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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da AP2 – Me´todos Determin´ısticos II – 22/05/2016 Questa˜o 1 [1,0pts] Considere a func¸a˜o f(x) = x 2+1 1−x2 . Calcule o dom´ınio e as suas assintotas. Soluc¸a˜o: (0, 4 pelo dom´ınio + 0, 1 por cada limite) Como e´ uma func¸a˜o racional, os pontos que na˜o podem fazer parte do dom´ınio sa˜o os mesmos que o denominador se anula. Da´ı, 1− x2 = 0⇔ x2 = 1⇔ x = ±1. Portanto, D(f) = {x ∈ R : x 6= 1 e x 6= −1} . Para determinar as assintotas precisamos calcular os seguintes limites lim x→−1± f(x), lim x→1± f(x) e lim x→±∞ f(x). lim x→−1− x2 + 1 1− x2 = −∞ e limx→−1+ x2 + 1 1− x2 = +∞. Pois, o numerador tende a 2 sempre com valores positivos e o denominador tende, no primeiro limite tende a zero, com valores negativos, e no segundo limite, tende a zero, com valores positivos. Analise similar se aplica aos outros dois limites e temos lim x→1− x2 + 1 1− x2 = +∞ e limx→1+ x2 + 1 1− x2 = −∞. Ja´ lim x→−∞ x2 + 1 1− x2 = limx→−∞ x2 x2 ( 1 + 1/x2 1/x2 − 1 ) = −1 e lim x→+∞ x2 + 1 1− x2 = limx→∞ x2 x2 ( 1 + 1/x2 1/x2 − 1 ) = −1. Portanto as assintotas verticais sa˜o x = −1 e x = 1 e a assintota horizontal e´ y = −1. Questa˜o 2 [2,0pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Calcule e fac¸a a analise do sinal de f ′(x) e f ′′(x). Soluc¸a˜o: (1, 0 para cada derivada e o estudo do sinal)Vamos iniciar calculando a f ′ e f ′′. Depois faremos a analise do sinal de cada uma delas. f ′(x) = 2x(1− x2)− (−2x)(x2 + 1) (1− x2)2 = 4x (1− x2)2 . f ′′(x) = 4 (1− x2)2 − 2(1− x2)(−2x)(4x) (1− x2)4 = (1− x2) [4 (1− x2)− 2(−2x)(4x)] (1− x2)4 = 4 (3x2 + 1) (1− x2)3 , caso na˜o simplifique temos a seguinte expressa˜o = 4 (3x4 − 2x2 − 1) (1− x2)4 . A analisando a expressa˜o de f ′(x) vemos que o denominador e´ sempre positivo. Da´ı quem determina o sinal e´ o numerador. Temos que se x 6= −1, x < 0⇒ f ′(x) < 0 e se x 6= 1 e x > 0⇒ f(x) > 0 e f ′(0) = 0. Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 2 Figura 1: Esboc¸o do gra´fico de f(x) = x 2+1 1−x2 Analisando a expressa˜o de f ′′(x) vemos que o numerador e´ sempre positivo. Portanto, quem domina o sinal e´ o termo (1−x2)3, mas este polinoˆmio tem o mesmo comportamento, do ponto de vista de sinal, que o polinoˆmio 1− x2. Da´ı se x < −1 ou x > 1, enta˜o f ′′(x) < 0 e se −1 < x < 1⇒ f ′′(x) > 0. Questa˜o 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e explique o comportamento de f(x). Soluc¸a˜o: Para fazermos o esboc¸o do gra´fico, iniciemos tracejando as retas assintotas, x = −1, x = 1 e y = −1. Vamos analisar como deve ser o gra´fico de f(x) quando x < −1. Veja que quando x → −∞ a func¸a˜o se aproxima de y = −1 com valores menores que −1 e quando x → −1− a func¸a˜o tende a −∞. Ale´m disso, neste intervalo, como f ′(x) < 0 e f ′′(x) < 0 enta˜o ela e´ decrescente e com a boca voltada para baixo. Ja´ no intervalo x > 1 vemos que f(x)→ −1 quando x→ +∞, tambe´m com valores menores que -1. E quando x → 1+ f(x) → −∞. Ale´m disso, neste intervalo f ′(x) > 0 e f ′′(x) < 0. Portanto, a func¸a˜o e´ crescente com concavidade voltada para baixo. No restante, isto e´, quando −1 < x < 1, podemos dividir este intervalo nos seguinte subintervalos: −1 < x < 0 e 0 < x < 1. Em −1 < x < 0 temos que f ′(x) < 0, isto e´ f(x) e´ decrescente. Ja´ em 0 < x < 1, f ′(x) > 0, isto e´, f(x) e´ crescente. Em todo −1 < x < 1, f ′′(x) > 0, isto quer dizer que a boca e´ voltada para cima. E em x = 0 temos um ponto cr´ıtico, que como ja´ percebemos deve ser um ponto de m´ınimo local. Com todos estes detalhes temos condic¸o˜es de fazer um belo esboc¸o. Questa˜o 4 [2,0pts] Suponha que o custo, em Reais, para uma companhia produzir x calc¸as de jeans seja c(x) = 2000 + 3x+ 0, 01x2 + 0, 0002x3. a) Encontre a func¸a˜o marginal; b) Calcule o valor de c′(100) e explique o seu significado. Soluc¸a˜o: (1, 0 para cada um dos itens) a) a func¸a˜o custo marginal e´ c′(x) = 3 + 0, 02x+ 0, 0006x2. b) c′(100) = 3+ 2× 10−2× 102 +6× 10−4× 104 = 3+ 2+ 6 = 11. Isto quer dizer que produzindo 100 calc¸as de jeans a fa´brica tem um custo aproximado de 11 Reais por calc¸a. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 3 Questa˜o 5 [1,5pt] Resolva as seguintes integrais: a) ∫ (1− t)(2 + t2) dt, b) ∫ x√1 + x2 dx e c) ∫ 2 1 3 t4 dt. Soluc¸a˜o: a) ∫ (1− t)(2 + t2) dt = ∫ 2− 2t+ t2 − t3 dt = 2t− t2 + t 3 3 − t 4 4 +K. b) chamando u = 1 + x2 ⇒ du = 2xdx⇒ du 2 = xdx da´ı∫ x √ 1 + x2 dx = ∫ √ u 2 du = 1 2 ∫ u1/2 du = ( 1 2 )( 2 3 ) u3/2 + k = 1 3 √ (1 + x2)3 + k. c) ∫ 2 1 3 t4 dt = [ − 1 t3 ]2 1 = −1 8 − (−1 1 ) = 7 8 Questa˜o 6 [1,5pt] Fac¸a o esboc¸o da regia˜o entre as curvas y = x e y = x3 quando −1 ≤ x ≤ 1 e calcule a a´rea. Soluc¸a˜o: Iniciamos encontrando os valores em que o gra´fico da reta y = x encontra o gra´fico da cu´bica y = x3. Para fazer isso precisamos resolver, x = x3 ⇒ x3−x = x(x2−1) = (x+1)x(x−1). Portanto, os pontos de encontro sa˜o x = −1, x = 0 e x = 1. Fazendo um esboc¸o da regia˜o, Vemos do esboc¸o que no intervalo −1 ≤ x ≤ 0 a cu´bica e´ maior que a reta e no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 e´ a reta que e´ maior que a cu´bica. Portanto, a a´rea e´ dada por A = ∫ 0 −1 x3 − x dx+ ∫ 1 0 x− x3 dx = [ x4 4 − x 2 2 ]0 −1 + [ x2 2 − x 4 4 ]1 0 = 1 4 + 1 4 = 1 2 . Questa˜o 7 [1,0pt] Calcule a derivada de: a) g(x) = x 2−2√x x e b) h(x) = x √ 2x− 1 + 1 x2 √ x . Soluc¸a˜o: a) g(x) = x− 2x−1/2 ⇒ g′(x) = 1 + x−3/2 = 1 + 1√ x3 . b) h′(x) = 3x− 1√ 2x− 1 − 5 2x7/2 = 3x− 1√ 2x− 1 − 5 2x3 √ x . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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