AULA SOBRE PLANO

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Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983. 
ESTUDO DO PLANO 
Tal como vimos no estudos das retas, um plano pode ocupar 
várias posições em relação aos planos de projeção, sendo 
expresso, em consequência, por nomes diferentes. 
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Planos Projetantes são planos perpendiculares a pelo 
menos um dos Planos de Projeção. A projeção de faces 
contidas em Planos Projetantes é reduzida a um 
segmento de reta no Plano de Projeção ao qual é 
perpendicular. Se for paralela ao outro Plano de 
Projeção, será projetada em V.G. no plano ao qual é 
paralela 
ESTUDO DO PLANO 
ESTUDO DO PLANO 
Traço de um plano é a 
intersecção deste plano 
com um outro. 
Entretanto, 
empregaremos aqui o 
termo “TRAÇO DE UM 
PLANO” para exprimir a 
intersecção de um plano 
com os planos de 
projeção. 
• traço horizontal do plano: reta ap (intersecção do plano a com o plano de 
projeção horizontal p). 
• traço vertical do plano: reta ap’ (intersecção do plano a com o plano de 
projeção vertical p’). 
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ESTUDO DO PLANO 
Em geral um plano 
possui os dois 
traços, podendo 
ENTRETANTO 
possuir somente um 
quando um plano for 
paralelo à um dos 
planos de projeção, 
neste caso NAO 
TERÁ TRAÇO 
NESTE PLANO. 
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ESTUDO DO PLANO 
1+ 
2- 
T=T’ 
Quando dois traços são distintos e 
não paralelos à LT, eles concorrem 
num mesmo ponto da LT. 
Em épura, para a determinação do 
plano são dados a abscissa do 
ponto T=T’ de concorrência dos 
traços sobre a LT e os ângulos (1) 
e (2). Estes ângulos são orientados 
no sentido trigonométrico e têm a 
LT como origem. 
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Assim, no exemplo ao lado, o ângulo 
de ap’ com a LT é contado no 
sentido da seta “1” e é positivo, 
enquanto o ângulo de ap com a LT é 
negativo e contado no sentido da 
seta 2. 
ESTUDO DO PLANO 
PLANO FRONTAL 
O plano Frontal é Perpendicular em relação ao PH (portanto, 
Projetante em relação ao PH) e paralelo ao PV. 
 A sua projeção: 
• Será , uma reta no PH e, 
• Estará em V.G. no PV. 
• Como o plano a é PROJETANTE, toda e qualquer figura que 
estiver contida nele, terá a projeção no PH coincidente com a1, que 
é uma reta. 
 
PV 
PH 
A1=D1 
B1=C1 
a1 
A2 B2 
C2 D2 
A1=D1 a1 B1=C1 
A 
B 
C 
D 
A2 
B2 
D2 
C2 
a 
No espaço Na épura 
ESTUDO DO PLANO 
PLANO HORIZONTAL 
O plano HORIZONTAL é perpendicular em relação ao PV (portanto, é 
Projetante em relação ao PV) e paralelo ao PH. 
• A sua projecção: 
• Será uma reta no PV. 
• Estará em V.G. no PH. 
• Como o plano a é PROJETANTE, toda e qualquer figura que estiver 
contida nele,terá a projecção no PV coincidente com (a2), que é uma 
reta. 
 
A1 B1 
C1 D1 
A2=D2 a2 B2=C2 
No espaço Na épura 
a2 
PV 
PH 
A2=D2 
B2=C2 
A1 
B1 
D1 
C1 
a 
A 
B 
C 
D 
ESTUDO DO PLANO 
PLANO DE PERFIL 
O plano de PERFIL é Perpendicular em relação ao PV e ao PH portanto, é 
Projetante em relação tanto ao PV quanto ao PH e dizemos que ele é 
DUPLAMENTE PROJETANTE. 
• A sua projecção: 
• Será uma reta no PV. 
• Será uma reta no PH. 
• Como o plano alfa é duplamente PROJETANTE, toda e qualquer 
figura que estiver contida nele, terá a projeção no PV e no PH 
coincidente com (a), que é uma reta. 
 
