Aulas de Calculo I

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Derivada De Func¸o˜es Polinomiais
As Regras do Produto e do Quociente
Regras De Derivac¸a˜o
Jairo Menezes e Souza
UFG/CAC
29/05/2013
Jairo Menezes e Souza Regras De Derivac¸a˜o
Derivada De Func¸o˜es Polinomiais
As Regras do Produto e do Quociente
Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Func¸a˜o Constante
x
y
y = c
inclinac¸a˜o = 0
Vamos calcular a derivada da func¸a˜o constante, f (x) = c .O gra´fico
e´ a reta horizontal y = c e tem inclinac¸a˜o 0 em todos os pontos.
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
c − c
h
= lim
h→0
0 = 0.
Jairo Menezes e Souza Regras De Derivac¸a˜o
Derivada De Func¸o˜es Polinomiais
As Regras do Produto e do Quociente
Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Func¸a˜o Constante
x
y
y = c
inclinac¸a˜o = 0
Vamos calcular a derivada da func¸a˜o constante, f (x) = c .
O gra´fico
e´ a reta horizontal y = c e tem inclinac¸a˜o 0 em todos os pontos.
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
c − c
h
= lim
h→0
0 = 0.
Jairo Menezes e Souza Regras De Derivac¸a˜o
Derivada De Func¸o˜es Polinomiais
As Regras do Produto e do Quociente
Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Func¸a˜o Constante
x
y
y = c
inclinac¸a˜o = 0
Vamos calcular a derivada da func¸a˜o constante, f (x) = c .O gra´fico
e´ a reta horizontal y = c e tem inclinac¸a˜o 0 em todos os pontos.
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
c − c
h
= lim
h→0
0 = 0.
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As Regras do Produto e do Quociente
Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Func¸a˜o Constante
x
y
y = c
inclinac¸a˜o = 0
Vamos calcular a derivada da func¸a˜o constante, f (x) = c .O gra´fico
e´ a reta horizontal y = c e tem inclinac¸a˜o 0 em todos os pontos.
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
c − c
h
= lim
h→0
0 = 0.
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Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Func¸a˜o Constante
x
y
y = c
inclinac¸a˜o = 0
Vamos calcular a derivada da func¸a˜o constante, f (x) = c .O gra´fico
e´ a reta horizontal y = c e tem inclinac¸a˜o 0 em todos os pontos.
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
c − c
h
= lim
h→0
0 = 0.
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Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
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Func¸o˜es Exponenciais
Func¸a˜o Constante
x
y
y = c
inclinac¸a˜o = 0
Vamos calcular a derivada da func¸a˜o constante, f (x) = c .O gra´fico
e´ a reta horizontal y = c e tem inclinac¸a˜o 0 em todos os pontos.
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
c − c
h
= lim
h→0
0 = 0.
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Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Assim,
derivada de uma func¸a˜o constante
d
dx
(c) = 0
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Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Func¸a˜o Poteˆncia
x
y y = x inclinac¸a˜o = 1
Agora olhamos para a func¸a˜o f (x) = xn onde n e´ um inteiro
positivo. Se n = 1 o gra´fico e´ uma reta com inclinac¸a˜o 1. Da´ı
podemos mostrar que
derivada de y = x
d
dx
(x) = 1 (1)
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Func¸a˜o Poteˆncia
x
y y = x inclinac¸a˜o = 1
Agora olhamos para a func¸a˜o f (x) = xn onde n e´ um inteiro
positivo. Se n = 1 o gra´fico e´ uma reta com inclinac¸a˜o 1. Da´ı
podemos mostrar que
derivada de y = x
d
dx
(x) = 1 (1)
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Func¸o˜es Exponenciais
Func¸a˜o Poteˆncia
x
y y = x inclinac¸a˜o = 1
Agora olhamos para a func¸a˜o f (x) = xn onde n e´ um inteiro
positivo. Se n = 1 o gra´fico e´ uma reta com inclinac¸a˜o 1. Da´ı
podemos mostrar que
derivada de y = x
d
dx
(x) = 1 (1)
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Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Podemos mostrar que
d
dx
(x2) = 2x (2)
e que
d
dx
(x3) = 3x2 (3)
Ainda que
d
dx
(x4) = 4x3 (4)
Fazemos a conjectura que ddx (x
n) = nxn−1
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Func¸o˜es Exponenciais
Podemos mostrar que
d
dx
(x2) = 2x (2)
e que
d
dx
(x3) = 3x2 (3)
Ainda que
d
dx
(x4) = 4x3 (4)
Fazemos a conjectura que ddx (x
n) = nxn−1
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Func¸o˜es Exponenciais
Podemos mostrar que
d
dx
(x2) = 2x (2)
e que
d
dx
(x3) = 3x2 (3)
Ainda que
d
dx
(x4) = 4x3 (4)
Fazemos a conjectura que ddx (x
n) = nxn−1
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Func¸a˜o Poteˆncia
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Func¸o˜es Exponenciais
Podemos mostrar que
d
dx
(x2) = 2x (2)
e que
d
dx
(x3) = 3x2 (3)
Ainda que
d
dx
(x4) = 4x3 (4)
Fazemos a conjectura que ddx (x
n) = nxn−1
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Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Proposic¸a˜o
Se n e´ um inteiro positivo, enta˜o
d
dx
(xn) = nxn−1
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Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Demonstrac¸a˜o.
