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UNIVERSIDADE DA REGIÃO DE JOINVILLE 
– UNIVILLE – 
 
 
ÁREA DE ENGENHARIAS, EXATAS E TECNOLÓGICAS 
– ENGETEC – 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE FENÔMENOS DE 
TRANSPORTE 
 
 
(Mecânica dos Fluidos, Transporte de Calor e Transporte de Massa) 
 
 
 
 
PROF. OZAIR SOUZA 
 
 
 
2016
 
1 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
1.1 Conceito 
 
 
Os fenômenos de transporte (FTR) são as bases das ocorrências observadas nas mudanças de 
estado de um sistema. 
 
As aplicações de FTR na engenharia são inúmeras, principalmente por formarem as bases dos 
principais processos estudados em cada um dos ramos. Na Engenharia Ambiental e Sanitária, os 
FTR são importantes ferramentas no estudo da difusão de poluentes no ar, na água e no solo; na 
Engenharia de Produção, as aplicações mais conhecidas prendem-se à otimização dos processos 
produtivos e de transporte de fluidos; na Engenharia Mecânica, encontram-se exemplos de aplicação 
nos processos de usinagem, de tratamento térmico, de cálculo das máquinas hidráulicas e nos projetos 
de máquinas térmicas e frigoríficas; na Engenharia Química são os fundamentos das operações 
unitáriais (conjunto de técnicas utilizadas para se chegar a um processo mais econômico sem, contudo 
desconsiderar os princípios científicos envolvidos). 
 
 
1.2 Classificação dos FTR 
 
 Transporte de quantidade de movimento ou transferência de momento (TQM) 
 Transporte ou transferência de calor (TC) 
 Transporte ou transferência de massa (TM) 
 
 
1.3 Princípio básico envolvido nos FTR  EQUILÍBRIO 
 
Os fatos comuns a todos os processos de transporte são: 
 
 Existência de uma força motriz (diferença de potencial, drive force). 
 Ocorrência de transferência de alguma quantidade física. 
 Influência do meio (massa e geometria) sobre a velocidade e a direção do processo. 
 
 
1.4 Tipos mais comuns de operações industriais e principais fenômenos que 
fundamentam o processo 
 
bombeamento de fluidos TQM 
agitação TQM 
centrifugação TQM 
sedimentação TQM 
tratamento de efluentes TQM/TM 
projeto de câmaras frias (isolamento térmico) TC 
tratamento térmico de metais TC 
 
2 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
aquecimento e resfriamento de fluidos (trocadores de calor) TC 
umidificação e desumidificação TC/TM 
secagem TC/TM 
evaporação TC/TM 
cristalização TC/TM 
extração por solventes TM 
lixiviação TM 
adsorção e dessorção de gases TM 
absorção e stripping) TM 
destilação TM 
 
Em geral, os fenômenos de TQM, TM e TC ocorrem simultaneamente em problemas industriais, 
biológicos, agrícolas e meteorológicos; na verdade, a ocorrência de qualquer um dos processos de 
transporte isoladamente é uma exceção em vez de uma regra. 
 
 
1.5 Métodos de estudos dos FTR 
 
Podemos estudar e descrever o transporte de massa, de momento e de calor em três níveis 
diferentes. Em NÍVEL MACROSCÓPICO, as equações de balanço descrevem o sistema (ou 
equipamento) como um todo (dimensões da ordem de cm ou m), considerando a sua variação devido às 
correntes de entrada e saída. Nenhuma tentativa é feita para entender o que ocorre entre esses pontos. 
Trata-se de uma análise global do sistema. Em NÍVEL MICROSCÓPICO, examina-se o que está 
acontecendo dentro do sistema, em uma pequena região (dimensões da ordem de µm ou cm). As equações 
de balanço descrevem como o fenômeno está ocorrendo. O objetivo é conseguir informação acerca dos 
perfis de velocidades, temperaturas, pressões e concentrações dentro do sistema. Em NÍVEL 
MOLECULAR (dimensões de cerca de 1 a 1000 nm), procuramos por uma compreensão fundamental dos 
mecanismos de transporte, em termos da estrutura molecular e das forças intermoleculares. 
Geralmente, esse é o domínio dos físicos teóricos ou dos físico-químicos; porém, torna-se 
particularmente importante ao engenheiro caso os processos em estudo envolvem moléculas 
complexas, faixas extremas de temperatura e pressão ou sistemas que reagem quimicamente. 
Existem muitas conexões entre esses três níveis de estudo e entre os três fenômenos de transportes. 
Ao se aprender como resolver problemas em um deles, aprendem-se também as técnicas para resolver 
problemas de outro. 
Podemos estudar os fenômenos de transporte sob dois pontos de vista, o lagrangiano e o euleriano. 
Na mecânica dos sólidos elementar, usa-se o MÉTODO DE LAGRANGE de análise. Ele descreve o 
comportamento de partículas discretas, ou de massas pontuais, quando elas se movem no espaço. Em 
FTR, porém ficaria muito complexo a descrição do comportamento de uma partícula de um fluido à 
medida que ela flui através de uma região no espaço. Portanto, é mais vantajoso descrever o que 
acontece num ponto fixo ou numa região fixa do espaço. Este é o MÉTODO DE EULER. 
 
Tomando como exemplo o transporte de massa, a aplicação do método de Lagrange no balanço 
diferencial de massa no nível microscópico, resultaria em: 
 
A
AAA
AB
AA
z
A
y
A
x
zyx
A r
zyx
D
tzyxzyx








































2
2
2
2
2
2  
 
 
3 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
Empregando o método de Euler tem-se que: 
 
A
AAA
AB
Azyx
A r
zyx
D
tzyx































2
2
2
2
2
2  
 
Comparando as duas equações é possível observar que pelo método de Euler as diferencias de ρA em 
função das posições x, y e z ao longo de todo o sistema não existem, pois como mencionado 
anteriormente, a partícula é observada num único ponto fixo do sistema. 
É importante lembrar que ao se estudar os fenômenos de transporte para o estabelecimento de 
parâmetros como velocidades, taxas, fluxos, etc., essenciais nos cálculos de dimensionamento de 
equipamentos industriais, o melhor processo só pode ser projetado levando-se em conta a química, a 
cinética e a termodinâmica básica, com o reconhecimento adequado das limitações impostas pelos 
materiais de construção e operação. 
 
 
1.6 Equações básicas em FTR 
 
As equações básicas que descrevem os três fenômenos de transporte estão intimamente relacionadas. 
A similaridade das equações, sob condições simples, é a base para resolver problemas “por analogias”. 
A Tabela 1.1, dada por BIRD et al. (Fenômenos de Transporte, 2ª Edição, 2004) mostra as relações de 
similaridade que o autor considerou entre os diferentes tópicos de FTR estudados em sua obra. 
 
Tabela 1.1 – Relações de similaridade no estudo dos fenômenos de transporte. Fonte: Bird et al.(2004), 
Fenômenos de Transporte. 
 
Tipo de transporte Momento Energia Massa 
Por movimento 
molecular 
Viscosidade e o tensor 
tensão (fluxo de 
momento) 
Condutividade térmica e o 
vetor fluxo de calor 
Difusividade e os vetores 
fluxos de massa 
Em uma dimensão 
(métodos dos balanços 
em cascas) 
Balanços de momentos 
em cascas e distribuições 
de velocidade 
Balanços de energia em 
cascas e distribuições de 
temperaturas 
Balanços de massa em 
cascas e distribuições de 
concentrações 
Em contínuos arbitrários 
(uso de equações gerais 
de transporte) 
Equações de balanço e 
seu uso (isotérmico) 
Equações de balanço e seu 
uso 
(não-isotérmico) 
Equações de balançoe seu 
uso 
(misturas) 
Com duas variáveis 
independentes (métodos 
especiais) 
Transporte de momento 
com duas variáveis 
independentes 
Transporte de energia com 
duas variáveis 
independentes 
Transporte de massa com 
duas variáveis independentes 
Em escoamento 
turbulento e propriedades 
de transporte turbilhonar 
Transporte turbulento de 
momento; viscosidade 
turbilhonar 
Transporte turbulento de 
energia; condutividade 
térmica turbilhonar 
Transporte turbulento de 
massa; difusividade 
turbilhonar 
Através de fronteiras de 
fases 
Fatores de atrito; o uso 
de correlações empíricas 
Coeficientes de 
transferência de calor; o uso 
de correlações empíricas 
Coeficientes de transferência 
de massa; o uso de 
correlações empíricas 
Em sistemas de grande 
porte ou partes deles 
Balanços macroscópicos 
(isotérmico) 
Balanços macroscópicos 
(não –isotérmico) 
Balanços macroscópicos 
(misturas) 
Por outros mecanismos Transporte de momento 
em líquidos poliméricos 
Transporte de energia por 
radiação 
Transporte de massa em 
sistemas multicomponentes; 
efeitos cruzados 
 
4 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
Principais equações envolvidas nos estudos de FTR 
 
 Equação da continuidade 
 Equação da energia mecânica 
 Equação do momento angular 
 Equação do movimento (Equações de Navier-Stokes, Equação de Euler, Equação de 
Bernoulli) 
 Equação do balanço de energia 
 Equação do balanço de massa 
 
Todas essas equações são encontradas na literatura especializada, tanto na forma diferencial como 
na forma integral. 
Na forma diferencial, a grandeza estudada no sistema pode ser expressa em termos de derivada 
parcial, substantiva (material) ou total. O emprego de cada uma dessas formas depende da posição do 
observador em relação a essa grandeza. 
Bird (Fenômenos de Transporte, 2004, pág. 78) ilustra a aplicação das derivadas temporais que 
podem ser encontradas em FTR dando o seguinte exemplo caseiro: Considere a observação da 
concentração de peixes num determinado rio. Devido ao fato de que os peixes se movem, a 
concentração dos mesmos será em geral uma função da posição 
 z,y,x
 e do tempo 
t
. Pode-se 
representar esta concentração tanto em termos de derivada parcial como em termos de derivada total ou 
de derivada substantiva. Assim, 
 
Derivada temporal parcial 








t
 
 
Suponha que estejamos sobre uma ponte de onde observamos a concentração de peixes c 
imediatamente abaixo dela em função do tempo. Podemos então anotar a taxa de variação temporal da 
concentração de peixes em uma posição fixa. O resultado é 
z,y,x
tc 
, a derivada parcial de c em 
relação a t para x, y e z constantes. 
 
