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Cap14 Catalise
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Prof Marco A. B. Leite 2016 Reações de Organometálicos e catálise Química Inorgânica Prof Marco A.B.Leite 1 Reações de organometálicos Reações envolvendo perda e ganho de ligantes: Reações envolvendo modificação de ligantes +C2H4 -CO M n C O C O C O C H 3 O C O C + CO M n C O C O C O C H 3 O C O C C O 2 Reações de organometálicos Reações envolvendo perda e ganho de ligantes: Reações envolvendo modificação de ligantes Inserção -migração de alquila eliminação de hidreto abstração dissociação ou substituição de ligantes adição oxidativa eliminação redutiva deslocamento nucleofílico 3 Reações de organometálicos Reações envolvendo perda e ganho de ligantes: dissociação ou substituição de ligantes 4 Reações de organometálicos Reações envolvendo perda e ganho de ligantes: dissociação ou substituição de ligantes 5 Reações de organometálicos Reações envolvendo perda e ganho de ligantes: dissociação ou substituição de ligantes adição oxidativa I r O C C l P E t 3 E t 3 P Ir(I) Ir(III) Ir(III) Ir(III) I r O C H P E t 3 E t 3 P H C l H 2 H I I r O C I P E t 3 E t 3 P H C l C l C H 3 B r I r O C B r P E t 3 E t 3 P C H 3 6 Reações de organometálicos Reações envolvendo perda e ganho de ligantes: dissociação ou substituição de ligantes adição oxidativa ciclometalação Ir(I) Ir(III) 7 Reações de organometálicos Reações envolvendo perda e ganho de ligantes: dissociação ou substituição de ligantes adição oxidativa eliminação redutiva Pd(II) Pd(0) 8 Reações de organometálicos eliminação redutiva Pd(II) Pd(0) Pd(II) Pd(0) 9 Reações de organometálicos Reações envolvendo perda e ganho de ligantes: dissociação ou substituição de ligantes adição oxidativa eliminação redutiva Resumindo 10 Reações de organometálicos Reações envolvendo perda e ganho de ligantes: dissociação ou substituição de ligantes adição oxidativa eliminação redutiva deslocamento nucleofílico complexo negativo grupo abandonador grande 11 Reações de organometálicos Reações envolvendo perda e ganho de ligantes: dissociação ou substituição de ligantes adição oxidativa eliminação redutiva deslocamento nucleofílico 1- + I1- complexo negativo grupo abandonador grande 12 Reações de organometalicos Reações envolvendo modificação de ligantes Inserção 13 Reações de organometalicos Reações envolvendo modificação de ligantes Inserção 14 Reações envolvendo modificação de ligantes Inserção -migração de alquila Reações de organometalicos 15 Reações envolvendo modificação de ligantes Inserção -migração de alquila eliminação de hidreto Reações de organometalicos 16 Reações envolvendo modificação de ligantes Inserção -migração de alquila eliminação de hidreto abstração Reações de organometalicos necessita de um acido de Lewis para a retirada da base não ha mudanças na esfera de coordenação 17 Catálise Sintesis de ácido acético Monsanto cat: 18 Catálise 16 e 16 e 18 e 18 e CH3OH CH3CO2H CO 19 Catálise Deuteração catalítica D 20 Catálise Deuteração catalítica -H2 + C6H6 -H2 +D2 C6D6 C6H6 D2 21 Catálise Deuteração catalítica -H2 + C6H6 -H2 +D2 Eliminação redutiva adição oxidativa Ta(V) Ta(III) Ta(V) Ta(III) Eliminação redutiva Ta(III) Ta(V) Eliminação redutiva adição oxidativa 22 Catálise Deuteração catalítica -H2 + C6H6 -H2 +D2 Qual é a força motriz (ou impulsionadora) das reações? Tamanho dos ligantes Deficiência ou excesso de elétrons (regra 18 elétrons) Geometria desfavorável para o metal Nox pouco comum para o metal 23 Catálise Deuteração catalítica -H2 + C6H6 -H2 +D2 Qual é a força motriz (ou impulsionadora) das reações? Geometria desfavorável para o metal? Compostos de tântalo podem ser octaédrico (6 ligantes), TBP (cinco ligantes) ou Triangular (3 ligantes) 24 Catálise Deuteração catalítica -H2 + C6H6 -H2 +D2 Qual é a força motriz (ou impulsionadora) das reações? Nox pouco comum para o metal Os nox’s mais comuns para o tântalo são: 5+ ou 3+ 25 Catálise Deuteração catalítica -H2 + C6H6 -H2 +D2 Qual é a força motriz (ou impulsionadora) das reações? Tamanho dos ligantes Hidretos são ligantes pequenos, mas o ciclopentadienila é um ligante grande 26 Catálise Deuteração catalítica -H2 + C6H6 -H2 +D2 18 e 16 e 16 e 16 e 18 e 18 e Qual é a força motriz (ou impulsionadora) das reações? Regra dos 18 elétrons 27 Catálise Hidroformilação catalítica Pressão e calor d8 quadrado plano + 28 Catálise Hidroformilação catalítica +C2H4 +CO +CO Migração H migração de alquila +H2 -CO C2H4 CO H2 29 Catálise Catálise de Wacker ou de Smidt D8 quadrado plano 30 Catálise Catálise de Wacker ou de Smidt P d C l C l C l C l -2 P d C l C l C l C H 2 H 2 C P d H 2 O C l C l C H 2 H 2 C P d H 2 O C l C H 2 C l C H 2 O H H 2 O C H 2 H 2 C C l C l H 2 O + Pd(0) + 2 Cl - + CuCl2 31 Catálise Catálise de Wacker ou de Smidt 32 Catálise Hidrogenação através do Catalisador de Wilkinson 33 Catálise Hidrogenação através do Catalisador de Wilkinson +H2 Adição oxidativa +H2 Adição oxidativa +C2H4 Coordenação com olefina - PPh3 Dissociação de ligante Migração H e adição de PPh3 PPh3 eliminação redutiva 34 Catálise Hidrogenação através do Catalisador de Wilkinson PPh3 +H2 +H2 +C2H4 - PPh3 + PPh3 - C2H6 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 35 Catálise Polimerização Ziegler-Natta 36 Catálise Polimerização Ziegler-Natta -Cl +C2H4 Migração de olefina +C2H4 Migração de olefina +C2H4 inserção 37 Catálise Polimerização Ziegler-Natta Proceedings of the National Academy of Science of The United States of America October 2006 38 Catálise Polimerização Ziegler-Natta Hongbo Li and Tobin J. Marks Proceedings of the National Academy of Science of The United States of America October 2006 39 Catálise Produção de gás d’água 40 Catálise Produção de gás d’água 41 Catálise Produção de gás d’água - Resumindo 42 Catálise Senhores, Chegamos ao final das aulas de montagem de um catalisador. Agradeço a atenção de vocês. 