Primeiro note que
xn − an = (x − a)(xn−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)
Da´ı
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a
= lim
x→a
xn − an
x − a = limx→a (x
n−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)
= an−1 + an−2a + · · ·+ aan−2 + an−1 = nan−1
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Demonstrac¸a˜o.
Primeiro note que
xn − an = (x − a)(xn−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)
Da´ı
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a
= lim
x→a
xn − an
x − a = limx→a (x
n−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)
= an−1 + an−2a + · · ·+ aan−2 + an−1 = nan−1
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Demonstrac¸a˜o.
Primeiro note que
xn − an = (x − a)(xn−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)
Da´ı
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a
= lim
x→a
xn − an
x − a
= lim
x→a (x
n−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)
= an−1 + an−2a + · · ·+ aan−2 + an−1 = nan−1
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Demonstrac¸a˜o.
Primeiro note que
xn − an = (x − a)(xn−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)
Da´ı
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a
= lim
x→a
xn − an
x − a = limx→a (x
n−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)
= an−1 + an−2a + · · ·+ aan−2 + an−1 = nan−1
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Demonstrac¸a˜o.
Primeiro note que
xn − an = (x − a)(xn−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)
Da´ı
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a
= lim
x→a
xn − an
x − a = limx→a (x
n−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)
= an−1 + an−2a + · · ·+ aan−2 + an−1
= nan−1
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Func¸a˜o Poteˆncia
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Demonstrac¸a˜o.
Primeiro note que
xn − an = (x − a)(xn−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)
Da´ı
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a
= lim
x→a
xn − an
x − a = limx→a (x
n−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)
= an−1 + an−2a + · · ·+ aan−2 + an−1 = nan−1
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Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
A regra da multiplicac¸a˜o por constante
A regra da multiplicac¸a˜o por constante
Se c for uma constante e f uma func¸a˜o deriva´vel, enta˜o
d
dx
(cf (x)) = c
d
dx
(f (x))
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Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Demonstrac¸a˜o.
Temos que
(cf )′(x) = lim
h→0
(cf )(x + h)− (cf )(x)
h
= lim
h→0
cf (x + h)− cf (x)
h
= lim
h→0
c
[
f (x + h)− f (x)
h
]
= c lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= cf ′(x)
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Func¸a˜o Poteˆncia
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Demonstrac¸a˜o.
Temos que
(cf )′(x) = lim
h→0
(cf )(x + h)− (cf )(x)
h
= lim
h→0
cf (x + h)− cf (x)
h
= lim
h→0
c
[
f (x + h)− f (x)
h
]
= c lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= cf ′(x)
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Demonstrac¸a˜o.
Temos que
(cf )′(x) = lim
h→0
(cf )(x + h)− (cf )(x)
h
= lim
h→0
cf (x + h)− cf (x)
h
= lim
h→0
c
[
f (x + h)− f (x)
h
]
= c lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= cf ′(x)
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Func¸a˜o Poteˆncia
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Demonstrac¸a˜o.