 
Derivada temporal total 






dt
d
 
 
Suponha agora que em um barco a motor, naveguemos pelo rio, algumas vezes indo contra a 
corrente, outras a favor e outras ainda cruzando a correnteza. Durante todo o tempo a concentração de 
peixes é observada. A qualquer instante a taxa de variação temporal da concentração de peixes 
observada é 
 
t,y,xt,x,zt,z,yz,y,x
z
c
dt
dz
y
c
dt
dy
x
c
dt
dx
t
c
dt
dc

































 
 
 
Onde 
dtdx
, 
dtdy
 e 
dtdz
 são as componentes da velocidade do barco. 
 
 
5 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
 
Derivada temporal substantiva 






Dt
D
 
 
Agora, usando uma canoa e, não muito dispostos a fazer força, somos levados pela correnteza, 
observando a concentração de peixes. Nesse caso a velocidade do observador é a mesma que a da 
corrente 
V
 , com componentes 
x
, 
y
e 
z
. Se a qualquer instante computarmos a taxa de variação 
temporal da concentração de peixes, estaremos então fornecendo 
 
z
c
y
c
x
c
t
c
Dt
Dc
zyx










 
 ou
 Vc
t
c
Dt
Dc 




 
 
 
1.7 Grandezas físicas e suas unidades 
 
 
a) Densidade 
 
A densidade (também massa volumétrica) de um corpo define-se como o quociente entre a massa 
e o volume desse corpo. Desta forma pode-se dizer que a densidade mede o grau de concentração de 
massa em determinado volume. O símbolo para a densidade é d e a unidade no Sistema Internacional é 
kg/m³. 
 
b) Massa específica () 
 
Também denominada de densidade absoluta, é a relação entre a massa m de uma substância e o 
seu volume real V ocupado. 
 
V
m

 (1. 1) 
 
Unidades mais utilizadas: kg/m3, g/cm3, lbm /ft
3 
 
Outras unidades da massa específica: 
 
 Grau Gay-Lussac (oGL) para álcoois 
GLo
cmg


100
100
)3/(
 
ex.: 45 ºGL  0,69 g/cm3 
 
 Grau Beaumé (Bé) para líquidos em geral 
 Bécmg 

32,144
32,144
)3/(
 
 
(+ ) para líquidos mais leves que a água (álcool, óleos, tintas, etc.) 
 
6 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
( - ) para líquidos mais pesados que a água (ácidos, xaropes, etc.) 
 
Ex.: 10,00 Bé = 1,000 g/cm3 
 
 Grau API(American Petroleum Institute) para produtos de petróleo 
 
5,131
5,141
)3/(


API
cmg
 
 
Ex.: 10,0 API = 1,00 g/cm3 
 
Há uma pequena diferença entre densidade e massa específica. A massa específica, embora definida 
de forma análoga à densidade, contudo para um material e não um objeto é propriedade de uma 
substância, e não de um objeto. Supõe-se, pois que o material seja homogêneo e isotrópico ao longo de 
todo o volume considerado para o cálculo, e que este seja maciço. 
 
Um objeto oco ou poroso pode ter densidade muito diferente da massa específica do material que os 
compõem, a exemplo o navio e vários sólidos porosos (argila, rochas, cimento, cortiça, etc.), 
respectivamente. Embora a massa específica do aço seja maior do que a massa específica da água, a 
densidade de um navio - assumido uma estrutura "fechada", é certamente menor do que a da água. Este 
tipo de grandeza é denominado de densidade aparente. 
 
Para líquidos e gases as expressões densidade e massa específica - dadas as propriedades físicas 
destes estados - acabam sendo utilizadas como sinônimos. 
 
c) Densidade relativa 
 
É a relação entre a densidade da substância em causa e a densidade absoluta de uma substância de 
referência. Para líquidos e sólidos a água destilada a 4oC (ρ = 1000,00 kg/m3) tem sido utilizada como 
substância referência; para gases, o ar atmosférico a 0 ºC (ρ = 1,2928 kg/m3). 
A densidade relativa é uma grandeza adimensional, devido ao quociente. Quando se diz que uma 
substância líquida tem uma densidade de 5, quer dizer que tem uma densidade 5 vezes superior à da 
água (no caso dos sólidos e líquidos). 
 
 
d) Peso específico () 
 
É a relação entre a força-peso P de um corpo e o seu volume V. 
 
V
P

 (1.2) 
 
Unidades mais utilizadas: N/m3 , kgf /m
3 , lbf /ft
3 
 
 
 
7 
 
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e) Volume específico (Vesp) 
 
É a relação entre o volume V de um corpo e a sua massa m, ou seja, é o inverso da densidade. 

1
esp 
m
V
V
 (1.3) 
 
Unidades mais utilizadas: m3/kg, ft3/lbm , L/kg 
 
f) Volume molar 
)(V
 
 
É a relação entre o volume V ocupado por uma substânciae a sua quantidade n de matéria 
equivalente (nº de mols). O volume molar é expresso normalmente em m3/kmol, m3/mol, L/mol, 
ft3/lbmol. 
 
n
V
V 
 (1.4) 
Onde, 
M
m
n 
 sendo que, m é a massa da substância e 
M
é a sua massa molar. 
 
g) Vazão ou taxa de escoamento 
 
Os processo contínuos envolvem o escoamento de material de um ponto para outro, entre unidades 
de processo ou entre um processo e tanques de armazenamento e vice-versa. A taxa na qual uma 
quantidade de material é transportada através de uma tubulação de processo é a taxa de escoamento ou 
vazão do material, ou seja, uma quantidade por unidade de tempo. Quando a quantidade do material 
transportado é expresso em volume tem-se a vazão volumétrica (m3/s, L/min, m3/h, ft3/h), quando é 
expresso em massa, a vazão mássica (kg/s, kg/h. lbm/s,lbm/h) e, quando é expresso em quantidade de 
matéria temos a vazão molar (mol/s, kmol/h, lbmol/h. lbmol/s). 
 
vazão volumétrica 
Q
 : 
AtVQ  /
 (1.5) 
vazão mássica 
Q
: 
QtmQ 

/
 (1.6) 
 
vazão molar 
Q
: 
QQ 
 (1.7) 
 
h) Fluxo de material 
 
Em muitas análises de processos é comum expressar as vazões (ou taxas de escoamento) de material 
por unidade de área A perpendicular ao escoamento. A essa razão se dá o nome de fluxo; e assim, 
 
Fluxo volumétrico (

): 
A
Q

 (1.8) 
 
Fluxo mássico (

): 
A
Q
A
Q 
 

 (1.9) 
 
8 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
 
Fluxo molar (

): 
A
QM
 (1.10) 
 
 
1.8 Conversões de unidades 
 
 
1.8.1 Sistemas de unidades 
 
 Sistema Métrico Absoluto (Sistema CGS) 
 Sistema Internacional de Unidades (Sistema SI) 
 Sistema Inglês de Engenharia (Imperial System na Inglaterra e English System nos EUA) 
 Sistema Americano de Engenharia (U.S. unit system) 
 USCS - United States Customary System Units 
 
a) Sistema SI (Système International d’Unités): aprovado em 1960 na XI Conferência Internacional 
de Pesos e Medidas, é o sistema reconhecido pela União Internacional de Química Pura e Aplicada 
(IUPAC). 
 
 
Tabela 1.2 - Unidades básicas do Sistema Internacional de Unidades, conforme IUPAC 
Medidas de Unidade Fundamental Símbolo Dimensão 
comprimento metro m L 
massa quilograma kg M 
tempo segundo s T 
temperatura kelvin K  
quantidade de substância mol mol N 
intensidade de corrente ampère A I 
intensidade luminosa candela cd J 
 
Tabela 1.3 – Unidades secundárias do sistema internacional, derivadas de suas unidades básicas 
Grandeza física Símbolo Dimensão Significado 
área m2 L2 
volume m3 L3 
velocidade m/s LT-1 distância percorrida/intervalo de tempo 
aceleração m/s2 LT-2 variação da velocidade/intervalo de tempo 
densidade kg/m3 ML-3 massa do corpo/volume ocupado 
força N MLT-2 massa x aceleração (N = kg.m/s2) 
força eletromotriz, 
tensão, potencial elétrico 
volt volt V 
energia, calor ou trabalho J ML2T-2 força x distância (J = N.m = kg.m2/s2) 
pressão Pa ML-1T-2 força aplicada sobre uma área (Pa = N/m2 = 
kg/m.s2) 
potência W ML2T-3 energia dissipada/tempo (W = J/s = kg.m2/s3) 
viscosidade dinâmica Pa.s ML-1T-1 massa/distância.tempo (Pa.s = N.s/m2 = kg/m.s) 
viscosidade cinemática m2/s L2T-1 viscosidade absoluta/massa específica 
 
9 
 
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peso específico N/m3 ML-2T-2 densidade x aceleração da gravidade ou peso 
força/volume (N/m3 = kg/m2.s2) 
constante dos gases ideais 
J/mol.K 
 
ML4T-2N-1-1 
pressão x volume/quantidade de substância x 
temperatura ou energia/quantidade de substância 
x temperatura 
capacidade específica ou 
calor específico J/kg.K 
 
L2T-2-1 
é a capacidade de uma substância de mudar sua 
temperatura ao receber ou liberar calor para cada 
massa unitária que esta vier a se incluir 
 
