, dado que tem mais de 40 anos?
e) Ser do sexo masculino, dado que tem entre 25 e 40 anos, inclusive?
2
Soluc¸o˜es:
1.
a)
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 1
2
+
1
3
− 1
4
=
6 + 4− 3
12
=
7
12
.
b)
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
=
1/4
1/3
=
1
4
× 3
1
=
3
4
.
c)
P (B|A) = P (A ∩B)
P (A)
=
1/4
1/2
=
1
4
× 2
1
=
2
4
=
1
2
.
d)
P [(A ∪B)|B] = P [(A ∪B) ∩B]
P (B)
Pela propriedade (6.13) da aula 6,
(A ∪B) ∩B = B.
Assim:
P [(A ∪B)|B] = P [(A ∪B) ∩B]
P (B)
=
P (B)
P (B)
= 1.
e)
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
=
P (A ∪B)
1− P (B) =
1− P (A ∪B)
1− P (B) =
1− 7/12
1− 1/3 =
5/12
2/3
=
5
12
× 3
2
=
15
24
=
5
8
.
f)
P (B|A) = P (A ∩B)
P (A)
=
P (A ∪B)
1− P (A) =
1− P (A ∪B)
1− P (A) =
1− 7/12
1− 1/2 =
5/12
1/2
=
5
12
× 2
1
=
10
12
=
5
6
.
2.
O espac¸o amostral do lanc¸amento de dois dados e´:
3
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
Ω= (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Logo:
#Ω = 36.
O evento A e´ o conjunto:
A = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
Logo:
#A = 5 e P (A) = 5
36
.
O evento B e´ o conjunto:
B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
Logo:
#B = 6 e P (B) = 6
36
.
O evento C e´ o conjunto:
C = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
Logo:
#C = 3 e P (C) = 3
36
.
O evento D e´ o conjunto:
D = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}
Logo:
#D = 15 e P (D) = 15
36
.
O evento E e´ o conjunto:
E = {(2, 1), (4, 2), (6, 3)}
Logo:
#E = 3 e P (E) = 3
36
.
A seguir, vemos diversas intersec¸o˜es:
A∩B = {(4, 4)}, A∩C = ∅, A∩D = {(5, 3), (6, 2)}, A∩E = ∅, B∩E = ∅, B∩C = {(5, 5)},
C ∩D = {(6, 4)}, C ∩E = ∅, D∩E = {(2, 1), (4, 2), (6, 3)}, A∩B∩C = ∅, A∩B∩C ∩D = ∅.
Como consequeˆncia temos as respectivas probabilidades:
P (A∩B) = 1
36
, P (A∩C) = 0, P (A∩D) = 2
36
, P (A∩E) = 0, P (B∩E) = 0, P (B∩C) = 1
36
,
P (C ∩D) = 1
36
, P (C ∩ E) = 0, P (D ∩ E) = 3
36
, P (A ∩B ∩ C) = 0, P (A ∩B ∩ C ∩D) = 0.
4
De posse destas informac¸o˜es, podemos resolver os itens desta questa˜o:
a)
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
=
1/36
6/36
=
1
6
.
b)
P (C|D) = P (C ∩D)
P (D)
=
1/36
15/36
=
1
15
.
c)
P (D|E) = P (D ∩ E)
P (E)
=
3/36
3/36
= 1.
d)
P (A|C) = P (A ∩ C)
P (C)
=
0
3/36
= 0.
e)
P (C|E) = P (C ∩ E)
P (E)
=
0
3/36
= 0.
f)
P (C|A) = P (A ∩ C)
P (A)
=
0
5/36
= 0.
g)
P (A|D) = P (A ∩D
P (D)
=
2/36
15/36
=
2
15
.
h)
P (B|C) = P (B ∩ C)
P (C)
=
1/36
3/36
=
1
3
.
i)
P (A|E) = P (A ∩ E)
P (E)
=
0
3/36
= 0.
j)
P (B|E) = P (B ∩ E
P (E)
=
0
3/36
= 0.
l)
P [A|(B ∩ C)] = P (A ∩B ∩ C)
P (B ∩ C) =
0
1/36
= 0.
m)
P [(A ∩B)|(C ∩D)] = P (A ∩B ∩ C ∩D)
P (C ∩D) =
0
1/36
= 0.
5
3.
Sejam os eventos:
H : homem; M : mulher; Me : menor; A : adulto.
a)
P (H) =
#H
#Ω
=
10
15
=
2
3
.
b)
P (A) =
#A
#Ω
=
7
15
.
c)
P (M ∩Me) = #(M ∩Me)
#Ω
=
3
15
=
1
5
.
d)
P (H|A) = P (A ∩H)
P (A)
=
5/15
7/15
=
5
7
.
e)
P (Me|M) = P (M ∩Me)
P (M)
=
3/15
5/15
=
3
5
.
f) Para que A e M sejam independentes e´ necessa´rio que:
P (A)P (M) = P (A ∩M)
No nosso caso. P (A) = 7
15
, P (M) = 5
15
= 1
3
e P (A ∩M) = 2
15
.
P (A)P (M) =
7
15
× 1
3
=
7
45
.
Podemos observar que:
7
45
6= 2
15
.
Logo:
P (A)P (M) 6= P (A ∩M)
Consequentemente A e M na˜o sa˜o independentes. Logo: SA˜O DEPENDENTES.
4.
Sejam os eventos:
L1 : laˆmpada 1 acesa; L2 : laˆmpada 2 acesa; L1 : laˆmpada 1 apagada e L2 : laˆmpada 2
apagada.
a probabilidade de a laˆmpada 1 estar acesa e´ a probabilidade de ela estar acesa estando a laˆmpada 2
acesa ou apagada. O racioc´ıcnio estende-se aos demais casos.
Assim:
P (L1) = 0, 60 , P (L2) = 0, 25 , P (L1) = 0, 40
a)
6
P (L1 ∩ L2) = 0, 15.
P (L1)P (L2) = 0, 60× 0, 25 = 0, 15.
Como P (L1 ∩ L2) = P (L1)P (L2) , enta˜o L1 e L2 SA˜O INDEPENDENTES.
b)
P (L1 ∩ L2) = 0, 10.
P (L1)P (L2) = 0, 40× 0, 25 = 0, 10.
Como P (L1 ∩ L2) = P (L1)P (L2) , enta˜o L1 e L2 SA˜O INDEPENDENTES.
c)
P [(L1 ∩ L2) ∪ (L1 ∩ L2)] = 0, 45 + 0, 10 = 0, 55.
7