Lista 2 de Cálculo I

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2ª Lista de Exercícios de Cálculo I 
 
 
 
 
 1) Determine as equações das retas 
tangente e normal ao gráfico de: 
3 23 5y x x x   
 
 no ponto P = (3, 2). 
 
 
2) Verifique se a reta normal à curva: 
23 6 5y x x 
 
 no ponto (1, 1/3) passa pela origem. 
 
 
3) Determine a equação da reta normal à 
curva 
216y x x 
 na origem. 
 
4) Calcule a área do triângulo determi-
nado pelos eixos coordenados e a reta 
tangente à curva 
1/y x
 no ponto de 
abscissa 2. 
 
5) Determine a equação da reta tangente 
ao gráfico de: 
( 1) 3ln 2xy x e x   
 
No ponto (1, 2). 
 
6) Determine as equações das tangen-
tes à parábola 
2y x x 
 que passam 
pelo ponto (0, – 9). 
 
7) Determine as equações das retas 
tangentes à hipérbole 
1
y
x

 que são 
paralelas à reta secante que passa pelos 
pontos de abscissas 1 e 2 da hipérbole. 
 
8) Determine a equação da normal à 
curva 
lny x x
, que é paralela à reta 
2 2 3 0x y  
. 
 
9) Prove que 
2x xy e xe 
satisfaz a 
equação abaixo, chamada de equação 
diferencial: 
 
'' 4 ' 4 xy y y e  
 
 
10) Determine as constantes A e B 
para que a função 
cosy Asenx B x 
 
seja solução da equação diferencial: 
 
 
 
(4) 4 ''' 6 '' 4 'y y y y y senx    
 
 
11) Verifique se a função
( )y sen senx
 
é solução da equação diferencial: 
 
2'' ' cos 0y y tgx y x    
 
 
12) Sejam 
( ), ( )u u x v v x 
 duas 
funções deriváveis e positivas. O 
objetivo desse exercício é provar a 
fórmula 8 da tabela de derivadas. 
Seja 
vy u
. Então y é função de 
x
. 
Mostre que: 
1 lnv v
dy du dv
v u u u
dx dx dx
     
 
 
(Sugestão: Aplique o logaritmo neperia-
no nos dois lados da igualdade 
vy u
 
e derive os dois membros em relação à 
x. Use a Regra da Cadeia) 
 
 
13) Considere a função f dada por 
f(x) = x²sen(1/x), se x ≠ 0 e f(0) = 0. 
Prove que f é derivável em x = 0 e 
calcule f ’(0). 
 
 
14) Calcule 
'(0)f
, onde: 
 
³ | |
, se 0
( )
0, se 0
sen x
x
f x x
x


 
 
 
 
15) Calcule o polinômio de Taylor de 
grau 3 e centro a = 0 da função f(x) = ex 
e use-o para obter uma aproximação 
do valor de e0,1. Use o GeoGebra para 
determinar a precisão dessa aproxima-
ção (quantidade de casas decimais 
coincidentes). 
 
16) Repita o procedimento do exercício 
15 para a função f(x) = tgx (mesmo 
grau e mesmo centro), obtendo um 
valor aproximado para tg(0,3). 
 
 
17) Determine a equação da normal à 
curva dada por 
4 2 2 0y x y x y   
 no 
ponto de ordenada 1 e abscissa não-
nula. 
 
18) Se 
ye xy e 
, calcule 
''y
 no ponto 
de abscissa nula. 
 
19) Considere uma função definida 
implicitamente por 
3 3 3 0x y xy  
. 
Calcule 
''y
 no ponto 
2 4
,
3 3
 
 
 
. 
 
20) Determine as equações das tan-
gentes ao círculo 
2 2 52x y 
 que são 
paralelas à reta
2 3 6y x 
. 
 
21) Determine os quatro pontos da 
Lemniscata de Bernoulli, de equação: 
 
2 2 2 2 2( )x y x y  
, 
 
nos quais as retas tangentes são hori-
zontais. 
 
 
22) Seja 
( )y f x
 dada implicitamente 
por 
1 yy xe 
, onde
2y 
. Calcule
''y
. 
Dê a resposta em função de y apenas. 
 
