Apostila 2 - Física x Matemática 2 - Professor Claudio - FURG

Prévia do material em texto

Física e Matemática 2
Claudio M. Maekawa
ii
Contents
Introduction vii
1 Revisão do ensino médio 1
1.1 Potências com expoente inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 O Logarítmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Logaritmo do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Logaritmo da fração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Logarítmo da potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 Sistemas de Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 A derivada da função exponencial 11
2.1 Aplicação na Física: Movimento em um Fluído . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Radiatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Derivada: interpretação geométrica 21
3.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 A diferencial dy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Integração 29
4.1 Integrais de algumas funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.1 Potências de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.2 Funções trigonométricas elementares . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Perguntas matemáticas no Ensino Médio e Elementar . . . . . . 33
4.4 Riqueza de informações, Interpretação matemática. . . . . . . . . 35
5 Integrais de…nidas e cálculo de áreas 39
5.1 Cálculo da área sob o grá…co de f (x). . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Integração: Soma in…nita de áreas elementares . . . . . . . . . . 42
5.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4 Aplicação na Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4.1 Caso do MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
iii
iv CONTENTS
5.4.2 Caso MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.3 Caso Movimento de um barco . . . . . . . . . . . . . . . . 54
A The First Appendix 57
Afterword 59
Preface
v
vi PREFACE
Introduction
vii
viii INTRODUCTION
Chapter 1
Revisão do ensino médio
1.1 Potências com expoente inteiro
Seja a um número real (a 2 R) e n um número inteiro (n 2 Z)
O número a elevado à n é descrito por
an =
nz }| {
a� a� a� :::� a
i.e, a é multiplicado por ele mesmo n vezes.
a1 = a; a2 = a� a; a3 =
z }| {
a� a� a : (1.1)
O número a é chamado de base e n de expoente.
Caso n = 0
a0 = 1: (1.2)
Caso n < 0
a�n =
1
an
: (1.3)
Exemplos:
a�1 =
1
a
; a�2 =
1
a2
Temos que
1
a�1
=
1
1
a
=
a
1
= a
assim �a
b
��1
=
a�1
b�1
=
1
a
b�1
=
1
a
1
b�1
=
1
a
1
1
b
=
1
a
b
1
=
b
a
1
2 CHAPTER 1. REVISÃO DO ENSINO MÉDIO
exemplo �
1
2
��2
=
1�2
2�2
=
22
12
= 4
1.1.1 Propriedades
Propriedade 1)
am � an = am+n (1.4)
Demonstração
am � an =
mz }| {
a� a� a� :::� a �
nz }| {
a� a� a� :::� a
=
m+nz }| {
a� a� a� :::� a � a� a� :::� a
= am+n; c:q:d:
Exemplo:
a2 � a3 =
2z }| {
a� a �
3z }| {
a� a� a
= a� a
2
�a� a� a = a5 = a2+3
Propriedade 2)
am
an
= am�n (1.5)
Demonstração
am
an
= am
1
an
= am � a�n
da propriedade 1
am � a�n = am+(�n) = am�n
então
am
an
= am�n; c:q:d: (1.6)
Exemplo
a2
a3
= a2 � 1
a3
= a2 � a�3 = a�1
ou
a2
a3
=
a� a
a� a� a =
1
a
= a�1
Propriedade 3)
(a� b)n = an � bn (1.7)
1.1. POTÊNCIAS COM EXPOENTE INTEIRO 3
demonstração
(a� b)n =
nz }| {
(a� b)� (a� b)� :::� (a� b)
=
nz }| {
a� b� a� b� :::� a� b
temos: n multiplicações de a :
nz }| {
a� a� :::� a
e n multiplicações de b :
nz }| {
b� b� :::� b
(a� b)n =
nz }| {
a� a� :::� a�
nz }| {
b� b� :::� b (1.8)
= an � bn
Assim
(a� b)n = an � bn; c:q:d:
Exemplo
32 � 52 =
=9z }| {
3� 3 �
=25z }| {
5� 5 = 225: (1.9)
ou também
32 � 52 = (3� 5)2 = 152 = 15� 15 = 225: (1.10)
Propriedade 4 �a
b
�n
=
an
bn
: (1.11)
Demonstração
�a
b
�n
=
nz }| {
a
b
� a
b
� :::� a
b
=
nz }| {
a� a� :::� a
b� b� :::� b| {z }
n
=
an
bn
; c:q:d:
Exemplo: �
3
2
�3
=
3
2
� 3
2
� 3
2
=
3� 3� 3
2� 2� 2 =
27
8
= 3:375
4 CHAPTER 1. REVISÃO DO ENSINO MÉDIO
outro jeito �
3
2
�3
= (1:5)
3
= 1:5� 1:5� 1:5 = 3:375
Propriedade 5
(am)
n
= am�n: (1.12)
Demonstração:
(am)
n
= bn
chamamos b = am.
bn =
nz }| {
b� b� :::� b
e aqui temos n multiplicações de b.
Mas
b = am =
mz }| {
a� a� :::� a
substituindo
bn =
nz }| {
mz }| {
a� a� :::� a �
mz }| {
a� a� :::� a � :::�
mz }| {
a� a� :::� a
temos aqui n multiplicações de
mz }| {
a� a� :::� a assim
(am)
n
= bn = am�n:
Exemplo �
22
�3
=
�
22
�� �22�� �22�
= (2� 2)� (2� 2)� (2� 2)
= 26 = 22�3 = 64
outro jeito �
22
�3
= (4)
3
= 4� 4� 4 = 64
Potências de números negativos
Exemplos:
Base negativa: a < 0.
(�1)2 = (�1) (�1) = 1
(�1)3 =
1z }| {
(�1) (�1) (�1) = �1
1.2. FUNÇÃO EXPONENCIAL 5
outros casos:
(�2)2 = (�2)� (�2) = 4;
(�2)3 =
4z }| {
(�2) (�2) (�2) = �8
Conclusões
Potências pares de números negativos resultam em números positivos
Potências ímpares de número positivos resultam em números negativos
Outro jeito de ver:
(�2)3 = (�2) (�2) (�2)
= (�) 2 (�) 2 (�) 2
=
+z }| {
(�) (�) (�)� 2� 2� 2
= (+) (�)� 23
= �8
1.2 Função exponencial
Função exponencial de base a:
f (x) = ax
onde a 2 R e a variável x também é real.
Exemplo: a = 2
f (x) = 2x: (1.13)
Grá…co
6 CHAPTER 1. REVISÃO DO ENSINO MÉDIO
32.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5-3
8
7.5
7
6.5
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
x
y
x
y
Caso
f (x) = 2�x: (1.14)
Grá…co
2�x
2.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
x
y
x
y
1.2. FUNÇÃO EXPONENCIAL 7
propriedades
axay = ax+y
a�x =
1
ax
;
1
a�x
= ax;
axbx = (ab)
x
ax
ay
= ax�y
ax
bx
=
�a
b
�x
(ax)
y
= axy
Uma função exponencial usada na física é quando a base é o número nepe-
riano ou de Euler e = 2:718 3.
f (x) = ex
Grá…co
21.510.50-0.5-1-1.5-2
7
6.5
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
x
y
x
y
f (x) = e�x
Grá…co
e�x
8 CHAPTER 1. REVISÃO DO ENSINO MÉDIO
21.510.50-0.5-1-1.5-2
7
6.5
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
x
y
x
y
1.3 O Logarítmo
loga b = x
aqui a é a base e b é o logaritmando.
