Aula 3 - Introdução ao Conceito de Derivada

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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
 
CÁLCULO APLICADO – UMA VARIÁVEL 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADA 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DAS DERIVADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Derivadas 
Derivadas são de extrema importâncias em várias áreas de estudos das ciências 
exatas. De uma maneira geral, a derivada é a inclinação da reta tangente que passa 
por uma determinada curva. Além disso, podemos utilizar a derivada em física, pois 
ela também é uma taxa de variação, como por exemplo, a velocidade. 
Derivada de uma função 𝑓 em relação à variável 𝑥: é a taxa de variação de 𝑓 à medida 
que 𝑥 varia. A derivada no ponto 𝑥 = 𝑥0 é 
 
Para entender este conceito formal de derivada, é importante estudar e revisar sobre 
limites. Vamos agora entender como surgiu o conceito de derivadas. 
O conceito de derivadas surgiu com Pierre Fermat no século XVII. Com seus estudos 
sobre funções, ele chegou a um empasse sobre a definição do que era uma reta 
tangente. Ele percebeu que algumas das funções estudadas não batiam com a 
definição de reta tangente da época. Isso ficou conhecido como “problema da 
tangente”. 
Foi, então, que ele resolveu o problema da seguinte maneira: para determinar uma 
reta tangente a uma curva no ponto P, ele definiu um outro ponto Q na curva e 
considerou a reta PQ. Desta forma, aproximou o ponto Q ao ponto P, obtendo assim 
retas PQ que se aproximavam de uma reta t que Fermat chamou de reta tangente ao 
ponto P. 
Estas foram as ideias consideradas como “embriões” para o conceito de derivadas. 
Entretanto, Fermat não possuía as ferramentas necessárias, por exemplo, o conceito 
de limite por ainda não ser conhecido na época. Foi apenas com Leibniz e Newton que 
o cálculo diferencial se tornou possível e importante para as ciências exatas. 
 
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O limite da razão 
∆𝑦
∆𝑥
, quando ∆𝑥 → 0, exprime que, quando 𝑥 aumenta de 1 unidade de 
tempo a partir de 𝑥0= 1h, a temperatura 𝑦 aumentará de aproximadamente 2ºC. 
 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO 
Consideremos uma função f contínua e definida num intervalo] a, b [; sejam xo e xo + 
∆x dois pontos desse intervalo. Quando a variável x passa do valor xo para o valor xo + 
∆x sofrendo uma variação ∆x (incremento de x), o correspondente valor da função 
passa de f(xo) para o valor f(xo+∆x) sofrendo, portanto, uma variação ∆y (incremento 
da função f), onde ∆y = f(xo+∆x) – f(xo) conforme mostra a figura seguinte: 
 
Dizemos que a derivada da função f no ponto xo é 
x
y
ox 

→
lim = 
x
oxfxoxf
oxx 
−+
→
)()(
lim 
se ele existir e for finito. 
 Nesse caso, dizemos também que f é derivável no ponto xo. 
 
 
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Exemplo 
 
A derivada pela definição da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = (𝑥 + ∆𝑥)2 = ( ) 
𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
( ) − ( ) 
∆𝑥
 
𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0 ∆𝑥
 
 𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
∆𝑥 ()
 
𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
 
 
Esta regra é conhecida como regra do “tombo”. Isso se deve ao fato de que a 
potência n “cai” quando derivamos uma função potência. 
Utilizando a regra da potência para resolver 
f(x) = xn, então f’(x)= n. xn-1 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 = 𝑓(𝑥)′ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Regras de derivação 
Como, derivar funções utilizando o conceito de derivada torna-se um processo 
longo, foram introduzidas algumas regras objetivando uma maior rapidez nas soluções 
das mesmas. Então, a partir de agora, utilizaremos algumas regras práticas para 
calcular derivadas de funções. 
Derivadas das principais funções elementares: 
Derivada da função constante: 
𝑺𝒆 𝒇(𝒙) = 𝒄, 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒇′(𝒙) = 
 
Demonstração 
 Se x é um ponto qualquer de R temos: 
 
 
 
Exemplo 
𝑓(𝑥) = 5 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 
f(x)= e2 ⇒ f’(x)= 
f(x)= 23 ⇒ f’(x)= 
 
 
 
 
 
