Física 191 Introdução a Mecânica Prova 3 2015ll

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Nome: __________________GABARITO___________________ Matrícula: _________ 
 
Formulários 
𝑊𝑊𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = −∆𝑈𝑈𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒 = −∆𝑈𝑈𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑈𝑈𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑚𝑚 𝑊𝑊𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑔𝑔𝑔𝑔𝑜𝑜 = ∆𝐸𝐸 
𝑈𝑈𝑒𝑒𝑒𝑒 = 12𝑘𝑘𝑥𝑥2 𝐸𝐸 = 𝑈𝑈𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝑈𝑈𝑒𝑒𝑒𝑒 + 𝐾𝐾 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑔𝑔𝑟𝑟 = 𝑚𝑚𝑔𝑔2𝑔𝑔 
𝜔𝜔𝑚𝑚 ,𝑧𝑧 = ∆𝜃𝜃∆𝑜𝑜 𝜃𝜃(𝑜𝑜) = 𝜃𝜃𝑜𝑜 + 𝜔𝜔𝑜𝑜 ,𝑧𝑧𝑜𝑜 + 12𝛼𝛼𝑧𝑧𝑜𝑜2 𝛼𝛼𝑚𝑚 ,𝑧𝑧 = ∆𝜔𝜔𝑧𝑧∆𝑜𝑜 𝑔𝑔𝑜𝑜𝑔𝑔 = 𝑔𝑔𝛼𝛼 
𝜔𝜔𝑧𝑧 = 𝑟𝑟𝜃𝜃𝑟𝑟𝑜𝑜 𝜔𝜔𝑚𝑚 ,𝑧𝑧 = 𝜔𝜔0,𝑧𝑧 + 𝜔𝜔𝑧𝑧2 = ∆𝜃𝜃∆𝑜𝑜 𝛼𝛼𝑧𝑧 = 𝑟𝑟𝜔𝜔𝑧𝑧𝑟𝑟𝑜𝑜 𝜔𝜔𝑧𝑧 = 𝜔𝜔𝑜𝑜 ,𝑧𝑧 + 𝛼𝛼𝑧𝑧𝑜𝑜 
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑟𝑟 = 𝜔𝜔2𝑔𝑔 𝜔𝜔𝑧𝑧2 = 𝜔𝜔𝑜𝑜 ,𝑧𝑧2 + 2𝛼𝛼𝑧𝑧(𝜃𝜃 − 𝜃𝜃𝑜𝑜) 𝑜𝑜 = 𝑔𝑔𝜃𝜃 𝑔𝑔 = 𝜔𝜔𝑔𝑔 
QUESTÃO 1 (25 pontos): Uma certa mola armazena 12,5 J de energia potencial, quando esta é 
comprimida de uma distância de 25,0 cm. Se esta mola for posicionada na vertical e um bloco de 1,20 kg 
é solto, a partir do repouso, a uma altura de 0,80 m acima da extremidade superior da mola, calcule a 
distância de compressão máxima dessa mola, quando o bloco se chocar com a mola. Despreze a 
resistência do ar sobre o bloco. 
Solução: para calcular a distância x de compressão máxima da mola, usa-se a conservação da energia 
mecânica entre os pontos 1 e 2. 
 
𝐸𝐸1 = 𝐸𝐸2 ⇒ 
𝑈𝑈𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 ,1 = 𝑈𝑈𝑒𝑒𝑒𝑒 ,2 ⇒ 
𝑚𝑚𝑔𝑔(ℎ + 𝑥𝑥) = 12 𝑘𝑘𝑥𝑥2 ⇒ 12 𝑘𝑘𝑥𝑥2 −𝑚𝑚𝑔𝑔𝑥𝑥 −𝑚𝑚𝑔𝑔ℎ = 0 ⇒ 12 400𝑥𝑥2 − 1,2 ∗ 10𝑥𝑥 − 1,2 ∗ 10 ∗ 0,8 = 0 ⇒ 200𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 − 9,6 = 0 ⇒ 
𝑥𝑥 = 12 ± �122 + 4 ∗ 200 ∗ 9,6400 
 
𝑥𝑥′ = 12 + 88,45400 = 0,25 𝑚𝑚 𝑒𝑒 𝑥𝑥′′ = 12 − 88,45400 = −0,19 𝑚𝑚 (𝑥𝑥′′ 𝑛𝑛ã𝑜𝑜 𝑜𝑜𝑒𝑒𝑚𝑚 𝑜𝑜𝑒𝑒𝑛𝑛𝑜𝑜𝑠𝑠𝑟𝑟𝑜𝑜 𝑓𝑓í𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠𝑜𝑜) 
Portanto, 
𝑥𝑥 = 0,25 𝑚𝑚 
 
