Aula2_CA438_2_2013_Teoria_erros

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Engenharia Cartográfica 
Instrumentos de Medição 
 
 
Prof. Dr. Maria de Lourdes de 
Aquino Macedo Gonçalves 
prof.mlaquino@gmail.com 
Departamento de Cartografia 
 
Aula 2 – Continuação Teoria dos 
Erros 
Teoria dos Erros 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
 
Leitura Distância 
(metros) 
1 827,432 
2 827,421 
3 827,431 
4 827,437 
5 827,442 
6 827,438 
7 827,429 
XX i 
2)( XX i 
PN = ±5mm + 4ppm 
Teoria dos Erros 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passos: 
• Somatório Xi; 
• X médio; 
• ; 
• ; 
 
 
 
XX i 
2)( XX i 
Teoria dos Erros 
 
 
 
 
 
 
 
 
030,57921   i
n
i X
7n
433,827X
001,0
433,827432,827
1
1


XX
XX
Teoria dos Erros 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
 
Leitura Distância 
(metros) 
1 827,432 -0,001 0,000001 
2 827,421 -0,012 0,000144 
3 827,431 -0,002 0,000004 
4 827,437 +0,004 0,000016 
5 827,442 +0,009 0,000081 
6 827,438 +0,005 0,000025 
7 827,429 -0,004 0,000016 
XX i 
2)( XX i 
Teoria dos Erros 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
 



n
i
i XX
1
2 000287,0)(
m
n
XX
n
i
i
m 0069,0
6
000287,0
1
)(
1
2






mm
nn
XX
n
i
i
m 6,2
6.7
000287,0
)1(
)(
1
2






Erro médio quadrático 
de uma observação 
isolada. 
Erro médio quadrático 
da média aritmética. 
Teoria dos Erros 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
 
mmm 7 mmm 3
433,827X
)827433,0.4(5))(.4(5  kmXmmPN
mmPN 8
PNm 
Média é válida 
Teoria dos Erros 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
 
Leitura Ângulo 
(metros) 
1 56º 05’ 08” 
2 56º 05’ 36” 
3 56º 05’ 40” 
4 56º 05’ 25” 
5 56º 05’ 15” 
6 56º 05’ 12” 
XX i 
2)( XX i 
Teoria dos Erros 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
 
Leitura Ângulo 
(metros) 
1 56º 05’ 08” -15 225 
2 56º 05’ 36” +13 169 
3 56º 05’ 40” +17 289 
4 56º 05’ 25” +2 4 
5 56º 05’ 15” -8 64 
6 56º 05’ 12” -11 121 
XX i 
2)( XX i 
"23X
"4PN
Teoria dos Erros 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
 



n
i
i XX
1
2 872)(
"13
5
872
1
)(
1
2






n
XX
n
i
i
m
"5
5.6
000287,0
)1(
)(
1
2






nn
XX
n
i
i
m
Teoria dos Erros 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
 
"13m "5m
"23X
"4PN
PNm 
Deveremos analisar quais medições 
poderão ser excluídas para então 
calcular a nova média. 
45 
Teoria dos Erros 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
 
Leitura Ângulo 
(metros) 
56º 05’ 11” 
56º 05’ 35” 
 
1 56º 05’ 08” Não 
2 56º 05’ 36” Não 
3 56º 05’ 40” Não 
4 56º 05’ 25” Ok 
5 56º 05’ 15” Ok 
6 56º 05’ 12” Ok 
".3 PNX i 
Teoria dos Erros 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
 
Leitura Ângulo 
(metros) 
4 56º 05’ 25” +8 36 
5 56º 05’ 15” -2 4 
6 56º 05’ 12” -5 25 
XX i 
2)( XX i 
"17X
Teoria dos Erros 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
 



n
i
i XX
1
2 65)(
"6
2
65
1
)(
1
2






n
XX
n
i
i
m
"3
2.3
65
)1(
)(
1
2






nn
XX
n
i
i
m
Teoria dos Erros 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
 
