Capacitores e Dieletricos slides

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21/01/2013
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Capacitores e 
Dielétricos
Capacitores
• Capacitor plano
• Capacitor cilíndrico
• Capacitor esférico
• Energia eletrostática armazenada em um 
capacitor
• Associação de capacitores
Capacitores
• Vimos anteriormente que o campo produzido por
duas placas condutoras planas e paralelas,
carregadas com cargas de mesmo módulo e sinais
contrários, cuja separação d é muito menor do
que suas dimensões, é
ܧ ൌ ቐ
ߪ
ߝ଴
	na	região	entre	as	placas
0	na	região	fora	das	placas
• Desta forma, a diferença de potencial entre as
placas será dada por
∆ܸ ൌ ܧ݀ ൌ
ߪ
ߝ଴
݀ ൌ
ܳ݀
ܣߝ଴
∆ܸ ൌ
݀
ܣߝ଴
ܳ
• Vê‐se então que a diferença de potencial entre as
placas é proporcional à carga.
• Esta proporcionalidade entre ∆ܸ e ܳ é
encontrada para quaisquer dois condutores no
espaço se existir uma carga positiva em um e
uma carga negativa igual no outro (supondo que
não existem outras cargas ao redor).
• Originalmente, está equação de
proporcionalidade foi escrita como
ܳ ൌ ܥ∆ܸ
• A constante de proporcionalidade, ܥ, recebe o
nome de capacitância, e este sistema de dois
condutores recebe o nome de capacitor.
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• A unidade da capacitância é
ܥ ൌ
ܿ݋ݑ݈݋ܾ݉
ݒ݋݈ݐ
≡ ݂ܽݎܽ݀ ൌ ܨ
• Vê‐se então que a unidade da permissividade
elétrica do vácuo pode ser escrita como
ߝ଴ ൌ
ܨ
݉
Logo
ߝ଴ ൌ 8,85
݌ܨ
݉ Capacitor formado por dois condutores 
carregados com formatos quaisquer.
• Independentemente das suas formas, os dois
condutores do capacitor são chamados de
placas.
• Temos então que para o capacitor de placas
planas paralelas,
ܥ ൌ
ߝ଴ܣ
݀
• Essa expressão não é exata, pois o campo
elétrico não é realmente uniforme em toda
região entre as placas, como assumimos,
como pode ser visto na figura abaixo.
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• A carga total não é ߪܣ, existe uma pequena
correção para o efeito das bordas.
• Para calcular essa correção, é necessário
calcular o campo elétrico com maior precisão
e determinar o que ocorre exatamente nas
bordas.
• Como resultado, a densidade de cargas
aumenta um pouco nas bordas das placas.
• Isso significa que a capacitância é um pouco
maior do que a calculada anteriormente.
• Para um capacitor de placas circulares planas
paralelas, a correção do efeito das bordas
pode ser representada se escrevermos ܥ na
forma,
ܥ ൌ
ߝ଴ܣ
݀
݂ ൌ
ߝ଴ ߨܴ
ଶ
݀
݂
Onde ܴ é o raio das placas
݀/ܴ ࢌ
0,2 1,286
0,1 1,167
0,05 1,094
0,02 1,042
0,01 1,023
• Uma ótima aproximação para ܥ é obtida se
usarmos para o valor de ܣ a área que seria
obtida se as placas fossem estendidas
artificialmente por uma distância de 3/8 da
separação entre elas.
• A capacitância de um dispositivo depende do
arranjo geométrico dos condutores. Por
exemplo, se quisermos aumentar a
capacitância do capacitor de placas planas
paralelas, podemos aumentar a área das
placas e diminuir a distância entre elas.
• Os capacitores possuem normalmente
capacitâncias que vão de picofarads (10ିଵଶܨ),
usados em circuitos de sintonia, até milifarads
(10ିଷܨ), encontrados em filtros de fontes de
energia.
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• Exemplo: Deseja‐se construir um capacitor de
placas planas com capacitância C ൌ 1,0	ܨ. Se
a distância entre as placas for ݀ ൌ 1,0	݉݉,
qual deverá ser a área de cada placa?
ܥ ൌ
ߝ଴ܣ
݀
⇒ ܣ ൌ
ܥ݀
ߝ଴
	ൌ
1 ൈ 0,001
8,85 ൈ 10ିଵଶ
ൌ 1,13 ൈ 10଼݉ଶ ൎ 100݇݉ଶ		‼! Aplicação de capacitores de placas 
planas paralelas: Teclas de um teclado 
de computador.
Outros formatos de capacitores
• Capacitor cilíndrico
• Para calcularmos a capacitância, primeiro
devemos encontrar o campo elétrico gerado
por essa distribuição de cargas.