O Logarítmo x é o expoente de a, tal que:
ax = b: (1.15)
Propriedade 1
loga 1 = 0;
loga a = 1
loga a
m = m
loga b = loga c) b = c
Exemplo
log2 4 = 2
pois
22 = 4
Exercício:
Encontre o valor de x da seguinte equação:
x = log2
p
8:
1.3. O LOGARÍTMO 9
1.3.1 Logaritmo do produto
loga (bc) = loga b+ loga c
Exemplo:
log2 8� 16 = log2 23 � 24 = log2 23+4 = 3 + 4
Por outro lado, temos que:
log2 8 = 3; log2 16 = 4
então
log2 8� 16 = 3 + 4 = log2 8 + log2 16: (1.16)
1.3.2 Logaritmo da fração
loga
�
b
c
�
= loga b� loga c
Exemplo:
log2
4
32
= log2
22
25
= log2 2
2�5 = 2� 5;
Por outro lado, temos que:
log2 4 = 2; log2 32 = 5
então:
log2
4
32
= 2� 5 = log2 4� log2 32
1.3.3 Logarítmo da potência
loga b
m = m loga b
exemplo
log 23 = log (2� 2� 2) = log 2 + log 2 + log 2 = 3 log 2observe que a potência 3 "caiu".
O mesmo ocorre com potências negativas:
log 2�3 = �3 log 2
10 CHAPTER 1. REVISÃO DO ENSINO MÉDIO
1.3.4 Sistemas de Logaritmos
Sistema de Logaritmos decimais.
Aqui se escolhe a base 10
log10 b = x: (1.17)
ou seja, x é o expoente de 10 que resulta em b:
10x = b (1.18)
Sistema de Logaritmos Neperianos.
A base nesse caso é o número e:
loge b = x
ele também é denotado por
ln b = x
e signi…ca que
ex = b: (1.19)
Chapter 2
A derivada da função
exponencial
Aqui a regra de derivação para a função exponencial na base e é:
d
dx
ex = ex: (2.1)
Outro caso frequente de derivação envolvendo a função exponencial é:
d
dx
eax
O cálculo dessa derivada se faz com a aplicação da derivada de funções
compostas.
Aqui temos f (g (x))
f (g (x)) = eax
onde
g = ax e f (g) = eg: (2.2)
A regra da cadeia é:
d
dx
f (g (x)) =
d
dg
f (g)
d
dx
g (x)
Aplicando essa regra para este caso, temos:
d
dx
g (x) =
d
dx
ax = a: (2.3)
e
d
dg
f (g) =
d
dg
eg = eg = eax: (2.4)
assim
d
dx
eax = eaxa = aeax: (2.5)
11
12 CHAPTER 2. A DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
2.1 Aplicação na Física: Movimento em umFluído
Aqui veremos com detalhes como a força é a causa de um movimento, no sentido
em que basta se conhecer a força com detalhes para se determinar com precisão
o movimento gerado pela força.
Um ‡uído, como a água, impõe uma força sobre os corpos que estão em
movimento dentro do ‡uído. Essa força é a força de arrasto ~D. Essa força é
diretamente proporcional ao módulo da velocidade do corpo j~vj, tem a mesma
direção mas sentido oposto:
~D = �b~v: (2.6)
a constante b depende de características do corpo e do ‡uído. Em Física I
veremos a expressão de b.
Quando um barco com velocidade constante ~v0 se aproxima do porto, ele
desliga os motores e o barco desliza em direção ao porto. Pode-se notar que a
velocidade do barco diminui rápidamente nos primeiros instantes. A força que
está atuando é a força de arrasto da água sobre o barco. Vamos considerar que
o instante inicial t = 0 seja quando o barco desligou os motores.
Esse é um movimento em 1 � D. Escolhendo a trajetória do barco até o
porto como sendo o eixo x^, com o eixo apontado em direção ao porto, podemos
escrever que a força é dada por:
~D = �bvx^: (2.7)
Nesse caso ~D é a única força que atua no barco, então escrevemos que
~F = ~D: (2.8)
Lembrando da segunda Lei
~F =
d~p
dt
então ~D é a causa do movimento do barco que vai parando até chegar ao porto.
A quantidade de movimento do barco é ~p = m~v. Como nesse caso a massa m
do barco é constante, podemos escrever:
d~p
dt
=
d
dt
m~v = m
d
dt
~v
e a segunda Lei se transforma em:
~F = m
d
dt
~v
Como ~F = ~D, reescrevemos:
�bvx^ = m d
dt
vx^: (2.9)
Podemos agora ignorar o eixo x^:
�bv = m d
dt
v: (2.10)
2.1. APLICAÇÃO NA FÍSICA: MOVIMENTO EM UM FLUÍDO 13
Para facilitar o entendimento, vamos reescrever essa equação na seguinte
forma
� b
m
v (t) =
d
dt
v (t) : (2.11)
Observe que temos a velocidade v nos dois lados da equação. Essa velocidade
ainda não está determinada, o que se pode dizer é que ela é uma função do
tempo, por causa da derivada no tempo.
Essa é uma equação diferencial cuja incógnita é uma função v (t), isto é: ela
é uma pergunta pergunta matemática.
Nesse caso o que ela está perguntando:
Qual é a forma da função v (t) que ao ser derivada resulta na constante � bm
vezes ela mesma?
Da matemática, vimos que a função que sofre derivação e resulta nela mesma
é eax, ou seja:
d
dx
eax = aeax: (2.12)
Vamos usar isso no nosso problema.
Com base no conhecimento de eax, escolhemos:
v (t) = eat (2.13)
e vamos considerar que a é uma constante que ainda não conhecemos.
Calculamos a derivada:
d
dt
v (t) =
d
dt
eat = aeat: (2.14)
Substituímos esse resultado no lado direito da equação (2.11):
� b
m
v (t) = aeat: (2.15)
substituimos v (t) = eat no lado esquerdo da equação:
� b
m
eat = aeat: (2.16)
e comparando os dois lados vemos que a constante a deve ser:
a = � b
m
Assim, substituinto esse resultado na equação (2.13), temos que:
v (t) = e�
b
m t: (2.17)
14 CHAPTER 2. A DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Obs: Embora ainda não estudamos a Teoria de Equações Diferenciais, veja
que podemos resolver alguns casos simples de equações diferenciais por meio da
compreensão de que ela é uma pergunta matemática.
Será que essa expressão está correta? Ela tem o conteúdo físico correto?
Análise física da expressão:
v (t) = e�
b
m t: (2.18)
Essa expressão nos informa que a medida que t aumenta v (t) diminui. Sabe-
mos disso por causa do grá…co da função exponencial e
� b
m
t
. A diminuição é
rápida nos primeiros instantes, (diminuição exponencial), mas demora para se
anular ( e
� b
m
t ! 0 quando t ! 1). Isso está qualitativamente de acordo com
o que se espera.
Mas há um porém. No instante t = 0 sabemos que a velocidade do barco é
v0.
Se …zermos t = 0 na expressão que encontramos, temos:
v (t) = e�
b
m 0 = e�0 = 1: (2.19)
e não obtemos v0 !
Será que se pode corrigir?
Como a solução v (t) foi escolhida, podemos refazer a nossa escolha e escrever
v (t) = v0e
� bm t: (2.20)
Agora vemos que:
t = 0 ! v (0) = v0: (2.21)
e temos agora uma resposta consistente com o que se espera do comportamento
físico da velocidade.
Observe que o método que usamos aqui para encontrar a resposta à per-
gunta matemática (equação diferencial) não é muito rigorosa uma vez que o
método não nos forneceu uma resposta completamente consistente com a Física
(physis=natureza) do problema. Mas a análise física permitiu que corrigisse-
mos a escolha inicial. Na teoria de equações diferenciais voces irão aprender
um método mais preciso que esse(método de integração), mas veja que a análise
física não é apenas para veri…car se o cálculo forneceu uma resposta correta para
a física, a análise física permite que se faça correções ao resultado matemático.
