exercícios quádricas Geometria Analítica

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIAˆNGULO MINEIRO
4a Lista de Geometria Anal´ıtica
Prof.: Danilo Adrian Marques
1) Deˆ a equac¸a˜o geral e a reduzida da esfera de raio 3 e centro (−1, 1, 3).
2) Deˆ a equac¸a˜o reduzida da superf´ıcie esfe´rica S1, conceˆntrica com a superf´ıcie esfe´rica
S : x2 + y2 + z2 − 2x+ 3y − z = 0 e que passa pelo ponto P = (1, 1, 0).
3) Localize os pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 1, 2) e C = (0, 3, 3) com relac¸a˜o a` esfera de equac¸a˜o
x2 + y2 + z2 − 2y− 6z + 6 = 0. (Isto e´, decida se os pontos esta˜o fora, dentro ou sobre a esfera).
4) Ache uma equac¸a˜o da superf´ıcie esfe´rica que passa pelos pontos M = (0, 0, 1), N = (1, 0, 0) e
P = (0, 1, 0) e cujo centro esta´ no plano x+ y − z = 0.
5) Deˆ uma equac¸a˜o vetorial da reta r perpendicular ao plano pi de equac¸a˜o 10x− 2y+ 4z− 1 = 0, e
que conte´m um diaˆmetro da superf´ıcie esfe´rica S de equac¸a˜o x2 + y2 + z2 + 2x− 6y+ z− 11 = 0.
6) Calcule a distaˆncia do ponto P = (1,−1, 3) a` esfera x2 + y2 + z2 − 6x+ 4y − 10z − 62 = 0.
7) Determine o conjunto de valores reais de λ para que a equac¸a˜o x2 + y2 + z2 − 6x− 2y − 4z = λ
represente
a) uma esfera.
b) um ponto.
c) um conjunto vazio.
8) Determine as extremidades do diaˆmetro da esfera x2 + y2 + z2 + 2x− 2y = 0 que e´ perpendicular
ao plano x− y − 2 = 0.
9) Ache uma equac¸a˜o geral do plano tangente a S no ponto T , nos casos:
a) S : x2 + y2 + z2 − 2x− 1 = 0 e T =
(
−1
3
,
1
3
,−1
3
)
b) S : x2 + y2 + z2 − 2x− 4z − 95 = 0 e T = (0,√95, 0)
10) Ache uma equac¸a˜o da superf´ıcie esfe´rica de centro C = (3, 2,−2) tangente ao plano
x+ 3y − 2z + 1 = 0.
11) Determine o centro P e o raio ρ da circunfereˆncia α = S ∩ pi onde
S : x2 + y2 + z2 − 6x+ 4y − 2z − 86 = 0 e pi : 2x− 2y − z + 9 = 0.
12) Esboce as seguintes qua´dricas
a)
x2
9
+
y2
4
+ z2 = 1.
b)
x2
4
− y
2
9
+ z2 = 1.
c)
x2
16
− y
2
9
− z
2
4
= 1.
d) z = 3x2 + 4y2.
e) z = 1− 3x2 − 4y2.
f) x2 + y2 = 1.
g) z = x2 + 4y2.
h) z = −x
2
4
+
y2
9
.
1
13) Identifique cada uma das superf´ıcies qua´dricas e escreva na forma reduzida (caso na˜o esteja):
a) x2 + y2 + z2 = 16
b) 2x2 + 4y2 + z2 − 16 = 0
c) 36x2 + 16y2 + 9z2 − 144 = 0
d) 36x2 + 16y2 − 9z2 − 144 = 0
e) 4x2 − y2 + 4z2 − 4 = 0
f) z2 − 4x2 − 4y2 = 4
g) 4x2 − y2 + 2z2 + 4 = 0
h) 4x2 + z2 − y = 0
i) 9x2 + 4y2 + 9z = 0
j) y2 + 4z2 − x = 0
k) z = y2 − x2
l) 36x2 − 4y2 + 9z2 = 0
m) z = x2 + y2
n) y = z2 + x2
o) z = −x2 − y2
p) x = −z2 − y2
q) x = z2 + y2
r) x2 + y2 = 9
s) x2 + z = 0
t) x = −y2
u)
y2
9
− x
2
4
= 1
v)
x2
9
+
y2
4
= 1
14) A intersec¸a˜o de um elipso´ide com o plano z = 0 e´ uma elipse de equac¸a˜o x2 +
y2
4
= 1. Sabendo
que o elipso´ide conte´m o ponto (0, 1,
√
6), deˆ a sua equac¸a˜o reduzida.
15) Determine os ve´rtices e os focos da elipse que se obte´m pela intersec¸a˜o de
x2
2
+
y2
8
− z
2
9
= 1 com
o plano z = 3.
2