Temos que
(cf )′(x) = lim
h→0
(cf )(x + h)− (cf )(x)
h
= lim
h→0
cf (x + h)− cf (x)
h
= lim
h→0
c
[
f (x + h)− f (x)
h
]
= c lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= cf ′(x)
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Demonstrac¸a˜o.
Temos que
(cf )′(x) = lim
h→0
(cf )(x + h)− (cf )(x)
h
= lim
h→0
cf (x + h)− cf (x)
h
= lim
h→0
c
[
f (x + h)− f (x)
h
]
= c lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= cf ′(x)
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Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
1 d
dx (4x
5)
2 d
dx (−5x2)
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Exemplo
1 d
dx (4x
5)
2 d
dx (−5x2)
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Func¸a˜o Constante
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Func¸o˜es Exponenciais
Regra da Soma
A derivada da soma de duas func¸o˜es e´ a soma das derivadas
A regra da soma
Se f e g forem diferencia´veis, enta˜o
d
dx
((f + g)(x)) =
d
dx
(f (x)) +
d
dx
(g(x))
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Func¸a˜o Poteˆncia
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Func¸o˜es Exponenciais
Regra da Soma
A derivada da soma de duas func¸o˜es e´ a soma das derivadas
A regra da soma
Se f e g forem diferencia´veis, enta˜o
d
dx
((f + g)(x)) =
d
dx
(f (x)) +
d
dx
(g(x))
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Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Demonstrac¸a˜o.
temos que
(f + g)′(x) = lim
h→0
(f + g)(x + h)− (f + g)(x)
h
= lim
h→0
[f (x + h) + g(x + h)]− [f (x) + g(x)]
h
= lim
h→0
[
f (x + h)− f (x)
h
]
+
[
g(x + h)− g(x)
h
]
= lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
+ lim
x→0
g(x + h)− g(x)
h
= f ′(x) + g ′(x)
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Func¸o˜es Exponenciais
Demonstrac¸a˜o.
temos que
(f + g)′(x) = lim
h→0
(f + g)(x + h)− (f + g)(x)
h
= lim
h→0
[f (x + h) + g(x + h)]− [f (x) + g(x)]
h
= lim
h→0
[
f (x + h)− f (x)
h
]
+
[
g(x + h)− g(x)
h
]
= lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
+ lim
x→0
g(x + h)− g(x)
h
= f ′(x) + g ′(x)
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Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
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Func¸o˜es Exponenciais
Demonstrac¸a˜o.
temos que
(f + g)′(x) = lim
h→0
(f + g)(x + h)− (f + g)(x)
h
= lim
h→0
[f (x + h) + g(x + h)]− [f (x) + g(x)]
h
= lim
h→0
[
f (x + h)− f (x)
h
]
+
[
g(x + h)− g(x)
h
]
= lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
+ lim
x→0
g(x + h)− g(x)
h
= f ′(x) + g ′(x)
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Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Demonstrac¸a˜o.
temos que
(f+ g)′(x) = lim
h→0
(f + g)(x + h)− (f + g)(x)
h
= lim
h→0
[f (x + h) + g(x + h)]− [f (x) + g(x)]
h
= lim
h→0
[
f (x + h)− f (x)
h
]
+
[
g(x + h)− g(x)
h
]
= lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
+ lim
x→0
g(x + h)− g(x)
h
= f ′(x) + g ′(x)
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Derivada De Func¸o˜es Polinomiais
As Regras do Produto e do Quociente
Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Demonstrac¸a˜o.