É muito comum na Física esse procedimento de corrigir as soluções obtidas
matemáticamente.
E a aplicação do logarítmo?
Podemos ter a situação no qual se conhece v (t) e v0 e queremos saber quanto
tempo demora para se atingir a velocidade v (t). Por exemplo, podemos querer
2.1. APLICAÇÃO NA FÍSICA: MOVIMENTO EM UM FLUÍDO 15
saber quanto tempo demora para que a velocidade caia pela metade da veloci-
dade inicial, ou seja, v (t) = v0=2.
Para obter a resposta, substituímos v (t) = v0=2 :
v0
2
= v0e
� bm t; (2.22)
podemos simpli…car:
1
2
= e�
b
m t: (2.23)
A variável t está no expoente, podemos "baixá-lo" com ajuda do logaritmo
na base e :
ln
1
2
= ln e�
b
m t: (2.24)
Mas:
ln e�
b
m t = � b
m
t
e temos:
ln
1
2
= � b
m
t
e isolamos t :
t = �m
b
ln
1
2
: (2.25)
Parece que temos um tempo negativo, mas lembrando que:
1
2
= 2�1
e reescreve:
t = �m
b
ln 2�1; (2.26)
que das propriedades do logaritmo, podemos reescrever:
t = � (�1) m
b
ln 2; (2.27)
e …nalmente:
t =
m
b
ln 2; (2.28)
Assim temos o tempo que demora para que v (t) = v0=2.
2.1.1 Resumo
Vemos aqui que, o porque do barco, depois de desligar os motores, desliza sobre a
água e tem a sua velocidade reduzida muito rápidamente nos primeiros instantes
e depois se aproxima muito lentamente, quase parando, do porto. A causa
é devido à natureza (Física) da força de arrasto da água sobre o barco que
16 CHAPTER 2. A DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
é diretamente dependente da velocidade do próprio barco e atua em direção
oposta ao movimento do barco:
~D = �b~v: (2.29)
O que faz a ligação entre a causa (força de arrasto) e o efeito (equação da
velocidade) é a 2a¯ Lei de Newton na sua formamais geral:
~F =
d~p
dt
: (2.30)
Assim estamos vendo na prática o princípio de causa e efeito que está nessa
Lei:
A força é a causa da alteração dos movimentos dos corpos.
Do exemplo do barco, vemos mais que isso, vemos que:
A força não só é a causa da alteração dos movimentos dos corpos,
mas determina como os corpos se movem.
ou seja:
A força é a causa dos movimentos dos corpos.
Vemos aqui que o trabalho de Newton possibilita a busca pela causa de
todas os movimentos das coisas. E pode-se notar que a linguagem
matemática torna possível conhecer essa causa com precisão e determinar
os seus efeitos com precisão.
Observe também que, com auxílio da linguagem matemática, utilizamos a
linguagem das palavras com mais precisão, uma vez que os signi…cados das
palavras como velocidade, força e tempo estão perfeitamente de…nidas pelas
expressões matemáticas. Só assim foi possível usar a análise física para realizar
correções. Os próprios signi…cados das palavras causa e efeito estão delineadas
de forma precisa na 2a¯ Lei de Newton.
Causa ! força, Efeito ! Movimento
Será que podemos buscar outras causas? Há alguma outra causa mais fun-
damental que a força?
A busca por essas outras causas mais fundamentais é o moto do desenvolvi-
mento da Física. Esse desenvolvimento alterou a busca das causas primeiras
para a busca pelo princípio de todas as coisas.
Essa modi…cação, embora pareça pequeno, ela é muito grande e foi gerada
pela mecânica quântica.
A Mecânica Quântica nos mostra que a hipótese de que a Natureza tem
exatidão absoluta não está correta. A Mecânica Quântica nos mostra que a Na-
tureza possui uma incerteza mínima natural. Devido à essa incerteza mínima
as causas não podem ser determinadas com precisão absoluta.
2.2. RADIATIVIDADE 17
Outro fato a ser observado, veja que é necessário ter um bom conhecimento
da matemática para que se possa entender essa busca pelo princípio de todas
as coisas.
E quanto mais aprofundarmos o nosso conhecimento matemático mais nos
aprofundamos no conhecimento da Natureza ao ponto que hoje já podemos
vislumbrar como o nosso universo e outros podem ser criados. A Matemática
que permite entender essa criação é chamada de Formas Diferenciáveis. Ela é
bem abstrata, mas apesar do grau de abstração necessário é ela que permite a
compreensão da criação de universos.
2.2 Radiatividade
O método aplicado aqui para estudar o problema do movimento em um ‡uído
pode também ser aplicado em uma área mais avançada: na Física Nuclear.
Na Física Nuclear temos o estudo da radiatividade de materiais que são
instáveis. Esses materiais possuem mais energia do que podem comportar e
precisam eliminar essa energia para fora. O meio de se eliminar essa energia é
emitindo a energia na forma de raios, daí o nome, radiatividade é a atividade
dos materiais instáveis de emitir raios para se tornar mais estáveis.
Os raios emitidos mais simples, são classi…cados de acordo com o tipo de
carga elétrica que eles carregam:
1) Raios � (alfa): São raios com carga elétrica positiva.
2) Raios � (beta): são raios com carga elétrica negativa.
18 CHAPTER 2. A DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
3) Raios 
 (gama): são raios com carga elétrica neutra.
Em geral, a medida que um núcleo instável/radiativo emite radiação ele se
torna estável. Dizemos que o núcleo decaiu. Assim o número inicial N0 de
núcleos instáveis diminuem (decaem) com o tempo e podemos dizer que N (t) é
o número de núcleos radiativos que restam no instante t. Temos que
N (t) < N0
No intervalo de tempo �t = tf � t0 a variação no número de núcleos é:
�N = N (t)�N0; (2.31)
Podemos agora calcular a taxa de variação temporal, ela é:
�N
�t
Vimos que na Física trabalhamos com o limite �t ! 0 e nesse caso temos
que
lim
�t!0
�N
�t
=
dN
dt
Essa taxa de variação depende diretamente da quantidade N de núcleos
radiativos, pois quanto maior N mais núcleos irão decair e maior será essa taxa
de variação. Isso quer dizer que:
dN
dt
/ N: (2.32)
Em geral, não podemos determinar qual núcleo radiativo especí…co que vai
decair, se é o núcleo 1, ou 2, ou 3, pois não há como rotular os núcleos e eles
são todos iguais. Por exemplo: os núcleos de Urânio radiativo. Mas existe a
probabilidade de um núcleo decair. Denota-se por ! a probabilidade de um
núcleo decair. Temos que quanto maior for essa probabilidade maior é a taxa de
variação dNdt , ou seja, essa taxa é diretamente proporcional à essa probabilidade:
dN
dt
/ !: (2.33)
Podemos reunir essas duas análises e reescrever
dN
dt
= !N: (2.34)
Mas N (t) < N0, então
dN
dt
< 0: (2.35)
e corrigimos multiplicando um sinal negativo à direita da equação (2.34)
dN (t)
dt
= �!N (t) : (2.36)
2.2. RADIATIVIDADE 19
Essa é a equação que determina como será N (t). Ela recebe o nome de Lei
de decaimento,
Temos agora uma equação diferencial (pergunta matemática) para o número
de núcleos instáveis, N (t). E aqui N (t) é a incógnita do problema. Ela é muito
parecida com a equação (2.11) do caso do movimento em um ‡uído. O caso
anterior começamos a resolver entendendo qual é pergunta matemática que essa
equação faz. Aqui ela é:
Qual é a função N (t) que derivada resulta nela mesma, N (t), vezes uma
constante �!.