43 orbitais atômicos com suas orientações nos eixos cartesianos Orbitais Atômicos 44 Simetria - diagrama 45 Tabela Periódica 46 C1 1- GRUPOS DE BAIXA SIMETRIA (grupos não axiais) C1 E A 1 Cs E sig-h A' 1 1 x, y, Rz A" 1 -1 z, Rx, Ry yz, xz Gama 4 0 Resultado 4 0 2 A' 4 0 2 A" Ci E i Ag 1 1 Rx, Ry, Rz Au 1 -1 x, y, z Gama 1 -1 Resultado 1 -1 0 Ag 1 1 1 Au Cn 2- OS GRUPOS AXIAIS Cn C6 E C6 C3 C2 (C3)2 (C6)5 E=exp(2pi i/6) A 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 C2 E C2 B 1 -1 1 -1 1 -1 A 1 1 z, Rz x2, y2, z2, xy E1 1 E _E2 -1 _E* E* (x, y) (yz, xz) B 1 -1 x, y, Rx, Ry yz, xz 1 E* _E2* -1 _E E ( Rx, Ry) Gama 2 0 E2 1 _E _E* 1 _E2* _E (x2-y2, xy) Resultado 1 _E* _E 1 _E2 _E* 2 0 1 A Gama 6 0 0 0 0 0 2 0 1 B Resultado 6 0 0 0 0 0 1 A C3 E C3 (C3)2 E=exp(2pi i/3) 6 0 0 0 0 0 1 B A 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E1 E 1 E E* (x, y)( Rx, Ry) (x2-y2, xy)(yz, xz) 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E1 1 E* E 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E2 Gama 3 0 0 6 0 0 0 0 0 0 E2 Resultado 3 0 0 1 A 3 0 0 0 B C7 E C7 (C7)2 (C7)3 (C7)4 (C7)5 (C7)5 E=exp(2pi i/7) A 1 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 E1 1 E E2 E3 E3* E2* E* (x, y) (yz, xz) C4 E C4 C2 (C4)3 1 E* E2* E3* E3 E2 E ( Rx, Ry) A 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 E2 1 E2 E3* E* E E3 E2* (x2-y2, xy) B 1 -1 1 -1 x2-y2, xy 1 E2* E3* E E* E3* E2 E 1 i -1 _ i (x, y)( Rx, Ry) (yz, xz) E3 1 E3 E* E2 E2* E E3* 1 _ i -1 i 1 E3* E E2* E2 E* E3 Gama 4 0 0 0 Gama 7 0 0 0 0 0 0 Resultado Resultado 4 0 0 0 1 A 7 0 0 0 0 0 0 1 A 4 0 0 0 0 E 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E1 4 0 0 0 0 E 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E1 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E2 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E2 C5 E C5 (C5)2 (C5)3 (C5)4 E=exp(2pi i/5) 7 0 0 0 0 0 0 0 E3 A 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 7 0 0 0 0 0 0 0 E3 E1 1 E E2 E2* E* (x, y)( Rx, Ry) (yz, xz) 1 E* E2* E2 E E2 1 E2 E* E E2* (x2-y2, xy) C8 E C8 C4 C2 (C4)3 (C8)3 (C8)5 (C8)7 E=exp(2pi i/8) 1 E2* E E* E2 A 1 1 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 Gama 5 0 0 0 0 B 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 Resultado E1 1 E i -1 1 _E* _E* E* (x, y) (yz, xz) 5 0 0 0 0 1 A 1 E* _i -1 i _E _E* E ( Rx, Ry) 5 0 0 0 0 0 E1 E2 1 i -1 1 -1 _i i _i (x2-y2, xy) 5 0 0 0 0 0 E1 1 _i -1 1 -1 i _i i 5 0 0 0 0 0 E2 E3 1 _E* i -1 _i E* E _E* 5 0 0 0 0 0 E2 1 _E _i -1 i E E* _E Gama 8 0 0 0 0 0 0 0 Resultado 8 0 0 0 0 0 0 0 1 A 8 0 0 0 0 0 0 0 1 B 8 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 0 E1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E3 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E3 Dn 3- OS GRUPOS Dn D2 E C2(Z) C2(Y) C2(X) A 1 1 1 1 x2, y2, z2 B1 1 1 -1 -1 z, Rz xy B2 1 -1 1 -1 y, Ry xz B3 1 -1 -1 1 X, RX yz Gama 4 0 0 0 Resultado 4 0 0 0 1 A 4 0 0 0 1 B1 4 0 0 0 1 B2 4 0 0 0 1 B3 D3 E 2C3 3C2 A 1 1 1 x2+y2, z2 B 1 1 -1 z, Rz E 2 -1 0 (X,y), (Rx, Ry) (x2-y2, xy)(xz,yz) Gama 3 0 0 Resultado 3 0 0 1 A 3 0 0 0 B 6 0 0 2 E D4 E C4 C2(=(C4)2) 2C2' 2C2" A1 1 1 1 1 1 x2+y2, z2 A2 1 1 1 -1 -1 z, Rz B1 1 -1 1 1 -1 x2- y2 B2 1 -1 1 -1 1 xy E 2 0 -2 0 0 (x,y), (Rx, Ry) (xz, yz) Gama 0 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 B1 0 0 0 0 0 0 B2 0 0 0 0 0 0 E D5 E 2C5 2C5)2 5C2 A1 1 1 1 1 x2+ y2, z2 A2 1 1 1 -1 z, Rz E1 2 2COS 72 2COS144 0 (x,y)(Rx, Ry) (xz, yz) E2 2 2COS 144 2COS72 0 (x2-y2,xy) Gama 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 E1 0 0 0 0 0 E2 D6 E 2C6 2C3 C2 3C2' 3C2" A1 1 1 1 1 1 1 x2+y2, z2 A2 1 1 1 1 -1 -1 z, Rz B1 1 -1 1 -1 1 -1 B2 1 -1 1 -1 -1 1 E1 2 1 -1 -2 0 0 (x,y), (Rx, Ry) (xz, yz) E2 2 -1 -1 2 0 0 (x2-y2, xy) Gama 0 0 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 0 B1 0 0 0 0 0 0 0 B2 0 0 0 0 0 0 0 E1 0 0 0 0 0 0 0 E2 Cnv 4- OS GRUPOS Cnv C5v E 2C4 C2 2sig-v 2sig-d A1 1 1 1 1 1 z C2v E C2(z) sig-v (xz) sig'-v (yz) A2 1 1 1 -1 -1 Rz A1 1 1 1 1 z B1 1 -1 1 1 -1 A2 1 1 -1 -1 Rz xy B2 1 -1 1 -1 1 xy B1 1 -1 1 -1 x, Ry xz E 2 0 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) B2 1 -1 -1 1 y, Rx yz Gama 0 0 0 0 0 Gama 4 0 0 0 Resultado Resultado 0 0 0 0 0 0 A1 4 0 0 0 1 A1 0 0 0 0 0 0 A2 4 0 0 0 1 A2 0 0 0 0 0 0 B1 4 0 0 0 1 B1 0 0 0 0 0 0 B2 4 0 0 0 1 B2 0 0 0 0 0 0 E C3v E 2C3 C6v E 2C6 2C3 C2 3sig-v 3sig-d A1 1 1 1 z x2+y2, z2 A1 1 1 1 1 1 1 z A2 1 1 -1 Rz A2 1 1 1 1 -1 -1 Rz E 2 -1 0 x,y; Rx, Ry (x2-y2, xy); (xz, yz) B1 1 -1 1 -1 1 -1 Gama 3 0 1 B2 1 -1 1 -1 -1 1 Resultado E1 2 1 -1 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) 3 0 3 1 A1 E2 2 -1 -1 2 0 0 3 0 -3 0 A2 Gama 0 0 0 0 0 0 6 0 0 1 E Resultado 0 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 0 B1 C4v E 2C4 C2 2sig-v 0 0 0 0 0 0 0 B2 A1 1 1 1 1 1 z 0 0 0 0 0 0 0 E A2 1 1 1 -1 -1 Rz B1 1 -1 1 1 -1 B2 1 -1 1 -1 1 xy E 2 0 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) Gama 5 1 1 3 1 Resultado 5 2 1 6 2 2 A1 5 2 1 -6 -2 0 A2 5 -2 1 6 -2 1 B1 5 -2 1 -6 2 0 B2 10 0 -2 0 0 1 E Cnh 5- OS GRUPOS Cnh C2h E C2 i sig-h Ag 1 1 1 1 Rz Bg 1 -1 1 -1 Rx; Ry xz; yz Au 1 1 -1 -1 z Bu 1 -1 -1 1 x, y gama 6 0 0 2 Resultado 6 0 0 2 2 Ag 6 0 0 -2 1 Bg 6 0 0 -2 1 Au 6 0 0 2 2 Bu Dnh 6- OS GRUPOS Dnh D2h E C2 (z) C2 (y) C2 (x) i sig-xy sig-xz sig-yz Resultado D4h E 2C4 C2 2C2' 2C2" i 2S4 sig-h 2sig-v 2sig-d Resultado IV Raman D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 3sig-v Resultado Ag 1 1 1 1 1 1 1 1 A1g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A1' 