temos que
(f + g)′(x) = lim
h→0
(f + g)(x + h)− (f + g)(x)
h
= lim
h→0
[f (x + h) + g(x + h)]− [f (x) + g(x)]
h
= lim
h→0
[
f (x + h)− f (x)
h
]
+
[
g(x + h)− g(x)
h
]
= lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
+ lim
x→0
g(x + h)− g(x)
h
= f ′(x) + g ′(x)
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Derivada De Func¸o˜es Polinomiais
As Regras do Produto e do Quociente
Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Escreva a finc¸a˜o (f − g)(x) = f (x) + (−1)g(x) assim usando a
regra da soma e da multiplicac¸a˜o por constante temos que
Regra da Diferenc¸a
Se f e g forem diferencia´veis, enta˜o
d
dx
((f − g)(x)) = d
dx
(f (x))− d
dx
(g(x))
Jairo Menezes e Souza Regras De Derivac¸a˜o
Derivada De Func¸o˜es Polinomiais
As Regras do Produto e do Quociente
Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Escreva a finc¸a˜o (f − g)(x) = f (x) + (−1)g(x) assim usando a
regra da soma e da multiplicac¸a˜o por constante temos que
Regra da Diferenc¸a
Se f e g forem diferencia´veis, enta˜o
d
dx
((f − g)(x)) = d
dx
(f (x))− d
dx
(g(x))
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Derivada De Func¸o˜es Polinomiais
As Regras do Produto e do Quociente
Func¸a˜o Constante
Func¸a˜o Poteˆncia
Novas Derivadas A Partir Das Antigas
Func¸o˜es Exponenciais
Exemplo
1 d
dx (x
8 + 12x5 − 5x3 + 10x + 5)
2 Ache os pontos sobre a curva y = x4 − 6x2 + 4 onde a reta
tangente e´ horizontal.
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Derivada De Func¸o˜es Polinomiais
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Exemplo
1 d
dx (x
8 + 12x5 − 5x3 + 10x + 5)
2 Ache os pontos sobre a curva y = x4 − 6x2 + 4 onde a reta
tangente e´ horizontal.
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Func¸o˜es Exponenciais
x
y
y = x4 − 6x + 4
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Func¸o˜es Exponenciais
Func¸o˜es Exponenciais
Vamos tentar calcular a derivada da func¸a˜o f (x) = ax usando a
definic¸a˜o de derivada.
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
ax+h − ax
h
= lim
h→0
axah − ax
h
= lim
h→0
ax
[
ah − 1
h
]
Como ax e´ constante com relac¸a˜o a h, temos
f ′(x) = ax lim
h→0
ah − 1
h
. Da´ı temos que
f ′(x) = ax f ′(0) (5)
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Vamos tentar calcular a derivada da func¸a˜o f (x) = ax usando a
definic¸a˜o de derivada.
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
ax+h − ax
h
= lim
h→0
axah − ax
h
= lim
h→0
ax
[
ah − 1
h
]
Como ax e´ constante com relac¸a˜o a h, temos
f ′(x) = ax lim
h→0
ah − 1
h
. Da´ı temos que
f ′(x) = ax f ′(0) (5)
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Vamos tentar calcular a derivada da func¸a˜o f (x) = ax usando a
definic¸a˜o de derivada.
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
ax+h − ax
h
= lim
h→0
axah − ax
h
= lim
h→0
ax
[
ah − 1
h
]
Como ax e´ constante com relac¸a˜o a h, temos
f ′(x) = ax lim
h→0
ah − 1
h
. Da´ı temos que
f ′(x) = ax f ′(0) (5)
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Vamos tentar calcular a derivada da func¸a˜o f (x) = ax usando a
definic¸a˜o de derivada.
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
ax+h − ax
h
= lim
h→0
axah − ax
h
= lim
h→0
ax
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ah − 1
h
]
Como ax e´ constante com relac¸a˜o a h, temos
f ′(x) = ax lim
h→0
ah − 1
h
. Da´ı temos que
f ′(x) = ax f ′(0) (5)
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Vamos tentar calcular a derivada da func¸a˜o f (x) = ax usando a
definic¸a˜o de derivada.
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
ax+h − ax
h
= lim
h→0
axah − ax
h
= lim
h→0
ax
[
ah − 1
h
]
Como ax e´ constante com relac¸a˜o a h, temos
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h→0
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h
. Da´ı temos que
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definic¸a˜o de derivada.
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
ax+h − ax
h
= lim
h→0
axah − ax
h
= lim
h→0
ax
[
ah − 1
h
]
Como ax e´ constante com relac¸a˜o a h, temos
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h→0
ah − 1
h
. Da´ı temos que
f ′(x) = ax f ′(0) (5)
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Vamos tentar calcular a derivada da func¸a˜o f (x) = ax usando a
definic¸a˜o de derivada.
