Função Sinal e Dirac

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Apêndice: Função Delta de Dirac e Função Sinal
Observação: use e abuse, mas em hipótese alguma mostre estas notas para um matemático.
Definição: para uma função f(x) qualquer regular, definimos a "função generalizada"' ou
"distribuição"' delta de Dirac (δ(x− a)) através da integral:
c∫
b
f(x)δ(x− a)dx =
 f(a) se a ∈ (b, c)0 se a /∈ (b, c)
A distribuição δ(x−a) tambem pode ser definida como o limite da função contínua δε(x−a),
definida por:
δε(x− a) =

0, se x < a− ε
1
2ε
, se a− ε < x < a+ ε
0, se x > a+ ε
Para um ε suficientemente pequeno (ε¿ 1), a integral:
c∫
b
f(x)δε(x− a)dx '
(
f(a)
1
2ε
)
2ε ' f(a), (1)
a precisão sendo tanto maior quanto menor for o ε. Logo: limε→0 δε(x− a)→ δ(x− a).
Propriedades
1. Sendo a e b constantes, δ(ax− b) = 1|a|δ(x− ba).
1
2.
∫
dx f(x) d
dx
δ(x− a) = − ∫ dx d
dx
f(x) δ(x− a)
3. Transformada de Fourier
δε(x− a) =
∫ dk√
2pi
δε(k, a)e
ikx
(2)
δε(k, a) =
∫ dx√
2pi
δε(x− a)e−ikx (3)
δε(k, a) =
a+ε∫
a−ε
dx√
2pi
1
2ε
e−ikx
=
1
2ε
√
2pi
1
−ik
(
e−ik(a+ε) − e−ik(a−ε)
)
=
e−ika√
2pi
sin(kε)
kε
Agora, observe que
δε(x− a) =
+∞∫
−∞
dk√
2pi
[
e−ika√
2pi
sin(kε)
kε
]
eikx
=
∫
dk
(
eik(x−a)
2pi
)(
sin(kε)
kε
)
Assim, tomando o limite ε→ 0, obtemos a representação de Fourier do delta de Dirac:
δ(x− a) = 1
2pi
+∞∫
−∞
dkeik(x−a). (4)
Função degrau e Função Sinal
2
θ(x− a) .=
 1 se x > a0 se x < a
θ(a− x) .=
 1 se a > x0 se a < x
θ(x− a) + θ(a− x) = 1
ε(x− a) .= x− a|x− a| =
 1 se x > a−1 se x < a
ε(a− x) .= a− x|a− x| =
 1 se a > x−1 se a < x
ε(a− x) = −ε(a− x)
ε(x− a) = θ(x− a)− θ(a− x)
A função "generalizada" θ(x− a) é o limite de função contínua θε(x− a) tal que:
θε(x− a) =

0 se x < a− ε
1
2
+ x−a
2ε
se a− ε < x < a+ ε
1 se x > a+ ε
Derivando esta função, vemos que:
d
dx
θε(x− a) =

0 se x < a− ε
1
2ε
se a− ε < x < a+ ε
0 se x > a+ ε
3
≡ δε(x− a)
De onde (após tomar o limite) seguem os resultados:
d
dx
θ(x− a) = δ(x− a)
d
dx
ε(x− a) = 2δ(x− a)
d
dx
ε(a− x) = −2δ(x− a)
d
dx
θ(a− x) = −δ(x− a)
Representação de Fourier de θ(x− a)
Definindo: θη(x − a) = e−η(x−a)θ(x − a), podemos calcular sua transformada de Fourier e
escrever sua transformada inversa (representação de Fourier) como
θ(x− a) = lim
η→0+
θη(x− a) = 1
2pi
+∞∫
−∞
dk
i
k + iη
eik(x−a)
Observação: a função contínua δε(x − a) usada acima para definir o δ(x − a) é um ex-
emplo dentre muitas diferentes funções que podem ser usadas para o mesmo fim. Outras
interessantes (que além de serem contínuas, tem tb derivadas contínuas) são:
δε(x− a) = 1√
ε2pi
e−(x−a)
2/ε2 , (ε→ 0)
δε(x− a) = 1
pi
ε
(x− a)2 + ε2 , (ε→ 0)
δη(x− a) = 1
pi
sen[(x− a)η]
(x− a) , (η →∞).
4