• Desprezando o efeito de bordas e aplicando a
lei de Gauss, obtemos
ܧ ൌ
ఒ
ଶగఌబ௥
ൌ
ொ
ଶగఌబ௟௥
• Calculando a diferença de potencial entre as
duas placas
஻ܸ െ ஺ܸ ൌ െනܧ ∙ ݀ݏԦ
௕
௔
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஻ܸ െ ஺ܸ ൌ െ
ܳ
2ߨߝ଴݈
න
݀ݎ
ݎ
௕
௔
∆ܸ ൌ
ܳ
2ߨߝ଴݈
ln	
ܾ
ܽ
• Desta forma, como ܳ ൌ ܥ∆ܸ, temos
ܥ ൌ 2ߨߝ଴
݈
ln
ܾ
ܽ
• Capacitor Esférico
• Pela lei de Gauss temos
ܧ ൌ
ܳ
4ߨߝ଴ݎଶ
Assim
஻ܸ െ ஺ܸ ൌ െනܧ ∙ ݀ݏԦ
௕
௔
ൌ െ
ܳ
4ߨߝ଴
න
݀ݎ
ݎଶ
௕
௔
∆ܸ ൌ
ܳ
4ߨߝ଴
1
ܽ
െ
1
ܾ
ൌ
ܳ
4ߨߝ଴
ܾ െ ܽ
ܾ ∙ ܽ
e
ܥ ൌ 4ߨߝ଴
ܾ ∙ ܽ
ܾ െ ܽ
• Se a casca externa tem raio ܾ → ∞, temos
ܥ ൌ 4ߨߝ଴ܽ
Que é a capacitância de uma casca esférica
condutora.
Exemplo: Calcular a capacitância da Terra:
ܥ ൌ 4ߨ ൈ 8,85 ൈ 10ିଵଶ ൈ 6,37 ൈ 10଺
ܥ ൌ 710ߤܨ
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Energia acumulada em um capacitor 
carregado
• Vimos anteriormente que a energia
eletrostática associada a uma distribuição de
cargas estava armazenada no campo elétrico
gerado por esta distribuição.
• Vamos confirmar o resultado anterior
calculando a energia armazenada em um
capacitor
• Temos que o trabalho necessário para
carregar um capacitor inicialmente
descarregado até uma carga ܳ, levando cargas
݀ݍ de uma placa para outra, é dado por
ܷ ൌ න ∆ܸ݀ݍ
ொ
଴
ൌ න
ݍ
ܥ
݀ݍ
ொ
଴
ൌ
1
2
ܳଶ
ܥ
ܷ ൌ
1
2
ܳଶ
ܥ
ൌ
1
2
ܳ∆ܸ ൌ
1
2
ܥ ∆ܸ ଶ
• Para um capacitor de placas planas paralelas
ܷ ൌ
1
2
ܥ ∆ܸ ଶ ൌ
1
2
ߝ଴ܣ
݀
ܧ݀ ଶ ൌ
1
2
ߝ଴ܣ݀ܧ
ଶ
ܷ
ܣ݀
≡ ݑ ൌ
1
2
ߝ଴ܧ
ଶ
• Onde ݑ é a densidade volumétrica de energia, 
como definida anteriormente.
• Tal resultado implica que a energia
eletrostática de um capacitor fica armazenada
no campo elétrico!
• Esse resultado é válido para capacitores de
quaisquer formatos.
Combinações de Capacitores
• Combinação em paralelo
ܥ௘௤ ൌ ܥଵ ൅ ܥଶ ൅ ܥଷ ൅⋯
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• Combinação em série
1
ܥ௘௤
ൌ
1
ܥଵ
൅
1
ܥଶ
൅
1
ܥଷ
൅⋯
• Exemplo: Dois capacitores com capacitâncias ܥଵ e
ܥଶ (onde ܥଵ ൐ ܥଶ) estão carregados à mesma
diferença de potencial ∆ ௜ܸ . Os capacitores
carregados são separados da bateria e suas
placas são reconectadas com polaridades opostas
como mostrado na figura (a) abaixo. As chaves ଵܵ
e ܵଶ são então fechadas (Figura b)
(a) encontre a diferença de potencial final entre a
e b.
(b) Encontre a energia total armazenada nos
capacitores antes e depois das chaves serem
fechadas, e a razão entre a energia final e a energia
inicial
• Solução: Como as polaridades foram
invertidas, não podemos dizer que os
capacitores estão no mesmo potencial. No
entanto, como formam um sistema isolado
sabemos que a carga se conserva, logo:
ܳ௜ ൌ ܳ௙
ܳଵ௜ െ ܳଶ௜ ൌ ܳଵ௙ ൅ ܳଶ௙
• Observe que na montagem inicial (Figura a) as
polaridades estão invertidas, por isso o sinal
negativo no termo da esquerda.