 
Sistemas Inglês/Americano de Engenharia 
 
Tabela 1.4 - Unidades do Sistema Inglês/Americano de Engenharia 
Medidas de Unidade Fundamental Símbolo 
em inglês em português 
comprimento foot 
inch 
pé 
polegada 
ft 
in 
massa slug 
pound 
ounce 
slug 
libra (massa)* 
onça 
slug 
lb (lbm) 
oz 
tempo second segundo s 
temperatura Rankine 
Fahrenheit 
Rankine 
Fahrenheit 
°R 
°F 
quantidade de substância libra-mol libra-mol lbmol 
força pound libra (força) Lb ou lbf 
força eletromotriz, tensão, 
potencial elétrico 
volt volt V 
frequência hertz hertz Hz 
potência horse power cavalo vapor hp 
pressão psi psi psi 
energia, calor ou trabalho Btu e hph Btu e hph Btu e hph 
densidade lb/ft3 lbm/ft
3 lb/ft3 
peso específico lb/ft3 lbf/ft
3 lb/ft3 
viscosidade absoluta poise 
lb.s/ft2 
poise 
lb.s/ft2 
p 
lb.s/ft2 
viscosidade cinemática stoke 
ft2/s 
stoke 
ft2/s 
St 
ft2/s 
* libra massa = libra avoirdupois (ou libra internacional) 
 
1.8.2 Semelhança entre unidades 
 
N = kg.m.s-2 Pa = N.m-2 = kg.m-1.s-2 J = N.m = kg.m2.s-2 
psi = lbf.in
-2 stoke = cm2.s-1 W=J.s-1=kg.m2.s-3 
slug = lbf.s
2.ft-1 = 32,17lbm dina = g.cm.s-2 cv = 75 kg.m.s-1 
poundal = lbm.ft.s
-2 poise = g.cm-1.s-1 
 
 
10 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
 
1.8.3 A unidade mol 
 
No sistema SI, um mol é composto de 6,02 x 1023 moléculas. Entretanto, para conveniência dos 
cálculos, alguns autores têm utilizados outras especificações não-padrão para moles tais como libra-
mol (6,02x1023 x 453,6 moléculas), grama-mol (que equivale a 1 mol), e assim por diante. 
 
Para converter o número de moles em massa, fazemos uso do peso molecular (massa por mol) 
 g mol = massa em g / peso molecular 
 lb mol = massa em lb / peso molecular 
 
Ex.: 2,00 lb de NaOH (PM = 40,0) equivale a 0,050 lb mol NaOH ou 22,7 g mol 
 5,00 kg de H2O (PM = 18,0) equivale a 0,278 kg mol H2O 
 
 
1.8.4 – Uso de prefixos em unidades 
 
Tabela 1.5 – Prefixos representativos de múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais 
 
Prefixos Símbolo* Fator Expoente Quantidade** 
exa E 1 000 000 000 000 000 000 1018 quintilhão 
peta P 1 000 000 000 000 000 1015 quatrilhão 
tera T 1 000 000 000 000 1012 trilhão 
giga G 1 000 000 000 109 bilhão 
mega M 1 000 000 106 milhão 
quilo k 1 000 103 mil 
hecto h 100 102 cem 
deca da 10 101 dez 
deci d 0,1 10-1 décimo 
centi c 0,01 10-2 centésimo 
mili m 0,00 1 10-3 milésimo 
micro µ 0,00 000 1 10-6 milionésimo 
nano n 0,00 000 000 1 10-9 bilionésimo 
pico p 0,00 000 000 000 1 10-12 trilionésimo 
femto f 0,00 000 000 000 000 1 10-15 quatrilhonésimo 
atto a 0,00 000 000 000 000 000 1 10-18 quintilhonésimo 
*Recomendação importante: ao substituir variáveis em uma fórmula, nunca inclua unidades com prefixo, com exceção ao 
quilograma. 
**No Brasil e na maior parte dos países de língua inglesa e árabe é utilizada a Escala Curta para denominar números 
grandes em que cada novo termo acima de um mil é 1.000 vezes maior que o termo anterior. A Escala Longa corresponde a 
um sistema de nomenclatura de números superiores a um milhão em que cada novo termo é 1.000.000 de vezes maior que o 
termo anterior, é utilizada em todos os países de origem portuguesa (à excepção do Brasil) e na maior parte da Europa 
continental. 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
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1.8.5 Conversões de unidades 
 
 
1.8.5.1 Fatores de conversão mais comuns na engenharia 
 
1 m3 = 1000 L 1 kg = 2,2046 lbm 1 cv = 735,5W 
1 L = 1000 mL 1 ppm = 1 mg/kg (sol.) 1 W = 3,4152 Btu/h 
1 mL = 1 cm3 1 ppm = 1 mL/m3 (líq.) 1 W = 1,341x10-3 hp 
1 galão = 3,785 L 1 ppm = 1 mmol/kmol (gás) 1 atm = 101325 Pa 
1 barril (britânico) = 159,11315 L 1 ppb = 1µg/kg 1 Pa = 1,45x10-4 psi 
1 barril (USA) = 158,987294928 L 1 ppb = 1µL/m3 1 N = 0,22481 lbf 
l m = 3,281 ft 1 ppb = 1 µmol/kmol 1 cal = 4,1868 J 
1 ft = 12 in 1 dalton = 1 u.m.a. 1 J = 9,478x10-4 Btu 
1 in = 25,4 mm 1 u.m.a. = 1,66X10-24 g 1 Btu = 252 cal 
1 jarda = 0,9144 m 1 lbm = 12 oz 
1 milha = 1609 m 1 milha náutica = 1151,6 m 1 mol = 0,0022046 lbmol 
15,273 CK
 
460º  FR
 
32)(8,1º  CF
 
 
1.8.5.2 Conversão da temperatura como denominador em unidades compostas 
 
CK 
 
FR 
 
FC  8,1
 
 
Ex.: 1 J/g.K = 1 J/g.ºC; 1 Btu/lb.ºR = 1 Btu/lb.ºF 1 Btu/ºC = 0,556 Btu/ºF 
 
1.8.5.3 Exemplos de cálculos envolvendo conversões de unidades 
 
Ex. 1) A difusividade mássica do hidrogênio no ar é 0,41x10-4 m2/s de acordo com Incropera e Witt 
(Transferência de Calor e de Massa, 2003). Qual o valor e unidades desta grandeza no sistema 
americano? 
 
Resposta: 
h
ftx
h
s
m
ft
s
m
x
224
2
222
4 589.1
1
3600.281,3.1041,03600)281,3(
1041,0 


 
 
Ex. 2) Conforme Sisson & Pitts (Fenômenos de Transporte, 1988) a condutividade térmica do alumínio 
puro a 212 ºF é 119 Btu/h.ft.ºF. Determine a sua condutividade no sistema SI? 
 
Resposta: 
Km
J
xK
F
m
ft
Btux
J
Ffth
Btu
.
3,496.741
10478,9
8,1.281,3.119º8,1281,3
10478,9.º.
119
44


 
 
1.8.6 Valores da constante dos gases ideais (R) 
 
1,987 cal/(gmol)(K) 1,987 btu/(lbmol)(ºR) 
10,73 (psia)(ft3) /(lbmol)(ºR) 82,06 (cm3)(atm)/(gmol)(K) 
8,314 J/(gmol)(K) 8,314 (kPa)(m3)/(kgmol)(K) 
0,08206 (L)(atm)/(gmol)(K) 21,9 (InHg)(ft3)/(gmol)(ºR) 
0,7302 (ft3)(atm)/(lbmol)(ºR) 
 
12 
 
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1.8.7 Constante de proporcionalidade ou constante gravitacional (grupo gc) 
 
32,17 ft.lbm.lbf
-1 .s-2 1 slug.ft.lbf-1s-2 
9,8 kg.m.Kgf
-1.s-2 1 kg.m.N-1.s-2 
1 g.cm.N-1.s-2 
 
O grupo gc é utilizado principalmente no sistema americano sempre que a unidade de massa for 
utilizada em equações que envolvam outras grandezas. 
 
Exemplo de aplicação: Cálculo da força no sistema americano de engenharia a partir da 2a Lei de 
Newton: 
 F = m.g/gc 
 
 
13 
 
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2. MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
 
 Importância do estudo da mecânica dos fluidos: 
 
O conhecimento e a compreensão dos princípios básicos e dos conceitos da mecânica dos fluidos 
são essenciais para analisar qualquer sistema no qual um fluido é o meio produtor de trabalho. O 
projeto de todos os meios de transporte, tais como o que ocorre na construção de arranha-céus, de 
chaminés, de máquinas de fluxo e de sistemas de refrigeração, entre outros, requer a aplicação dos 
princípios da mecânica dos fluidos. 
 
 
 Exemplos de aplicações da mecânica dos fluidos na indústria: 
 
 Máquinas de fluxo (bombas, turbinas, ventiladores e compressores) – projetos de construção, 
seleção de equipamentos, controle da produção, etc. 
 Projetos de sistemas de tubulações 
 Projetos de sistemas de refrigeração 
 Desenvolvimento de medidores de vazões 
 Sistemas de agitação, de mistura e de homogeneização 
 
 
2.1 Conceitos e princípios da Mecânica dos Fluidos 
 
 
2.1.1 Fluido 
 
Fluido é qualquer substância que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de 
cisalhamento. 
 
 
2.1.2 Classificação da mecânica dos fluidos 
 
a) Estática dos fluidos: não há tensão de cisalhamento e a velocidade do fluido é nula ou constante. É 
conhecida como hidrostática quando se refere a líquidos, e pneumática quando diz respeito a gases. 
O conhecimento da estática dos fluidos fornece uma visão para a análise de problemas da dinâmica 
de fluidos mais complexos. 
 
b) Dinâmica dos fluidos: estuda o comportamento dos fluidos quando em movimento, suas 
propriedades e interações com a vizinhança. 
 
14 
 
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c) Cinemática dos fluidos: é uma ramificação da dinâmica dos fluidos. A cinemática estuda os 
movimentos dos fluidos como partícula em termos dos deslocamentos, velocidades e acelerações, 
sem levar em conta as forças que o produzem. 
 