1 1 1 1 1 1 gama 4 0 0 0 0 4 0 0 gama 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 gama 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 4 0 0 1 Ag x2; y2; z2 4 0 0 4 0 0 0 4 4 0 1 A1g x2+y2; z2 18 0 -6 4 -4 12 2 A1' x2+y2, z2 B1g 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 A2g 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 A2' 1 1 -1 1 1 -1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B1g Rz xy 4 0 0 -4 0 0 0 4 -4 0 0 A2g Rz 18 0 6 4 -4 -12 1 A2' Rz B2g 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 B1g 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 E' 2 -1 0 2 -1 0 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B2g Ry xz 4 0 0 4 0 0 0 4 4 0 1 B1g x2-y2 36 0 0 8 4 0 4 E' x, y x2-y2, xy B3g 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 B2g 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 A1" 1 1 1 -1 -1 -1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B3g Rx yz 4 0 0 -4 0 0 0 4 -4 0 0 B2g xy 18 0 -6 -4 4 -12 0 A1" Rx Au 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 Eg 2 0 -2 0 0 2 0 -2 0 0 A2" 1 1 -1 -1 -1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 Au 8 0 0 0 0 0 0 -8 0 0 0 Eg Rx, Ry xz, yz 18 0 6 -4 4 12 3 A2" z B1u 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 A1u 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 E" 2 -1 0 -2 1 0 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B1u z 4 0 0 4 0 0 0 -4 -4 0 0 A1u 36 0 0 -8 -4 0 2 E" Rx, Ry xz, yz B2u 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 A2u 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B2u y 4 0 0 -4 0 0 0 -4 4 0 0 A2u z B3u 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 B1u 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B3u x 4 0 0 4 0 0 0 -4 -4 0 0 B1u B2u 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 Tabela Periódica dos elementos D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 3sig-v Resultado 4 0 0 -4 0 0 0 -4 4 0 0 B2u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A1' 1 1 1 1 1 1 Eu 2 0 -2 0 0 -2 0 2 0 0 H He gama 5 2 1 3 0 3 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 Li Be B C N O F Ne 5 4 3 3 0 9 2 A1' x2+y2; z2 8 0 0 0 0 0 0 8 0 0 1 Eu x, y Na Mg Al Si P S Cl Ar A2' 1 1 -1 1 1 -1 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr 5 2 1 3 0 3 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe 5 4 -3 3 0 -9 0 A2' Rz Cs Ba Lu Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn E' 2 -1 0 2 -1 0 Fr Ra Lr Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Uub Uut Uuq Uup Uuh Uus Uuo 5 2 1 3 0 3 10 -4 0 6 0 0 1 E' (x,y) (x2-y2; xy) La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tn Yb Lu A1" 1 1 1 -1 -1 -1 D2h E i IV Raman Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr 5 2 1 3 0 3 Ag 1 1 1 1 1 1 1 1 5 4 3 -3 0 -9 0 A1" B1g 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 xy A2" 1 1 -1 -1 -1 1 B2g 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 xz 5 2 1 3 0 3 B3g 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 yz 5 4 -3 -3 0 9 1 A2" z Au 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 E" 2 -1 0 -2 1 0 B1u 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 z 5 2 1 3 0 3 B2u 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 y 10 -4 0 -6 0 0 0 E" (Rx,Ry) (xz, yz) B3u 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 x D5h E 2C5 2C5(2) 5C2 sig-h 2S5 2S5(3) 5sig-v Resultado A1' 1 1 1 1 1 1 1 1 gama 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 5 5 0 0 5 1 A1' x2+y2; z2 A2' 1 1 1 -1 1 1 1 -1 D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 IV Raman E IV Raman 5 0 0 1 5 0 0 1 A1' 1 1 1 1 1 1 x2+y2; z2 1 1 1 1 z 5 0 0 -5 5 0 0 -5 0 A2' Rz A2' 1 1 -1 1 1 -1 Rz 1 1 -1 -1 Rz xy E'1 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 E' 2 -1 0 2 -1 0 (x,y) (x2-y2; xy) 1 -1 1 -1 x, Ry xz 5 0 0 1 5 0 0 1 A1" 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 y, Rx yz 10 0 0 0 10 0 0 0 1 E'1 (x,y) A2" 1 1 -1 -1 -1 1 z E'2 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 E" 2 -1 0 -2 1 0 (Rx,Ry) (xz, yz) 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 1 E'2 (x2-y2; xy) A1" 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 5 -5 0 0 -5 0 A1" A2" 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 -5 -5 0 0 5 0 A2" z E"1 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 -2 -0.6180339887 1.6180339887 0 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 -10 0 0 0 0 E"1 (Rx,Ry) (xz, yz) E"2 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 -2 1.6180339887 -0.6180339887 0 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 -10 0 0 0 0 E"2 Dnd 7- OS GRUPOS Dnd Sn 8- OS GRUPOS Sn Cubicos 9- OS GRUPOS CUBICOS Td E 8C3 3C2 6S4 A1 1 1 1 1 1 x2+y2+z2 A2 1 1 1 -1 -1 E 2 -1 2 0 0 (2z2-x2-y2, x2-y2) T1 3 0 -1 1 -1 (Rx, Ry, Rz) T2 3 0 -1 -1 1 (x, y, z) (xy, xz, yz) Gama 4 1 0 0 2 Resultado 4 8 0 0 12 1 A1 4 8 0 0 -12 0 A2 8 -8 0 0 0 0 E 12 0 0 0 -12 0 T1 12 0 0 0 12 1 T2 Oh E 8C3 6C2 6C4 3C2 i 6S4 8S6 A1g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x2+y2+z2 A2g 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 Eg 2 -1 0 0 2 2 0 -1 2 0 2z2-x2-y2; x2-y2 T1g 3 0 -1 1 -1 3 1 0 -1 -1 Rx, Ry, Rz T2g 3 0 1 -1 -1 3 -1 0 -1 1 xz, yz, xy A1u 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 A2u 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 Eu 2 -1 0 0 2 -2 0 1 -2 0 T1u 3 0 -1 1 -1 -3 -1 0 1 1 x, y, z T2u 3 0 1 -1 -1 -3 1 0 1 -1 Gama 6 0 0 2 2 0 0 0 4 2 Resultado 6 0 0 12 6 0 0 0 12 12 1 A1g 6 0 0 -12 6 0 0 0 12 -12 0 A2g 12 0 0 0 12 0 0 0 24 0 1 Eg 18 0 0 12 -6 0 0 0 -12 -12 0 T1g 18 0 0 -12 -6 0 0 0 -12 12 0 T2g 6 0 0 12 6 0 0 0 -12 -12 0 A1u 6 0 0 -12 6 0 0 0 -12 12 0 A2u 12 0 0 0 12 0 0 0 -24 0 