No espaço Na épura 
A2=B2 
C2=D2 
a2 
PV 
PH 
A1=D1 
B1=C1 
A 
B 
C 
D 
A2=B2 
C2=D2 
a1 
a 
B1=C1 
A1=D1 
a1 
a2 
ESTUDO DO PLANO 
PLANO VERTICAL 
O plano VERTICAL é Perpendicular em relação ao PH (portanto, é 
Projetante em relação ao PH) e oblíquo ao PV. 
•A sua projecção: 
 
• Será , uma reta no PH e, 
• Como o plano a é PROJETANTE em relação ao PH, toda e qualquer 
figura que estiver contida nele, terá a projecção no PH coincidente 
com (a1), que é uma reta. 
 
No espaço 
Na épura 
PV 
PH 
A1=D1 B1=C1 
A B 
C D 
B1=C1 
A1=D1 
a1 
a 
a1 
C2 D2 
A2 B2 
B2 
A2 
D2 
C2 
ESTUDO DO PLANO PLANO DE TOPO 
O plano de TOPO é Perpendicular em relação ao PV (portanto, é 
Projetante em relação ao PV) e oblíquo ao PH. 
A sua projecção: 
 
• Será , uma reta no PV e, 
• Como o plano a é PROJETANTE em relação ao PV, toda e 
qualquer figura que estiver contida nele, terá a projecção no PV 
coincidente com (a2), que é uma reta. 
 
No espaço Na épura 
a2 
C2=B2 
A2=B2 
PV 
PH 
A2=D2 
a2 
B1 
A1 
D1 
C1 
C2=B2 
C1 
B1 A1 
D1 
a 
A 
B 
D 
C 
ESTUDO DO PLANO PLANO DE RAMPA 
O plano de RAMPA é Perpendicular em relação ao Plano Auxiliar (3º 
plano) portanto, é Projetante em relação ao Plano auxiliar e oblíquo em 
relação ao PV e ao PH. 
• A sua projeção: 
• Será um plano no PV, 
• Será um plano no PH. 
• Como o plano a é PROJETANTE em relação ao Plano Auxiliar, toda 
e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projecção no Plano 
Auxiliar coincidente com a 3º projecção, que é uma reta. 
 
No espaço Na épura PV 
PH 
B1 
D1 
C1 
C1 
a 
a1 
a2 
A1 
D1 D1 
B1 
C2 
B2 A2 
D2 B2 
A2 
D2 
C2 
B 
A 
D 
C 
ESTUDO DO PLANO 
PLANO QUALQUER 
O plano QUALQUER não é Projetante em 
relação a nenhum dos planos de projecção, 
portanto será necessário a utilização de 
métodos descritivos para a determinação da 
V.G. de qualquer figura pertencente a ele. 
 