Assim como no transporte de calor e de massa, podemos estudar e descrever o transporte de 
quantidade de movimento em três níveis diferentes: macroscópico, microscópico e molecular. 
 
 
Em nível macroscópico, as equações de balanço descrevem o sistema (ou equipamento) como um 
todo (dimensões são da ordem de cm ou m), considerando a sua variação devido às correntes de entrada 
e saída. Nenhuma tentativa é feita para entender o que ocorre entre esses pontos. Trata-se de uma 
análise global do sistema. 
 
Em nível microscópico, examina-se o que está acontecendo dentro do sistema, em uma pequena 
região (dimensões da ordem de µm ou cm). As equações de balanço descrevem como o fenômeno está 
ocorrendo. O objetivo é conseguir informação acerca dos perfis de velocidades, temperaturas, pressões 
e concentrações dentro do sistema. 
 
Em nível molecular (dimensões de cerca de 1 a 1000 nm), procuramos por uma compreensão 
fundamental dos mecanismos de transporte, em termos da estrutura molecular e das forças 
intermoleculares. Geralmente, esse é o domínio dos físicos teóricos ou dos físico-químicos; porém, 
torna-se particularmente importante ao engenheiro caso os processos em estudo envolvem moléculas 
complexas, faixas extremas de temperatura e pressão ou sistemas que reagem quimicamente. 
 
 
 Equações básicas da mecânica dos fluidos 
 
São as leis básicas que governam o movimento de quaisquer fluidos. A análise de qualquer 
problema em mecânica dos fluidos começa necessariamente, seja de modo direto ou indireto, com 
declarações das leis básicas que governam o movimento do fluido. Aquelas aplicáveis a qualquer 
fluido são: 
 
 
1) Conservação da massa: 
 
Para um sistema qualquer, por definição, 
dt
dm
= 0 (2.2) 
 
2) Segunda lei do movimento de Newton 
 
Para um sistema movendo-se em relação a um sistema inercial de referência, a soma de todas as 
forças externas atuando sobre o sistema é igual à taxa de variação da sua quantidade de movimento 
com o tempo: 
dt
dm
amF



 (2.3) 
 
 
15 
 
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3) Princípio do momento da quantidade de movimento 
 
A taxa de variação do momento da quantidade de movimento com o tempo é igual à soma de 
todos os torques atuando sobre o sistema. 
 
sistemadt
dMo
T 



 (2.4) 
Onde, 
T
 é o torque total exercido sobre o sistema pelo meio à sua volta, e 
Mo
 é o momento da 
quantidade de movimento do sistema. 
 
 
4) Primeira lei da termodinâmica (conservação da energia) 
 
dE = 
WQ  
 (2.5) 
 
5) Segunda lei da termodinâmica (variação da entropia) 
 
dS  
T
Q
 (2.6) 
 
 
2.2 Estática dos fluidos 
 
 
2.2.1 Importância do Estudo da Estática dos Fluidos 
 
O estudo dos fluidos na condição de repouso encontra extensa aplicação na Engenharia, 
principalmente na Engenharia Hidráulica, em obras de armazenamento de água, e na Engenharia 
Mecânica, nos cálculos de comportas e nos sistemas de comando hidráulico. Uma aplicaçãomuito 
importante da estática dos fluidos é a manometria de coluna de fluido, uma excelente ferramenta de 
medida de pressão, de uso extenso em laboratórios. Qualquer parte do fluido em equilíbrio estático é 
sujeito apenas à forças compressivas. A intensidade da força compressiva é conhecida como pressão 
estática. Ela é normal a qualquer superfície sobre a qual age, e em qualquer ponto possui a mesma 
intensidade, qualquer que seja a orientação da superfície. Esta é uma maneira de exprimir a Lei de 
Pascal que nos diz que “a pressão num ponto de um fluido em repouso tem o mesmo valor em todas as 
direções”. 
 
 
2.2.2 Conceito de pressões mais utilizadas na estática dos fluidos 
 
 Pressão atmosférica: é a força exercida pela atmosfera na superfície terrestre. Esta força equivale 
ao peso dos gases que estão presentes no ar e que compõem a atmosfera. A pressão atmosférica 
 
16 
 
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pode variar de um lugar para o outro, em função da altitude e das condições meteorológicas (como 
a umidade e a densidade do ar). Ao nível do mar esta pressão é aproximadamente de 760 mmHg, ou 
1 atm. Quanto mais alto o local, mais rarefeito é o ar e, portanto, menor a pressão atmosférica. O 
instrumento que mede a pressão atmosférica é o barômetro. 
 
 Pressão efetiva ou relativa: é determinada tomando-se como referência a pressão atmosférica local. 
Para medi-la, usam-se instrumentos denominados manômetros; por essa razão, a pressão relativa é 
também chamada de pressão manométrica. A maioria dos manômetros é calibrada em zero para a 
pressão atmosférica local. Assim, a leitura do manômetro pode ser positiva, quando indica o valor 
da pressão acima da pressão atmosférica local, ou negativa, quando se tem um vácuo. Quando se 
fala em pressão de uma tubulação de gás, refere-se à pressão relativa ou manométrica. 
 
 Pressão estática: é o peso exercido por um líquido em repouso ou que esteja fluindo 
perpendicularmente a tomada de impulso, por unidade de área exercida. Assim, 
 
 
cg
gh
p


 (2.7) 
 
p - carga estática (N/m2, kgf /m
2, lbf /ft
2, mca ) 
 - densidade do líquido (kg.m-3, lbm.ft-3 ) 
h - altura do líquido acima do ponto considerado (m, ft) 
gc - constante gravitacional ou de proporcionalidade, utilizada apenas quando não se emprega o sistema 
americano de unidades. 
 
s lb
ft 
17405,32
f
m
c
lb
g 
 
 
 Em sistemas abertos, como em um reservatório líquido com a sua superfície em contato com a 
atmosfera, a pressão estática é normalmente denominada de pressão manométrica. 
 
 Pressão absoluta: é a pressão total verdadeira, resultante da soma das pressões manométrica e 
atmosférica local. 
 
 A Figura 2.1 apresenta as relações existentes entre as pressões manométrica, atmosférica e absoluta. 
 
 
17 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
 
 
Figura 2.1 – Relações entre as pressões manométrica, atmosférica e absoluta. Fonte: Munson et al., 
Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, 2004. 
 
Da Fig. 2.1 podemos tirar que: 
manatmabs PPP 
 (2.8) 
 
 Conforme pode ser observado na Fig. 2.1, a escala absoluta é a escala de pressão que adota 
como zero o vácuo absoluto, o que justifica a afirmação que nesta escala só existem pressões positivas. 
Teoricamente poderíamos ter a pressão igual a zero, que representaria a pressão do vácuo absoluto. 
 A pressão manométrica, escala efetiva ou relativa de pressão, é a escala de pressão que adota 
como zero a pressão atmosférica local, o que justifica a afirmação de que nesta escala existem pressões 
negativas (depressões ou vácuos técnicos), nulas e positivas. 
Para o estudo básico de mecânica dos fluidos, tanto a escala absoluta como a escala efetiva ou 
relativa, são igualmente importantes. 
 
 
 Pressão hidráulica: o termo pressão hidráulica refere-se a pressões transmitidas por fluidos, como 
óleos em máquinas hidráulicas, em cilindros hidráulicos (como nos macacos hidráulicos e freios 
hidráulicos de veículos), em fenômenos relacionados com o principio de Pascal (variações de 
pressão sofridas por um volume de um líquido são transmitidos integralmente a todos os pontos 
deste líquido e às paredes do recipiente onde este está contido), etc. 
 
 
2.2.2.1 Unidades de pressão 
 
 A Tabela 2.1 apresenta as principais unidades empregadas para a pressão e os fatores de 
conversão entre elas. 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
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Tabela 2.1 – Unidades de pressão e respectivos fatores de conversão. 
 
 
 
 
Exemplos de leitura da Tabela 2.1 
 
Partindo sempre da coluna 1: 1 kPa = 0,0100 bar 
 1 bar = 100,00 kPa 
 
 
2.2.3 Equilíbrio estático 
 
 
A fim de determinar a variação de pressão, p = f (x, y, z), considere o elemento de fluido 
indicado na Figura 2.2. As forças que atuam sobre o elemento de fluido são as tensões no fluido 
vizinho (pressões) e a força devida à gravidade (peso). 
 
19 
 
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Figura 2.2 – Forças sobre um elemento fluido 
 
 
 Aplicando a primeira lei de Newton, F = 0, obtemos as seguintes equações escalares em três 
direções mutuamente ortogonais: 
 
 
0)()(   zypzypF xxxx
 (2.9) 
 
 
0)()(   zxpzxpF yyyy
 (2.10) 
 
 
0)()(   yxpyxpF zzzz
 (2.11) 
 
 
 Dividindo cada uma das equações por x y z e tomando o limite quando x, y, z tendem 
a zero, obtemos 
 
0



x
p
f x
 (2.12) 
 
0


 g
y
p
f y 
 (2.13) 
 
0



z
p
f z
 (2.14) 
 
 Onde f é a força externa por unidade de volume ou, em forma vetorial: 
 
 
20 
 
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0 gpf 
 (2.15) 
 
 A Equação 2.15 é conhecida como Equação Geral da Estática dos Fluidos e pode ser reescrita 
sob a seguinte forma: 
 
0








 g
z
p
y
p
x
p 
 (2.16) 
 
Ou, ainda, 
 
0)( 

gp 
 (2.17) 
 
 Onde o vetor g possui três componentes mutuamente ortogonais, gx , gy , gz , com as respectivas 
distribuições de pressão afetadas de mesmo modo, por exemplo, 
 
0


 zg
z
p

 (2.18) 
 
É necessário, obviamente, conhecermos a natureza de  e g a fim de integrar esta equação. 
 