23) Verifique se existem retas tangen-
tes à hipérbole 
2 24 9 36x y 
 que se-
jam paralelas à reta 
2 5 10x y 
. 
 
24) A altura de um cone está diminuin-
do à taxa de 3 cm/s, enquanto que seu 
raio aumenta à razão de 2 cm/s. 
Quando o raio mede 4cm e a altura 
mede 6 cm, qual a razão de variação 
do volume do cone? (lembre-se: como 
a altura h diminui, 
3
dh
dt
 
, e como o 
raio r aumenta, 
2
dr
dt

) 
 
25) Um homem de 1,80 m de altura 
está a 12 m da base de um poste de 
luz com 20 m de altura e caminha em 
direção ao poste a uma velocidade de 
4,0 m/s. Com que taxa o comprimento 
de sua sombra está diminuindo? 
 
26) Quando duas resistências elétricas 
1 2 e R R
 são ligadas em paralelo, a re-
sistência total 
R
 é dada por: 
 
1 2
1 1 1
R R R
 
 
 
Se 
1 2 e R R
 aumentam à razão de 
0,01

/s e 0,02

/s respectivamente, 
qual a taxa de variação de 
R
 no 
instante em que
1 30R  
 e 
2 90R  
? 
 
27) Despeja-se areia sobre um monte 
em forma de cone, à taxa constante de 
1,4 m³/min. As forças de atrito na areia 
são tais que a altura do monte é sem-
pre igual ao raio de sua base. Com que 
velocidade a altura do monte aumenta 
quando ele tem 1,5m de altura? 
 
28) Uma pedra é atirada num lago, 
produzindo uma série de ondas circula-
res e concêntricas. Se o raio da onda 
mais externa cresce uniformemente a 
uma velocidade de 6 m/s, ache a taxa 
de crescimento da área de água em 
agitação, quando o raio da onda é 20m. 
 
29) Às 15 horas, o navio A está a 17 
milhas ao sul do navio B. Se o navio A 
navega para oeste a 24 mi/h e o navio 
B navega para o sul a 16 mim/h, com 
que velocidade se separam os dois 
navios às 15:30? 
 
30) Um cavalo corre, a 20km/h, ao 
longo de uma circunferência, onde em 
seu centro há uma lâmpada. No ponto 
de partida da corrida do cavalo está 
situada uma cerca, que segue a dire-
ção da tangente à circunferência 
referida. 
 Com que velocidade desloca-se a 
sombra do cavalo, ao longo da cerca, 
no momento em que este percorreu 1/8 
da circunferência? 
 
31) Uma calha horizontal possui 20 m 
de comprimento e tem uma seção trian-
gular isósceles de 8 cm de base, no 
topo, e 10 cm de profundidade. Devido 
a uma forte chuva, a água em seu 
interior está se elevando à razão de 0,5 
cm/min, no instante em que está a 5 
cm de profundidade. Com que velo-
cidade o volume de água, em seu inte-
rior, está crescendo neste instante? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÕES 
 
1) tangente
8 22 0x y   
 
 normal
8 19 0x y   
 
 
3) 4) 2 5) 
( 3) ( 1)y e x e   
 
 
6) 
5 9 e 7 9y x y x    
 
 
7) 
2 2 2 0 e 2 2 2 0y x y x     
 
 
8) 
23y x e 
 
 
10) A = – 1/4, B = 0; 
 
11) É Solução; 
 
13) f ‘(0) = 0 
 
14) não existe
'(0)f
; 
 
17) 
2y x  
; 
18)
2e
; 19)
162
''
125
y  
; 
20) 
3 2 26 0x y  
 
 
21) 
6 2 6 2 6 2 6 2
, , , , , e ,
4 4 4 4 4 4 4 4
       
                 
       
22) 2
3
(3 )
''
(2 )
ye y
y
y



; 23) Não existem; 
24) Aumenta de 16

 cm³/s; 
 
25) Diminui à taxa de 0,3956m/s 
 
26) 
36,875 10 / s 
 
 
 
27) 0,198 m/min 28) 240

 m²/s 
 
29) Se distanciam à taxa de 9,6 mi/h; 
 
 
30) 40km/h; 31) 4000cm³/min