No espaço 
PV 
PH 
A1 
B1 
C1 
B2 
A2 
C2 
B 
C 
A 
a 
a1 
a2 
B2 A2 
C2 
A1 
B1 C1 
Na épura 
POSIÇÕES DO PLANO 
1+ 
2- 
T=T’ 
1. PLANO QUALQUER 
É o plano oblíquo aos dois planos de projeção. Possui dois traços distintos, 
concorrendo sobre a linha de terra em um mesmo ponto. Sua épura geralmente 
se apresenta como se vê na figura abaixo. 
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Entretanto, pela maneira do plano se situar no espaço, a épura pode aparecer em 
qualquer das posições indicadas na figura abaixo - o que importa no caso de planos 
quaisquer é o fatos destes possuírem OS DOIS TRAÇOS OBLÍQUOS À LINHA DE 
TERRA, NÃO IMPORTANDO COMO FIQUEM. 
POSIÇÕES DO PLANO 
1. PLANO QUALQUER 
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ESTUDO DO PLANO 
É o plano PARALELO AO PLANO DE PROJEÇÃO HORIZONTAL. A épura é 
caracterizada por possuir apenas um traço, O VERTICAL, PARALELO À LINHA DE 
TERRA. 
2. Planos Paralelos aos Planos de Projeção: PLANO HORIZONTAL 
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2. Planos Paralelos aos Planos de Projeção: PLANO FRONTAL 
ESTUDO DO PLANO 
É o plano PARALELO AO PLANO DE PROJEÇÃO VERTICAL. A épura é caracterizada 
por possuir apenas um traço, O HORIZONTAL, PARALELO À LINHA DE TERRA. 
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ESTUDO DO PLANO 
É o plano PERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTAL DE PROJEÇÃO E OBLÍQUO 
AO PLANO VERTICAL. A épura é caracterizada por possuir o TRAÇO VERTICAL 
PERPENDICULAR À LINHA DE TERRA e o HORIZONTAL OBLÍQUO À LINHA DE 
TERRA. 
3. Planos Perpendiculares aos Planos de Projeção: PLANO VERTICAL 
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ESTUDO DO PLANO 
É o plano PERPENDICULAR AO PLANO VERTICAL DE PROJEÇÃO e OBLÍQUO AO 
PLANO HORIZONTAL. A épura é caracterizada por possuir o TRAÇO HORIZONTAL 
PERPENDICULAR À LINHA DE TERRA e o VERTICAL OBLÍQUO À LINHA DE TERRA. 
3. Planos Perpendiculares aos Planos de Projeção: PLANO DE TOPO 
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ESTUDO DO PLANO 
É o plano PERPENDICULAR AOS DOIS PLANOS DE 
PROJEÇÃO e OBLÍQUO AO PLANO HORIZONTAL. Sua épura 
é caracterizada por possuir AMBOS OS TRAÇOS EM 
COINCIDÊNCIA, PERPENDICULARES À LINHA DE TERRA.3. Planos Perpendiculares aos Planos de Projeção: PLANO DE PERFIL 
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ESTUDO DO PLANO 
4. PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA 
NAO HÁ PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA - SOMENTE 
PARALELO À INTERSECÇÃO DELES. Este plano é um plano 
oblíquo aos dois planos de projeção, numa posição particular. 
Sua épura é caracterizada por possuir AMBOS OS TRAÇOS 
PARALELOS À LINHA DE TERRA. 
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ESTUDO DO PLANO 
4. PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA 
No caso desta figura, observa-se que o plano está no 1o. 
diedro, atravessando o 2o e 4o. diedros. Desta forma sua 
épura é caracterizada por conter o traço vertical acima da LT e 
o horizontal abaixo da LT. 
 
Mas o plano pode estar em outra posição.... 
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ESTUDO DO PLANO 
.... atravessando 
os 1o., 2o. e 3o. 
diedros. Neste 
caso a épura terá 
os dois traços 
acima da LT. 
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ESTUDO DO PLANO 
4. PLANO PASSANDO PELA LINHA DE TERRA 
Neste caso, os traços do plano 
COINCIDEM coma a LINHA DE TERRA. 
Este também é o caso do PLANO 
BISSETOR. 
Não sendo conhecida a 
inclinação do plano, este só 
ficará determinado se 
conhecermos outros 
elementos, como um ponto ou 
uma reta deste plano. 
 VEREMOS ISTO ADIANTE 
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RETAS DO PLANO 
PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO 
REGRA: “Uma reta pertence ao plano 
quando possui os seus traços sobre os 
traços correspondentes do plano”. 
 