• Observe também que por termos ܥଵ ൐ ܥଶ
então ܳଵ௜ ൐ ܳଶ௜ e ܳଵ௜ െ ܳଶ௜ ൐ 0.
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• A diferença de potencial final será:
ܳଵ௜ െ ܳଶ௜ ൌ ܳଵ௙ ൅ ܳଶ௙
⇒ ܥଵ∆ ௜ܸ െ ܥଶ∆ ௜ܸ ൌ ܥଵ∆ ௙ܸ ൅ ܥଶ∆ ௙ܸ
⇒ ሺܥଵെܥଶሻ∆ ௜ܸ ൌ ሺܥଵ ൅ ܥଶሻ∆ ௙ܸ
∆ ௙ܸ ൌ
ܥଵ െ ܥଶ
ܥଵ ൅ ܥଶ
∆ ௜ܸ
• As energias inicial e final são:
௜ܷ ൌ
1
2
ܥ௘௤∆ ௜ܸ
ଶൌ
1
2
ሺܥଵ ൅ ܥଶሻ∆ ௜ܸ
ଶ
௙ܷ ൌ
1
2
ܥ௘௤∆ ௙ܸ
ଶൌ
1
2
ܥଵ െ ܥଶ
ଶ
ܥଵ ൅ ܥଶ
∆ ௜ܸ
ଶ
• E a razão entre elas é
௙ܷ
௜ܷ
ൌ
ܥଵ െ ܥଶ
ܥଵ ൅ ܥଶ
ଶ
• Vê‐se que a energia final é menor do que a
energia inicial!
• Será que a lei da conservação da energia foi
violada? Na verdade não. Como veremos mais
a frente, a energia “perdida” foi transferida
para fora do sistema através de ondas
eletromagnéticas.
Dielétricos
• A constante dielétrica
• O vetor de polarização ܲ
• Cargas de polarização
• As equações eletrostáticas em dielétricos
• Campos e forças com dielétricos
A Constante Dielétrica
• Materiais não‐condutores (por exemplo: ar,
papel, madeira) são também chamados de
isolantes ou dielétricos.
• Discutimos anteriormente o comportamento
de condutores (nos quais as cargas se movem
livremente) quando estavam sob influência de
campos eletrostáticos.
• Iremosdiscutir agora o comportamento de
dielétricos sob influência de campos elétricos.
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• Inicialmente, podemos imaginar que não haja
qualquer tipo de efeito. No entanto,
Cavendish (em 1773) e Faraday (em 1837),
descobriram que se introduzirmos um
material isolante entre as placas de um
capacitor, sua capacitância aumentará.
• Se o dielétrico preencher completamente o
espaço entre as placas do capacitor, a
capacitância aumenta de um fator ߢ que
depende apenas da natureza do material
isolante.
• O fator ߢ é uma propriedade do dielétrico e
recebe o nome de constante dielétrica.
• O problema agora é entender porque existe
um efeito elétrico se os isolantes são
realmente isolantes e não conduzem
eletricidade.
• Como a capacitância aumenta, então significa
que com a mesma carga a diferença de
potencial diminui.
• Isto significa que o campo elétrico diminui e,
pela lei de Gauss, a carga total é menor do
que a carga no condutor.
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• Se a capacitância aumenta de um fator ߢ para
a mesma carga, então a diferença de potencial
e, consequentemente, o campo elétrico
deverão ser reduzidos do mesmo fator ߢ:
ܧ ൌ ܧ଴/ߢ
• No intervalo entre a placa do capacitor e o
dielétrico o campo ainda permanece ܧ଴ ൌ
ఙ
ఌబ
• Isso significa que o campo elétrico sofre uma
descontinuidade ao atravessar a superfície do
dielétrico
ො݊ଵଶ ∙ ܧଶ െ ܧଵ ൌ ߢ െ 1 ܧ
• Pela lei de Gauss temos
ො݊ଵଶ ∙ ܧଶ െ ܧଵ ݀ܵ ൌ
݀ݍ௣
ߝ଴
ൌ
ߪ௣݀ܵ
ߝ଴
ߪ௣ ൌ ߝ଴ ߢ െ 1 ܧ
• Onde ߪ௣ é a densidade de carga na superfície
do dielétrico e ܧ é o campo no interior do
material dielétrico.
• Analogamente, na base inferior do dielétrico,
deve existir uma densidade negativa
correspondente, െߪ௣ , a lâmina como um
todo, permanece neutra.