Exemplo de cálculo: Determine a pressão absoluta em um nível 2 de uma massa de água, situado 5 
m abaixo da superfície, sabendo que na superfície (nível 1) age a pressão atmosférica. Considere a 
massa específica da água constante e igual a 1000 kg/m3. 
 
Solução: tomando como base a Equação 2.17 temos que 
 
gdzdp 
  
 
2
1
2
1
z
z
P
P
gdzdp 
  
)( 2112 zzgpp  
  
 
 
)5(81,9.10001013252 p
  
Pap 1503752 
 
 
 
 
2.2.4 Manometria 
 
Manometria é o nome dado à técnica de medida da pressão. O padrão básico para medidas de 
pressão é o manômetro diferencial de coluna de mercúrio, mostrado na Figura 2.3, embora o mais 
confiável seja o manômetro de pistão, conhecido como manômetro de peso morto, cujo esquema é 
apresentado na Figura 2.4. A pressão P no manômetro de peso é dada pela relação W/A, acrescida da 
leitura na escala. 
Outros instrumentos de medida de pressão com base em coluna de fluido são: barômetro de 
mercúrio (Figura 2.5) e o piezômetro (Figura 2.6). 
 
21 
 
Fenômenosde Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
O barômetro de Torriceli, empregado para medir a pressão atmosférica, foi originalmente 
proposto utilizando mercúrio como fluido manométrico. Hoje em dia, com o avanço da tecnologia, 
podem-se encontrar barômetros acoplados a relógios digitais a um custo razoável. 
O piezômetro é comumente utilizado para a determinação de pressões neutras (pressões que 
atuam na água) e sub-pressões (regiões com vácuo) em obras de engenharia, tais como, maciços de 
terra, taludes e fundações. 
 
 
Figura 2.3 – Manômetro de Mercúrio Figura 2.4 – Manômetro de peso. 
Fonte: Roma, 2003. Fenômenos de Transporte Fonte: Roma, 2003. Fenômenos de Transporte 
para Engenharia. para Engenharia. 
 
 
 
Figura 2.5 – Barômetro de Torricelli Figura 2.6 – Piezômetro 
Fonte: Roma, 2003. Fenômenos de Transporte Fonte: Roma, 2003. Fenômenos de Transporte 
para Engenharia. para Engenharia. 
 
22 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
2.2.5 Força hidrostática sobre superfícies planas submersas 
 
 
A Fig. 2.7 mostra a força resultante (FR) desenvolvida no fundo de um tanque aberto contendo 
fluido armazenado. 
 
 
Figura 2.7 – Distribuição da força hidrostática sobre a superfície horizontal do fundo de um tanque 
aberto. 
 
 
 Para uma superfície horizontal, como a mostrado na Fig. 2.7, o módulo da força resultante FR 
sobre a superfície é: 
 
PAFR 
 (2.19) 
 
Onde, para este caso de tanque aberto, P=ρh. 
 A força resultante atua no centróide (centro geométrico) da área da superfície inferior porque a 
pressão é constante e está distribuída uniformemente nesta superfície. 
 
 Para o caso de uma superfície plana inclinada, como apresentado na Figura 2.8, a determinação 
de FR (direção, sentido, módulo e ponto de aplicação) que atua nesta superfície é definida pela Equação 
2.20. 
 
 
 Figura 2.8 – Força hidrostática numa superfície plana, inclinada. 
 
 
 
23 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
 
PAdhgF
A
R  
 (2.20) 
 
onde, h = y senθ. 
 
 Se ρ, g e θ são constantes, então: 
 
 
AdysengF
A
R  
 (2.21) 
 
 A integral da Eq. 2.21 é o momento de primeira ordem da área em relação ao eixo x. Deste modo, 
nós podemos escrever 
 
 
 
AyAdy C
A

 
 
 
onde, yc é a coordenada y do centróide medido a partir do eixo x que passa através de 0. Assim, a Eq. 
2.21 pode ser reescrita como 
 
AhgsenyAgF CCR  
 (2.22) 
 
onde hc é a distância vertical entre a superfície livre do fluido e o centróide da área. 
 
 A coordenada yR da força resultante pode ser determinada pela soma dos momentos em torno do 
eixo x, ou seja, o momento da força resultante precisa ser igual aos momentos das forças devidas a 
pressão. Assim, 
 
AdysengFdyyF
AA
RR  
2
 
 
Como FR=ρgAycsenθ, então 
 
Ay
Ady
y
C
A
R


2
 
 
 A integral no numerador desta equação é o momento de segunda ordem da área A ou momento de 
inércia Ix em relação ao eixo formado pela intersecção do plano que contém a superfície e a superfície 
livre (eixo x). Assim, pode-se escrever que 
 
Ay
I
y
c
x
R 
 
 
24 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
 
 Se utilizar o teorema dos eixos paralelos, Ix pode ser expresso como 
 
2
cxcx yAII 
 
 
onde Ixc é o momento de segunda ordem em relação ao eixo que passa no centróide e é paralelo ao eixo 
x. Assim, têm-se que: 
 
c
c
xc
R y
Ay
I
y 
 (2.23) 
 
 A Eq. 2.23 mostra que a força resultante não passa através da centróide mas sempre atua abaixo dele 
visto que Ixc/ycA>0. 
 
 A coordenada xR do ponto de aplicação da força resultante pode ser determinada de modo 
análogo, ou seja, somando-se os momentos em relação ao eixo y. Deste modo, 
 
 
AdxysengxF
A
RR  
 e 
Ay
I
Ay
Axyd
x
c
xy
c
A
R 
 
 
onde Ixy é o produto de inércia em relação aos eixos x e y. Utilizando novamente o teorema dos eixos 
paralelos, tem-se que 
 
 
c
c
xyc
R x
Ay
I
x 
 (2.24) 
 
 O ponto de aplicação (xR, yR) da força resultante (FR) é denominado centro de pressão. 
 
A Figura 2.9 apresenta as coordenadas do centróide e os momentos de inércia de algumas figuras 
geométricas usuais. 
 
 
25 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
 
 
Figura 2.9 – Propriedades geométricas de algumas figuras. Fonte: Munson et al. (2004), Fundamentos da 
Mecânica dos Fluidos. 
 
 
 
26 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
Exemplo de cálculo 
 
A figura apresentada a seguir mostra o esboço de uma comporta circular inclinada que está localizada 
num grande reservatório de água (γ = 9,80 kN/m3). A comporta está montada num eixo que corre ao 
longo do diâmetro horizontal da comporta. Se o eixo está localizado a 10 m da superfície livre, 
determine: (a) o módulo e o ponto de aplicação da força resultante na comporta, e (b) o momento que 
deve ser aplicado no eixo para abrir a comporta. 
 
 
 
Solução: 
 
(a) 
 
 Cálculo do módulo: uso da Eq. 2.22 
 
AhgF CR 
 

 Considerando, ρ = 1000 kg/m3 e g = 9,8 m/s2 
 
FR = (9800)(10)(4π) = 1,23x106 N 
 
 
 Cálculo do ponto de aplicação: uso das Eq. 2.23 e 2.24 
 
 
c
c
xc
R y
Ay
I
y 
 
c
c
xyc
R x
Ay
I
x 
 
 
Por inspeção, xR = 0 pois a superfície da comporta é simétrica e o centro de pressão precisa estar 
localizado ao longo da linha A-A. 
 
 
27 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
Para o cálculo de yR note que a Fig. 2.9 fornece 
4
4R
I xc


. Assim, para yc = 10/sen60º e R=2m: 
 
myR 6,11
 
 
 A distância entre o eixo da comporta e o centro de pressão (ao longo da comporta) é 
 
 
myy cR 0866,0
 
 
Resumindo, a força que atua perpendicularmente sobre a comporta apresenta módulo igual a 1230 kN, 
atua num ponto localizado a 0,0866 m abaixo da linha do eixo e pertence a linha A-A. 
 
 
(b) O diagrama de corpo livre mostrado na Fig. C pode ser utilizado para determinar o momento 
necessário para abrir a comporta. Observe que W é o peso da comporta, Ox e Ou são as reações 
horizontal e vertical do eixo na comporta. 
A somatória dos momentos em torno do eixo da comporta é nula; portanto 
0 cM
. 
Daí, temos que: 
 
NmxxyyFM cRRc
56 1007,1)0866,0)(1023,1()( 
 
 
 
 
28 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
2.3 Dinâmica dos fluidos 
 
 Estuda o comportamento dos fluidos durante o seu escoamento. Uma vez que há bastante 
sobreposição nos tipos de escoamentos encontrados, não há padrão de classificação universalmente 
aceito para a dinâmica dos fluidos. Uma possível classificação é mostrada na Figura 2.10. 
 
 
Figura 2.10 – Classificação da dinâmica dos fluidos. Fonte: Fox & Mcdonald (1998), Introdução à Mecânica dos 
Fluidos. 
 
 
2.3.1 Viscosidade 
 
É a propriedade associada à resistência que o fluido oferece à deformação por cisalhamento. De 
outra maneira, pode-se dizer que a viscosidade corresponde ao atrito interno nos fluidos devido, 
basicamente, às interações intermoleculares. 
A viscosidade dos fluidos varia com a temperatura T e com a pressão P, sendo, porém, mais 
sensível à temperatura que à pressão. 
Nos líquidos, a viscosidade diminui com o aumento da temperatura enquanto que, para os gases, aviscosidade aumenta. 
A viscosidade da maioria dos líquidos não é afetada por pressões moderadas; porém, grandes 
aumentos foram verificados a pressões muito altas. Por exemplo, a viscosidade da água a 10.000 atm é 
o dobro daquela a 1 atm. Compostos mais complexos apresentam um aumento de viscosidade de 
diversas ordens de grandeza para a mesma faixa de pressão. 
A viscosidade dos gases independe essencialmente da pressão entre alguns centésimos de uma 
atmosfera e algumas atmosferas. Entretanto, a pressões elevadas aumenta com a pressão (ou a massa 
específica). 
 