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
ax+h − ax
h
= lim
h→0
axah − ax
h
= lim
h→0
ax
[
ah − 1
h
]
Como ax e´ constante com relac¸a˜o a h, temos
f ′(x) = ax lim
h→0
ah − 1
h
. Da´ı temos que
f ′(x) = ax f ′(0) (5)
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Func¸o˜es Exponenciais
T´ınhamos definido o nu´mero e como a base em que a inclinac¸a˜o
da reta tangente a` curva y = ax no ponto (0, 1)e´ igual a 1.
Usando a definic¸a˜o de derivada temos que
Definic¸a˜o de e
e e´ o nu´mero que satisfaz
lim
h→0
eh − 1
h
= 1
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T´ınhamos definido o nu´mero e como a base em que a inclinac¸a˜o
da reta tangente a` curva y = ax no ponto (0, 1)e´ igual a 1.
Usando a definic¸a˜o de derivada temos queDefinic¸a˜o de e
e e´ o nu´mero que satisfaz
lim
h→0
eh − 1
h
= 1
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Func¸o˜es Exponenciais
De todas as func¸o˜es exponeciais a func¸a˜o f (x) = ex e´ a func¸a˜o em
que a tangente ao gra´fico de y = f (x) no ponto (0, 1) tem
inclinac¸a˜o 1.
x
y y = 3
x
y = exy = 2x
x
y
1 inclinac¸a˜o = 1
(x , ex) inclinac¸a˜o = ex
y = ex
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De todas as func¸o˜es exponeciais a func¸a˜o f (x) = ex e´ a func¸a˜o em
que a tangente ao gra´fico de y = f (x) no ponto (0, 1) tem
inclinac¸a˜o 1.
x
y y = 3
x
y = exy = 2x
x
y
1 inclinac¸a˜o = 1
(x , ex) inclinac¸a˜o = ex
y = ex
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Func¸o˜es Exponenciais
Se pusermos a = e, temos que f ′(0) = 1 teremos na equac¸a˜o 16,
teremos esta fo´rmula de derivac¸a˜o muito importante.
Derivada da func¸a˜o exponencial natural
d
dx
(ex) = ex
Assim temos que a func¸a˜o y = ex e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
ordina´ria y ′ = y .
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Se pusermos a = e, temos que f ′(0) = 1 teremos na equac¸a˜o 16,
teremos esta fo´rmula de derivac¸a˜o muito importante.
Derivada da func¸a˜o exponencial natural
d
dx
(ex) = ex
Assim temos que a func¸a˜o y = ex e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
ordina´ria y ′ = y .
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Se pusermos a = e, temos que f ′(0) = 1 teremos na equac¸a˜o 16,
teremos esta fo´rmula de derivac¸a˜o muito importante.
Derivada da func¸a˜o exponencial natural
d
dx
(ex) = ex
Assim temos que a func¸a˜o y = ex e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
ordina´ria y ′ = y .
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Exemplo
1 Se f (x) = ex − x ache f ′ e f ′′.
2 Em que ponto da curva y = ex sua tangente e´ paralela a` reta
y = 2x .
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A Regra do Produto
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Se f e g sa˜o diferencia´veis no ponto a enta˜o
(f · g)′(a) = f ′(a)g(a) + f (a)g ′(a).
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Demonstrac¸a˜o.
(f · g)′(a) = lim
x→a
(fg)(x)− (fg)(a)
x − a
= lim
x→a
f (x)g(x)− f (x)g(a)
x − a
= lim
x→a
f (x)g(x)−f(a)g(x) + f(a)g(x)− f (a)g(a)
x − a
= lim
x→a g(x)
[
f (x)− f (a)
x − a
]
+ f (a)
[
g(x)− g(a)
x − a
]
= lim
x→a g(x) limx→a
f (x)− f (a)
x − a + f (a) limx→a
g(x)− g(a)
x − a
.
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Demonstrac¸a˜o.
(f · g)′(a) = lim
x→a
(fg)(x)− (fg)(a)
x − a = limx→a
f (x)g(x)− f (x)g(a)
x − a
= lim
x→a
f (x)g(x)−f(a)g(x) + f(a)g(x)− f (a)g(a)
x − a
= lim
x→a g(x)
[
f (x)− f (a)
x − a
]
+ f (a)
[
g(x)− g(a)
x − a
]
= lim
x→a g(x) limx→a
f (x)− f (a)
x − a + f (a) limx→a
g(x)− g(a)
x − a
.
