Lista 06 Limites e Continuidade

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UFRN – CCET – Departamento de Matemática
MAT0318 – Cálculo Básico I - Turma 01 – Local 3H4
Lista de Exercícios 06 - 23/04/2012
Aluno(a):___________________________________
Prof. Roosewelt F. Soares
Limite de uma função quando x se aproxima de uma constante
Definição 1: A afirmação 
 tem o seguinte significado: Dado qualquer número real 
, existe outro número real 
, tal que,
, sempre que 
.
Obs. 1: Em geral o valor de 
 depende do valor de 
, ou seja, começamos com o valor de 
 e então determinamos um valor correspondente apropriado para 
.
Obs. 2: Existem muitos valores de 
 que funcionam. Uma vez encontrado um valor de 
 que funciona, todos os valores menores para 
 também funcionam.
Teoremas sobre limites
Teorema 1: Se 
 e 
, então 
.
Teorema 2: Se c é uma constante e 
, para todo x, então
.
Teorema 3: Se 
, para todo x, então
.
Teorema 4: Se 
, 
, ..., 
, então
.
Teorema 5: Se 
, 
, ..., 
, então
Teorema 6: Se 
 e n é um inteiro positivo qualquer, então
Teorema 7: Se 
 e 
, e 
, então
Teorema 8: Se 
, então:
se 
 e n for um inteiro positivo qualquer, ou se 
 e n for um inteiro positivo ímpar qualquer. 
Exercícios:
Encontre os seguintes limites:
1) 
	2) 
	3) 
	4) 
		 
5) 
 6) 
	7) 
	8) 
 
9) 
 10) 
 11) 
 12) 
 13) 
 14) 
Obs. 
 e 
 
Limites Laterais
Definição 2: (Limite Lateral à Direita) Dizemos que o número real L é o limite à direita de f(x) quando x tende para x0, e escrevemos
quando, para todo 
 dado, for possível obter 
 tal que 
 sempre que 
.
Definição 3: (Limite Lateral à Esquerda) Dizemos que o número real L é o limite à esquerda de f(x) quando x tende para x0, e escrevemos
quando, para todo 
 dado, for possível obter 
 tal que 
 sempre que 
.
Teorema 9: 
 é igual a L se e somente se existirem 
 e 
 e ambos forem iguais a L.
 
Encontre os seguintes limites laterais:
1) Seja f definida por 
 
a) Trace um esboço do gráfico de f;
b) Encontre cada um dos seguintes limites se existirem:
 
, 
, 
2) Seja f definida por 
 
a) Trace um esboço do gráfico de f;
b) Encontre cada um dos seguintes limites se existirem:
 
, 
, 
Continuidade de uma função em um número
Definição 6: Dizemos que uma função f é contínua em 
 se, e somente se, as seguintes condições forem satisfeitas
1)	
 existe;
2)	
 existe;
3)	
.
Exercício 1: Seja f uma função definida por 
, se 
, e 
. Verifique se f é uma função contínua em 
. 
Continuidade de uma Função em um Intervalo Fechado
Definição 7: Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo fechado 
 se, e somente se, f é contínua em todo x, tal que, 
 e, além disso, 
 e 
.
Função Contínua por Partes
Definição 8: Dizemos que uma função f é contínua por partes em um intervalo fechado 
 se, e somente se, f é contínua em todos os pontos do intervalo 
, exceto, num número finito de pontos do intervalo,
.
Teorema 10: Se as funções f e g forem contínuas em 
, então:
1)	
 é contínua em 
;
2) 	
 é contínua em 
;
3) 	
 é contínua em 
;
4) 	
 é contínua em 
 se 
 e tem uma descontinuidade 	em 
 	se 
.
 
Teorema 11: (Teorema do Valor Intermediário). Se f for contínua em um intervalo fechado 
 e 
 é um número qualquer entre 
 e 
, inclusive, então existe pelo menos um número x no intervalo 
 tal que 
.
Teorema 12: Se f for uma função contínua em 
, e se 
 e 
 forem diferentes de zero e tiverem sinais opostos, então existe pelo menos uma solução da equação 
 no intervalo aberto 
.
Exercícios:
1) Encontre o valor da constante k que torna a função 
 contínua em 
. Faça um esboço do gráfico da função resultante.
2) Encontre o valor da constante k que torna a função 
 contínua em 
. Faça um esboço do gráfico da função resultante.
3) Encontre os valores das constantes c e k que tornam a função 
 contínua em 
 e em 
.
Faça um esboço do gráfico da função resultante.
4) Encontre os valores das constantes c e k que tornam a função 
 contínua em 
 e em 
.
Faça um esboço do gráfico da função resultante.
5) Encontre o ponto de descontinuidade e determine se a descontinuidade da função 
 é removível.
6) Ache o ponto de descontinuidade e determine se a descontinuidade da função 
 é removível.
7) Ache o ponto de descontinuidade e determine se a descontinuidade da função 
 é removível.
8) Seja f definida por 
. Verifique que f não é contínua em 
. O que se pode fazer para tornar esta função contínua em 
?
9) Considere a função 
 definida por
chamada de função degrau unitário. Encontre, se existir,
a)	
 
b)	
 
c)	
10) Seja 
 a função definida por 
. Considere a função 
 definida por 
.
a)	construa o gráfico de 
b)	determine se g é contínua em 
 