 0lim'
00lim
0
limlim
)()(
limlim
0
00000
=


=
==

=

−
=

−+
=


→
→→→→→
x
y
y
xx
kk
x
xfxxf
x
y
x
xxxxx
 
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Derivada da função identidade: 
Se 𝒇(𝒙) = 𝒙, 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒇′(𝒙) = 
Demonstração 
Se x é um ponto qualquer de R, temos: 
Derivada de uma Função Potência f(x) = xn. 
Apliquemos a regra geral das derivadas, vista no início, para chegarmos a essa fórmula: 
1º passo: 
( )nxxyy +=+ 
2º passo: 
( )
( )  ( ) ( ) ( ) 12321 ...... −−−− +++++++−+=
−+=−+
nnnn
nn
xxxxxxxxxxxxy
xxxyyy
 
( ) ( ) ( ) 12321 ...... −−−− +++++++= nnnn xxxxxxxxxxy 
3º passo: 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 12321
12321
.....
......
−−−−
−−−−
+++++++=



+++++++
=


nnnn
nnnn
xxxxxxxxx
x
y
x
xxxxxxxxxx
x
y
 
4º passo: 
( ) ( ) ( ) 
1111112321
12321
...........
0
.....
−−−−−−−−−
−−−−
=++=++++=
→
=+++++++
nnnnnnnnn
nnnn
xnxxxxxxxxxx
x
xxxxxxxxxLim
 
 
Portanto: f(x) = xn → f’(x) = n.xn-1 
 1lim'
11limlimlim
)(
lim
)()(
limlim
0
000
000
=


=
==


=

−+
=

−+
=

−+
=


→
→→→
→→→
x
y
y
x
x
x
xxx
x
xxx
x
xfxxf
x
y
x
xxx
xxx
 
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Exemplos 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 
𝑓(𝑥) = 𝑥5 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 
𝑓(𝑥) = 
1
𝑥³
⇒ 𝑓′(𝑥) = 
 
Portanto ∶ 
𝑓(𝑥) = √𝑥 = 𝑥
1
2 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 
𝑓(𝑥) = √𝑥3
5
 
Derivada de uma Função Exponencial. 
 
 f(x) = ax (1  a > 0) → 




==→=
=→=
xxx
xx
eLneexfexf
Lnaaxfaxf
.)(')(
.)()( '
 (Ln e = log e e = 1) 
. 0 x ,
)(xn
1
 y'então x ySe
1nn
n 

==
−
 
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Exemplo 
Calcular a derivada de cada função: 
Lnaaxf x.)(' = e xx eLneexf == .)(' 
a) f(x) = 2x 
 b) f(x) = (1/2)x 
 
Derivadas da Função Logarítmica 
Se 𝑦 = 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙) , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑦
′ =
1
𝑥
 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝑒 
Em particular, se 𝑦 = ln 𝑥, então 𝑦′ =
1
𝑥
 𝑙𝑛 𝑒 =
1
𝑥
. 
 
Vamos aplicar a propriedade de logaritmos de mudança de bases. 
 
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f(x) = Log a x (1  a > 0) → 






==→=
=→=
xLnex
xfLnxxf
Lnax
xfxLogxf a
1
.
1
)(')(
.
1
)(')(
 
 
Derivadas do produto de uma constante por uma função 
𝑆𝑒 𝑦 = 𝑐. 𝑔(𝑥) 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑦′ = 𝑐. 𝑔′(𝑥) 
Demonstração 
Se x é um ponto qualquer de R, temos: 
 
 
 Exemplos 
a) y = 5x³  
b) f(x) = 2 log5 𝑥  
c) f(x) = 3.ex  
 
 
 )('lim'
)('
)()(
lim
)()(
lim
)](()([
lim
)()(
limlim
0
00
000
xgc
x
y
y
xgc
x
xgxxg
c
x
xgxxg
c
x
xgxxgc
x
xcgxxcg
x
y
x
xx
xxx
=


=
=

−+
=

−+
=
=

−+
=

−+
=


→
→→
→→→
 
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Derivadas das Funções Trigonométricas 
Derivada da Função Seno 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓′(𝑥) = 
 
Derivada da Função Cosseno 
𝑆𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥), 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓′(𝑥) = 
 
Derivada da Função Tangente 
𝑆𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥), 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓′(𝑥) = 
Como as demais funções Trigonométricas são definidas a partir do seno ou cosseno, 
podemos usar as regras de derivação para encontrar suas derivadas. 
 