0 Eu 18 0 0 12 -6 0 0 0 12 12 1 T1u 18 0 0 -12 -6 0 0 0 12 -12 0 T2u Lineares 9- OS GRUPOS Cinfinito-v e D infinito-h PARA MOLÉCULAS LINEARES Icosaédricos 11- OS GRUPOS ICOSAÉDRICOS C1 1- GRUPOS DE BAIXA SIMETRIA (grupos não axiais) C1 E A 1 Cs E sig-h A' 1 1 x, y, Rz A" 1 -1 z, Rx, Ry yz, xz Gama 4 0 Resultado 4 0 2 A' 4 0 2 A" Ci E i Ag 1 1 Rx, Ry, Rz Au 1 -1 x, y, z Gama 1 -1 Resultado 1 -1 0 Ag 1 1 1 Au Cn 2- OS GRUPOS AXIAIS Cn C6 E C6 C3 C2 (C3)2 (C6)5 E=exp(2pi i/6) A 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 C2 E C2 B 1 -1 1 -1 1 -1 A 1 1 z, Rz x2, y2, z2, xy E1 1 E _E2 -1 _E* E* (x, y) (yz, xz) B 1 -1 x, y, Rx, Ry yz, xz 1 E* _E2* -1 _E E ( Rx, Ry) Gama 2 0 E2 1 _E _E* 1 _E2* _E (x2-y2, xy) Resultado 1 _E* _E 1 _E2 _E* 2 0 1 A Gama 6 0 0 0 0 0 2 0 1 B Resultado 6 0 0 0 0 0 1 A C3 E C3 (C3)2 E=exp(2pi i/3) 6 0 0 0 0 0 1 B A 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E1 E 1 E E* (x, y)( Rx, Ry) (x2-y2, xy)(yz, xz) 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E1 1 E* E 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E2 Gama 3 0 0 6 0 0 0 0 0 0 E2 Resultado 3 0 0 1 A 3 0 0 0 B C7 E C7 (C7)2 (C7)3 (C7)4 (C7)5 (C7)5 E=exp(2pi i/7) A 1 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 E1 1 E E2 E3 E3* E2* E* (x, y) (yz, xz) C4 E C4 C2 (C4)3 1 E* E2* E3* E3 E2 E ( Rx, Ry) A 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 E2 1 E2 E3* E* E E3 E2* (x2-y2, xy) B 1 -1 1 -1 x2-y2, xy 1 E2* E3* E E* E3* E2 E 1 i -1 _ i (x, y)( Rx, Ry) (yz, xz) E3 1 E3 E* E2 E2* E E3* 1 _ i -1 i 1 E3* E E2* E2 E* E3 Gama 4 0 0 0 Gama 7 0 0 0 0 0 0 Resultado Resultado 4 0 0 0 1 A 7 0 0 0 0 0 0 1 A 4 0 0 0 0 E 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E1 4 0 0 0 0 E 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E1 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E2 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E2 C5 E C5 (C5)2 (C5)3 (C5)4 E=exp(2pi i/5) 7 0 0 0 0 0 0 0 E3 A 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 7 0 0 0 0 0 0 0 E3 E1 1 E E2 E2* E* (x, y)( Rx, Ry) (yz, xz) 1 E* E2* E2 E E2 1 E2 E* E E2* (x2-y2, xy) C8 E C8 C4 C2 (C4)3 (C8)3 (C8)5 (C8)7 E=exp(2pi i/8) 1 E2* E E* E2 A 1 1 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 Gama 5 0 0 0 0 B 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 Resultado E1 1 E i -1 1 _E* _E* E* (x, y) (yz, xz) 5 0 0 0 0 1 A 1 E* _i -1 i _E _E* E ( Rx, Ry) 5 0 0 0 0 0 E1 E2 1 i -1 1 -1 _i i _i (x2-y2, xy) 5 0 0 0 0 0 E1 1 _i -1 1 -1 i _i i 5 0 0 0 0 0 E2 E3 1 _E* i -1 _i E* E _E* 5 0 0 0 0 0 E2 1 _E _i -1 i E E* _E Gama 8 0 0 0 0 0 0 0 Resultado 8 0 0 0 0 0 0 0 1 A 8 0 0 0 0 0 0 0 1 B 8 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 0 E1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E3 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E3 Dn 3- OS GRUPOS Dn D2 E C2(Z) C2(Y) C2(X) A 1 1 1 1 x2, y2, z2 B1 1 1 -1 -1 z, Rz xy B2 1 -1 1 -1 y, Ry xz B3 1 -1 -1 1 X, RX yz Gama 4 0 0 0 Resultado 4 0 0 0 1 A 4 0 0 0 1 B1 4 0 0 0 1 B2 4 0 0 0 1 B3 D3 E 2C3 3C2 A 1 1 1 x2+y2, z2 B 1 1 -1 z, Rz E 2 -1 0 (X,y), (Rx, Ry) (x2-y2, xy)(xz,yz) Gama 3 0 0 Resultado 3 0 0 1 A 3 0 0 0 B 6 0 0 2 E D4 E C4 C2(=(C4)2) 2C2' 2C2" A1 1 1 1 1 1 x2+y2, z2 A2 1 1 1 -1 -1 z, Rz B1 1 -1 1 1 -1 x2- y2 B2 1 -1 1 -1 1 xy E 2 0 -2 0 0 (x,y), (Rx, Ry) (xz, yz) Gama 0 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 B1 0 0 0 0 0 0 B2 0 0 0 0 0 0 E D5 E 2C5 2C5)2 5C2 A1 1 1 1 1 x2+ y2, z2 A2 1 1 1 -1 z, Rz E1 2 2COS 72 2COS144 0 (x,y)(Rx, Ry) (xz, yz) E2 2 2COS 144 2COS72 0 (x2-y2,xy) Gama 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 E1 0 0 0 0 0 E2 D6 E 2C6 2C3 C2 3C2' 3C2" A1 1 1 1 1 1 1 x2+y2, z2 A2 1 1 1 1 -1 -1 z, Rz B1 1 -1 1 -1 1 -1 B2 1 -1 1 -1 -1 1 E1 2 1 -1 -2 0 0 (x,y), (Rx, Ry) (xz, yz) E2 2 -1 -1 2 0 0 (x2-y2, xy) Gama 0 0 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 0 B1 0 0 0 0 0 0 0 B2 0 0 0 0 0 0 0 E1 0 0 0 0 0 0 0 E2 Cnv 4- OS GRUPOS Cnv C5v E 2C4 C2 2sig-v 2sig-d A1 1 1 1 1 1 z C2v E C2(z) sig-v (xz) sig'-v (yz) A2 1 1 1 -1 -1 Rz A1 1 1 1 1 z B1 1 -1 1 1 -1 A2 1 1 -1 -1 Rz xy B2 1 -1 1 -1 1 xy B1 1 -1 1 -1 x, Ry xz E 2 0 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) B2 1 -1 -1 1 y, Rx yz Gama 0 0 0 0 0 Gama 4 0 0 0 Resultado Resultado 0 0 0 0 0 0 A1 4 0 0 0 1 A1 0 0 0 0 0 0 A2 4 0 0 0 1 A2 0 0 0 0 0 0 B1 4 0 0 0 1 B1 0 0 0 0 0 0 B2 4 0 0 0 1 B2 0 0 0 0 0 0 E C3v E 2C3 C6v E 2C6 2C3 C2 3sig-v 3sig-d A1 1 1 1 z x2+y2, z2 A1 1 1 1 1 1 1 z A2 1 1 -1 Rz A2 1 1 1 1 -1 -1 Rz E 2 -1 0 x,y; Rx, Ry (x2-y2, xy); (xz, yz) B1 1 -1 1 -1 1 -1 Gama 3 0 1 B2 1 -1 1 -1 -1 1 Resultado E1 2 1 -1 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) 3 0 3 1 A1 E2 2 -1 -1 2 0 0 3 0 -3 0 A2 Gama 0 0 0 0 0 0 6 0 0 1 E Resultado 0 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 0 B1 C4v E 2C4 C2 2sig-v 0 0 0 0 0 0 0 B2 A1 1 1 1 1 1 z 0 0 0 0 0 0 0 E A2 1 1 1 -1 -1 Rz B1 1 -1 1 1 -1 B2 1 -1 1 -1 1 xy E 2 0 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) Gama 5 1 1 3 1 Resultado 5 2 1 6 2 2 A1 5 2 1 -6 -2 0 A2 5 -2 1 6 -2 1 B1 5 -2 1 -6 2 0 B2 10 0 -2 0 0 1 E Cnh 5- OS GRUPOS Cnh C2h E C2 i sig-h Ag 1 1 1 1 Rz Bg 1 -1 1 -1 Rx; Ry xz; yz Au 1 1 -1 -1 z Bu 1 -1 -1 1 x, y gama 6 0 0 2 Resultado 6 0 0 2 2 Ag 6 0 0 -2 1 Bg 6 0 0 -2 1 Au 6 0 0 2 2 Bu Dnh 6- OS GRUPOS Dnh D2h E C2 (z) C2 (y) C2 (x) i sig-xy sig-xz sig-yz Resultado D4h E 2C4 C2 2C2' 2C2" i 2S4 sig-h 2sig-v 2sig-d Resultado IV Raman D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 3sig-v Resultado Ag 1 1 1 1 1 1 1 1 A1g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A1' 1 1 1 1 1 1 gama 4 0 0 0 0 4 0 0 gama 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 gama 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 4 