Prova 3 (substitutiva)

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Substitutiva da Terceira Prova de Cálculo 2
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ATENÇÃO:
- Respostas sem cálculos ou justificativas não serão consideradas.
- Não é permitido qualquer tipo de consulta.
Questão 1 (7 pontos): Calcule a integral de linha
∫
C
−→
F • d−→r , onde −→F é o campo vetorial
−→
F (x, y) = (x2y + yexy)
−→
i + (x3y + xexy)
−→
j
e C é a curva composta pelo arco de parábola x = y2 sendo percorrido de (0, 0) a (1, 1) e pelo
segmento de reta de (1, 1) a (0, 0).
Questão 2 (8 pontos): Considere o campo vetorial
−→
F (x, y, z) = 5x4
−→
i + 2yz
−→
j + (y2 − 4z3)−→k
(a) Determine se
−→
F é ou não conservativo.
(b) Se
−→
F for conservativo, determine uma função potencial para ele.
(c) Calcule a integral de linha
∫
C
−→
F • d−→r , onde C é a curva descrita pela função vetorial
−→r (t) = −→i + et−→j + tet−→k , t ∈ [0, 1]
Questão 3 (8 pontos): Calcule a integral superfície
∫∫
S
−→
F • d−→S onde −→F é o campo vetorial
−→
F (x, y, z) =
(
1
z2 + y2 + 1
+ x
)−→
i +
−→
j +
(
y2exy + z
)−→
k
e S é a parte do cilindro x2 + z2 = 9 contida entre os planos y = −1 e y = 1 orientado de tal
forma que os vetores normais apontem para dentro do cilindro.
Questão 4 (7 pontos): Calcule a integral de superfície
∫∫
S
(rot
−→
F ) • d−→S onde −→F é o campo
vetorial −→
F (x, y, z) = (x− z)−→i + (y + z)−→j + (xyz + y arctan(xyz))−→k
e S é a parte do parabolóide z = 6− x2− y2 que está acima do plano z = 2 orientado de forma
ascendente.
Questão 5 (4 pontos):
(a) Calcule
∫
C
yex ds onde C é a metade superior da circunferência x2 + y2 = 4.
(b) Calcule
∫∫
S
xz dS onde S é a parte da esfera x2+y2+z2 = 1 que está a direita do plano xz.
Boa prova!