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Demonstrac¸a˜o.
(f · g)′(a) = lim
x→a
(fg)(x)− (fg)(a)
x − a = limx→a
f (x)g(x)− f (x)g(a)
x − a
= lim
x→a
f (x)g(x)−f(a)g(x) + f(a)g(x)− f (a)g(a)
x − a
= lim
x→a g(x)
[
f (x)− f (a)
x − a
]
+ f (a)
[
g(x)− g(a)
x − a
]
= lim
x→a g(x) limx→a
f (x)− f (a)
x − a + f (a) limx→a
g(x)− g(a)
x − a
.
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Demonstrac¸a˜o.
(f · g)′(a) = lim
x→a
(fg)(x)− (fg)(a)
x − a = limx→a
f (x)g(x)− f (x)g(a)
x − a
= lim
x→a
f (x)g(x)−f(a)g(x) + f(a)g(x)− f (a)g(a)
x − a
= lim
x→a g(x)
[
f (x)− f (a)
x − a
]
+ f (a)
[
g(x)− g(a)
x − a
]
= lim
x→a g(x) limx→a
f (x)− f (a)
x − a + f (a) limx→a
g(x)− g(a)
x − a
.
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Demonstrac¸a˜o.
(f · g)′(a) = lim
x→a
(fg)(x)− (fg)(a)
x − a = limx→a
f (x)g(x)− f (x)g(a)
x − a
= lim
x→a
f (x)g(x)−f(a)g(x) + f(a)g(x)− f (a)g(a)
x − a
= lim
x→a g(x)
[
f (x)− f (a)
x − a
]
+ f (a)
[
g(x)− g(a)
x − a
]
= lim
x→a g(x) limx→a
f (x)− f (a)
x − a + f (a) limx→a
g(x)− g(a)
x − a
.
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Demonstrac¸a˜o.
Ja´ que g e´ diferencia´vel em a temos que g e´ cont´ınua em a da´ı
limx→a g(x) = g(a). Enta˜o
(f · g)′(a) = f ′(a)g(a) + f (a)g ′(a).
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A Regra Do Produto
Na notac¸a˜o de Leibniz temos que se f e g sa˜o diferencia´veis enta˜o
d
dx
(f (x)g(x)) =
d
dx
(f (x))g(x) + f (x)
d
dx
(g(x)).
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Exemplo
1 Se f (x) = xex encontre f ′(x).
2 Encontre a n-e´sima derivada f (n)(x).
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Se f e g sa˜o diferencia´veis no ponto a e enta˜o(
f
g
)′
(a) =
f ′(a)g(a)− f (a)g ′(a)
[g(a)]2
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Demonstrac¸a˜o.
Temos que
(
f
g
)′
(a) = lim
x→a
(
f
g
)
(x)−
(
f
g
)
(a)
x − a
= lim
x→a
f (x)
g(x) − f (a)g(a)
x − a = limx→a
f (x)g(a)−f (a)g(x)
g(x)g(a)
x − a
= lim
x→a
f (x)g(a)−f(a)g(a) + f(a)g(a)− f (a)g(x)
g(x)g(a)(x − a)
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Demonstrac¸a˜o.
Temos que
(
f
g
)′
(a) = lim
x→a
(
f
g
)
(x)−
(
f
g
)
(a)
x − a
= lim
x→a
f (x)
g(x) − f (a)g(a)
x − a
= lim
x→a
f (x)g(a)−f (a)g(x)
g(x)g(a)
x − a
= lim
x→a
f(x)g(a)−f(a)g(a) + f(a)g(a)− f (a)g(x)
g(x)g(a)(x − a)
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Demonstrac¸a˜o.
Temos que
(
f
g
)′
(a) = lim
x→a
(
f
g
)
(x)−
(
f
g
)
(a)
x − a
= lim
x→a
f (x)
g(x) − f (a)g(a)
x − a = limx→a
f (x)g(a)−f (a)g(x)
g(x)g(a)
x − a
= lim
x→a
f (x)g(a)−f(a)g(a) + f(a)g(a)− f (a)g(x)
g(x)g(a)(x − a)
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Demonstrac¸a˜o.