0 0 1 Ag x2; y2; z2 4 0 0 4 0 0 0 4 4 0 1 A1g x2+y2; z2 18 0 -6 4 -4 12 2 A1' x2+y2, z2 B1g 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 A2g 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 A2' 1 1 -1 1 1 -1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B1g Rz xy 4 0 0 -4 0 0 0 4 -4 0 0 A2g Rz 18 0 6 4 -4 -12 1 A2' Rz B2g 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 B1g 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 E' 2 -1 0 2 -1 0 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B2g Ry xz 4 0 0 4 0 0 0 4 4 0 1 B1g x2-y2 36 0 0 8 4 0 4 E' x, y x2-y2, xy B3g 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 B2g 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 A1" 1 1 1 -1 -1 -1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B3g Rx yz 4 0 0 -4 0 0 0 4 -4 0 0 B2g xy 18 0 -6 -4 4 -12 0 A1" Rx Au 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 Eg 2 0 -2 0 0 2 0 -2 0 0 A2" 1 1 -1 -1 -1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 Au 8 0 0 0 0 0 0 -8 0 0 0 Eg Rx, Ry xz, yz 18 0 6 -4 4 12 3 A2" z B1u 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 A1u 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 E" 2 -1 0 -2 1 0 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B1u z 4 0 0 4 0 0 0 -4 -4 0 0 A1u 36 0 0 -8 -4 0 2 E" Rx, Ry xz, yz B2u 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 A2u 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B2u y 4 0 0 -4 0 0 0 -4 4 0 0 A2u z B3u 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 B1u 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B3u x 4 0 0 4 0 0 0 -4 -4 0 0 B1u B2u 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 Tabela Periódica dos elementos D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 3sig-v Resultado 4 0 0 -4 0 0 0 -4 4 0 0 B2u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A1' 1 1 1 1 1 1 Eu 2 0 -2 0 0 -2 0 2 0 0 H He gama 5 2 1 3 0 3 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 Li Be B C N O F Ne 5 4 3 3 0 9 2 A1' x2+y2; z2 8 0 0 0 0 0 0 8 0 0 1 Eu x, y Na Mg Al Si P S Cl Ar A2' 1 1 -1 1 1 -1 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr 5 2 1 3 0 3 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe 5 4 -3 3 0 -9 0 A2' Rz Cs Ba Lu Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn E' 2 -1 0 2 -1 0 Fr Ra Lr Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Uub Uut Uuq Uup Uuh Uus Uuo 5 2 1 3 0 3 10 -4 0 6 0 0 1 E' (x,y) (x2-y2; xy) La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tn Yb Lu A1" 1 1 1 -1 -1 -1 D2h E i IV Raman Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr 5 2 1 3 0 3 Ag 1 1 1 1 1 1 1 1 5 4 3 -3 0 -9 0 A1" B1g 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 xy A2" 1 1 -1 -1 -1 1 B2g 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 xz 5 2 1 3 0 3 B3g 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 yz 5 4 -3 -3 0 9 1 A2" z Au 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 E" 2 -1 0 -2 1 0 B1u 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 z 5 2 1 3 0 3 B2u 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 y 10 -4 0 -6 0 0 0 E" (Rx,Ry) (xz, yz) B3u 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 x D5h E 2C5 2C5(2) 5C2 sig-h 2S5 2S5(3) 5sig-v Resultado A1' 1 1 1 1 1 1 1 1 gama 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 5 5 0 0 5 1 A1' x2+y2; z2 A2' 1 1 1 -1 1 1 1 -1 D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 IV Raman E IV Raman 5 0 0 1 5 0 0 1 A1' 1 1 1 1 1 1 x2+y2; z2 1 1 1 1 z 5 0 0 -5 5 0 0 -5 0 A2' Rz A2' 1 1 -1 1 1 -1 Rz 1 1 -1 -1 Rz xy E'1 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 E' 2 -1 0 2 -1 0 (x,y) (x2-y2; xy) 1 -1 1 -1 x, Ry xz 5 0 0 1 5 0 0 1 A1" 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 y, Rx yz 10 0 0 0 10 0 0 0 1 E'1 (x,y) A2" 1 1 -1 -1 -1 1 z E'2 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 E" 2 -1 0 -2 1 0 (Rx,Ry) (xz, yz) 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 1 E'2 (x2-y2; xy) A1" 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 5 -5 0 0 -5 0 A1" A2" 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 -5 -5 0 0 5 0 A2" z E"1 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 -2 -0.6180339887 1.6180339887 0 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 -10 0 0 0 0 E"1 (Rx,Ry) (xz, yz) E"2 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 -2 1.6180339887 -0.6180339887 0 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 -10 0 0 0 0 E"2 Dnd 7- OS GRUPOS Dnd Sn 8- OS GRUPOS Sn Cubicos 9- OS GRUPOS CUBICOS Td E 8C3 3C2 6S4 A1 1 1 1 1 1 x2+y2+z2 A2 1 1 1 -1 -1 E 2 -1 2 0 0 (2z2-x2-y2, x2-y2) T1 3 0 -1 1 -1 (Rx, Ry, Rz) T2 3 0 -1 -1 1 (x, y, z) (xy, xz, yz) Gama 4 1 0 0 2 Resultado 4 8 0 0 12 1 A1 4 8 0 0 -12 0 A2 8 -8 0 0 0 0 E 12 0 0 0 -12 0 T1 12 0 0 0 12 1 T2 Oh E 8C3 6C2 6C4 3C2 i 6S4 8S6 A1g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x2+y2+z2 A2g 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 Eg 2 -1 0 0 2 2 0 -1 2 0 2z2-x2-y2; x2-y2 T1g 3 0 -1 1 -1 3 1 0 -1 -1 Rx, Ry, Rz T2g 3 0 1 -1 -1 3 -1 0 -1 1 xz, yz, xy A1u 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 A2u 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 Eu 2 -1 0 0 2 -2 0 1 -2 0 T1u 3 0 -1 1 -1 -3 -1 0 1 1 x, y, z T2u 3 0 1 -1 -1 -3 1 0 1 -1 Gama 6 0 0 2 2 0 0 0 4 2 Resultado 6 0 0 12 6 0 0 0 12 12 1 A1g 6 0 0 -12 6 0 0 0 12 -12 0 A2g 12 0 0 0 12 0 0 0 24 0 1 Eg 18 0 0 12 -6 0 0 0 -12 -12 0 T1g 18 0 0 -12 -6 0 0 0 -12 12 0 T2g 6 0 0 12 6 0 0 0 -12 -12 0 A1u 6 0 0 -12 6 0 0 0 -12 12 0 A2u 12 0 0 0 12 0 0 0 -24 0 0 Eu 18 0 0 12 -6 0 0 0 12 12 1 T1u 18 0 0 -12 -6 0 0 0 12 -12 0 T2u Lineares 9- OS GRUPOS Cinfinito-v e D infinito-h PARA MOLÉCULAS LINEARES Icosaédricos 