Lista 09 Aplicações da Derivada

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UFRN – CCET – Departamento de Matemática
MAT0318 – Cálculo Básico I - Turma 01 – Local 3H4
Lista de Exercícios 09 - 28/05/2012
Aluno(a):___________________________________
Prof. Roosewelt F. Soares
Aplicações da Derivada
Máximos e Mínimos de Funções
Definição 1: Uma função f tem um máximo relativo em 
, se existir um intervalo aberto I, contendo 
, tal que 
 para todo 
.
Definição 2: Uma função f tem um mínimo relativo em 
, se existir um intervalo aberto I, contendo 
, tal que 
 para todo 
.
Obs. 1: Os pontos de máximo e mínimo relativos de uma função f são chamados de extremos relativos de f .
Obs. 2: Seja 
 uma função contínua em 
. Então, os extremos relativos de f ocorrem nas seguintes situações:
(i)	Nos extremos do intervalo 
, ou 
(ii)	Onde f não é derivável, ou
(iii)	Se f for derivável, nos pontos em que sua derivada é nula.
Estes pontos são chamados de pontos críticos de f .
Teorema 1: Seja 
 uma função contínua no intervalo fechado 
 e derivável no intervalo aberto 
. Seja 
 um ponto no qual f tem um extremo relativo. Então, 
.
Dem. Suponhamos que f tem um máximo relativo em 
. Então, existem 
 e 
 e, além disso, 
 pois f é derivável em 
.
Temos,
e
Do fato que 
, concluímos que 
.
Se f tem um mínimo relativo em 
, a demonstração é análoga.
Definição 3: Sejam 
 uma função e 
. Dizemos que 
 é um ponto de máximo absoluto para f em 
 se,
 para todo 
.
Definição 4: Sejam 
 uma função e 
. Dizemos que 
 é um ponto de mínimo absoluto para f em 
 se,
 para todo 
.
Exercício 1: Seja 
 a função definida por 
. Encontre o máximo absoluto e o mínimo absoluto para f neste intervalo.
Teorema 2: Seja 
 uma função contínua em 
. Então, f tem máximo e mínimo absoluto em 
.
Teorema de Rolle
Teorema 2: Seja 
 uma função contínua no intervalo fechado 
 e derivável no intervalo aberto 
. Se 
, então existe pelo menos um ponto c em 
, isto é, 
, tal que, 
.
Comentário: A tangente ao gráfico de f onde a derivada se anula é paralela ao eixo x, e, deste modo, é paralela à reta secante que liga os dois pontos extremos 
 e 
 no gráfico. A reta que liga dois pontos em uma curva – ou o gráfico de uma função, em nosso contexto – é, frequentemente, reconhecida como uma reta secante. Deste modo, o teorema de Rolle assegura a existência de um ponto no qual a tangente ao gráfico é paralela à secante, que já se sabe ser horizontal.
Demonstração:
Parte 1: Seja 
, para todo x, 
. Então, 
 para todo x, 
. Portanto, qualquer número entre a e b pode ser tomado para 
.
Parte 2: Seja 
, para algum x, 
. Como f é contínua em 
, então pelo Teorema 2, f atinge seu máximo e seu mínimo em 
. Sendo 
 para algum 
, um dos extremos de f será diferente de c. Como 
, esse extremo será atingido em um ponto 
.
Como f é derivável em 
, então pelo Teorema 1, 
.
Teorema do Valor Médio - TVM
Teorema 3: Seja 
 uma função contínua no intervalo fechado 
 e derivável no intervalo aberto 
. Então, existe pelo menos um ponto c em 
, tal que,
.
Comentário: O Teorema do Valor Médio assegura a existência de um ponto no qual a tangente é paralela à secante que une os pontos 
 e 
 no gráfico. Claramente se observa que o Teorema de Rolle é um caso particular do TVM em que f satisfaz uma condição adicional 
.
Exercícios:
1)	Considere a função 
 definida por 
. Encontre 	pelo menos um ponto que satisfaça o TVM.
2)	Considere a função 
 definida por 
. 	Encontre pelo menos um ponto que satisfaça o TVM.
Corolário 1: Suponha que 
 é uma função contínua no intervalo fechado 
 e derivável no intervalo aberto 
. Suponha que, para todo x no intervalo aberto 
, o valor da derivada 
 pertença a um determinado conjunto S de números reais. Então, para quaisquer dois pontos distintos 
 e 
 em 
 o valor do quociente,
também pertence a S.
Dem.: Suponhamos, sem perda de generalidade, que 
. O intervalo 
 está contido no intervalo 
. Uma vez que f é derivável em 
, ela é contínua 
 e derivável 
. Pelo Teorema do Valor Médio aplicado a f em 
, existe um número 
 em 
, tal que, 
. Mas 
 está contido em 
, então 
. Por hipótese, 
 pertence a S. Então, 
 também pertence a S.
Teorema 5: Seja 
 uma função contínua em 
 e derivável em 
.
(i)	Se 
 para todo 
, então f é crescente em 
;
(ii)	Se 
 para todo 
, então f é decrescente em 
.
Dem. Sejam 
 e 
 dois números em 
 tais que 
. Então f é contínua em 
 e derivável em 
. Pelo TVM, segue que, existe 
, tal que,
(i)	Por hipótese, 
 para todo 
. Então 
. Logo, 	
. Portanto, f é crescente em 
.
Exercício 1: Seja 
 a função definida por 
. Determine os intervalos onde f é crescente ou decrescente.
Critérios para Determinar os Extremos de uma Função
Teorema 6: (Critério da Derivada Primeira) - Seja 
 uma função contínua em 
 e derivável em 
, exceto possivelmente num ponto 
.