Marque um X em 
sua turma 
 Professor 
T1 – 2a = 8 – 10 Rober 
T2 – 2a = 10 – 12 Rober 
T3 – 2a = 14 – 16 Helder 
T5 – 5a = 8 – 10 Rober 
T6 – 3a = 14 – 16 Helder 
T7 – 3a = 10 – 12 Helder 
T9 – 4a = 8 – 10 Helder 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – CCE 
3ª PROVA DE FIS 191 – 2015-II – 01/12/2015 
NOTA (100) 
Observação 
 Considere o módulo da aceleração 
da gravidade g = 10 m/s2 
 Cada questão vale 25 pontos 
 
𝑈𝑈𝑒𝑒𝑒𝑒 = 12𝑘𝑘𝑥𝑥2 ⇒ 
𝑘𝑘 = 2𝑈𝑈𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑥𝑥2 = 2 ∗ 12,50,252 
𝑘𝑘 = 400 𝑁𝑁/𝑚𝑚 
Cálculo da constante 
elástica da mola - k 
 
 
 
h = 0,80 m 
x 
1 
2 
QUESTÃO 2: Na descida de um tobogã, uma pessoa de 60 kg passa pelo ponto A (12,0 m acima da 
superfície horizontal) com velocidade de módulo 𝑔𝑔𝐀𝐀 = 8,0 𝑚𝑚/𝑜𝑜, alcança o ponto B no final do tobogã, 
em seguida, desloca horizontalmente 5,6 m até o ponto C, quando se choca com uma mola (constante 
elástica 1200 N/m) e, finalmente, atinge o repouso no ponto D, comprimindo a mola (veja figura 
abaixo). Despreze o atrito na descida entre os pontos A e B e também entre os pontos C e D (ao longo 
da compressão da mola), mas há atrito entre os pontos B e C, cujo coeficiente de atrito cinético é 0,5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) (10 pontos) Qual é a velocidade da 
pessoa no ponto B? 
Solução: como não há atrito entre A e B 
então a energia mecânica se conserva, ou 
seja, 
𝐸𝐸𝐴𝐴 = 𝐸𝐸𝐵𝐵 
𝑈𝑈𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 ,𝐴𝐴 + 𝐾𝐾𝐴𝐴 = 𝐾𝐾𝐵𝐵 ⇒ 
𝑚𝑚𝑔𝑔ℎ𝐴𝐴 + 12𝑚𝑚𝑔𝑔𝐴𝐴2 = 12𝑚𝑚𝑔𝑔𝐵𝐵2 ⇒ 2𝑔𝑔ℎ𝐴𝐴 + 𝑔𝑔𝐴𝐴2 = 𝑔𝑔𝐵𝐵2 ⇒ 
𝑔𝑔𝐵𝐵 = �2𝑔𝑔ℎ𝐴𝐴 + 𝑔𝑔𝐴𝐴2 ⇒ 
𝑔𝑔𝐵𝐵 = �2 ∗ 10 ∗ 12 + 82 = 17,4 𝑚𝑚/𝑜𝑜 
 
 
 
 
c) (10 pontos) Qual é a compressão máxima sofrida 
pela mola? 
Solução: 
A energia mecânica nos pontos A e D não se 
conserva, devido ao atrito no percurso de B até C. 
Então, tem-se 
 
𝑊𝑊𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑔𝑔𝑔𝑔𝑜𝑜 = ∆𝐸𝐸 = 𝐸𝐸𝐷𝐷 − 𝐸𝐸𝐴𝐴 ⇒ 
 
𝑊𝑊𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑔𝑔𝑔𝑔𝑜𝑜 = 𝑊𝑊𝑔𝑔𝑜𝑜𝑔𝑔𝑠𝑠𝑜𝑜𝑜𝑜 ,𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑈𝑈𝑒𝑒𝑒𝑒 ,𝐷𝐷 –𝑈𝑈𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 ,𝐴𝐴 − 𝐾𝐾𝐴𝐴 ⇒ 
 