11- OS GRUPOS ICOSAÉDRICOS C1 1- GRUPOS DE BAIXA SIMETRIA (grupos não axiais) C1 E A 1 Cs E sig-h A' 1 1 x, y, Rz A" 1 -1 z, Rx, Ry yz, xz Gama 4 0 Resultado 4 0 2 A' 4 0 2 A" Ci E i Ag 1 1 Rx, Ry, Rz Au 1 -1 x, y, z Gama 1 -1 Resultado 1 -1 0 Ag 1 1 1 Au Cn 2- OS GRUPOS AXIAIS Cn C6 E C6 C3 C2 (C3)2 (C6)5 E=exp(2pi i/6) A 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 C2 E C2 B 1 -1 1 -1 1 -1 A 1 1 z, Rz x2, y2, z2, xy E1 1 E _E2 -1 _E* E* (x, y) (yz, xz) B 1 -1 x, y, Rx, Ry yz, xz 1 E* _E2* -1 _E E ( Rx, Ry) Gama 2 0 E2 1 _E _E* 1 _E2* _E (x2-y2, xy) Resultado 1 _E* _E 1 _E2 _E* 2 0 1 A Gama 6 0 0 0 0 0 2 0 1 B Resultado 6 0 0 0 0 0 1 A C3 E C3 (C3)2 E=exp(2pi i/3) 6 0 0 0 0 0 1 B A 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E1 E 1 E E* (x, y)( Rx, Ry) (x2-y2, xy)(yz, xz) 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E1 1 E* E 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E2 Gama 3 0 0 6 0 0 0 0 0 0 E2 Resultado 3 0 0 1 A 3 0 0 0 B C7 E C7 (C7)2 (C7)3 (C7)4 (C7)5 (C7)5 E=exp(2pi i/7) A 1 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 E1 1 E E2 E3 E3* E2* E* (x, y) (yz, xz) C4 E C4 C2 (C4)3 1 E* E2* E3* E3 E2 E ( Rx, Ry) A 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 E2 1 E2 E3* E* E E3 E2* (x2-y2, xy) B 1 -1 1 -1 x2-y2, xy 1 E2* E3* E E* E3* E2 E 1 i -1 _ i (x, y)( Rx, Ry) (yz, xz) E3 1 E3 E* E2 E2* E E3* 1 _ i -1 i 1 E3* E E2* E2 E* E3 Gama 4 0 0 0 Gama 7 0 0 0 0 0 0 Resultado Resultado 4 0 0 0 1 A 7 0 0 0 0 0 0 1 A 4 0 0 0 0 E 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E1 4 0 0 0 0 E 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E1 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E2 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E2 C5 E C5 (C5)2 (C5)3 (C5)4 E=exp(2pi i/5) 7 0 0 0 0 0 0 0 E3 A 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 7 0 0 0 0 0 0 0 E3 E1 1 E E2 E2* E* (x, y)( Rx, Ry) (yz, xz) 1 E* E2* E2 E E2 1 E2 E* E E2* (x2-y2, xy) C8 E C8 C4 C2 (C4)3 (C8)3 (C8)5 (C8)7 E=exp(2pi i/8) 1 E2* E E* E2 A 1 1 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 Gama 5 0 0 0 0 B 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 Resultado E1 1 E i -1 1 _E* _E* E* (x, y) (yz, xz) 5 0 0 0 0 1 A 1 E* _i -1 i _E _E* E ( Rx, Ry) 5 0 0 0 0 0 E1 E2 1 i -1 1 -1 _i i _i (x2-y2, xy) 5 0 0 0 0 0 E1 1 _i -1 1 -1 i _i i 5 0 0 0 0 0 E2 E3 1 _E* i -1 _i E* E _E* 5 0 0 0 0 0 E2 1 _E _i -1 i E E* _E Gama 8 0 0 0 0 0 0 0 Resultado 8 0 0 0 0 0 0 0 1 A 8 0 0 0 0 0 0 0 1 B 8 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 0 E1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E3 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E3 Dn 3- OS GRUPOS Dn D2 E C2(Z) C2(Y) C2(X) A 1 1 1 1 x2, y2, z2 B1 1 1 -1 -1 z, Rz xy B2 1 -1 1 -1 y, Ry xz B3 1 -1 -1 1 X, RX yz Gama 4 0 0 0 Resultado 4 0 0 0 1 A 4 0 0 0 1 B1 4 0 0 0 1 B2 4 0 0 0 1 B3 D3 E 2C3 3C2 A 1 1 1 x2+y2, z2 B 1 1 -1 z, Rz E 2 -1 0 (X,y), (Rx, Ry) (x2-y2, xy)(xz,yz) Gama 3 0 0 Resultado 3 0 0 1 A 3 0 0 0 B 6 0 0 2 E D4 E C4 C2(=(C4)2) 2C2' 2C2" A1 1 1 1 1 1 x2+y2, z2 A2 1 1 1 -1 -1 z, Rz B1 1 -1 1 1 -1 x2- y2 B2 1 -1 1 -1 1 xy E 2 0 -2 0 0 (x,y), (Rx, Ry) (xz, yz) Gama 0 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 B1 0 0 0 0 0 0 B2 0 0 0 0 0 0 E D5 E 2C5 2C5)2 5C2 A1 1 1 1 1 x2+ y2, z2 A2 1 1 1 -1 z, Rz E1 2 2COS 72 2COS144 0 (x,y)(Rx, Ry) (xz, yz) E2 2 2COS 144 2COS72 0 (x2-y2,xy) Gama 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 E1 0 0 0 0 0 E2 D6 E 2C6 2C3 C2 3C2' 3C2" A1 1 1 1 1 1 1 x2+y2, z2 A2 1 1 1 1 -1 -1 z, Rz B1 1 -1 1 -1 1 -1 B2 1 -1 1 -1 -1 1 E1 2 1 -1 -2 0 0 (x,y), (Rx, Ry) (xz, yz) E2 2 -1 -1 2 0 0 (x2-y2, xy) Gama 0 0 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 0 B1 0 0 0 0 0 0 0 B2 0 0 0 0 0 0 0 E1 0 0 0 0 0 0 0 E2 Cnv 4- OS GRUPOS Cnv C5v E 2C4 C2 2sig-v 2sig-d A1 1 1 1 1 1 z C2v E C2(z) sig-v (xz) sig'-v (yz) A2 1 1 1 -1 -1 Rz A1 1 1 1 1 z B1 1 -1 1 1 -1 A2 1 1 -1 -1 Rz xy B2 1 -1 1 -1 1 xy B1 1 -1 1 -1 x, Ry xz E 2 0 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) B2 1 -1 -1 1 y, Rx yz Gama 0 0 0 0 0 Gama 4 0 0 0 Resultado Resultado 0 0 0 0 0 0 A1 4 0 0 0 1 A1 0 0 0 0 0 0 A2 4 0 0 0 1 A2 0 0 0 0 0 0 B1 4 0 0 0 1 B1 0 0 0 0 0 0 B2 4 0 0 0 1 B2 0 0 0 0 0 0 E C3v E 2C3 C6v E 2C6 2C3 C2 3sig-v 3sig-d A1 1 1 1 z x2+y2, z2 A1 1 1 1 1 1 1 z A2 1 1 -1 Rz A2 1 1 1 1 -1 -1 Rz E 2 -1 0 x,y; Rx, Ry (x2-y2, xy); (xz, yz) B1 1 -1 1 -1 1 -1 Gama 3 0 1 B2 1 -1 1 -1 -1 1 Resultado E1 2 1 -1 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) 3 0 3 1 A1 E2 2 -1 -1 2 0 0 3 0 -3 0 A2 Gama 0 0 0 0 0 0 6 0 0 1 E Resultado 0 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 0 B1 C4v E 2C4 C2 2sig-v 0 0 0 0 0 0 0 B2 A1 1 1 1 1 1 z 0 0 0 0 0 0 0 E A2 1 1 1 -1 -1 Rz B1 1 -1 1 1 -1 B2 1 -1 1 -1 1 xy E 2 0 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) Gama 5 1 1 3 1 Resultado 5 2 1 6 2 2 A1 5 2 1 -6 -2 0 A2 5 -2 1 6 -2 1 B1 5 -2 1 -6 2 0 B2 10 0 -2 0 0 1 E Cnh 5- OS GRUPOS Cnh C2h E C2 i sig-h Ag 1 1 1 1 Rz Bg 1 -1 1 -1 Rx; Ry xz; yz Au 1 1 -1 -1 z Bu 1 -1 -1 1 x, y gama 6 0 0 2 Resultado 6 0 0 2 2 Ag 6 0 0 -2 1 Bg 6 0 0 -2 1 Au 6 0 0 2 2 Bu Dnh 6- OS GRUPOS Dnh D2h E C2 (z) C2 (y) C2 (x) i sig-xy sig-xz sig-yz Resultado D4h E 2C4 C2 2C2' 2C2" i 2S4 sig-h 2sig-v 2sig-d Resultado IV Raman D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 3sig-v Resultado Ag 1 1 1 1 1 1 1 1 A1g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A1' 1 1 1 1 1 1 gama 4 0 0 0 0 4 0 0 gama 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 gama 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 4 0 0 1 Ag x2; y2; z2 4 0 0 4 0 0 0 4 4 0 1 A1g x2+y2; z2 18 0 -6 4 -4 12 2 A1' x2+y2, z2 B1g 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 A2g 