(i)	Se 
 para todo 
 e 
 para todo 
, então f tem um 	máximo relativo em 
.
(ii)	Se 
 para todo 
 e 
 para todo 
, então f tem um 	mínimo relativo em 
.
Dem. (i): Podemos concluir que f é crescente em 
 e decrescente em 
. 	Portanto, 
 para todo 
 em 
 e assim f tem um máximo 	relativo em 
.
Teorema 7: (Critério da Derivada Segunda) - Sejam 
 uma função contínua em 
, derivável em 
 e 
 um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, 
, com 
. Se 
 é derivável em 
, então:
(i)	Se 
, f tem um máximo relativo em 
.
(ii)	Se 
, f tem um mínimo relativo em 
.
Concavidade e Pontos de Inflexão
Definição 5: Uma função f é dita côncava para cima no intervalo 
, se 
 for crescente neste intervalo, ou seja, se 
 neste intervalo.
Definição 6: Uma função f é dita côncava para baixo no intervalo 
, se 
 for decrescente neste intervalo, ou seja, se 
 neste intervalo.
Definição 7: Um ponto 
 do gráfico de uma função contínua f é chamado de ponto de inflexão, se existe um intervalo 
 contendo 
, tal que uma das seguintes situações ocorra:
(i)	 f é côncava para cima no intervalo 
 e côncava para baixo no intervalo 	
.
(ii)	 f é côncava para baixo no intervalo 
 e côncava para cima no intervalo 	
.
Ex. 2: 	Seja 
 a função definida por 
. Determine:
(a)	os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
(b)	os pontos de interseção com os eixos coordenados.
(c)	os pontos de máximo relativo e mínimo relativo de f.
(d)	os pontos de inflexão do gráfico de f.
(e)	
 e 
.
(f)	faça um esboço do gráfico de f.
Ex. 3: 	Seja 
 a função definida por 
. Determine:
(a)	os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
(b)	os pontos de interseção com os eixos coordenados.
(c)	os pontos de máximo relativo e mínimo relativo de f.
(d)	os pontos de inflexão do gráfico de f.
(e)	
 e 
.
(f)	faça um esboço do gráfico de f.
Ex. 4: 	Seja 
 a função definida por 
. Determine:
(a)	os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
(b)	os pontos de interseção com os eixos coordenados.
(c)	os pontos de máximo relativo e mínimo relativo de f.
(d)	os pontos de inflexão do gráfico de f.
(e)	
 e 
.
(f)	faça um esboço do gráfico de f.
Ex. 5: 	Seja 
 a função definida por 
. Determine:
(a)	os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
(b)	os pontos de máximo relativo e mínimo relativo de f.
(c)	os pontos de inflexão do gráfico de f.
(e)	
 e 
.
(f)	faça um esboço do gráfico de f.
Ex. 6: 	Seja 
 a função definida por 
. Determine:
(a)	os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
(b)	os pontos de interseção com os eixos coordenados.
(c)	os pontos de máximo relativo e mínimo relativo de f.
(d)	os pontos de inflexão do gráfico de f.
(e)	
 e.
(f)	faça um esboço do gráfico de f.
Ex. 7: 	Seja 
 a função definida por 
. Determine:
(a)	os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
(b)	os pontos de interseção com os eixos coordenados.
(c)	os pontos de máximo e mínimo de f.
(d)	os pontos de inflexão do gráfico de f se existir.
(e)	faça um esboço do gráfico de f.
Ex. 8: 	Seja 
 a função definida por 
. Determine:
(a)	os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
(b)	os pontos de interseção com os eixos coordenados, se existirem.
(c)	os pontos de máximo e mínimo de f.
(d)	os pontos de inflexão do gráfico de f se existirem.
(e)	
 e 
.
(f)	faça um esboço do gráfico de f.
Ex. 9: 	Uma firma que fabrica saias para mulheres estima que o custo total 
 em 	reais por fabricar x saias é dado pela equação
.
	Numa semana o rendimento total 
 em reais é dado pela equação
,
	onde x é o número de saias vendidas.
(a)	Considerando que o número x de saias vendidas numa semana seja o mesmo 	número de saias fabricadas, escreva uma equação para o lucro semanal 
. 
(b)	Considerando que 
, calcule o lucro máximo semanal.
Ex. 10: O custo total C da fabricação de x brinquedos é dado por
.
	Encontre o nível de produção x onde o custo total seja mínimo.
Ex. 11: O custo total C da fabricação de certa encomenda é dado pela equação
,
	onde x é o número de unidades produzidas.
(a)	Encontre o custo marginal quando 40 unidades são produzidas. 
(b)	Determine x quando o custo total é mínimo.
Ex. 12: Uma centena de animais pertencendo a uma espécie em perigo de extinção 	estão colocados numa reserva de proteção ambiental. Depois de t anos a 	população p 	desses animais na reserva é dada por
.
	Após quantos anos a população é máxima? Resp. 5 anos.
Ex. 13: Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que 	o seu volume seja 
. O material da base vai custar 
 e o 	material dos lados 
. Encontre as dimensões da caixa de modo 	que o custo do material seja mínimo.
Ex. 14: Encontre as dimensões em centímetros do retângulo de área máxima que 	pode ser inscrito num semicírculo de raio a, tendo sua base apoiada no 	diâmetro do semicírculo. Resp. 
 e 
.
Ex. 15: Um retângulo é inscrito num triângulo retângulo de catetos que medem 
 e 	
. Encontre as dimensões do retângulo de área máxima que pode ser 	inscrito no triângulo estando o cateto menor na posição horizontal e o maior na 	vertical. Resp. 
 e 
.
4)	Se 
 encontre 
.
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