EXCEÇÃO: um plano que passe pela LT. 
Um plano pode ou não 
conter determinadas retas. 
Ao lado, o plano horizontal 
(a) de traço ap’ pode não 
conter a reta vertical (r) 
pois só há um único ponto 
comum à reta e ao plano - 
que é o ponto (A) onde a 
reta fura o plano. 
Entretanto, este mesmo 
plano de traço ap’ pode 
conter a reta de topo (s), a 
qual tem seu traço (V) 
sobre o traço vertical do 
plano. 
(A) 
(r) 
(s) 
(V)=V’ 
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RETAS DO PLANO 
PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO 
Um plano qualquer sendo oblíquo aos dois planos de projeção, 
poderá conter as retas que também sejam oblíquas a eles ou, pelo 
menos, a um deles. Assim, este plano qualquer poderá conter as 
seguintes retas: 
 
• RETA QUALQUER 
 
• RETA HORIZONTAL 
 
• RETA FRONTAL 
 
• RETA DE PERFIL 
 A) RETAS DE PLANO QUALQUER 
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ESTUDO DO PLANO 
H=(H) 
H=(H) 
a) Reta Qualquer 
(r) pertence ao plano de traços 
ap e ap’ pois os seus traços (V) e 
(H) estão sobre os traços 
correspondentes àqueles do plano. 
(r) NÃO PERTENCE ao plano de 
traços ap e ap’ pois o seu traço (H) 
NÃO ESTÁ sobre o traço horizontal 
ap do plano. 
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ESTUDO DO PLANO 
V 
V’=(V) 
b) Reta Horizontal: uma reta horizontal não tem traço horizontal. Um 
ponto comum à projeção horizontal da reta e ao traço horizontal do plano 
será UM PONTO IMPRÓPRIO, isto é, estará no infinito. Conclui-se que a 
projeção horizontal da reta deverá ser paralela ao traço de mesmo nome 
do plano. O traço vertical da reta, por sua vez, deverá estar sobre o 
traço vertical do plano. 
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ESTUDO DO PLANO 
H’ 
H 
c) Reta Frontal: uma reta frontal não tem traço vertical. Um ponto 
comum à projeção vertical da reta e ao traço vertical do plano será UM 
PONTO IMPRÓPRIO, isto é, a projeção vertical da reta será paralela ao 
traço vertical do plano. O traço horizontal da reta, por sua vez, deverá 
estar sobre o traço horizontal do plano. 
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ESTUDO DO PLANO 
H=(H) 
B 
A 
A’ 
B’ 
V’=(V) 
(A1) 
(B1) 
(H1) 
d) Reta de Perfil: 
tratando-se de uma reta 
de perfil, a épura não 
indica uma simples vista, 
nem mesmo se ela 
pertence ou não a um 
plano qualquer. Neste 
caso, opera-se o 
rebatimento do plano de 
perfil que contém a reta e 
determina-se seus traços, 
os quais, se estiverem 
sobre os planos de mesmo 
nome, indicarão que a reta 
pertence ao plano - caso 
da figura ao lado. 
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RETAS DO PLANO 
PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO 
Como o plano horizontal é paralelo ao plano horizontal de projeção, 
este só poderá conter as retas que também sejam paralelas ao plano 
(p), as quais são: 
 
• RETA HORIZONTAL 
 
• RETA FRONTOHORIZONTAL 
 
• RETA DE TOPO 
B) RETAS DE PLANO HORIZONTAL 
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ESTUDO DO PLANO 
V 
V’=(V) ap’ 
k) Reta Horizontal: neste caso a épura se caracteriza pela coincidência da 
projeção vertical da reta com o traço ap’ do plano. O traço vertical da 
reta - ÚNICO QUE POSSUI - está sobre o traço ap’ do plano. 
RETAS DE PLANO HORIZONTAL 
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ESTUDO DO PLANO 
ap’ 
l) Reta Frontohorizontal: não possuindo traços, a reta frontohorizontal de 
um plano horizontal é caracterizada pela épura abaixo, onde a sua 
projeção vertical r’ coincide com o traço de mesmo nome no plano ap’. 
RETAS DE PLANO HORIZONTAL 
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ESTUDO DO PLANO 
V 
r’=V’=(V) ap’ 
m) Reta de Topo: sendo a reta de topo caracterizada por possuir a 
projeção vertical reduzida a um ponto e a projeção horizontal 
perpendicular à LT, sua épura exibe a projeção vertical puntual r’ sobre 
ap’, coincidente com seu traço vertical. 
RETAS DE PLANO HORIZONTAL 
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RETAS DO PLANO 
PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO 
Como o plano frontal é paralelo ao plano vertical de projeção (p’), 
este só poderá conter as retas que forem paralelas ao mesmo plano 
(p’), que são: 
 