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 A2' 1 1 -1 1 1 -1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B1g Rz xy 4 0 0 -4 0 0 0 4 -4 0 0 A2g Rz 18 0 6 4 -4 -12 1 A2' Rz B2g 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 B1g 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 E' 2 -1 0 2 -1 0 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B2g Ry xz 4 0 0 4 0 0 0 4 4 0 1 B1g x2-y2 36 0 0 8 4 0 4 E' x, y x2-y2, xy B3g 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 B2g 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 A1" 1 1 1 -1 -1 -1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B3g Rx yz 4 0 0 -4 0 0 0 4 -4 0 0 B2g xy 18 0 -6 -4 4 -12 0 A1" Rx Au 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 Eg 2 0 -2 0 0 2 0 -2 0 0 A2" 1 1 -1 -1 -1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 Au 8 0 0 0 0 0 0 -8 0 0 0 Eg Rx, Ry xz, yz 18 0 6 -4 4 12 3 A2" z B1u 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 A1u 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 E" 2 -1 0 -2 1 0 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B1u z 4 0 0 4 0 0 0 -4 -4 0 0 A1u 36 0 0 -8 -4 0 2 E" Rx, Ry xz, yz B2u 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 A2u 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B2u y 4 0 0 -4 0 0 0 -4 4 0 0 A2u z B3u 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 B1u 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B3u x 4 0 0 4 0 0 0 -4 -4 0 0 B1u B2u 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 Tabela Periódica dos elementos D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 3sig-v Resultado 4 0 0 -4 0 0 0 -4 4 0 0 B2u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A1' 1 1 1 1 1 1 Eu 2 0 -2 0 0 -2 0 2 0 0 H He gama 5 2 1 3 0 3 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 Li Be B C N O F Ne 5 4 3 3 0 9 2 A1' x2+y2; z2 8 0 0 0 0 0 0 8 0 0 1 Eu x, y Na Mg Al Si P S Cl Ar A2' 1 1 -1 1 1 -1 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr 5 2 1 3 0 3 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe 5 4 -3 3 0 -9 0 A2' Rz Cs Ba Lu Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn E' 2 -1 0 2 -1 0 Fr Ra Lr Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Uub Uut Uuq Uup Uuh Uus Uuo 5 2 1 3 0 3 10 -4 0 6 0 0 1 E' (x,y) (x2-y2; xy) La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tn Yb Lu A1" 1 1 1 -1 -1 -1 D2h E i IV Raman Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr 5 2 1 3 0 3 Ag 1 1 1 1 1 1 1 1 5 4 3 -3 0 -9 0 A1" B1g 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 xy A2" 1 1 -1 -1 -1 1 B2g 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 xz 5 2 1 3 0 3 B3g 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 yz 5 4 -3 -3 0 9 1 A2" z Au 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 E" 2 -1 0 -2 1 0 B1u 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 z 5 2 1 3 0 3 B2u 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 y 10 -4 0 -6 0 0 0 E" (Rx,Ry) (xz, yz) B3u 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 x D5h E 2C5 2C5(2) 5C2 sig-h 2S5 2S5(3) 5sig-v Resultado A1' 1 1 1 1 1 1 1 1 gama 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 5 5 0 0 5 1 A1' x2+y2; z2 A2' 1 1 1 -1 1 1 1 -1 D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 IV Raman E IV Raman 5 0 0 1 5 0 0 1 A1' 1 1 1 1 1 1 x2+y2; z2 1 1 1 1 z 5 0 0 -5 5 0 0 -5 0 A2' Rz A2' 1 1 -1 1 1 -1 Rz 1 1 -1 -1 Rz xy E'1 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 E' 2 -1 0 2 -1 0 (x,y) (x2-y2; xy) 1 -1 1 -1 x, Ry xz 5 0 0 1 5 0 0 1 A1" 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 y, Rx yz 10 0 0 0 10 0 0 0 1 E'1 (x,y) A2" 1 1 -1 -1 -1 1 z E'2 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 E" 2 -1 0 -2 1 0 (Rx,Ry) (xz, yz) 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 1 E'2 (x2-y2; xy) A1" 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 5 -5 0 0 -5 0 A1" A2" 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 -5 -5 0 0 5 0 A2" z E"1 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 -2 -0.6180339887 1.6180339887 0 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 -10 0 0 0 0 E"1 (Rx,Ry) (xz, yz) E"2 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 -2 1.6180339887 -0.6180339887 0 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 -10 0 0 0 0 E"2 Dnd 7- OS GRUPOS Dnd Sn 8- OS GRUPOS Sn Cubicos 9- OS GRUPOS CUBICOS Td E 8C3 3C2 6S4 A1 1 1 1 1 1 x2+y2+z2 A2 1 1 1 -1 -1 E 2 -1 2 0 0 (2z2-x2-y2, x2-y2) T1 3 0 -1 1 -1 (Rx, Ry, Rz) T2 3 0 -1 -1 1 (x, y, z) (xy, xz, yz) Gama 4 1 0 0 2 Resultado 4 8 0 0 12 1 A1 4 8 0 0 -12 0 A2 8 -8 0 0 0 0 E 12 0 0 0 -12 0 T1 12 0 0 0 12 1 T2 Oh E 8C3 6C2 6C4 3C2 i 6S4 8S6 A1g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x2+y2+z2 A2g 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 Eg 2 -1 0 0 2 2 0 -1 2 0 2z2-x2-y2; x2-y2 T1g 3 0 -1 1 -1 3 1 0 -1 -1 Rx, Ry, Rz T2g 3 0 1 -1 -1 3 -1 0 -1 1 xz, yz, xy A1u 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 A2u 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 Eu 2 -1 0 0 2 -2 0 1 -2 0 T1u 3 0 -1 1 -1 -3 -1 0 1 1 x, y, z T2u 3 0 1 -1 -1 -3 1 0 1 -1 Gama 6 0 0 2 2 0 0 0 4 2 Resultado 6 0 0 12 6 0 0 0 12 12 1 A1g 6 0 0 -12 6 0 0 0 12 -12 0 A2g 12 0 0 0 12 0 0 0 24 0 1 Eg 18 0 0 12 -6 0 0 0 -12 -12 0 T1g 18 0 0 -12 -6 0 0 0 -12 12 0 T2g 6 0 0 12 6 0 0 0 -12 -12 0 A1u 6 0 0 -12 6 0 0 0 -12 12 0 A2u 12 0 0 0 12 0 0 0 -24 0 0 Eu 18 0 0 12 -6 0 0 0 12 12 1 T1u 18 0 0 -12 -6 0 0 0 12 -12 0 T2u Lineares 9- OS GRUPOS Cinfinito-v e D infinito-h PARA MOLÉCULAS LINEARES Icosaédricos 11- OS GRUPOS ICOSAÉDRICOS C1 1- GRUPOS DE BAIXA SIMETRIA (grupos não axiais) C1 E A 1 Cs E sig-h A' 1 1 x, y, Rz A" 1 -1 z, Rx, Ry yz, xz Gama 4 0 