De forma análoga ao da seção anterior, se encontra a resposta:
N (t) = N0e
�!t: (2.37)
Essa é a expressão que descreve o comportamento de núcleos radiativos.
Observe que a construção da lei de decaimento radiativo (2.36) não resultou
da aplicação de nenhuma lei anterior, como aconteceu no caso do movimento
de ‡uídos que se baseou na 2a¯ Lei de Newton. Aqui fomos direto na construção
da lei de decaimento, ou seja, baseamos apenas nas características físicas do
comportamento do decaimento radiativo.
Para saber se está correta a expressão de N (t), derive essa expressão e
substitua o resultado na equação (2.36), veremos que a igualdade em (2.36) é
respeitada.
Exercício: Substitua N (t) = N0e�!t em (2.36) e encontre que a igualdade
é respeitada.
Exercício: Reproduza a construção da lei de decaimento (2.36). Compare
com a construção da equação (2.11) e complete a parte da construção da equação
que está faltando.
20 CHAPTER 2. A DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Chapter 3
Derivada: interpretação
geométrica
A geometria pode ser estudada por meio de equações, esse estudo é chamado
de Geometria Analítica. Para podermos analiticizar a geometria é utilizado o
sistema de eixos cartesianos.
Por exemplo: A geometria plana utiliza os eixos cartesianos no plano.
52.50-2.5-5
5
2.5
0
-2.5
-5
x
y
x
y
e temos nesse grá…co o desenho de uma reta inclinada que passa pela origem do
sistema de eixos.
A expressão analítica dessa reta é simplesmente:
y (x) = x
21
22 CHAPTER 3. DERIVADA: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
a função x.
Outras retas podem ser obtidas acrescentando uma constante:
y (x) = x+ b
543210-1-2-3-4-5
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
x
y
x
y
Figura da equação da reta y (x) = x+ 2.
E também multiplicando uma constante à variável x:
543210-1-2-3-4-5
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
x
y
x
y
…gura da reta y (x) = 2x+ 1
23
Assim todas as possíveis retas no plano estão representadas analíticamente
pela equação:
y (x) = ax+ b; a; b 2 R: (3.1)
e ela recebe o nome de equação da reta.
No estudo de retas, outro elemento geométrico que é importante é a incli-
nação da reta. Nas …guras que vimos essa inclinação é dada pelo ângulo � que
a reta forma com o eixo x^.
Pelo triângulo formado, podemos ver que se pode obter a tangente do ângulo
�:
tan � =
�y
�x
Podemos diminuir o triângulo:
E continuar reduzindo o tamanho do triângulo in…nitamente...
Observe que não importa quão pequeno é o triângulo que o valor datangente
permanece o mesmo. O que se deve notar é que o ponto onde o triângulo
permanece em contacto com a reta é mantido …xo.( xp, yp)
24 CHAPTER 3. DERIVADA: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Esse processo todo é descrito usando-se o conceito de limites:
tan � = lim
�x!0
�y
�x
(3.2)
Mas vimos da de…nição de derivadas que:
lim
�x!0
�y
�x
=
dy
dx
(3.3)
Assim, temos que a derivação da equação da reta:
y = ax+ b
Nos fornece a tangente de �:
tan � =
dy
dx
= a (3.4)
Obs: observe que a função y (x) não depende de � e de nenhuma função trigonométrica,
ela é a equação de uma reta.
E agora podemos interpretar a derivada como sendo o coe…ciente angular
que está relacionada com a inclinação da reta tangente ao grá…co da função no
ponto (xp; yp).
Para indicar que a derivada é calculada nesse ponto se escreve:
dy
dx
jx=xp = tan �:
ou simplesmente
dy
dx
jxp = tan �: (3.5)
O caso das curvas.
Nesse caso temos:
3.1. EXEMPLO 25
No ponto P de coordenadas (xp; yp) temos uma reta que tangencia a curva
nesse ponto. E podemos agora desenhar um triângulo retângulo com lados �x
e �y. O passo seguinte é diminuir o triângulo in…nitamente e obter o limite, ou
seja:
lim
�x!0
�y
�x
=
dy
dx
(3.6)
e calcular a derivada no ponto com coordenada x = xp, ou seja:
dy
dx
jxp = tan �:
Agora o ângulo � é o ângulo que a reta tangente ao ponto P forma com a
reta horizontal que é paralela ao eixo x^.
3.1 Exemplo
Vamos ver o caso
y (x) = 2x
Vemos no grá…co a reta inclinada:
Observe os triangulos retângulos com lado no eixo x^ e a hipotenusa sendo a
reta inclinada. Temos o ângulo � que a reta inclinada forma com o eixo x^.
No ponto x = 1
Da …gura temos que:
Cateto adjacente: �x = 1 e Cateto oposto: �y = 2. Então a tangente é:
tan � =
�y
�x
=
2
1
= 2: (3.7)
26 CHAPTER 3. DERIVADA: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
No ponto x = 2.
Temos:
Cateto adjacente: �x = 2 e Cateto oposto: �y = 4. Então a tangente é:
tan � =
�y
�x
=
4
2
= 2: (3.8)
como é de se esperar a razão �y=�x permanece a mesma.
Por outro lado, vamos calcular a derivada de y (x) = 2x, temos que:
dy
dx
=
d
dx
2x = 2 (3.9)
e comparando com os dois resultados anteriores, vemos que:
dy
dx
= tan � = 2: (3.10)
3.2 A diferencial dy
Vimos que a derivada dydx no ponto x = xp da função y (x) fornece o coe…ciente
angular da reta tangente à curva de y (x) no ponto x = xp, i.e.:
dy
dx
= tan �
No caso de y (x) ser a equação da reta, a reta que tangencia o grá…co de
y (x) é a própria reta:
3.2. A DIFERENCIAL DY 27
Se conhecermos �x e tan � podemos recuperar �y da seguinte forma:
Da expressão:
�y
�x
= tan � (3.11)
podemos reescrever:
�y = tan ��x (3.12)
Vimos que
tan � =
dy
dx
(3.13)
e substituímos esse resultado na eq. (3.12):
�y =
dy
dx
�x (3.14)
Podemos agora reduzir o tamanho de �x até ele …car pequeno mas não nulo:
�x! dx
dy =
dy
dx
dx (3.15)
e vemos que �y também …ca pequeno: �y ! dy. Nessa expressão tanto dy
com dx são chamados de diferenciais.
28 CHAPTER 3. DERIVADA: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Chapter 4
Integração
Uma forma de se começar a entender a integração é por meio de uma suas
propriedades:
A integração é a operação inversa da derivação
Vimos que a operação de derivação ddxF (x) resulta numa outra função f (x),
i.e:
d
dx
F (x) = f (x) ; (4.1)
e as funções são agora classi…cadas de:
�
F (x)! Primitiva ( de onde veio a derivada f (x) )
f (x)! Derivada ( resultado da derivação da primitiva)
Em termos mais gerais se escreve que a operação O^ [ ] relaciona F (x) com
f (x)
O^ [F (x) ]! f (x)
Será que existe uma operação inversa O^�1 [ ] que agindo sobre a derivada
f (x) resulta na primitiva?