• RETA FRONTAL 
 
• RETA FRONTOHORIZONTAL 
 
• RETA VERTICAL 
C) RETAS DO PLANO FRONTAL 
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ESTUDO DO PLANO 
H’ 
ap 
r’ 
H=(H) 
x) Reta Frontal: a projeção horizontal da reta (r) coincide com o único 
traço do plano, que é o traço horizontal ap, Neste traço também está 
contido o único traço da reta, que é o horizontal (H). 
RETAS DO PLANO FRONTAL 
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ESTUDO DO PLANO 
ap 
r’ 
y) Reta Frontohorizontal: caso simples! - a reta frontohorizontal 
(r) pertencerá ao plano de traço ap. 
RETAS DO PLANO FRONTAL 
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ESTUDO DO PLANO 
ap 
r’ 
z) Reta Vertical: caso simples! - a reta vertical (r) pertencerá a um 
plano frontal de traço ap. 
RETAS DO PLANO FRONTAL 
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RETAS DO PLANO 
PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO 
Sendo o plano paralelo à LT e oblíquo aos dois planos de projeção, 
só poderá conter retas paralelas à LT e oblíquas àqueles planos, que 
são: 
 
• RETA QUALQUER 
 
• RETA FRONTOHORIZONTAL 
 
• RETA DE PERFIL 
D) RETAS DE UM PLANO PARALELO À 
LINHA DE TERRA 
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ESTUDO DO PLANO 
ap 
ap’ 
r’ 
r 
RETAS DE UM PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA 
a) Reta Qualquer: se os traços da reta estiverem sobre os traços de mesmo 
nome do plano, a reta pertencerá ao plano. Abaixo temos uma reta (r) 
qualquer pertencendo a um plano de traços ap e ap’ paralelos à LT. 
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RETAS DO PLANO 
PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO 
Sendo o plano vertical perpendicular ao plano horizontal de projeção 
e oblíquo ao plano vertical, só poderá conter retas que sejam 
perpendiculares ao plano (p) e oblíquas ao plano (p’), que são: 
 
• RETA QUALQUER 
 
• RETA HORIZONTAL 
 
• RETA VERTICAL 
E) RETAS DE UM PLANO VERTICAL 
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ESTUDO DO PLANO 
ap 
a
p
’ 
V’=(V) 
B’ 
A’ 
H’ V 
B 
A 
H=(H) 
RETAS DE UM PLANO VERTICAL 
a) Reta Qualquer: a reta qualquer (A)(B) da figura abaixo pertence ao 
plano vertical de traços ap e ap’ pois obedece à regra geral de (i) 
possuir traços sobre os traços correspondentes do planoe, (ii) sua 
projeção horizontal coincide com o traço de mesmo nome do plano. 
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ESTUDO DO PLANO 
ap 
ap’ 
V’=(V) 
B’ A’ 
V 
B 
A 
RETAS DE UM PLANO VERTICAL 
b) Reta Horizontal: a reta horizontal (A)(B) da figura abaixo pertence ao 
plano vertical pois seu único traço (traço vertical) está sobre o traço 
vertical do plano (ap’) e sua projeção horizontal coincide com o traço ap 
do plano. 
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ESTUDO DO PLANO 
ap 
ap’ 
V’=(V) 
r’ 
V 
A 
r=(H)=H 
RETAS DE UM PLANO VERTICAL 
c) Reta Vertical: a reta vertical (r) da figura abaixo pertence ao plano 
vertical pois seu traço horizontal (que coincide com a projeção puntual) 
está sobre o traço horizontal ap do plano e a sua projeção vertical é 
paralela ao traço vertical do plano. 
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RETAS DO PLANO 
PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO 
Sendo o plano de topo perpendicular ao vertical de projeção (p’) e 
oblíquo ao horizontal (p), só poderá conter retas que sejam oblíquas 
ao plano (p) e perpendiculares ao plano (p’), que são: 
 