Analogamente, encontramos: 
 
 
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Derivada de uma Adição e/ou Subtração Algébrica. 
Devemos derivar cada termo da soma, como segue: 
𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥) 
Exemplo 
Derivar as funções: 
 a) y = 3x – 7 
 b) y = 4x2 – 5x + 6 
 c) y = -2x3 + 3x2 – 5x + 43 
 
Derivada do Produto de Funções. 
𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = 𝑓′(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥). 𝑔′(𝑥) 
Exemplo 
Derivar a função f(x) = 2x3. cos(x) 
Solução 
 
Derivada do Quociente de Funções 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑓′(𝑥). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔′(𝑥)
 [𝑔(𝑥)]2
 
Exemplo 
Derivara função f(x) =
xe
x 4
 
 
 
 
 
 
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Propriedades Operatórias: 
1ª Se F(x)= k.g(x) então F’(x)= k.g’(x) 
f(x)= 5 ln(x) -⇒ f’(x)= 
2ª Se F(x)= f(x) + g(x) então F’(x)= f’(x) + g’(x) 
f(x)= x2 + sen(x) ⇒f’(x)= 
3ª Se F(x)= f(x) - g(x) então F’(x)= f’(x) - g’(x) 
f(x)= x3 - cos(x) ⇒ f’(x)= 
4ª Se F(x)= g(x).g(x) então 𝑭′(𝒙) ⇒ 𝒇′(𝒙). 𝒈(𝒙) − 𝒇(𝒙). 𝒈′(𝒙) 
f(x)= x2 . sen(x) ⇒ f’(x)= 
5ª Se 𝑭(𝒙) =
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
 então 𝑭′(𝒙) =
𝒇′(𝒙).𝒈(𝒙)−𝒇(𝒙).𝒈′(𝒙)
(𝒈(𝒙))𝟐 
 
𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑙𝑛(𝑥)
 ⇒ f’(x)= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
1) Calcule a derivada: 
a) f(x)= 
1
2
x2 
b) f(x)= x2 + x5 
c) f(x)= 2x + 1 
d) f(t)= 3t2 - 6t + 10 
e) f(y)= 10 ln(y) - 3y + 6 
f) f(x)= 5sen(x) + 2cos(x) – 4 
2) Calcule a derivada: 
a) f(x)= x . sen(x) 
b) f(x)= x2. ln(x) 
c) f(x)=(2x2 - 3x + 5).(2x - 1) 
d) f(x)= 
x−1
x−2
 
e) f(x)= sen x + tg(x) 
f) f(x)= √x. cos(x) 
𝑔) 𝑓(𝑥) = 
𝑒𝑥
2𝑥
 
 
 
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Exemplo 
Vamos determinar a derivada da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 4𝑥 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 
𝑥0 = 2, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑓
′(2). 
 
 
 
3 – Determine as derivadas nos pontos estabelecidos. 
𝑎)𝑆𝑒 𝑓(𝑥) = 4𝑥−2, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑓′(−1) 
 
𝑏)𝑆𝑒 𝑓(𝑥) = 3𝑥3, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑓′(2) 
 
𝑐)𝑆𝑒 𝑓(𝑥) = √𝑥2
3
, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑓′(8) 
 
𝑑) 𝑆𝑒 𝑓(𝑥) = cos 𝑥, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑓′ (
𝜋
6
) 
 
𝑒)𝑆𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 3𝑥4 + 2𝑥3 + 6𝑥 + 2, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑓′(1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Formulário 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Derivada 
𝒇(𝒙) 𝒇′(𝒙) 
𝒄 𝟎 
𝒙 𝟏 
𝒙𝒏 𝒏𝒙𝒏−𝟏 
𝒄. 𝒙𝒏 𝒄. 𝒏𝒙𝒏−𝟏 
𝟏
𝒙
 −
𝟏
𝒙𝟐
 
√𝒙 𝟏
𝟐√𝒙
 
𝒆𝒙 𝒆𝒙 
𝒂𝒙 𝒂𝒙 𝒍𝒏(𝒂) 
𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙) 𝟏
𝒙 𝒍𝒏(𝒂)
 
𝒍𝒏 (𝒙) 𝟏
𝒙
 
𝒔𝒆𝒏 (𝒙) 𝒄𝒐𝒔 (𝒙) 
𝒄𝒐𝒔 (𝒙) − 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) 
𝒕𝒈(𝒙) 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙) 
𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒙) −𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙) 
𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙) 𝒇′(𝒙) ± 𝒈′(𝒙) 
𝒇(𝒙). 𝒈(𝒙) 𝒇′(𝒙). 𝒈(𝒙) + 𝒇(𝒙). 𝒈′(𝒙) 
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
 
𝒇′(𝒙). 𝒈(𝒙) − 𝒇(𝒙). 𝒈′(𝒙)
 [𝒈(𝒙)]𝟐
 
 
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Referências Bibliográficas 
 
STEWART, James. Cálculo, volume I. 5ª edição. São Paulo - SP: Pioneira Thomson 
Learning, 2006. 
 
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora 
LTC, 2001. 
ROGAWSKI, Jon. Cálculo: Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.