O^�1 [f (x) ]! F (x) : (4.2)
A resposta a essa questão é a operação de integração:
O^�1 [ ] =
Z
[ ] dx
Assim
O^�1 [f (x)] =
Z
[ f (x) ] dx
e o resultado é Z derivadaz }| {
[f (x)] dx =
primitivaz }| {
F (x) (4.3)
29
30 CHAPTER 4. INTEGRAÇÃO
compare
d
dx
primitivaz }| {
[F (x)] =
derivadaz }| {
f (x) ; (4.4)
Dessa forma realizar a integração da função derivada f (x) é procurar pela
função primitiva F (x), i.e: a seguinte expressão:Z
[ f (x) ] dx =?
está perguntando:
Qual é a primitiva de f (x)?
Resposta:
É a função F (x)
ou seja
pergunta matem�aticaz }| {Z
[f (x)] dx =
respostaz }| {
F (x) (4.5)
Observe o signi…cado do símbolo matemático da igualdade: =
Nessa expressão ele faz a ligação entre a pergunta matemática e a resposta
da pergunta. O símbolo = aqui não signi…ca apenas que um lado é igual ao
outro como nos casos:
1 = 1; x = x; (4.6)
O signi…cado do símbolo = na equação (4.5) tem signi…cados adicionais:
1) signi…ca a ligação entre uma pergunta matemática à sua re-
sposta.
2) signi…ca a ligação entre a operação de transformar a função f (x)
e o resultado da operação que é a função F (x).
Pensando dessa maneira, podemos ver que há outras possibilidades de uso
do símbolo da igualdade: = :
Por exemplo:
g (x) = h (x) (4.7)
Aqui a função g (x) não precisa ser a mesma função h (x). Elas podem ser:
g (x) = x+ 2a; h (x) = 3x� 4b
e elas não são iguais!
O símbolo de igualdade na equação (4.7) tem o signi…cado adicional de in-
formar que há um ponto de itersecção entre g (x) e h (x) :
x+ 2a = 3x� 4b: (4.8)
4.1. INTEGRAIS DE ALGUMAS FUNÇÕES 31
4.1 Integrais de algumas funções
4.1.1 Potências de x
Vimos que para ax a ação da derivada resulta em
d
dx
[ax] = a
então para inverter (desfazer) essa operação se fazZ
[a ] dx = ax+ C1 (4.9)
onde C é uma constante arbitrária pois a derivada de uma constante é zero e a
integração de zero não aparece do lado esquerdo da igualdade.
Se a = 1, temos que Z
dx = x+ C1 (4.10)
Para o caso de ax2 temos
d
dx
�
ax2
�
= 2ax;Z
[2ax ] dx = ax2 + C2 (4.11)
4.1.2 Funções trigonométricas elementares
Vimos as seguintes derivadas das funções trigonométricas (Apostila Fisica e Matemática
1, C.M. Maekawa):
d
d�
sin � = cos �;
d
d�
cos � = � sin �
Na derivação do seno, temos que
d
d�
primitivaz}|{
sin � =
derivadaz}|{
cos �
Podemos agora integrar Z
cos � d� = ?
essa expressão está perguntando:
Qual é a primitiva da função cos � ?
Da derivação do seno, temos a resposta:
É a função sin �.
32 CHAPTER 4. INTEGRAÇÃO
Assim Z
cos � d� = sin �: (4.12)
O cálculo da integração do seno é da mesma forma:Z
sin � d� = ?
a equação está fazendo a pergunta:
Qual é a primitiva da função sin �?
E a resposta nos fornece o resultado da integração:Z
sin � d� = � cos �: (4.13)
4.2 Função exponencial
1) A derivação da função exponencial ex é simplesmente
d
dx
ex = ex: (4.14)
A integração é simplesmente Z
exdx = ex: (4.15)
2) Casos eax e e�ax
d
dx
primitivaz}|{
eax =
derivadaz}|{
aeax ;
d
dx
e�ax = �ae�ax: (4.16)
A integração Z
aeax dx
a pergunta matemática aqui é:
Qual é a função primitiva de aeax?
A resposta:
É a função eax.
Então: Z
aeax dx = eax (4.17)
A integração Z
ae�ax dx
a pergunta matemática aqui é:
4.3. PERGUNTASMATEMÁTICAS NO ENSINOMÉDIO E ELEMENTAR33
Qual é a função primitiva de ae�ax?
A resposta:
É a função �e�ax.
Então: Z
ae�ax dx = �e�ax (4.18)
4.3 Perguntas matemáticas no Ensino Médio e
Elementar
Perguntas matemáticas são mais comuns do que se pode imaginar, elas estão pre-
sentes nos conteúdos de matemática do ensino médio e elementar. As equações
para serem resolvidas que voces viram no ensino médio e elementar são na re-
alidade perguntas matemáticas.
Por exemplo:
No problema de se resolver a seguinte equação:
x� 1 = 0 (4.19)
Ao invés de se fazer contas, essa equação está simplesmenteperguntando:
Qual é o valor de x para que x� 1 seja igual à zero?
Sem precisar fazer contas, apenas lembrando das propriedades da subtração
de números, temos a resposta:
x = 1: (4.20)
Outro exemplo:
Resolver a equação
x (x� 2) = 0: (4.21)
Aqui a pergunta matemática é:
Quais são os valores de x para que x (x� 2) seja igual à zero?
Lembrando das propriedades da multiplicação e da subtração, a resposta é:
x = 0 e x = 2: (4.22)
Veja que as perguntas matemáticas sempre foram feitas e são comuns. O
problema é que não se conseguia percebê-las.
Para equações mais complexas, as perguntas continuam, por exemplo: para
o caso
x2 � 2x+ 1 = 0: (4.23)
A pergunta aqui é:
34 CHAPTER 4. INTEGRAÇÃO
Quais são os valores de x para que x2 � 2x+ 1 seja igual à zero?
A busca da resposta requer um método mais complexo, o de se encontrar as
raízes dessa equação de segundo grau.
Mas será que não podemos simpli…car o nosso trabalho?
Nesse caso o objetivo é obter um produto de dois fatores mais simples do
tipo:
(x� :::)� (x� :::)
tal que:
(x� :::)� (x� :::) = x2 � 2x+ 1
Podemos fazer o seguinte: Olhe para o termo: �2x, ele é o dobro de x e
podemos escrever: �2x = �x� x; e temos:
x2 � 2x+ 1 = x2 � x| {z }
x(x�1)
� x+ 1
Então
x2 � 2x+ 1 = x (x� 1)� (x� 1)
e podemos colocar em evidência (x� 1)
x2 � 2x+ 1 = (x� 1) (x� 1)
e assim simpli…camos a expressão matemática para:
x2 � 2x+ 1 = (x� 1)2
e a pergunta matemática …cou mais simples:
(x� 1)2 = 0: (4.24)
assim a pergunta mais simples é:
Qual é o valor de x que anula (x� 1)2?
E a resposta é:
x = 1: (4.25)
Do estudo de equações do segundo grau, aprendemos que elas tem duas
raízes. Assim neste caso vemos que as duas raízes x+ e x� são iguais, i.e.:
x+ = x� = x = 1: (4.26)
Obs:
1) Nesse problema, para enxergar a possibilidade de se simpli…car a pergunta
matemática é preciso que se tenha prática. E a prática só se adquire fazendo
exercícios.
2) Vimos aqui que a pergunta matemática tem uma nova característica, ela
pode, em alguns casos, ser simpli…cada.
4.4. RIQUEZA DE INFORMAÇÕES, INTERPRETAÇÃOMATEMÁTICA.35
Um outro exemplo que parece complicado mas não é.
Encontre o valor de x, para a seguinte equação:
e15
e3x
= 1 (4.27)
Quem pensou na pergunta matemática já encontrou a resposta.