Temos que
(
f
g
)′
(a) = lim
x→a
(
f
g
)
(x)−
(
f
g
)
(a)
x − a
= lim
x→a
f (x)
g(x) − f (a)g(a)
x − a = limx→a
f (x)g(a)−f (a)g(x)
g(x)g(a)
x − a
= lim
x→a
f (x)g(a)−f(a)g(a) + f(a)g(a)− f (a)g(x)
g(x)g(a)(x − a)
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Demonstrac¸a˜o.
= lim
x→a
(
g(a)
g(x)g(a)
[
f (x)− f (a)
x − a
]
− f (a)
g(x)g(a)
[
g(x)− g(a)
x − a
])
=
(
lim
x→a
g(a)
g(x)g(a)
)(
lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a
)
−
(
lim
x→a
f (a)
g(x)g(a)
)(
lim
x→a
g(x)− g(a)
x − a
)
Como limx→a g(x) = g(a) temos que(
f
g
)′
(a) =
f ′(a)g(a)− f (a)g ′(a)
[g(a)]2
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Demonstrac¸a˜o.
= lim
x→a
(
g(a)
g(x)g(a)
[
f (x)− f (a)
x − a
]
− f (a)
g(x)g(a)
[
g(x)− g(a)
x − a
])
=
(
lim
x→a
g(a)
g(x)g(a)
)(
lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a
)
−
(
lim
x→a
f (a)
g(x)g(a)
)(
lim
x→a
g(x)− g(a)
x − a
)
Como limx→a g(x) = g(a) temos que(
f
g
)′
(a) =
f ′(a)g(a)− f (a)g ′(a)
[g(a)]2
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Demonstrac¸a˜o.
= lim
x→a
(
g(a)
g(x)g(a)
[
f (x)− f (a)
x − a
]
− f (a)
g(x)g(a)
[
g(x)− g(a)
x − a
])
=
(
lim
x→a
g(a)
g(x)g(a)
)(
lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a
)
−
(
lim
x→a
f (a)
g(x)g(a)
)(
lim
x→a
g(x)− g(a)
x − a
)
Como limx→a g(x) = g(a) temos que
(
f
g
)′
(a) =
f ′(a)g(a)− f (a)g ′(a)
[g(a)]2
Jairo Menezes e Souza Regras De Derivac¸a˜o
Derivada De Func¸o˜es Polinomiais
As Regras do Produto e do Quociente
A Regra do Produto
A Regra Do Quociente
Demonstrac¸a˜o.
= lim
x→a
(
g(a)
g(x)g(a)
[
f (x)− f (a)
x − a
]
− f (a)
g(x)g(a)
[
g(x)− g(a)
x − a
])
=
(
lim
x→a
g(a)
g(x)g(a)
)(
lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a
)
−
(
lim
x→a
f (a)
g(x)g(a)
)(
lim
x→a
g(x)− g(a)
x − a
)
Como limx→a g(x) = g(a) temos que(
f
g
)′
(a) =
f ′(a)g(a)− f (a)g ′(a)
[g(a)]2
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Regra Do Quociente
Na notac¸a˜o de Leibniz temos que
d
dx
(
f (x)
g(x)
)
=
d
dx (f (x))g(x)− f (x) ddx (g(x))
[g(x)]2
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Exemplo
Se n > 0 e´ um nu´mero natural enta˜o
d
dx
(x−n) =
d
dx
(
1
xn
)
=
d
dx (1)x
n − 1 ddx (xn)
[xn]2
=
−nxn−1
x2n
= −nx−n−1
Sendo assim vale a Regra da Poteˆncia para todo inteiro. Se r ∈ Z
enta˜o ddx (x
r ) = rx r−1
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Exemplo
Se n > 0 e´ um nu´mero natural enta˜o
d
dx
(x−n) =
d
dx
(
1
xn
)
=
d
dx (1)x
n − 1 ddx (xn)
[xn]2
=
−nxn−1
x2n
= −nx−n−1
Sendo assim vale a Regra da Poteˆncia para todo inteiro. Se r ∈ Z
