Unidade 3.1 - Comprimento de Arco

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Ensino Superior
3.1. Comprimento de Arco
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 2
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Comprimento de arco
	A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular — também conhecido como retificação de uma curva — representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos. 
	Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos. 
	Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial. 
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Comprimento de arco
	Considere uma função f(x) tal que f(x) e f’(x) (isto é a derivada em relação a x) são contínuas em [a, b]. O comprimento s de parte do gráfico de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula: 
	a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato. 
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Comprimento de arco
Um arco é a parte de uma curva que está entre dois pontos especificados A e B.
Suponha uma função contínua f(x) = y para a ≤ x ≤ b.
Vamos dividir o intervalo em n partes tal que x0 = a, x1 , x2, ..., xk -1, xk ..., xn = b de acordo com a figura.
x
y
A
B
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Comprimento de arco
Seja Pk ponto (xk , yk) onde yk = f(xk)
O comprimento da corda que liga os pontos Pk-1 a Pk será dado por Pitágoras conforme a figura abaixo
P0 = A
x0 = xa
P1
PK-1
PK
Pn = B
.......
............
x1
xk-1
xk
xb
y
x
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Comprimento de arco
Quando Pk-1 estiver muito próximo de Pk poderemos admitir que o comprimento da corda entre Pk-1 e Pk é o comprimento do arco entre estes dois pontos.
Então o comprimento da k-ésima corda é:
Colocando Δxk em evidência:
Suponhamos que y = f(x) além de contínua é também derivável entre A e B. Isto nos permite substituir a razão, que está dentro do radical e que é o coeficiente angular da corda que une os pontos Pk-1 a Pk, pelo valor da derivada e algum ponto x*k entre xk-1 e xk , então
 (1)
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Comprimento de arco
Podemos fazer isto, pois a corda é paralela a tangente em algum ponto da curva entre Pk -1 e Pk*
Isto permite escrever (1) como comprimento da K-ésima corda =
Logo o comprimento total será
Agora tomando o limite destas somas quando n tende a infinito e o comprimento do maior subintervalo tende a zero
Comprimento do arco
 AB = lim
 max Δxk 0
Desde que f ’(x) seja contínua para que a integral exista.
(2)
(3)
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Comprimento de arco
Uma outra visão mais intuitiva pode ser utilizada, se denotarmos por s o comprimento de arco variável de A até um ponto variável sobre a curva como mostra a figura abaixo
Se crescermos s uma pequena quantidade ds de modo que ds seja o elemento diferencial de arco, assim teremos dx e dy como as mudanças correspondentes em x e y. 
Se tivermos ds tão pequeno que essa parte da curva é virtualmente reta 
e, portanto, ds é a hipotenusa de um triângulo retângulo fino chamado
triângulo diferencial. Portanto, pelo teorema de Pitágoras
 ds2 = dx2 + dy2
a
d
c
b
x
y
dx
dy
ds
s
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Comprimento de arco
Assim, se isolarmos ds e depois fatorarmos dx e o removermos do radical, teremos:
Assim o comprimento total do arco AB pode ser pensado como a soma ou integral de todos os elementos de arco ds, quando ds percorre a curva desde a até b. Desta forma (4) se tornará comprimento de arco 
 que é a mesma fórmula (3)
Essa fórmula nos diz que y deve ser tratada como uma função de x.
(4)
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Comprimento de arco
Essa fórmula nos diz que y deve ser tratada como uma função de x.
No entanto, às vezes é mais conveniente tratar x como uma função de y. 
Neste caso 
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Comprimento de arco
Se isolarmos y
Logo,
2
42
O comprimento do arco será:
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Comprimento de arco
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Comprimento de arco
Exemplo 2: Determinar o comprimento de arco da curva
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Comprimento de arco
Exemplo 3: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 2 a x = 4.
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Comprimento de arco
Exemplo 4: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 0 a x = 5.
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Comprimento de arco
Exemplo 5: Determinar o comprimento de arco da curva , 
 de x = 0 a x = 1.
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Comprimento de arco
Exemplo 6: Determinar o comprimento de arco da curva , de
 x = /4 a x = /2.
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