11) Encontre o domínio e construa o gráfico da função 
.
12) Encontre o domínio e construa o gráfico da função 
.
Teorema 13: Uma função polinomial é contínua em todo 
.
Demonstração: Para demonstrar esse teorema, consideremos a função polinomial f definida por:
, 
onde n é um inteiro não-negativo, e 
 são constantes reais.
Notação Sigma: Podemos usar a letra grega sigma maiúscula, (, para representar a função f de uma forma mais concentrada.
Ou seja,
pode ser escrita da seguinte forma,
onde 
 em que n é um inteiro não-negativo, e cada 
 é uma constante real.
Limites infinitos e assíntotas verticais
Se os valores de f (x) crescem indefinidamente quando x tende a 
, pela direita ou pela esquerda, então podemos escrever
 ou 
 
Do mesmo modo obtemos
 ou 
Definição 4: Uma reta 
 é chamada de assíntota vertical do gráfico de uma função f se f (x) tende a 
 ou 
, quando x tende a a pela direita ou pela esquerda.
Limites no infinito e assíntotas horizontais
Se os valores de f (x) se tornam cada vez mais próximos de um número L, à medida que x cresce indefinidamente, então escrevemos
Do mesmo modo obtemos
Definição 5: Uma reta 
 é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se
, quando 
 ou 
.
Exercícios:
1) Seja 
. Calcule os seguintes limites: 
, 
, 
 e 
Ache os seguintes limites:
2) 
,	3) 
,		4) 
, 5) 
,
6) 
,	7) 
,	8) 
,	9) 
,
10) 
,	11) 
,		12) 
,	13) 
,
14) 
,	15) 
,		16) 
,
17)
, 
A Inclinação de uma Curva
Definição 6: Dada a curva C definida por 
, seja 
 um ponto fixo sobre ela, isto é, 
. A inclinação da curva em 
 é o limite da inclinação das retas que passam por 
 e outro ponto 
 da curva, isto é, 
, quando Q se aproxima de 
.
Podemos obter a inclinação da curva 
 em 
 na forma de limite, do seguinte modo:
 ou 
Exercícios:
1)	Ache a inclinação da curva 
 no ponto 
.
2)	Ache a inclinação da curva 
 no ponto 
.
3)	Ache a inclinação da curva 
 no ponto 
.
4)	Ache a inclinação da curva 
 no ponto 
.
5)	Ache a inclinação da curva 
 no ponto 
.
6)	Ache a inclinação da curva 
 no ponto 
.
7)	Ache a inclinação da curva 
 no ponto 
.
8)	Ache a inclinação da curva 
 no ponto 
.
9)	Ache a inclinação da curva 
 no ponto 
.
10)	Ache a inclinação da curva 
 no ponto 
.
11)	Ache a inclinação da curva 
 no ponto 
.
12)	Ache a inclinação da curva 
 no ponto 
.
13)	Ache a inclinação da curva 
 no ponto 
.
14)	Ache a inclinação da curva 
 no ponto 
.
15)	Ache a inclinação da curva 
 no ponto 
.
16)	Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços de 	papelão retangulares com 20cm de comprimento e 12cm de 	largura, cortando
	quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados.
a) 	Encontre a expressão para o volume V da caixa em função do lado do quadrado
	a ser cortado.
b) 	Encontre o domínio da funçãoV.
c) 	Encontre 
.
 
17)	Uma caixa aberta em cima tem um volume de 
. O comprimento b 	da base é o dobro da largura l. O material da 	base custa R$ 10,00 por 	metro quadrado, ao passo que o 	material das laterais custa R$ 6,00 por	metro quadrado.
a)	Expresse o custo total C do material em função da largura l da 	base.
b)	Encontre o domínio da função C.
c)	Encontre 
.
18) 	A área de um círculo de raio r é dada pela função 
. 	Encontre,
.
19) 	O volume de uma esfera de raio r é dado pela função 	
. 	Encontre,
.
20) 	Encontre o domínio e a imagem da função 
. Faça um 	esboço do gráfico de f.
	
21) 	Considere a função 
.
a)	Encontre, se existir, 
, 
, 
 e 
.
b)	Encontre, se existir, as assíntotas horizontal e vertical. 
c)	Construa o gráfico da função f e calcule a inclinação da curva 	
 no ponto 
.
22) 	Considere a função 
.
a)	Construa o gráfico de f e verifique, pela definição de 	continuidade, que f 	é contínua em 
.
b)	Encontre, se existir, 
 e 
. 
23) 	Considere a função 
.
a)	Construa o gráfico de f e verifique, pela definição de 	continuidade, que f 	é contínua em 
.
b)	Encontre, se existir, 
 e 
.
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