 
2.3.1.1 – Viscosidade dinâmica, ou absoluta (  ) 
 
 
29 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
De acordo com a Lei de Newton para a Viscosidade (Eq. 2.25),  é a proporcionalidade entre a 
resistência ao fluxo no interior do material, expressa em termos da relação da tensão de cisalhamento  
e a resultante relação de deformação sob cisalhamento (
y/u 
). 
y
u


 
 (2.25) 
 
 - tensão de cisalhamento (N.m-2 ) 
 - viscosidade dinâmica (N.s.m-2 ) 
y/u 
- gradiente de velocidade, ou taxa de deformação ou taxa de cisalhamento (s-1 ) 
u - velocidade do fluido na direção x (m.s-1 ) 
y - distância entre as duas camadas limites consideradas (m) 
 
De acordo com a Eq. 2.25 (válida para fluidos newtonianos), quanto maior a  aplicada em um 
fluido maior será a sua deformação (escoamento). 
A viscosidade dinâmica é normalmente determinada em viscosímetro do tipo rotacional 
(viscosimetria rotativa) e é independente da densidade do líquido. É medida em poises (P) e centipoises 
(cP) 
 
Unidades mais comuns: Pa.s, N.s.m-2, poise (P), centipoises (cP), lbf .s.ft
-2 , lbm ft
-1s-1, slug.ft-1s-1., Pa.s 
(N.s.m-2 ) 
1 Pa.s = 1 N.s.m-2 = 1 kg.m-1s-1 1 P = 100 cP 1 cP = 0,001 Pa.s 
 
 
2.3.1.2 Viscosidade aparente (η ou µa) 
 
Assim como a viscosidade dinâmica, a viscosidade aparente é determinada em viscosímetros 
rotacionais e possui as mesmas unidades. É utilizada para caracterizar fluidos não-Newtonianos, nos 
quais a tensão de cisalhamento não é diretamente proporcional à taxa de deformação (Eq. 2.26). A 
maioria dos fluidos não-Newtonianos tem valores de η relativamente elevadas em comparação à 
viscosidade da água. 
 
1a 

n
dydu
k

 (2.26) 
 
k – índice de consistência 
n – índice de comportamento do escoamento. 
 
 A apresentação de valores de η devem ser acompanhados do valor da tensão de cisalhamento 
utilizada no viscosímetro. 
 
 
2.3.1.3 Viscosidade cinemática () 
 
 
30 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
É normalmente determinada em viscosímetros de fluxo dotados de orifícios capilares através 
dos quais o material escoa por gravidade (reometria capilar). Os valores de  são dependentes da 
densidade do líquido e podem ser obtidos, também, a partir de . Assim, 
 


 
 (2.27) 
 
 Unidades mais comuns: m2.s-1, Stokes (S) ou centiStokes (cS), ft2.s-1 
1 cS = 1x10-6 m2.s-1 = 1,076x10-5 ft.s-1 
 
 
2.3.1.4 Viscosidade relativa ou taxa de viscosidade (Rel) 
 
Este termo se refere à relação de tempo necessário para que uma solução específica (resina, 
tinta, polímero, etc.), em um solvente, escoe através de um orifício e o tempo para que igual volume do 
solvente puro escoe através deste mesmo orifício. 
 
 
00Re 

 
t
t
l
 (2.28) 
 
t - tempo de escoamento da solução 
t0 - tempo de escoamento do solvente puro 
ν - viscosidade cinemática da solução 
ν0 - viscosidade cinemática do solvente 
 
 
2.3.1.5 Viscosidade intrínseca ou n° de viscosidade limite (int) 
 
Tem seu valor normalmente empregado na caracterização de macromoléculas na indústria de 
polímeros e na indústria de tintas e vernizes. È calculada pela Equação 
 
0
0
0
0
int
t
tt 






 (2.29) 
 
Quanto mais favorecido a interação polímero-solvente (bom solvente) maior será o valor de int 
 
 
2.3.1.6 Viscosidade específica (esp) 
 
Seu valor é obtido a partir dos valores da viscosidade aparente da solução (η) e da viscosidade 
aparente do solvente (η0), conforme Equação 2.30. 
 
1Re0
0


 lEsp 

 (2.30) 
 
 
31 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
 
2.3.1.7 Viscosidade reduzida ou número de viscosidade (red) 
 
Este termo é usado para definir a relação entre a viscosidade específica e a concentração da 
solução (C). 
 
C
Esp
dRe

 
 (2.31) 
 
 
2.3.1.8 Viscosidade inerente ou n° de viscosidade logarítmica (inh) 
 
É o logaritmo natural da relação entre a viscosidade relativa e a concentração, ou seja, é o 
logaritmo natural da viscosidade reduzida. Assim, 
 







C
ln lReInh


 (2.32) 
 
Nota: os óleos lubrificantes de motores e transmissões são classificados pela viscosidade de acordo 
com normas estabelecidas pela Society of Automotive Engineers (SAE). Os números de viscosidade 
seguidos da letra W (por ex., óleo SAE 40W) são classificados pela viscosidade medidos a 0 °F (-
17,778 ºC). Aqueles sem W são classificados pela viscosidade a 210 F (98,889 ºC). 
 
Ex.: óleo do motor  óleo SAE 5W a 50W 
 óleo da transmissão  óleo SAE 75W a 250W 
 
Para classificar um óleo como SAE 5W, por exemplo, a sua viscosidade cinemática não deverá ser 
maior do que 1.300 cS, para um óleo SAE 10W, a sua viscosidade deverá estar na faixa de viscosidade 
compreendida entre 1.300 cS e 2.600 cS, para um óleo SAE 20W, de 2.600 cS a 10.500 cS, e assim por 
diante. 
 
 
2.3.2 Classificação reológica dos fluidos 
 
 
 Newtoniano – taxa de cisalhamento (  ) do fluido é diretamente proporcional à taxa de deformação 
aplicada (
y/u 
). Ex.: água, glicerina, gasolina, etc. Aplica-se a Equação de Newton da 
viscosidade (Eq. 2.25). 
 
 
 Não-newtoniano – a taxa de cisalhamento não é diretamente proporcional à taxa de deformação. 
Ex.: tintas, creme dental, polímeros, etc. 
Numerosas equações empíricas têm sido propostas para elaborar o modelo matemático dessas 
relações. Para o escoamento unidimensional o seguinte modelo exponencial tem sido usado: 
 
 
32 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
n
y
y
u
k 








 (2.33) 
 
o expoente n é chamado de índice de comportamento do escoamento e k de índice de consistência. 
Esta equação reduz-se à lei de Newton para n = 1 e k =  
 
 pseudoplástico – é um fluido não-newtoniano cuja viscosidade aparente diminui com taxa de 
deformação crescentes (n1). Ex.: soluções poliméricas 
 
 dilatante - é um fluido não-newtoniano cuja viscosidade aparente aumenta com taxa de deformação 
crescentes (n1). Ex.: soluções de amido e areia 
 
 plástico Bingham ou ideal – é um fluido não-newtoniano que se comporta como um sólido até que 
uma tensão mínima y seja excedida. Subseqüentemente, a relação linear entre tensão e taxa de 
deformação é verificada. Ex.: suspensão de argilas e creme dental 
 









y
u
y  0
 (2.34) 
 
A Figura 2.11 apresenta a classificação dos fluidos de acordo com o seu comportamento. Os 
fluidos nos quais a tensão de cisalhamento não é diretamente proporcional à taxa de deformação são 
não-newtonianos. 
 
 
Figura 2.11 – (a) Tensão de cisalhamento τ, e (b) Viscosidade aparente η como função da taxa de 
deformação para o escoamento unidimensional de diversos fluidos não-newtonianos. Fonte:Fox & 
Mcdonald (1998), Introdução à Mecânica dos Fluidos. 
 
 
33 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
 
Todos os tipos de fluidos da Figura 2.11 são independentes do tempo de duração da aplicação da 
tensão. Os fluidos tempo-dependentes são os tixotrópicos e os reopéticos. 
 
 fluidos tixotrópicos – viscosidade aparente reduz com o tempo de deformação sob tensão de 
cisalhamento constante. Ex.: tintas. 
 
 fluidos reopéxicos – viscosidade aparente aumenta com o tempo de deformação sob tensão de 
cisalhamento constante. Ex.: maionese. 
 
 
2.3.3 Tipos de escoamento 
 
a) Regime permanente – as velocidades não dependem do tempo 
b) Regime não-permanente – existe dependência do tempo 
c) Escoamento laminar – ocorre quando as partículas do fluido percorrem trajetórias paralelas sem 
que haja uma mistura microscópica. 
d) Escoamento turbulento – ocorre em velocidades mais elevadas de escoamento de um fluido. As 
trajetórias são curvilíneas e irregulares, emaranhando-se de tal modo que é impossível identificá-las 
na prática. Em cada ponto da corrente fluida, a velocidade varia em módulo, direção e sentido. Re  
2300 (ver definição de Re no item 1.7) 
e) Escoamento ideal – escoamento de um fluido em que não ocorre perdas de energia. O movimento 
das partículas é análogo ao movimento de um sólido sobre um plano, sem atrito. 
f) Escoamento real – possui, ao contrário do escoamento ideal, um perfil de escoamento variável 
com tensões de cizalhamento 
g) Escoamento compressível – ocorrem variações consideráveis da densidade do fluido. Os 
escoamentos de gases com transferência de calor são exemplos desse tipo de escoamento 
h) Escoamento incompressível – escoamentos em que as variações da densidade do fluido são 
desprezíveis. Exemplo: escoamento de líquidos em geral onde 

 / 

t = 0 
i) Escoamento interno – escoamentos envoltos por superfícies sólidos. São também conhecidos por 
escoamentos em dutos. Os escoamentos em rios, fossos e aquedutos são considerados, também, 
como escoamentos internos (dutos incompletos) 
j) Escoamento externo – aqueles em torno de corpos imersos num fluido não-contido. Os fluxos 
sobre uma placa plana semi-infinita e em volta de um cilindro são exemplos de escoamentos 
externos. 
k) Escoamento invíscidos – viscosidade do fluido é nula. Os fluidos invíscidos não existem porque 
todo fluido apresenta uma tensão de cisalhamento quando é submetido a uma taxa de deformação. 
Entretanto, existem escoamentos onde os efeitos viscosos são relativamente pequenos (quando 
comparados com os outros efeitos presentes). Assim, nós podemos obter uma aproximação de 
primeira ordem para estes casos se ignorarmos os efeitos viscosos. Por exemplo, as forças viscosas 
encontradas em muitos escoamentos de água apresentaram ordens de grandeza muito menores do 
que as das outras forças presentes no escoamento, tais como as provocadas pela aceleração da 
gravidade ou pelas diferenças de pressão. De modo análogo, normalmente os efeitos viscosos 
associados com os escoamentos de gases são desprezíveis mas, em algumas circunstâncias, estes 
efeitos podem ser muito importantes. 
 