• RETA QUALQUER 
 
• RETA FRONTAL 
 
• RETA DE TOPO 
F) RETAS DE UM PLANO DE TOPO 
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ESTUDO DO PLANO 
ap 
r’ 
r 
RETAS DE UM PLANO DE TOPO 
a) Reta Qualquer: a reta qualquer (r) da figura abaixo pertence ao plano 
(a) de topo por possuir seus traços sobre os traços correspondentes do 
plano. A sua projeção vertical r’ coincide também com o traço ap’ do 
plano. 
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ESTUDO DO PLANO 
b) Reta Frontal: Facil !! A reta frontal (s) pertence ao plano de topo pois 
sua projeção vertical s’ está sobre o traço vertical ap’ do plano e sua 
projeção horizontal s pertence ao traço horizontal ap do plano. 
RETAS DE UM PLANO DE TOPO 
ap 
s’ 
s 
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ESTUDO DO PLANO 
ap 
s 
c) Reta de Topo: Facil !! A reta frontal (s) pertence ao plano de topo pois 
sua projeção puntual s’ está sobre o traço vertical ap’ do plano e sua 
projeção horizontal s é paralela ao traço horizontal ap do plano. 
RETAS DE UM PLANO DE TOPO 
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ESTUDO DO PLANO 
Pertinência de ponto e plano: “um ponto pertence ao plano 
quando pertence à uma reta do plano”. 
Dados o plano qualquer de traços ap 
e ap’ e o ponto (A), deteminar se o 
ponto pertence à reta (r). Para a 
verificação, procede-se da seguinte 
forma: pela projeção vertical A’ 
faz-se passar uma reta. 
Verifica-se que a projeção 
horizontal A do ponto não está 
sobre a projeção de mesmo nome da 
reta. Então, o ponto (A) não 
pertence à reta (r). A reta (r) 
pertence ao plano MAS o ponto (A) 
não pertence à reta (r), e portanto 
não pertencerá ao plano. 
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T=T’ V 
V’=(V) 
r 
r’ A’ 
A 
ESTUDO DO PLANO 
(A) 
A 
A’’’ 
A’’ 
A’ 
A 
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Se for perpendicular ao plano horizontal (p), para que um ponto a ele 
pertença, é suficiente que possua sua projeção horizontal sobre o traço 
horizontal do plano. 
Seja o ponto (A) pertencendo a um plano (a) frontal e a projeção 
horizontal do ponto sobre o traço do plano ap do plano. Na épura, 
estando a projeção A sobre ap, não importa onde esteja a projeção 
vertical (em A’, A’’, A’’’) - o ponto (A) pertence ao plano. 
ESTUDO DO PLANO 
(B) 
B’ 
B 
B2 
B1 
B’ 
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Se for perpendicular ao plano vertical (p’), para que um ponto a ele pertença, é 
suficiente que possua sua projeção vertical sobre o traço vertical do plano. 
Seja o ponto (B) pertencendo a um plano (a) de topo e sua projeção 
vertical B’ sobre o traço ap’ do plano. Na épura, estando a projeção B’ 
sobre ap’, não importa onde esteja a projeção horizontal (em B, B1, B2) - 
o ponto (B) pertence ao plano.