Mas para aqueles que ainda não perceberam a simplicidade, podemos ree-
screver essa equação:
e15 = e3x
e aqui …cou evidente qual é o valor de x.
Mas se ainda não percebeu a resposta, pode-se fazer a seguinte pergunta
matemática:
Qual o valor de x para que e3x = e15 ?
Mas se ainda não foi possível perceber a resposta, então é preciso aplicar o
método de resolução.
Se aplica o logaritmo, ln, nos dois lados da equação e temos:
ln e15 = ln e3x
e tomba os expoentes
15 ln e = 3x ln e
e como ln e = 1, então resta
15 = 3x:
e encontramos
x = 5: (4.28)
4.4 Riqueza de informações, Interpretação matemática.
Com o que vimos sobre as funções e seus grá…cos, o coe…ciente de inclinação e
derivadas, os signi…cados adicionais do símbolo da igualdade, podemos ver que
simples expressões matemáticas contém muita informação matemática.
Por exemplo, a simples expressão matemática:
x� 1 = 0: (4.29)
Elá muito simples. Do treino mecânico de se resolver equações, nos preocu-
paria simplesmente achar o valor de x e pronto.
Vimos que essa equação é uma pergunta matemática:
Qual o valor de x para que x� 1 = 0 ?
36 CHAPTER 4. INTEGRAÇÃO
Mas se nos lembrarmos do que aprendemos até agora, podemos ver mais que
isso.
Análise Matemática:
y = x� 1 (4.30)
é uma equação de uma reta. A reta corta o eixo y^ no ponto y = �1. As
coordenadas desse ponto são: (0;�1)
Ela é inclinada. O coe…ciente de inclinação é 1, pois
d
dx
x = 1: (4.31)
Desse resultado podemos encontrar o ângulo de inclinação da reta da seguinte
maneira:
tan � =
dy
dx
=
d
dx
x = 1
e do nosso conhecimento de trigonometria, obtemos que:
� = 45o: (4.32)
Essa reta corta o eixo x^ no ponto:
x = 1 :
e as coordenadas desse ponto são: (1; 0).
Observe que dessa análise quanto mais informação matemática conhecemos
mais percebemos o conteúdo matemático de uma expressão que pareceu, no
princípio, ser apenas um problema a ser resolvido.
Veja também que o conhecimento de derivadas nos permitiu realizar a análise
matemática que reuniu conhecimentos de geometria, cálculo e trigonometria
numa simples expressão como x� 1 = 0. Dessa forma, agora podemos perceber
toda a riqueza de conteúdo matemático que uma expressão simples possui.
Toda essa informação extraída pela análise matemática de expressões como
x � 1 = 0 é uma base para as análises do conteúdo físico da aplicação dessa
expressão na Física.
Observe nessa análise os signi…cados adicionais que o símbolo de igualdade
tem.
1) Em � = 45o e x = 1 o símbolo = faz o papel de atribuição de valôres às
variáveis.
2) Em
y = x� 1
O símbolo de igualdade é usado para atribuir um nome ou rótulo, y, à expressão
x � 1. E, do ponto de vista da geometria no plano cartesiano, o símbolo da
igualdade realiza a associação da coordenada y com a coordenada x.
4.4. RIQUEZA DE INFORMAÇÕES, INTERPRETAÇÃOMATEMÁTICA.37
3) Em
d
dx
x = 1: (4.33)
o símbolo de igualdade está indicando o resultado do cálculo da derivação.
4) Em
tan � =
dy
dx
aqui temos dois elementos oriundos de áreas diferentes. Da trigonometria: tan �,
do cálculo: dydx . O que permitiu interligar dois conceitos de origens diferentes
foi a geometria baseada na …gura do triângulo que se formou no grá…co da
função y (x). Lembre que y é uma função de x e não tem nenhuma função
trigonométrica nela. Assim o símbolo de igualdade está interligando dois ele-
mentos que a princípio eram distintos.
trigonometria Geometria Cálculo Avançado
+
tan �
+
=
+
dy
dx
Embora o símbolo da igualdade tenha vários signi…cados adicionais, todos
eles são exatos e consistentes entre eles.
38 CHAPTER 4. INTEGRAÇÃO
Chapter 5
Integrais de…nidas e cálculo
de áreas
O processo de integração permite que se cálcule áreas sob as curvas dos grá…cos.
A integração que permite isso é chamada de integral de…nida.
A integral é considerada de…nida porque o processo de integração está limi-
tado à um intervalo de…nido numéricamente, por exemplo: de xi até xf . Aqui
xi representa um valor inicial no eixo x e xf o valor …nal nesse mesmo eixo.
Para incluir essa limitação no processo de integração se denota:Z xf
xi
f (x) dx (5.1)
O resultado dessa integração é dada pela função primitiva F (x) calculada
nos pontos xf e xi da seguinte forma:Z xf
xi
f (x) dx = F (xf )� F (xi) (5.2)
Essa expressão é chamada de Teorema Fundamental do Cálculo.
Por causa dessa classi…cação, a integral:Z
f (x) dx
recebe a classi…cação de integral inde…nida.
Exemplo:
Vamos escolher xi = 1 e xf = 3 e calcular a integral da função constante
f (x) = a. Z xf
xi
a dx = ::: (5.3)
39
40 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS
Vimos que a função primitiva F (x) da função derivada f (x) = a é
F (x) = ax
assim
F (xf ) = axf ; F (xi) = axi (5.4)
e a integração de…nida resulta emZ xf
xi
a dx = axf � axi
= a (xf � xi) (5.5)
Agora substituímos os números: xi = 1 e xf = 3Z 3
1
a dx = a (3� 1) = 2a: (5.6)
5.1 Cálculo da área sob o grá…co de f (x).
O caso mais simples f (x) = 2. Vamos olhar para o grá…co da função.
em x = 2 temos uma reta tracejada que cruza a reta f (x) = 2. As coorde-
nadas do ponto de intersecção são (2; 2).
A área do quadrado que vemos é
A = 2� 2 = 4: (5.7)
Vamos agora para um outro ponto: x = 5
5.1. CÁLCULO DA ÁREA SOB O GRÁFICO DE F (X). 41
Vemos um retângulo de altura h = 2 e comprimento L = 5.
A área desse retângulo é:
A = 2� 5 = 10: (5.8)
Vamos agora olhar para a seguinte integral da funçãof (x) = 2 de…nida
entre os pontos xi = 0 e xf = 2.
Primeiro a integral inde…nida de f (x) = 2Z
2dx = 2x (5.9)
e encontramos a função primitiva F (x) = 2x
Agora a integração de…nida:Z xf
xi
2dx = F (xf )� F (xi) (5.10)
e temos Z xf
xi
2dx = 2xf � 2xi
e substitui os valôres xi = 0 e xf = 2Z 2
0
2dx = 2 (2)� 2 (0) = 4: (5.11)
Compara com o resultado da eq.(5.7) do cálculo da área do quadrado.
Será que é coincidência?
Vamos ver o caso do retângulo.
A base do retângulo vai de xi = 0 até xf = 5, temos então:Z xf
xi
2dx = 2xf � 2xi
42 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS
e substitui os valôres Z 5
0
2dx = 2 (5)� 2 (0) = 10: (5.12)
Vemos que é o mesmo resultado do cálculo de área da equação (5.8).
Conclusão:
O Cálculo de integrais de…nidas num intervalo [xi; xf ] de uma função f (x)
é igual à área que …ca sob a curva f (x) e o eixo x^, delimitada pelas retas que
passam nos pontos xi e xf .
Exercício
Calcule a área sob a curva da função f (x) = 2x no intervalo xi = 0 e xf = 2.