• Dos resultados acima, temos que os
fenômenos poderão ser explicados se
pudermos compreender porque quando um
material dielétrico é colocado num campo
elétrico, surgem cargas positivas induzidas em
uma superfície e negativas em outra.
• Quando um material é colocado em um
campo, este campo gera uma deformação na
distribuição de cargas (a carga positiva é
atraída para um lado e a negativa para outro).
• Se olharmos de longe, esta configuração neutra
equivale, em primeira aproximação, a uma
distribuição de dipolo.
• É razoável pensar que, se o campo não for tão
intenso, o dipolo induzido será proporcional ao
campo.
Obs.: Na verdade, mesmo campos muito intensos
do ponto de vista macroscópicos, são muito
menores do que os campos intraatômicos.
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• Exercício: Um átomo de hidrogênio consiste
de um próton, de carga ൅݁, localizado no
núcleo, e de um elétron, de carga െ݁ . A
distribuição de carga é esfericamente
simétrica, então o átomo é não‐polar.
Considere um modelo no qual o átomo de
hidrogênio consiste de uma carga positiva ൅݁
no centro de uma “nuvem eletrônica” esférica
com raio ܴ e carga total െ݁ distribuída
uniformemente. Mostre que quando tal
átomo e colocado em um campo elétrico
externo uniforme ܧ, o momento de dipolo
induzido é proporcional a ܧ, isto é, ݌Ԧ ൌ ߙܧ,
onde ߙ é chamado de polarizabilidade.
• Vetor ܲ;
• ܲ ∥ ܧ;
• ߪ௣ ൌ ௡ܲ ൌ ො݊ ∙ ܲ;
• ܲ é chamado de polarização elétrica e
representa o momento de dipolo por unidade
de volume induzido pelo campo elétrico dentro
do meio dielétrico.
ܲ ൌ
݀݌Ԧ
ܸ݀
• Se o campo não for muito intenso, o momento
de dipolo é proporcional ao campo, ݌Ԧ ∝ ܧ, e
consequentemente ܲ ∝ ܧ
• Podemos escrever então
ܲ ൌ ߯ߝ଴ܧ
• Onde ߯ é uma constante característica do
material chamada de susceptibilidade
dielétrica.
• Temos então que
ߪ௣ ൌ ܲ ൌ ߯ߝ଴ܧ ൌ ߝ଴ ߢ െ 1 ܧ
ߢ ൌ 1 ൅ ߯
• As cargas de polarização são também
chamadas de cargas ligadas, porque resultam
de cargas ligadas a átomos e moléculas, em
contraposição às cargas livres sobre
condutores.
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• Todas as cargas, livres e ligadas, devem ser
levadas em consideração no cálculo do campo
elétrico, desta forma, a lei de Gauss na Forma
local é dada
݀݅ݒܧ ൌ
ߩ
ߝ଴
ൌ
ߩ௟ ൅ ߩ௣
ߝ଴
• Onde ߩ௟ e ߩ௣ são as densidades volumétricas
de cargas livres e de polarização,
respectivamente.
• Imaginemos agora, uma superfície fechada
qualquer limitando um volume do material
dielétrico.
• Na ausência de campos elétricos, o volume
delimitado por esta superfície será neutro.
• Quando o dielétrico estiver submetido à ação
de um campo elétrico, haverá um fluxo de
cargas ݍ௣ para fora da superfície, ficando um
excesso de cargas െݍ௣ no interior da
superfície.
• Do resultado acima e da definição do vetor
polarização elétrica temos,
െݍ௣ ൌ ර ܲ ∙ ݀ Ԧܵ
ௌ
⇒ െන ߩ௣ܸ݀
௏
ൌ න ݀݅ݒܲ	ܸ݀
௏
ߩ௣ ൌ െ݀݅ݒܲ
• Logo
݀݅ݒܧ ൌ
ߩ௟ െ ݀݅ݒܲ
ߝ଴
݀݅ݒ ߝ଴ܧ ൅ ܲ ൌ ߩ௟
• Como ܲ ൌ ߯ߝ଴ܧ e ߢ ൌ 1 ൅ ߯ temos
݀݅ݒ ߝ଴ߢܧ ൌ ߩ௟
݀݅ݒ ߢܧ ൌ
ߩ௟
ߝ଴
 
• A constante dielétrica foi deixada dentro do
divergente, porque no caso mais geral ela pode
variar de ponto a ponto.
• A equação acima significa que, desde que
conheçamos as características do material
dielétrico (ou seja,ߢ), podemos calcular o campo
levando em consideração apenas as cargas livres!
• Desta forma, a lei de Gauss dentro de dielétricos
toma a forma,
ර ߢܧ ∙ ݀ Ԧܵ
ௌ
ൌ
ݍ௟
ߝ଴