𝑊𝑊𝑔𝑔𝑜𝑜𝑔𝑔𝑠𝑠𝑜𝑜𝑜𝑜 ,𝐵𝐵𝐵𝐵 = 12 𝑘𝑘𝑥𝑥2 −𝑚𝑚𝑔𝑔ℎ𝐴𝐴 − 12𝑚𝑚𝑔𝑔𝐴𝐴2 ⇒ 
 
−1,7. 103 = 12 1200 ∗ 𝑥𝑥2 − 60 ∗ 10 ∗ 12 − 12 ∗ 60 ∗ 82 ⇒ 
 
−1,7. 103 = 600 ∗ 𝑥𝑥2 − 7,2. 103 − 1,9. 103 ⇒ 
 600 ∗ 𝑥𝑥2 = 9,1. 103 − 1,7. 103 ⇒ 
 
𝑥𝑥 = 3,5 𝑚𝑚 
b) (5 pontos) Calcule o trabalho da força 
de atrito entre os pontos B e C. 
 
𝑊𝑊𝑔𝑔𝑜𝑜𝑔𝑔𝑠𝑠𝑜𝑜𝑜𝑜 .𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑓𝑓𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑜𝑜𝑜𝑜180𝑜𝑜 
𝑊𝑊𝑔𝑔𝑜𝑜𝑔𝑔𝑠𝑠𝑜𝑜𝑜𝑜 .𝐵𝐵𝐵𝐵 = −𝜇𝜇𝑠𝑠𝑁𝑁𝑟𝑟 == −𝜇𝜇𝑠𝑠𝑚𝑚𝑔𝑔𝑟𝑟 
𝑊𝑊𝑔𝑔𝑜𝑜𝑔𝑔𝑠𝑠𝑜𝑜𝑜𝑜 .𝐵𝐵𝐵𝐵 = −0,5 ∗ 60 ∗ 10 ∗ 5,6 
𝑊𝑊𝑔𝑔𝑜𝑜𝑔𝑔𝑠𝑠𝑜𝑜𝑜𝑜 .𝐵𝐵𝐵𝐵 = −1,7 × 103 𝐽𝐽 
 
 
 
 
 
 
12,0 
B C D 
d 
QUESTÃO 3: No instante t = 3,0 s, uma partícula na periferia de uma roda, cujo raio vale 0,20 m, possui 
módulo da velocidade tangencial igual a 50,0 m/s. A roda, que está girando em torno do eixo z, está 
sendo freada com aceleração tangencial constante, cujo módulo é 8,0 m/s2. Calcule: 
a) (2 pontos) O módulo da aceleração angular 
da roda. 
 
𝛼𝛼 = 𝑔𝑔𝑜𝑜𝑔𝑔
𝑔𝑔
= 80,2 = 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟒𝟒 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒔𝒔𝟐𝟐 
 
 
b) (8 pontos) As velocidades angulares para 
t = 3,0 s e t = 0 s. 
 
𝜔𝜔(𝑜𝑜 = 3,0𝑜𝑜) = 𝜔𝜔 =? 
𝜔𝜔(𝑜𝑜 = 3,0𝑜𝑜) = 𝜔𝜔 = 𝑔𝑔𝑜𝑜𝑔𝑔
𝑔𝑔
= 500,2 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟒𝟒 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝑜𝑜 
 
𝜔𝜔𝑜𝑜(𝑜𝑜 = 0) = 𝜔𝜔𝑜𝑜 =? 
c) (5 pontos) O instante em que a roda para 
de girar, mudando seu sentido de rotação. 
 
𝜔𝜔(𝑜𝑜 =? ) = 0 ⇒ 
Como 
𝜔𝜔(𝑜𝑜) = 370 − 40𝑜𝑜 = 0 ⇒ 
−40𝑜𝑜 = −370 ⇒ 
𝑜𝑜 = 37040 = 𝟗𝟗,𝟑𝟑 𝒔𝒔 
 