5.2 Integração: Soma in…nita de áreas elementares
Será que o resultado que vimos na seção anterior é uma coincidência?
Veremos que o processo de integração é na realidade uma forma de se calcular
áreas sob as curvas de um grá…co.
Objetivo: Calcular a àrea sob a curva de y (x), do ponto y (x0) até o ponto
y (xf ).
Sabemos calcular área de polígonos. O mais simples é o retângulo.
Área do retângulo = base � altura
Podemos usar essa expressão para obter um valor aproximado da área sob a
curva y (x) da seguinte maneira:
5.2. INTEGRAÇÃO: SOMA INFINITA DE ÁREAS ELEMENTARES 43
Temos uma sucessão de retângulos.
A largura do retângulo é: x1 � x0. A altura do retângulo é o valor y (�x1).
Assim para o retângulo 1, a área é
a1 = (x1 � x0)| {z }
�x1
y (�x1) =
= y (�x1)�x1: (5.13)
De forma análoga as áreas a2 e a3 são:
a2 = y (�x2)�x2; �x2 = x2 � x1;
a3 = y (�x3)�x3; �x3 = x3 � x2: (5.14)
e somando as áreas
Atot = a1 + a2 + a3 =
3X
i=1
ai
aqui
P3
i=1 ai signi…ca: soma dos ai para i = 1 até 3.
Cada ai é dado por
ai = y (�xi)�xi; i = 1; 2; 3
então
Atot =
3X
i=1
y (�xi)�xi; �xi = xi�1 +
�xi
2
(5.15)
44 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS
Aqui �xi = x0+
Da …gura podemos notar que obtemos um resultado aproximado.
Esta aproximação pode ser melhorada reduzindo a largura �xi dos retân-
gulos.
Isso aumenta o número de retângulos e agora temos para Atot a seguinte
expressão:
Atot = y (�x1)�x1 + y (�x2)�x2 + y (�x3)�x3 + :::+ y (�x6)�x6
=
6X
i=1
y (�xi)�xi
Observe que a área calculada …ca mais perto da área sob a curva de y (x).
Podemos repetir o processo n vezes. Isso faz com que se aumente o número
de retângulos enquanto diminui a largura deles, i.e:
Atot = y (�x1)�x1 + :::+ y (�xn)�xn
=
nX
i=0
y (�xn)�xn
Podemos levar n!1, isso faz com que os retângulos …quem …nos, tão …nos
que a espessura deles se tornam quase nulos, ou seja:
�xn ! dx (5.16)
5.2. INTEGRAÇÃO: SOMA INFINITA DE ÁREAS ELEMENTARES 45
quando isso acontece, podemos escrever
�xn ! x; y (�xn)! y (x)
e a somatória
Pn
i=0 que é uma soma discreta se torna uma soma contínua:
nX
i=0
!
Z xf
x0
e temos que:
Atot = lim
�xn!0
nX
i=0
y (�xn)�xn =
Z xf
x0
y (x) dx: (5.17)
Essa expressão nos conta que a integral
F (x) =
Z xf
x0
f (x) dx
pode ser interpretada como uma soma contínua de áreas elementares:
F (x) =
Z xf
x0
�area elementarz }| {
f (x) dx (5.18)
Obs: Na Cálculo mais formal a expressão lim�xn!0
Pn
i=0 y (�xn)�xn é chamada
de soma de Riemann e a obtenção da equação (5.17) é feita de uma forma mais
formal e precisa. Aqui estamos esboçando apenas as idéias rudimentares por
trás da equação (5.17).
46 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS
5.3 Exemplos
A área entre o eixo x^ e a curva f (x) = 2x.
O grá…co é uma reta inclinada que passa pela origem:
10.750.50.250-0.25-0.5-0.75-1
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
x
y
x
y
No grá…co, podemos observar um triângulo cuja base vai de x = 0 até
x = 0:25. Sua área é:
a1 = 0:25� 0:5 = 0:125
A integração.inde…nida é: Z
2x dx = x2
A integração de…nida entre x = 0 e x = 0:25 é:Z 0:25
0
2x dx = x2j0:250 = (0:25)2 � (0)2 = 0:125: (5.19)
O triângulo no lado esquerdo do grá…co.
No lado esquerdo, temos outro triângulo. Sua base vai de x = �0:25
até x = 0.
Observe os pontos xi = �0:25 e xf = 0. Veja que o ponto onde x se
anula não é o ponto inicial.Z 0
0:25
2x dx = x2j00:25 = (0)2 � (0:25)2 = �0:125: (5.20)
O resultado forneceu uma área negativa!
5.3. EXEMPLOS 47
O que aconteceu ?
O cálculo da integral de…nida não realiza a interpretação de que o
resultado deva ser uma área. O Teorema Fundamental do Cálculo simplesmente
nos informa como se faz para obter a integral de…nida.Z xf
xi
f (x) dx = F (xf )� F (xi) : (5.21)
A interpretação de que esse resultado é o cálculo de uma área é
uma das aplicações humanas desse teorema.
O que devemos fazer para manter essa interpretação?
Modi…camos um pouco a interpretação.
O módulo de
R xf
xi
f (x) dx é igual a área entre a curva de f (x) e o eixo x^
delimitadas pelas retas x = xi e x = xf .
Ou seja ����Z xf
xi
f (x) dx
���� = jF (xf )� F (xi)j = �area: (5.22)
Exemplo 2
Área entre o eixo x^ e a curva da função f (x) = �x2 e x = 0 a x = 1.
O grá…co da função f (x) = �x2.
21.510.50
0
-1
-2
-3
-4
x
y
x
y
48 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS
a) A integral inde…nida nesse caso é:
Z
�x2dx = F (x)
A pergunta matemática:
Qual é a função primitiva F (x) da função derivada f (x) = �x2?
Resposta:
F (x) = �x
3
3
Teste:
d
dx
�
�x
3
3
�
= �3x
3�1
3
= �x2: (5.23)
Então Z
�x2dx = �x
3
3
: (5.24)
b) A integral de…nida no intervalo [0; 1]:
Z 1
0
�x2dx = �x
3
3
j10 =
�
�1
3
3
�
�
�
�0
3
3
�
=
�
�1
3
�
e tomando o módulo, temos que a área é:
�area =
1
3
Exemplo 3.Aplicação em arquitetura.
Na arquitetura, as formas curvas são usadas, e.g., para colunas de susten-
tação. É importante determinar o volume dessas colunas. Uma forma simples
é obter a área da parte curva e multiplicar pela largura.
5.3. EXEMPLOS 49
2.62.42.221.81.61.41.210.80.60.40.20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
x (m)
y (m)
x (m)
y (m)
Nesse grá…co temos duas curvas y1 (x) (vermelha) e y2 (x) (preta)
y1 (x) = 2x
2 + 5;
y2 (x) = 2:2x
2
onde as unidades estão em metros (m).
Temos uma reta vertical em x = 2:7 m que vai de y = 15:9 m até y = 19:5m
A estratégia é calcular a área sob a curva y1 e subtraí-la da área sob a curva
y2..
de x = 0 até x = 2:7
Calcula a área de y1 (x) e subtrai a área de y2 (x) :
a1 =
R 2:7
0
�
2x2 + 5
�
dx =
�
2
3x
3 + 5x
� j2:70 = � 232:73 + 5� 2:7��� 230x3 + 5� 0�
= 232:7
3 + 5� 2:7 = 26:622
a1 = 26; 622 m
2
a2 =
R 2:7
0
2:2x2dx =
�
2:2
3 x
3
� j2:70 = 2:23 2:73 = 14:434
a2 = 14; 434 m
2
e a área total é:
a = a1 � a2 = 12; 188 m2: (5.25)
50 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS
Para transformar essa …gura em uma coluna, basta agora escolher uma
largura. Por exemplo: z = 2 m
E o volume é
V = 12; 188 m2 � 2; 0 m = 24; 376 m3
Temos agora o volume da coluna. Com essa informação sabemos a quanti-
dade de concreto necessária para construir a coluna. Podemos também usar o
grá…co para moldes de chapa de aço.
