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UFMG-ICEX-Departamento de Matema´tica Ca´lculo de Va´rias Varia´veis- Prof: Samuel Lista: Integrais Mu´ltiplas 1. Calcule (a) ∫ 3 1 ∫ 1 0 (1 + 4xy)dxdy Resp: 10 (b) ∫ 4 2 ∫ 1 −1 (x2 + y2)dydx Resp:116 3 (c) ∫ 2 0 ∫ pi 2 0 x sen ydydx Resp:2 (d) ∫ 4 1 ∫ 2 0 (x+ √ y)dxdy Resp:46 3 . (e) ∫ 1 0 ∫ 2 1 xex y dydx Resp:ln 2. (f) ∫ 2 1 ∫ 1 0 1 (x+ y)2 dxdy Resp:ln 4 3 . (g) ∫ ln 2 0 ∫ ln 5 0 e2x−ydxdy Resp:6. 2. Calcule ∫∫ R f(x, y)dA, nos seguintes casos (a) f(x, y) = 4 + x2 − y2 e R = [−1, 1]× [0, 2]. Resp:12 (b) f(x, y) = 6x2y3 − 5y4 e R = [0, 3]× [0, 1]. Resp:21 2 (c) f(x, y) = xyey e R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}. Resp:2. (d) f(x, y) = xy 2 x2+1 e R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, −3 ≤ y ≤ 3}. Resp:9 ln 2. 3. Calcule as integrais iteradas: (a) ∫ 1 0 ∫ x2 0 (x+ 2y)dydx Resp: 9 20 (b) ∫ 2 0 ∫ x −x x3y2dydx Resp:256 21 (c) ∫ 2 1 ∫ 2 y xydxdy Resp:9 8 . (d) ∫ 1 0 ∫ 2−x x (x2 − y)dydx Resp:−5 6 4. ∫∫ D y3dA em que D e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 2), (1, 1) e (3, 2). Resp:147 20 . 5. ∫∫ D xy2dA em que D e´ a regia˜o limitada por x = 0 e x = √ 1− y2. Resp: 2 15 . 6. ∫∫ D (2x− y)dA em que D e´ a regia˜o limitada pela circunfereˆncia de centro na origem e raio 2. Resp:0. 7. ∫∫ D 2xydA em que D e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (1, 2) e (0, 3). Resp:7 4 . 8. Determine o volume do so´lido abaixo da superf´ıcie z = x2+3y2 e acima da regia˜o delimitada pelas curvas y = 1 e y = x e x = 0. Resp:5 6 . 9. Determine o volume do so´lido abaixo da superf´ıcie z = 1−x−y e acima da regia˜o delimitada por y = 1− x e y = 0 e x = 0. Resp:1 6 . 10. Determine o volume do so´lido sob o plano z = 4x e acima regia˜o limitada pela circunfereˆncia x2 + y2 = 16 no plano xy. Resp:512 3 . 11. Usando integrais duplas calcule a a´rea da regia˜o D, dada por: (a) D e´ a regia˜o limitada pelas curvas y = x2 e y = 4x− x2. Resp: 8 3 (b) D e´ a regia˜o limitada pelas curvas y = x3 e y = x2. Resp: 1 12 (c) D e´ a regia˜o limitada pelas curvas y = x2 − 9 e y = 9− x2. Resp: 72. 12. Determine a massa e o centro de massa da laˆmina que ocupa a regia˜o D e tem func¸a˜o densidade ρ(x, y). (massa: m = ∫∫ D ρ(x, y)dA centro de massa (x, y) em que x = 1 m ∫∫ D xρ(x, y)dA e y = 1 m ∫∫ D yρ(x, y)dA) (a) D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2,−1 ≤ y ≤ 1}; ρ(x, y) = xy2 Resp: m = 4 3 (x, y) = (4 3 , 0). (b) D e´ a regia˜o triangular com ve´rtices em (0, 0), (2, 1) e (0, 3); ρ(x, y) = x+ y. Resp: m = 6 (x, y) = (3 4 , 3 2 ). (c) D e´ a regia˜o delimitada pelas curvas y = √ x, y = 0 e x = 1 ; ρ(x, y) = x. Resp: m = 2 5 (x, y) = (5 7 , 5 12 ). (d) D e´ a regia˜o delimitada pelas curvas x = y2, y = x− 2 ; ρ(x, y) = 3. Resp: m = 27 2 (x, y) = (8 5 , 1 2 ). 13. Esboce a regia˜o cuja a´rea e´ dada pela integral (a) ∫ 2pi 0 ∫ 7 0 rdrdθ Resp:33pi 2 (b) ∫ pi 2 0 ∫ 4 cos θ 0 rdrdθ Resp:2pi 14. Calcule ∫∫ D (x + y)dA em que D e´ a regia˜o que esta´ a esquerda do eixo y e entre as circunfereˆncias x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4. Resp:−14 3 15. Calcule ∫∫ D cos(x2 + y2)dA em que D e´ a regia˜o acima do eixo x delimitada pela circun- fereˆncia x2 + y2 = 9. Resp:pi 2 sen 9 16. Calcule ∫∫ D ( √ 4− x2 − y2)dA em que D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 4 , x ≥ 0}. Resp:8 3 pi 17. Calcule ∫∫ D e−x 2−y2dA em que D e´ a regia˜o delimitada pelo semi c´ırculo x = √ 4− y2 e pelo eixo y. Resp:pi 2 (1− e−4). 18. Calcule ∫∫ D yexdA em que D e´ a regia˜o delimitada pela circunfereˆncia x2 + y2 = 25. Dica:(usar coordenadas polares e integrar primeiro em θ) Resp:4e5 − 23 2 . 19. Usando integrais duplas verifique que o volume de uma esfera de raio a e´ 4 3 pia3. (equac¸a˜o da esfera de raio a e centro na origem z2 + x2 + y2 = a2). 20. Calcule a integral, convertendo antes para coordenadas polares. (a) ∫ 1 0 ∫ √1−x2 0 ex 2+y2dydx Resp:1 4 pi(e− 1). (b) ∫ 1 0 ∫ √2−y2 y (x+ y)dxdy Resp:2 √ 2 3 .
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