 
 
34 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
2.3.4 Número de Reynolds (Re ou NRe ) 
 
Re = 



 DD

 (2.35) 
 
Onde, D é o diâmetro da tubulação, 

 é a velocidade média de escoamento do fluido, 

 é a 
densidade do fluido,

 a sua viscosidade dinâmica, 

 é a sua viscosidade cinemática. . 
O número de Reynolds é, por definição, qualquer de várias quantidades adimensionais da forma 
(D

 /  ) as quais são todas proporcionais à razão entre a força inercial e a força viscosa num sistema 
em escoamento. O número de Reynolds crítico indica a transição do escoamento laminar para o 
turbilhonar quando a velocidade é aumentada. Seu valor (2000 a 3000) depende da geometria do duto. 
 
 
2.3.5 Outros conceitos comumente empregados no estudo da Mecânica dos Fluidos 
 
a) Gradiente - é a derivada direcional ao longo de um caminho onde ocorre valores máximos. Ex.: 
xT 
, 
t
, 
tm 
, etc. 
 
b) Volume de controle (VC) - é uma região do espaço sujeito a um estudo, em que a quantidade, a 
natureza da matéria e a condição energética podem variar, mas a sua forma é fixa. O VC é definido 
quando a análise envolve um fluxo de massa. 
 
c) Superfície de controle (SC) – é a fronteira do VC. Uma superfície de controle é caracterizada por 
uma região fixa do VC. 
 
d) grandeza escalar – necessita apenas da especificação de uma magnitude para completa descrição 
(apenas do seu valor). Ex.: temperatura, viscosidade, etc. 
 
e) grandeza vetorial – necessitam além da magnitude, de uma especificação direcional completa. 
Ex.: velocidade, força, aceleração, etc. 
 
 
2.3.6 Equações fundamentais da mecânica dos fluidos 
 
 
2.3.6.1 Equação da continuidade 
 
 
Considere o volume de controle não deformável em repouso em relação a eixos de referência x, 
y, z, conforme apresentado na Figura 2.12. 
 
 
35 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
 
 
Figura 2.12 – Sistema e volume de controle: (a) no instante t; (b) no instante 
tt 
 
Fonte: Sisson & Pitts, Fenômenos de Transporte, 1988, pág. 272 
 
 
Um campo arbitrário de velocidade 
 t,z,y,xVV


 conduz a massa da região I para dentro do 
volume de controle (CV), enquanto a massa deixa o CV para a região III 
 
 
Pela Lei da Conservação de massa (
0
dt
dm
), temos que: 
 
 
tt,IIItt,IIt,IIt,I mmmm  
 (2.36) 
 
 
A massa que sai da região I, no intervalo de tempo t, é igual a massa que deixa o CV para a 
região III no mesmo intervalo de tempo. Portanto, se t  0 também mI e mIII tendem a zero. Então, 
 
t
mm
t
mm ttIIItI
t
tIIttII
t




 



,,
0
,,
0 limlim
 (2.37) 
 
O lado esquerdo torna-se: 
 

CV
CV dV
dt
d
dt
dm

 (2.38) 
 
Desenvolvendo-se, agora o lado direito da equação em termos do vetor área dA temos a Forma 
Integral da Equação da Continuidade. Ou seja, 
 
 

CSCV
dAdV
t

 (2.39) 
 
 
36 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
O primeiro termo representa a taxa da variação de massa dentro do volume de controle CV; o 
segundo, a vazão líquida em massa saindo pela superfície de controle. A conservação da massa exige 
que a soma dois termos seja nula. Ela afirma que a taxa de decréscimo da massa dentro do CV é igual à 
taxa de efluxo líquido da massa através da superfície de controle CS (regiões I e III). Esta equação é 
válida para qualquer fluido: viscoso ou ideal, compressível ou incompressível, puro ou 
multicomponente, escoamento com transferência de calor ou sem, etc. 
 
 
2.3.6.1.1 Equação da continuidade para escoamento permanente 
 
Escoamento permanente (ou uniforme) numa seção implica em velocidade 

 constante através 
de toda a área da seção. Neste caso, a equação da continuidade fica: 
 
0
CS
dA

 (2.40) 
 
Quando a densidade é constante numa seção, a integral da vazão em massa pode ser substituída 
por um produto. Assim, quando se supõe escoamento uniforme numa seção: 
 
 
sainentran AA )()(  
 (2.41) 
 
n
= velocidade perpendicular a superfície 
n
= 
 cos
 
 
 
2.3.6.1.2 Equação da continuidade para escoamento permanente unidimensional 
 
Um escoamento é unidimensional quando as propriedades do fluido e todas as características doescoamento puderem ser expressas em função de uma coordenada espacial e do tempo; as propriedades 
são uniformes numa direção perpendicular ao escoamento. 
Para um fluido num escoamento estacionário unidimensional, a equação da continuidade é expressa por 
 
222111 AA  
 (2.42) 
 
 
Para um fluido incompressível (
cte
): 
 
 
2211 AA  
 (2.43) 
 
2.3.6.2 Equação de Navier-Stokes 
 
 
 Considerando o deslocamento de uma partícula em coordenadas retangulares x, y e z, a equação 
de Navier-Stokes nessas três direções combinadas com a equação da conservação da massa fornecem 
uma descrição matemática completa do escoamento incompressível de um fluido Newtoniano. Devido a 
 
37 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
sua complexidade (as equações de Navier-Stokes são diferenciais parciais de segunda ordem e não 
lineares) essas equações somente têm sido aplicadas com sucesso na solução analítica de escoamentos 
simples, como por exemplo, no escoamento laminar (ver Munson et al., Fundamentos da Mecânica dos 
Fluidos, pág. 312-322). 
 
A Equação de Navier-Stokes pode ser desenvolvida a partir da 2ª lei de Newton do movimento: 
 
sistemadt
dM
F 




 (2.44) 
 

F - força externa resultante que atua sobre um corpo 
dM
 - variação da quantidade de movimento linear 
dt
 - variação do tempo 
 
A quantidade de movimento, M , do sistema (método de Lagrange), é dada por: 
 



)(sistemamassa
sistema dmVM
 (2.45) 

V
 - campo de velocidade (= velocidade do centro de massa do sistema) 
dm
 - variação da massa do sistema 
 
 Então, para um sistema infinitesimal de massa dm, a 2ª lei de Newton se 
 
sistema
dt
Vd
dmFd






 (2.46) 
 
Onde, 
dt
Vd
 é a aceleração que está atuação sobre a partícula, dentro do sistema. 
 
 As variáveis vetoriais de força e de aceleração precisam ser equacionadas. Assim, 
 
 
2.3.6.2.1 Equacionamento da variável aceleração 
 
 Considerando que num instante t, a partícula está na posição x, y, z e tem uma velocidade 
corresponde à velocidade naquele ponto no espaço; decorrido t+dt , a partícula moveu-se para uma 
nova posição, com as coordenadas x+dx, y+dy, z+dz, e pode ter uma nova velocidade.Então, a variação 
da velocidade desta partícula de t para t+dt, é: 
 
dt
t
V
dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
Vd pppp













 (2.47) 
 
38 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
 
 
Fazendo, 
 
u
dt
dxp

, 
v
dt
dyp

 e 
w
dt
dz p

, 
 
A aceleração fica (para a direção x, por exemplo): 
 
 
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
u
Dt
Du
x
a
p 











 (2.48) 
 
A derivada 
DtDi
, usualmente chamada de derivada substancial, material ou de partícula, é utilizada 
para nos lembrar de que a aceleração que ela representa é a que atua sobre uma partícula de 
“substância”. 
 
Dt
Di
 = aceleração total de uma partícula fluida na direção i 
 
z
i
w
y
i
v
x
i
u








 = aceleração convectiva (*) na direção i 
 
t
i


 = aceleração local (**) na direção i 
 
(*) A aceleração convectiva ocorre quando a partícula fluida é conduzida para uma região de 
velocidade mais alta (ou mais baixa). 
 
(**) é devido ao escoamento não-permanente onde o campo de velocidade é função do tempo. 
 
 
2.3.6.2.2 Equacionamento da variável força 
 
 As forças que atuam sobre uma partícula fluida podem ser divididas em dois grupos: (1) FB - 
forças de campo (força gravitacional, força devido a um campo elétrico e/ou magnético) e (2) FS - 
forças de superfícies que são as forças normais (pressão hidráulica) e as forças tangenciais (de 
cisalhamento). 
 
Considerando a força gravitacional devido a aceleração da gravidade (g) como única força de campo 
que atua sobre a partícula fluida temos para FB : 
 

 gdmFd B
 (2.49) 
 
Onde, o componente do vetor aceleração da gravidade na direção x, por exemplo, é: 
 
 
39 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
xBx gdmdF 
 (2.50) 
 
Em relação à FS, considerando as forças de pressão (FN) e de cisalhamento (FC), como forças de 
superfície que atuam sobre uma superfície arbitrária na massa de fluido, temos, na direção x, em cada 
face do elemento (obtidas por um desenvolvimento em série de Taylor em relação ao centro do 
elemento): 
 
dxdydz
zyx
dF zx
yxxx
Sx 
















 (2.51) 
 
onde  e  simbolizam a tensão normal (devido a pressão hidráulica) e a tensão de superfície (devido 
ao cisalhamento), respectivamente. 
 