enta˜o ddx (x
r ) = rx r−1
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Exemplo
Se n > 0 e´ um nu´mero natural enta˜o
d
dx
(x−n) =
d
dx
(
1
xn
)
=
d
dx (1)x
n − 1 ddx (xn)
[xn]2
=
−nxn−1
x2n
= −nx−n−1
Sendo assim vale a Regra da Poteˆncia para todo inteiro. Se r ∈ Z
enta˜o ddx (x
r ) = rx r−1
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Exemplo
Se n > 0 e´ um nu´mero natural enta˜o
d
dx
(x−n) =
d
dx
(
1
xn
)
=
d
dx (1)x
n − 1 ddx (xn)
[xn]2
=
−nxn−1
x2n
= −nx−n−1
Sendo assim vale a Regra da Poteˆncia para todo inteiro. Se r ∈ Z
enta˜o ddx (x
r ) = rx r−1
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Exemplo
Se n > 0 e´ um nu´mero natural enta˜o
d
dx
(x−n) =
d
dx
(
1
xn
)
=
d
dx (1)x
n − 1 ddx (xn)
[xn]2
=
−nxn−1
x2n
= −nx−n−1
Sendo assim vale a Regra da Poteˆncia para todo inteiro. Se r ∈ Z
enta˜o ddx (x
r ) = rx r−1
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Exemplo
Seja y = x
3+2x+1
x2−x+4 . Enta˜o
dy
dx
=
d
dx (x
3 + 2x + 1)(x2 − x + 4)− (x3 + 2x + 1) ddx (x2 − x + 4)
(x3 + 2x + 1)2
=
(3x2 + 2)(x2 − x + 4)− (x3 + 2x + 1)(2x − 1)
(x3 + 2x + 1)2
=
x4 − 2x3 + 10x − 2x + 9
(x3 + 2x + 1)2
=
x4 − 2x3 + 10x − 2x + 9
x6 + 4x4 + 2x3 + 4x2 + 4x + 1
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Exemplo
Seja y = x
3+2x+1
x2−x+4 . Enta˜o
dy
dx
=
d
dx (x
3 + 2x + 1)(x2 − x + 4)− (x3 + 2x + 1) ddx (x2 − x + 4)
(x3 + 2x + 1)2
=
(3x2 + 2)(x2 − x + 4)− (x3 + 2x + 1)(2x − 1)
(x3 + 2x + 1)2
=
x4 − 2x3 + 10x − 2x + 9
(x3 + 2x + 1)2
=
x4 − 2x3 + 10x − 2x + 9
x6 + 4x4 + 2x3 + 4x2 + 4x + 1
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Exemplo
Seja y = x
3+2x+1
x2−x+4 . Enta˜o
dy
dx
=
d
dx (x
3 + 2x + 1)(x2 − x + 4)− (x3 + 2x + 1) ddx (x2 − x + 4)
(x3 + 2x + 1)2
=
(3x2 + 2)(x2 − x + 4)− (x3 + 2x + 1)(2x − 1)
(x3 + 2x + 1)2
=
x4 − 2x3 + 10x − 2x + 9
(x3 + 2x + 1)2
=
x4 − 2x3 + 10x − 2x + 9
x6 + 4x4 + 2x3 + 4x2 + 4x + 1
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Exemplo
Seja y = x
3+2x+1
x2−x+4 . Enta˜o
dy
dx
=
d
dx (x
3 + 2x + 1)(x2 − x + 4)− (x3 + 2x + 1) ddx (x2 − x + 4)
(x3 + 2x + 1)2
=
(3x2 + 2)(x2 − x + 4)− (x3 + 2x + 1)(2x − 1)
(x3 + 2x + 1)2
=
x4 − 2x3 + 10x − 2x + 9
(x3 + 2x + 1)2
=
x4 − 2x3 + 10x − 2x + 9
x6 + 4x4 + 2x3 + 4x2 + 4x + 1
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	Derivada De Funções Polinomiais 
	Função Constante
	Função Potência
	Novas Derivadas A Partir Das Antigas
	Funções Exponenciais
	As Regras do Produto e do Quociente
	A Regra doProduto
	A Regra Do Quociente