interpolação spline

Prévia do material em texto

Interpolac¸a˜o Spline
June 15, 2015
1 Introduc¸a˜o
Dados os pontos (xi, yi) com i = 1, · · · , k Uma func¸a˜o spline de grau 3 com no´s a = x0, x1, · · · , xk = b e´ uma func¸a˜o
F (x) satisfazendo as seguintes propriedades:
1. F (xi) = yi, 1 ≤ i ≤ k;
2. Em cada subintervalo [xi−1, xi], 1 ≤ i ≤ k, F (x) e´ um polinoˆmio de grau 3.
3. F (x), F ′(x) e F ′′(x) sa˜o cont´ınuas no intervalo (a, b).
Sera´ necessa´rio determinar k polinoˆmios, por exemplo na Figura 1.
Figure 1: Exemplo spline
Cada polinoˆmio Pi(x) pode ser escrito como Pi(x) =
aix
3+bix
2+cix+di. Como existem n polinoˆmios, enta˜o
sera´ necessa´rio determinar o valor de 4n varia´veis. Estas
varia´veis podem ser determinadas atrave´s da resoluc¸a˜o
de um sistema linear. A seguir sera˜o determinadas as
equac¸o˜es que ira˜o compor este sistema linear.
Podemos obter 2n equac¸o˜es a partir da condic¸a˜o de interpolac¸a˜o F (xi) = yi e da continuidade de F .
Pi(x) = yi e Pi(x) = yi−1, i = 1, · · ·n
.
Por exemplo, fazendo Pi(x) = aix
3 + bix
2 + cix + di obtemos as seguintes equac¸o˜es para o spline na Figura 1:
P1(x0) = a1x
3
0 + b1x
2
0 + c1x0 + d1 = y0
P1(x1) = a1x
3
1 + b1x
2
1 + c1x1 + d1 = y1
P2(x1) = a2x
3
1 + b2x
2
1 + c2x1 + d2 = y1
P2(x2) = a2x
3
2 + b2x
2
2 + c2x2 + d2 = y2
P3(x2) = a3x
3
2 + b3x
2
2 + c3x2 + d3 = y2
P3(x3) = a3x
3
3 + b3x
2
3 + c3x3 + d3 = y3
P4(x3) = a4x
3
3 + b4x
2
3 + c4x3 + d4 = y3
P4(x4) = a4x
3
4 + b4x
2
4 + c4x4 + d4 = y4
(1)
Pi(xi) = Pi+1(xi) para i = 1, · · · , n− 1, pela continuidade de F ′(x) temos que P ′i (xi) = P ′i+1(xi). Desta forma
obtemos n− 1 equac¸o˜es. Por exemplo, para o spline da Figura 1: P
′
1(x1) = 3a1x
2
1 + 2b1x1 + c1 = 3a2x
2
1 + 2b2x1 + c2 = P
′
2(x1)
P ′2(x2) = 3a2x
2
2 + 2b2x2 + c2 = 3a3x
2
2 + 2b3x2 + c3 = P
′
2(x2)
P ′3(x3) = 3a3x
2
3 + 2b3x3 + c3 = 3a4x
2
3 + 2b4x3 + c4 = P
′
2(x3)
(2)
1
Pela continuidade de F ′′(x) podemos obter mais n−1 equac¸o˜es, pois F ′′(xi) = F ′(xi). Por exemplo, da Figura 1
podemos obter as seguintes equac¸o˜es: P
′′
1 (x1) = 6a1x1 + 2b1 = 6a2x1 + 2b2 = P
′′
2 (x1)
P ′′2 (x2) = 6a2x2 + 2b2 = 6a3x2 + 2b3 = P
′′
2 (x2)
P ′′3 (x3) = 6a3x3 + 2b3 = 6a4x3 + 2b4 = P
′′
2 (x3)
(3)
Obtendo um total de 4n− 2 equac¸o˜es. Supondo que F ′′(x0) = 0 e F ′′(xn) = 0, teremos 4n equac¸o˜es e o sistema
tera´ apenas uma soluc¸a˜o.
2 Determinando o spline cu´bico
Podemos fazer a interpolac¸a˜o spline cu´bica resolvendo o sistema linear descrito na sec¸a˜o anterior. No entanto, existe
uma forma mais simples para realizar esta interpolac¸a˜o. Como o spline e´ uma colec¸a˜o de polinoˆmios cu´bicos, F ′′(x)
e´ uma colec¸a˜o de func¸o˜es lineares. Considerando o intervalo [xi−1, xi], o me´todo de Lagrange pode ser utilizado
para determinar F ′′(x) utilizando os pontos (xi−1, F ′′(xi−1)) e (xi, F ′′(xi)) sera´ obtido
F ′′(x) =
(x− xi)
xi−1 − xiF
′′(xi−1) +
(x− xi−1)
xi − xi−1 F
′′(xi)
=
(xi − x)
xi − xi−1F
′′(xi−1) +
(x− xi−1)
xi − xi−1 F
′′(xi)
(4)
Fazendo xi − xi−1 = hi, F ′′(xi−1) = Mi−1 e F ′′(xi) = Mi, obtemos
F ′′(x) =
(xi − x)
hi
Mi−1 +
(x− xi−1)
hi
Mi (5)
Integrando a Equac¸a˜o (5), obtemos F ′(x).