Uma vez que sabemos como transformar formas geométricas em equações,
podemos agora desenvolver programas de computador para realizar os cálculos
e formar as …guras. Essa é a base de uma das subrotinas de programação dos
programas de CAD (Computer Aided Design)ou subrotinas para robôs cortarem
chapas de aço.
Isso nos mostra que a partir do conhecimento das equações e seus grá…cos,
podemos realizar várias aplicações simples na computação e na automação.
Podemos posteriormente aplicar a física e realizar a análise do equilíbrio de
forças, ou seja: veri…car se a força resultante:
~Rtot =
NX
i=1
~Fi = ~F1 + ~F2 + :::+ ~FN
satisfaz:
NX
i=1
~Fi = 0 (5.26)
e se o torque resultante
~� tot =
NX
i=1
~� i = ~�1 + ~�2 + :::+ ~�N
satisfaz:
NX
i=1
~� i = 0: (5.27)
Essa é a base da análise estrutural em engenharias. Essa análise irá corrigir
as formas obtidas para a realização do projeto …nal.
5.4 Aplicação na Física
5.4.1 Caso do MRU
Vimos que a partir da derivação da equação da posição podemos obter a equação
da velocidade.
x (t) = x0 + vt
5.4. APLICAÇÃO NA FÍSICA 51
Deriva:
d
dt
x (t) =
d
dt
(x0 + vt) = v
ou seja:
v (t) = v: (5.28)
A partir dessa equação da velocidade podemos obter a equação da posição
x (t). Podemos agora inverter integramos dos dois lados em tZ
v (t) dt =
Z
vdt: (5.29)
Vamos calcular separadamente cada lado dessa expressão:
Az }| {Z
v (t) dt =
Bz }| {Z
v dt (5.30)
A é o lado direito dessa equação.
A =
Z
v (t) dt
Nesse lado vamos usar a de…nição da velocildade:
v (t) =
dx
dt
assim reescrevemos:
A =
Z
dx
dt
dt:
Vimos que
dx
dt
dt = dx;
então
A =
Z xf
x0
dx
onde mudamos para integrais de…nidas.
Vimos que Z
dx = x
assim Z xf
xi
dx = xjxfxi = xf � xi: (5.31)
O lado esquerdo da equação (5.30), temos:
B =
Z tf
ti
v dt = vtjtfti = vtf � vti: (5.32)
52 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS
Reúne os dois lados da equação (5.30):
xf � xi = vtf � vti
podemos escolher o tempo inicial como sendo nulo: ti = 0 e temos:
xf � xi = vtf : (5.33)
e reescrendo essa equação:
xf = x0 + vt: (5.34)
onde …semos xi = x0 e tf = t. Reobtemos a equação da posição.
5.4.2 Caso MRUV
A equação da velocidade nesse caso é:
v (t) = v0 + at: (5.35)
Integramos dos dois lados em t :Z
v (t) dt =
Z
(v0 + at) dt
Tratamos cada lado separadamente:
Az }| {Z
v (t) dt =
Bz }| {Z
(v0 + at) dt: (5.36)
O lado A:
A =
Z
v (t) dt
usa a de…nição de velocidade:
A =
Z
dx
dt
dt =
Z
dx
e integra de xf à xi
A =
Z xf
xi
dx = xf � xi: (5.37)
O lado B.
B =
Z
(v0 + at) dt
temos Z
(v0 + vt) dt =
Z
v0dt+
Z
atdt
5.4. APLICAÇÃO NA FÍSICA 53
do que vimos essas integrais são:Z
v0dt = v0tZ
atdt =
1
2
at2
Passamos para integrais de…nidasZ tf
ti
v0dt = v0tjtfti = v0tf � v0tiZ tf
ti
atdt =
1
2
at2jtfti =
�
1
2
at2f
�
�
�
1
2
at2i
�
escolhe-se ti = 0 e tf = t Z t
0
v0dt = v0tZ t
0
atdt =
1
2
at2
Assim
B = v0t+
1
2
at2
Reúne os lados A e B.
Az }| {Z
v (t) dt =
Bz }| {Z
(v0 + at) dt
temos:
xf � xi = v0t+ 1
2
at2
fazemos xf = x (t) e xi = x0
x (t) = x0 + v0t+
1
2
at2: (5.38)
e recuperamos a equação da posição do MRUV.
Exercício
Obtenha a equação da velocidade:
v (t) = v0 + at (5.39)
A partir da equação da aceleração:
a (t) = a; a = const:
54 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS
5.4.3 Caso Movimento de um barco
No caso do movimento do barco, podemos ter uma equação da velocidade da
forma:
v (t) = v0e
�bt: (5.40)
Podemos obter a equação da posição:
Integra dos dois lados em t:
Az }| {Z
v (t) dt =
Bz }| {Z
v0e
�btdt: (5.41)
O lado A
A =
Z
v (t) dt =
Z
dx
dt
dt =
Z
dx (5.42)
Escolhe os limites de integração:Z xf
x0
dx = xf � x0
Assim
A = xf � x0 (5.43)
O lado B
B =
Z
v0e
�btdt = v0
Z
e�btdt (5.44)
Lembrete:
d
dt
e�bt = �be�bt
A integral Z
e�btdt = F (t)
está perguntando:
Qual é a função primitiva F (t) cuja derivada f (t) é f (t) = e�bt?
Resposta:
A função primitiva F (t) é : F (t) = 1�be
�bt
Então: Z
e�btdt =
1
�be
�bt: (5.45)
Escolhe os limites de integração: ti e tfZ tf
ti
e�btdt =
1
�be
�bt
����tf
ti
=
�
1
�be
�btf
�
�
�
1
�be
�bti
�
5.4. APLICAÇÃO NA FÍSICA 55
Escolhemos ti = 0 e tf = tZ tf
ti
e�btdt =
1
�be
�bt +
1
b
o lado B resulta em
B = v0
�
1
�be
�bt +
1
b
�
: (5.46)
Reúne o lado A e B:
xf � x0 = �v0
b
e�bt +
v0
b
Escolhe xf = x (t), obtemos a expressão …nal para a equação da posição no
caso do barco deslizando na água:
x (t) = x0 +
v0
b
� v0
b
e�bt: (5.47)
56 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS
Exercício 1
A partir da equação da velocidade:
v (t) = v0e
�bt; (5.48)
mostre como se obtém a equação da aceleração, dada por:
a (t) = �bv0e�bt: (5.49)
Exercício 2
A partir da equação da aceleração
a (t) = �bv0e�bt; (5.50)
mostre como se reobtém a equação da velocidade: v (t) = v0e�bt.
Appendix A
The First Appendix
The appendix fragment is used only once. Subsequent appendices can be created
using the Chapter Section/Body Tag.
57
58 APPENDIX A. THE FIRST APPENDIX
Afterword
The back matter often includes one or more of an index, an afterword, acknowl-
edgements, a bibliography, a colophon, or any other similar item. In the back
matter, chapters do not produce a chapter number, but they are entered in the
table of contents. If you are not using anything in the back matter, you can
delete the back matter TeX …eld and everything that follows it.
59