 
Expressões para as tensões  e  
 
As tensões  e  podem ser expressas em termos dos gradientes de velocidade e das 
propriedades dos fluidos, em coordenadas retangulares, como segue para o caso da direção x: 
 
x
u
Vp
xx 



 2
3
2
 (2.52) 
 












y
u
x
v
yxxy

 (2.53) 
 
Onde µ é a viscosidade do fluido, p é a pressão termodinâmica local. 
 
 
 Substituindo as expressões da aceleração e das forças atuantes sobre a partícula fluida, 
juntamente com as expressão de  e , na Eq. 4.11 obteremos as Equações de Navier-Stokes na 
direção x: 
 
 




































 
V
x
u
xx
p
g
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
u x
3
2
2 







































z
u
x
w
zx
v
y
u
y

 (2.54) 
 
 Da mesma maneira, podemos obter as equações nas direções y e z. Procedimento semelhante 
pode ser empregado para definir as equações de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas e esféricas . 
 
 
 
 
40 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
2.3.6.3 Equação de Euler do movimento 
 
 
Considere a equação de Navier-Stokes desenvolvida anteriormente para a direção x. Essa 
equação, quando aplicada ao escoamento invíscido (onde a tensão de cisalhamento é nula ( = 0) e a 
tensão normal () pode ser substituída por 
p
) se reduz a: 
 
 




































2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
µ
x
p
g
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
u x
 (2.55) 
 
 
Para o caso do escoamento sem atrito (µ=0), essa equação do movimento reduz-se à Equação 
de Euler do movimento. Assim, 
 
 
x
p
g
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
u x


















 
 (2.56) 
 
 Para aplicação em coordenadas cilíndricas ou esféricas, ver anexos de BIRD et al (Fenômenos 
de Transporte, 2004); ROMA (Fenômenos de Transporte para Engenharia, 2003); FOX e McDONALD 
(Introdução à Mecânica dos Fluidos, 1998); SISSON e PITTS (Fenômenos de Transporte, 1979); 
BENNETT e MIERS (Fenômenos de Transporte,1978), entre outros. 
 
 
2.3.6.4 Equação de Bernoulli 
 
Aplicada somente para escoamento não-viscoso, a equação de Bernoulli é originada da equação 
geral da continuidade e deduzida pela integração da equação de Euler para escoamento permanente ao 
longo de uma linha de corrente s. Assim, 
 
ss
z
g
s
p











1
 (2.57) 
 
Se a partícula fluida mover-se de uma distância ds ao longo da linha de corrente, então, 
 
 
) de longo ao pressão de (variação sdpds
s
p



 
 
) de longo ao altura de (variação sdzds
s
z



 
 
 
41 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
) de longo ao e velocidadde (variação sdds
s
 


 
 
Assim, 
 
constante  dzgd
dp 
 (2.58) 
 
Para o caso especial de escoamento incompressível ( = constante), a integração desta equação resulta 
na Equação de Bernoulli, 
 
 
  constante 
2
12
2
1
2
212 



zzg
pp 

 (2.59) 
 
 
Restrições da equação de Bernoulli: (1) Escoamento permanente 
 (2) Escoamento incompressível 
 (3) Escoamento sem atrito 
 (4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente 
 
 
 Outras formas de representação da equação de Bernoulli encontradas na literatura são: 
 
 
    constante 
2
12
2
1
2
2
12 






 
 zzpp 
 (2.60) 
 
 
  constante 
2
12
2
1
2
212 



zz
gg
pp 

 (2.61) 
 
 
ou, simplesmente, 
 
constante 
2
2




z
gg
p 

 (2.62) 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
2.3.7 Cálculo de bombas 
 
 
2.3.7.1 Equação Modificada de Bernoulli 
 
 A Eq. de Bernoulli (Eq. 2.59 – 2.62) representa o balanço de energia entre dois pontos de um 
sistema com as restrições impostas de escoamento permanente, incompressível, sem atrito e ao longo 
de uma linha de corrente. 
 Se considerarmos escoamento com perda de carga a equação fica: 
 
 
fhz
g
p
z
g
p
 2
2
22
1
2
11
22




 (2.63) 
Ou, 
 
Hhzz
g
pp
f 



12
2
1
2
212
2


 (2.64) 
Onde hf é a perda de carga total no escoamento entre as seções 1 e 2 e H representa a altura 
manométrica total, definida como a diferença entre a altura manométrica de descarga ou recalque (Hd) 
e a de sucção (Hs) . 
 
 Para a determinação da altura manométrica (H), com o objetivo de se entrar nos catálogos dos 
fabricantes de bombas com o par Q e H e escolher o tipo de bomba ideal, é necessário o cálculo da 
perda de carga 
fh
, ou melhor, da energia que o líquido irá despender ao passar por todo o sistema 
hidráulico (encanamento), do ponto 1 ao ponto 2 do escoamento. 
 
 A perda de carga, ou de energia, resulta do atrito interno do líquido, que é função da viscosidade 
do fluido e da resistência ao fluxo oferecida pela rugosidade das tubulações, e das alterações nas 
trajetórias das partículas líquidas impostas pelas peças e dispositivos intercalados nos encanamentos. 
Estes dois tipos de perdas são conhecidos como perda de carga devido ao atrito (perda distribuída ou 
devida ao deslocamento) (
dh
) e perda de carga devido às singularidades ou conexões. (perda localizada 
ou singular) (
sh
). Assim, 
 
f
gD
L
hd
2
2

 Equação de Darcy-Weisbach (2.65) 
 
 
 
 
g
Khs
2
2

 (2.66) 
 
43 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
 
Onde, 
L – comprimento linear do encanamento (m) 
D – diâmetro interno da tubulação (m) 
f
- fator de atrito ou fator de Fanning (adimensional) 

- velocidade média do fluido em escoamento (m/s) 
K
 - coeficiente de perda de carga tabelado para cada singularidade (adimensional) 
 
 
 A Eq. 2.66 pode ser reescrita em termos do comprimento equivalente (
eqL
) de cada conexão ou 
componente da tubulação. Nesta terminologia, a perda de carga é fornecida em termos do comprimento 
de conduto que produz a mesma perda de carga que o componente. Deste modo, para o componente 
considerado 
ds hh 
. Portanto, 
 
f
gD
L
g
K
eq
22
22 

 
 
E, conseqüente: 
 
f
D
KLeq 
 (2.67) 
 
 Os valores de Leq para a maioria das singularidades podem ser encontrados em tabelas disponíveis 
na literatura que trata sobre o assunto. 
 
 Utilizando o conceito de comprimento equivalente, a perda de carga total 
fh
pode ser reescrita 
como: 
 
 
f
gD
LL
h
eq
f
2
2

 (2.68) 
 
 Retornando à Eq. 2.64, caso se deseje calcular a energia necessária ao sistema para equilibrá-lo (H 
= -WE/g), tem-se que: 
 
 
0
2
12
2
1
2
212 



g
W
hzz
g
pp E
f


 (2.69) 
 
Onde WE é a potência do eixo. 
 
 WE será positivo caso haja energia sobrando no sistema, ou seja, o sistema é GERADOR de 
energia. 
 
44 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
 WE será negativo caso haja necessidade de adicionar energia ao sistema, ou seja, o sistema é 
CONSUMIDOR de energia. Em sistemas de deslocamento de fluidos o consumo de energia é feito 
através do uso de bombas. 
 
 Assim, podemos estimar a potência de uma bomba ( 
OP
) necessária para o sistema como: 
 

 QWQWP SSO 
 (2.70) 
 
 
 A Figura 2.13 apresenta um exemplo típico da instalação de uma bomba centrífuga. 
 
 
 
 
 
 Observe que na Eq. 2.69, no cálculo de WE não foi levado em conta o valor da eficiência 
operacional da bomba, ou seja, o seu rendimento (η). O valor de η pode variar de 10 (η = 0,1) a 80% (η 
= 0,8) para a maioria das bombas. Reescrevendo a Eq. 2.69 temos que: 
 
 
 
0
2
12
2
1
2
212 



g
W
hzz
g
pp S
f 
 (2.71) 
 
 
 A Eq. 2.71 é conhecida como Equação Modificada de Bernoulli para cálculo de bombas. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.13– Sistema 
hidráulico típico. 
Fonte: MUNSON et al. 
(2004). 
 
45 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
2.3.7.1 Curva característica 
 
 É a curva de desempenho da bomba, ou seja, a curva mostrando a variação da altura manométrica 
da bomba (H) com a vazão (Q), a velocidade constante. A Fig. 2.14, apresenta um conjunto de curvas 
características típicas de uma bomba centrífuga em operação. 
 
 
 
Figura 2.14 - Comportamento típico de uma bomba centrífuga que opera com velocidade constante. 
Fonte: Gomide (1997). In: Operações Unitárias, Vol. II (2ª parte), Operações com Fluidos. 
 
 
NPSH (net positive suction head) – é a carga total no bocal de sucção da bomba, menos a pressão de 
vapor do líquido à temperatura de bombeamento. Fisicamente esse parâmetro é a sobrepressão mínima 
relativa à pressão de vapor do líquido a ser mantida no bocal de sucção a fim de garantir um estado de 
ausência de cavitação na bomba. 
 
46 
 
Fenômenos de Transporte Prof. Ozair Souza - UNIVILLE 
3. TRANSPORTE DE CALOR 
 
 
 
3.1 Definição de TC 
 
 Transporte ou Transferência de calor (TC) é o estudo do modo e da velocidade com que o 
calor é transferido de um corpo a outro. 
 
 Bennett & Miers (1978) definem TC como o “Transporte de energia que ocorre devido à força 
motriz que chamamos