F ′(x) = − (xi − x)
2
2hi
Mi−1 +
(x− xi−1)2
2hi
Mi + a (6)
E integrando a Equac¸a˜o (6), obtemos F (X)
F (x) =
(xi − x)3
6hi
Mi−1 +
(x− xi−1)3
6hi
Mi + ax + b. (7)
Para determinar o valor de a e b usamos as condic¸o˜es de interpolac¸a˜o F (xi−1) = yi−1 e F (xi) = yi. Para facilitar
os ca´lculos vamos escrever ax + b = c(xi − x) + d(x− xi−1), onde a = d− c, b = cxi − dxi−1.
Dessa forma a Equac¸a˜o (7) pode ser escrita como
F (x) =
(xi − x)3
6hi
Mi−1 +
(x− xi−1)3
6hi
Mi + c(xi − x) + d(x− xi−1). (8)
Utilizando a condic¸a˜o F (xi−1) = yx1 , obtemos
yi−1 =
(xi − xi−1)3
6hi
Mi−1 +
(xi−1 − xi−1)3
6hi
Mi + c(xi − xi−1) + d(xi−1 − xi−1)
=
(xi − xi−1)3
6hi
Mi−1 + c(xi − xi−1)⇒ c =
(
yi−1 − (xi − xi−1)
3
6hi
Mi−1
)
· 1
xi − xi−1
⇒ c =
(
yi−1 − h
2
i
6
Mi−1
)
· 1
hi
(9)
e utilizando a condic¸a˜o F (xi) = yi, obtemos
yi =
(xi − xi)3
6hi
Mi−1 +
(xi − xi−1)3
6hi
Mi + c(xi − xi) + d(xi − xi−1)
=
(xi − xi−1)3
6hi
Mi + d(xi − xi−1)⇒ d =
(
yi − (xi − xi−1)
3
6hi
Mi
)
· 1
xi − xi−1
⇒ d =
(
yi − h
2
i
6
Mi
)
· 1
hi
(10)
2
Substituindo as Equac¸o˜es (9) e (10) em (8) obtemos no intervalo [xi−1, xi]
Fi(x) =
(xi − x)3
6hi
Mi−1 +
(x− xi−1)3
6hi
Mi +
(xi − x)
hi
(
yi−1 − h
2
i
6
Mi−1
)
+
(x− xi−1)
hi
(
yi − h
2
i
6
Mi
)
. (11)
Note que Mi e Mi−1 sa˜o inco´gnitas e precisam ser determinadas. Para isso considere Fi+1(x).
Fi+1(x) =
(xi+1 − x)3
6hi+1
Mi +
(x− xi)3
6hi+1
Mi+1 +
(xi+1 − x)
hi+1
(
yi −
h2i+1
6
Mi
)
+
(x− xi)
hi+1
(
yi+1 −
h2i+1
6
Mi+1
)
, (12)
onde hi+1 = xi+1 − xi.
Diferenciando as Equac¸o˜es (11) e (12), obtemos
F ′i (x) = −
(xi − x)2
2hi
Mi−1 +
(x− xi−1)2
2hi
Mi +
−1
hi
(
yi−1 − h
2
i
6
Mi−1
)
+
1
hi
(
yi − h
2
i
6
Mi
)
. (13)
F ′i+1(x) = −
(xi+1 − x)2
2hi+1
Mi +
(x− xi)2
2hi+1
Mi+1 +
−1
hi+1
(
yi −
h2i+1
6
Mi
)
+
1
hi+1
(
yi+1 −
h2i+1
6
Mi+1
)
. (14)
Como F ′(x) e´ continua, enta˜o F ′i (xi) = F
′
i+1(xi)
hi
2
Mi +
−1
hi
(
yi−1 − h
2
i
6
Mi−1
)
+
1
hi
(
yi − h
2
i
6
Mi
)
=
hi+1
2
Mi+1 +
−1
hi+1
(
yi −
h2i+1
6
Mi
)
+
1
hi+1
(
yi+1 −
h2i+1
6
Mi+1
) (15)
Simplificando a Equac¸a˜o 15 obtemos
hi
6
Mi−1 +
1
3
(hi + hi+1)Mi +
hi+1
6
Mi+1 =
1
hi+1
(yi+1 − yi)− 1
hi
(yi − yi−1) (16)
3