"6m "3m
"17X
"4PN
PNm 
Média é válida 
Teoria dos Erros 
 
 
 
 
 
 
ATENÇÃO: 
 
 Um valor menor de precisão possui uma melhor 
precisão. 
Teoria dos erros 
 Exercício: 
 Calcule a média das medições efetuadas, considerando que a PN do 
instrumento utilizado é de ±(1mm+22ppm). 
Leitura Distância 
(metro) 
1 34,070 
2 34,081 
3 34,086 
4 34,069 
5 34,076 
6 34,090 
)( XX  2
)( XX 
Teoria dos erros 
 Calcule a média das medições efetuadas, considerando que a PN do 
instrumento utilizado é de ±(1mm+22ppm). 
Teoria dos erros 
 Calcule a média das medições efetuadas, considerando que a PN do 
instrumento utilizado é de ±(1mm+22ppm). 
Teoria dos erros 
 Calcule a média das medições efetuadas, considerando que a PN do 
instrumento utilizado é de ±(1mm+22ppm). 
 
 Os novos valores são x= 34,079m , m=± 4mm e M= ± 3mm. Como M>PN, a 
precisão continuou maior que PN. Como já analisamos quais leituras poderiam ser 
eliminadas, deveremos portanto retornar a campo e repetir o procedimento para 
tentar reduzir os erros acidentais e então nos certificar se o equipamento está ou 
não necessitando de ajustes. 
 
Equipamentos e Acessórios 
 Ângulo Vertical: 
 Na topografia, considera-se somente a medida dos 
ângulos contidos em dois planos: horizontal, nas operações de 
planimetria; e vertical, nas operações de altimetria. 
 
 Ângulo horizontal: 
 Os ângulos horizontais são chamados: 
• Ângulos horizontais; 
• Ângulos azimutais; 
• Direção horizontal. 
 
 A direção de uma linha é descrita pelo ângulo horizontal 
que ela faz com uma linha ou direção de referência. 
Ângulos e direções 
Teodolitos 
Lunetas de Visada 
 - topográfica geralmente ampliação de 30 vezes 
 
Possuem: 
•Objetiva – visão do objeto visado; 
•Sistema de focalização imagem e fio retículo; 
•Parafuso de ajuste dos fios de retículo; 
•Retículos; 
•Ocular - aumentar as dimensões do objeto. 
 
FONTE: KAHMEN E FAIG (1988) 
 Ocular e Objetiva: 
 A luneta possui dois sistemas de lentes, o primeiro é 
destinado a dar uma imagem real do objeto observado: 
objetiva; o segundo é chamado de ocular, serve de lupa em 
relação à imagem fornecida pela objetiva, isto é, aumenta 
as suas dimensões. 
 Fios do Retículo: 
 A fim de permitir a precisão das visadas, a luneta 
possui o retículo, que são linhas gravadas, uma horizontal e 
outra vertical. 
 O retículo pode ser: 
 
 
 Para o ajuste da imagem dos fios de retículo, deve-se 
alterar a distância entre a ocular e conjunto de lentes que 
recebe os fios de retículo. Na maioria das lunetas, isto e feito 
girando a extremidade próxima a ocular. 
 Quando a ocular e a objetiva recebem o ajuste de 
focalização correto, os fios de retículo aparecem com imagens 
muito distintas e não devem apresentar nenhum movimento 
aparente, como se o olho se movimentasse para cima e para 
baixo. Se houver algum movimento aparente, então, ocorre a 
paralaxe que deve ser eliminada focalizando novamente a 
objetiva (MOFFITT, 1975, p.89). 
 
 
Medida da direção horizontal 
Medida da direção horizontal 
Utilização 
Medida da direção horizontal 
Utilização 
 
 
 
 
 
 
 


180).2(_
180).2(_
nInternosSoma
nExternosSoma
 
 
 
Técnicas de medida de ângulos horizontais 
Técnicas de medida de ângulos horizontais 
Medição de Direções Horizontais