Sabe-se que: 
𝜔𝜔(𝑜𝑜) = 𝜔𝜔𝑜𝑜 − 𝛼𝛼𝑜𝑜 ⇒ 
𝜔𝜔𝑜𝑜 = 𝜔𝜔(𝑜𝑜 = 3𝑜𝑜) + 𝛼𝛼𝑜𝑜 ⇒ 
𝜔𝜔𝑜𝑜 = 250 + 40 ∗ 3 = 370 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑟𝑟/𝑜𝑜 ⇒ 
𝝎𝝎𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟒𝟒 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒔𝒔 
d) (5 pontos) O módulo da aceleração radial, 
para uma partícula na periferia da roda, 
quando t = 7,86 s. 
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑟𝑟 = 𝜔𝜔2𝑔𝑔 
𝜔𝜔(𝑜𝑜) = 370 − 40𝑜𝑜 ⇒ 
𝜔𝜔 = 370 − 40 ∗ 7,86 = 55,6 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑟𝑟/𝑜𝑜 
Portanto, 
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑟𝑟 = 𝜔𝜔2𝑔𝑔 = 55,62 ∗ 0,2 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔𝟐𝟐 
 
e) (5 pontos) O deslocamento angular (∆θ) da 
roda entre t = 0 s e t = 3,0 s. 
Quando a aceleração angular é constante tem-se 
𝜔𝜔𝑚𝑚 ,𝑧𝑧 = 𝜔𝜔0,𝑧𝑧 + 𝜔𝜔𝑧𝑧2 = ∆𝜃𝜃∆𝑜𝑜 ⇒ 
∆𝜃𝜃 = �𝜔𝜔0,𝑧𝑧 + 𝜔𝜔𝑧𝑧�2 ∆𝑜𝑜 
∆𝜃𝜃 = (370 + 250)2 (3 − 0) = 𝟗𝟗𝟑𝟑𝟒𝟒 𝒓𝒓𝒓𝒓𝑟𝑟 
 
QUESTÃO 4: Um ventilador de teto está girando num certo sentido, mas no tempo t = 0 é acionado o 
inversor elétrico de rotação do ventilador, produzindo, com isso, um deslocamento angular nas pás do 
ventilador dado por 𝜃𝜃(𝑜𝑜) = 24𝑜𝑜 − 2,0𝑜𝑜2 , sendo θ dado em radiano e t em segundo. Considere que o 
ventilador esteja girando em torno do eixo z. 
a) (7 pontos) Em que instante a velocidade 
angular do ventilador se anula? 
𝜔𝜔(𝑜𝑜) = 𝑟𝑟𝜃𝜃
𝑟𝑟𝑜𝑜
= 𝑟𝑟(24𝑜𝑜 − 2,0𝑜𝑜2)
𝑟𝑟𝑜𝑜
 ⇒ 
𝜔𝜔(𝑜𝑜) = 24 − 4,0𝑜𝑜 
𝑃𝑃𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝜔𝜔 = 0 ⇒ 24 − 4,0𝑜𝑜 = 0 ⇒ 
𝑜𝑜 = 244 = 𝟔𝟔,𝟒𝟒 𝒔𝒔 
b) (6 pontos) Calcule a aceleração angular do 
ventilador no instante em que a velocidade 
angular se anula. 
𝛼𝛼 = 𝑟𝑟𝜔𝜔
𝑟𝑟𝑜𝑜
= 𝑟𝑟(24 − 4,0𝑜𝑜)
𝑟𝑟𝑜𝑜
= −4,0 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑟𝑟/𝑜𝑜2 
Portanto, para qualquer tempo, tem-se 
𝜶𝜶 = −𝟒𝟒,𝟒𝟒 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒔𝒔𝟐𝟐 
c) (6 pontos) Quantas voltas o ventilador deu 
desde o tempo t = 0 até o instante em que a 
velocidade angular se anula? 
De θ(t) fornecido, encontra-se o número de 
voltas, já que, para t = 0, θo = 0. Assim, 
𝜃𝜃(𝑜𝑜 = 6𝑜𝑜) = 24 ∗ 6 − 2,0 ∗ 62 = 72 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑟𝑟 
Portanto, 
𝜃𝜃 = 72 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑟𝑟2𝜋𝜋 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑟𝑟 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟐𝟐 𝒗𝒗𝒐𝒐𝒗𝒗𝒗𝒗𝒓𝒓𝒔𝒔 
d) (6 pontos) Calcule a velocidade angular média, 
desde t = 0 até o instante em que a velocidade 
angular se anula. 
𝜔𝜔𝑚𝑚 ,𝑧𝑧 = ∆𝜃𝜃∆𝑜𝑜 = 𝜃𝜃 − 𝜃𝜃𝑜𝑜𝑜𝑜 − 0 
𝜔𝜔𝑚𝑚 ,𝑧𝑧 = 72 − 06 − 0 = 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒔𝒔/
	Universidade Federal de Viçosa
	Departamento de Física – CCE
	3ª Prova de FIS 191 – 2015-II – 01/12/2015