Resultado 4 0 2 A' 4 0 2 A" Ci E i Ag 1 1 Rx, Ry, Rz Au 1 -1 x, y, z Gama 1 -1 Resultado 1 -1 0 Ag 1 1 1 Au Cn 2- OS GRUPOS AXIAIS Cn C6 E C6 C3 C2 (C3)2 (C6)5 E=exp(2pi i/6) A 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 C2 E C2 B 1 -1 1 -1 1 -1 A 1 1 z, Rz x2, y2, z2, xy E1 1 E _E2 -1 _E* E* (x, y) (yz, xz) B 1 -1 x, y, Rx, Ry yz, xz 1 E* _E2* -1 _E E ( Rx, Ry) Gama 2 0 E2 1 _E _E* 1 _E2* _E (x2-y2, xy) Resultado 1 _E* _E 1 _E2 _E* 2 0 1 A Gama 6 0 0 0 0 0 2 0 1 B Resultado 6 0 0 0 0 0 1 A C3 E C3 (C3)2 E=exp(2pi i/3) 6 0 0 0 0 0 1 B A 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E1 E 1 E E* (x, y)( Rx, Ry) (x2-y2, xy)(yz, xz) 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E1 1 E* E 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E2 Gama 3 0 0 6 0 0 0 0 0 0 E2 Resultado 3 0 0 1 A 3 0 0 0 B C7 E C7 (C7)2 (C7)3 (C7)4 (C7)5 (C7)5 E=exp(2pi i/7) A 1 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 E1 1 E E2 E3 E3* E2* E* (x, y) (yz, xz) C4 E C4 C2 (C4)3 1 E* E2* E3* E3 E2 E ( Rx, Ry) A 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 E2 1 E2 E3* E* E E3 E2* (x2-y2, xy) B 1 -1 1 -1 x2-y2, xy 1 E2* E3* E E* E3* E2 E 1 i -1 _ i (x, y)( Rx, Ry) (yz, xz) E3 1 E3 E* E2 E2* E E3* 1 _ i -1 i 1 E3* E E2* E2 E* E3 Gama 4 0 0 0 Gama 7 0 0 0 0 0 0 Resultado Resultado 4 0 0 0 1 A 7 0 0 0 0 0 0 1 A 4 0 0 0 0 E 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E1 4 0 0 0 0 E 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E1 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E2 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E2 C5 E C5 (C5)2 (C5)3 (C5)4 E=exp(2pi i/5) 7 0 0 0 0 0 0 0 E3 A 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 7 0 0 0 0 0 0 0 E3 E1 1 E E2 E2* E* (x, y)( Rx, Ry) (yz, xz) 1 E* E2* E2 E E2 1 E2 E* E E2* (x2-y2, xy) C8 E C8 C4 C2 (C4)3 (C8)3 (C8)5 (C8)7 E=exp(2pi i/8) 1 E2* E E* E2 A 1 1 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 Gama 5 0 0 0 0 B 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 Resultado E1 1 E i -1 1 _E* _E* E* (x, y) (yz, xz) 5 0 0 0 0 1 A 1 E* _i -1 i _E _E* E ( Rx, Ry) 5 0 0 0 0 0 E1 E2 1 i -1 1 -1 _i i _i (x2-y2, xy) 5 0 0 0 0 0 E1 1 _i -1 1 -1 i _i i 5 0 0 0 0 0 E2 E3 1 _E* i -1 _i E* E _E* 5 0 0 0 0 0 E2 1 _E _i -1 i E E* _E Gama 8 0 0 0 0 0 0 0 Resultado 8 0 0 0 0 0 0 0 1 A 8 0 0 0 0 0 0 0 1 B 8 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 0 E1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E3 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E3 Dn 3- OS GRUPOS Dn D2 E C2(Z) C2(Y) C2(X) A 1 1 1 1 x2, y2, z2 B1 1 1 -1 -1 z, Rz xy B2 1 -1 1 -1 y, Ry xz B3 1 -1 -1 1 X, RX yz Gama 4 0 0 0 Resultado 4 0 0 0 1 A 4 0 0 0 1 B1 4 0 0 0 1 B2 4 0 0 0 1 B3 D3 E 2C3 3C2 A 1 1 1 x2+y2, z2 B 1 1 -1 z, Rz E 2 -1 0 (X,y), (Rx, Ry) (x2-y2, xy)(xz,yz) Gama 3 0 0 Resultado 3 0 0 1 A 3 0 0 0 B 6 0 0 2 E D4 E C4 C2(=(C4)2) 2C2' 2C2" A1 1 1 1 1 1 x2+y2, z2 A2 1 1 1 -1 -1 z, Rz B1 1 -1 1 1 -1 x2- y2 B2 1 -1 1 -1 1 xy E 2 0 -2 0 0 (x,y), (Rx, Ry) (xz, yz) Gama 0 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 B1 0 0 0 0 0 0 B2 0 0 0 0 0 0 E D5 E 2C5 2C5)2 5C2 A1 1 1 1 1 x2+ y2, z2 A2 1 1 1 -1 z, Rz E1 2 2COS 72 2COS144 0 (x,y)(Rx, Ry) (xz, yz) E2 2 2COS 144 2COS72 0 (x2-y2,xy) Gama 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 E1 0 0 0 0 0 E2 D6 E 2C6 2C3 C2 3C2' 3C2" A1 1 1 1 1 1 1 x2+y2, z2 A2 1 1 1 1 -1 -1 z, Rz B1 1 -1 1 -1 1 -1 B2 1 -1 1 -1 -1 1 E1 2 1 -1 -2 0 0 (x,y), (Rx, Ry) (xz, yz) E2 2 -1 -1 2 0 0 (x2-y2, xy) Gama 0 0 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 0 B1 0 0 0 0 0 0 0 B2 0 0 0 0 0 0 0 E1 0 0 0 0 0 0 0 E2 Cnv 4- OS GRUPOS Cnv C5v E 2C4 C2 2sig-v 2sig-d A1 1 1 1 1 1 z C2v E C2(z) sig-v (xz) sig'-v (yz) A2 1 1 1 -1 -1 Rz A1 1 1 1 1 z B1 1 -1 1 1 -1 A2 1 1 -1 -1 Rz xy B2 1 -1 1 -1 1 xy B1 1 -1 1 -1 x, Ry xz E 2 0 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) B2 1 -1 -1 1 y, Rx yz Gama 0 0 0 0 0 Gama 4 0 0 0 Resultado Resultado 0 0 0 0 0 0 A1 4 0 0 0 1 A1 0 0 0 0 0 0 A2 4 0 0 0 1 A2 0 0 0 0 0 0 B1 4 0 0 0 1 B1 0 0 0 0 0 0 B2 4 0 0 0 1 B2 0 0 0 0 0 0 E C3v E 2C3 C6v E 2C6 2C3 C2 3sig-v 3sig-d A1 1 1 1 z x2+y2, z2 A1 1 1 1 1 1 1 z A2 1 1 -1 Rz A2 1 1 1 1 -1 -1 Rz E 2 -1 0 x,y; Rx, Ry (x2-y2, xy); (xz, yz) B1 1 -1 1 -1 1 -1 Gama 3 0 1 B2 1 -1 1 -1 -1 1 Resultado E1 2 1 -1 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) 3 0 3 1 A1 E2 2 -1 -1 2 0 0 3 0 -3 0 A2 Gama 0 0 0 0 0 0 6 0 0 1 E Resultado 0 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 0 B1 C4v E 2C4 C2 2sig-v 0 0 0 0 0 0 0 B2 A1 1 1 1 1 1 z 0 0 0 0 0 0 0 E A2 1 1 1 -1 -1 Rz B1 1 -1 1 1 -1 B2 1 -1 1 -1 1 xy E 2 0 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) Gama 5 1 1 3 1 Resultado 5 2 1 6 2 2 A1 5 2 1 -6 -2 0 A2 5 -2 1 6 -2 1 B1 5 -2 1 -6 2 0 B2 10 0 -2 0 0 1 E Cnh 5- OS GRUPOS Cnh C2h E C2 i sig-h Ag 1 1 1 1 Rz Bg 1 -1 1 -1 Rx; Ry xz; yz Au 1 1 -1 -1 z Bu 1 -1 -1 1 x, y gama 6 0 0 2 Resultado 6 0 0 2 2 Ag 6 0 0 -2 1 Bg 6 0 0 -2 1 Au 6 0 0 2 2 Bu Dnh 6- OS GRUPOS Dnh D2h E C2 (z) C2 (y) C2 (x) i sig-xy sig-xz sig-yz Resultado D4h E 2C4 C2 2C2' 2C2" i 2S4 sig-h 2sig-v 2sig-d Resultado IV Raman D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 3sig-v Resultado Ag 1 1 1 1 1 1 1 1 A1g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A1' 1 1 1 1 1 1 gama 4 0 0 0 0 4 0 0 gama 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 gama 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 4 0 0 1 Ag x2; y2; z2 4 0 0 4 0 0 0 4 4 0 1 A1g x2+y2; z2 18 0 -6 4 -4 12 2 A1' x2+y2, z2 B1g 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 A2g 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 A2' 1 1 -1 1 1 -1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B1g Rz xy 4 0 0 -4 0 0 0 4 -4 0 0 A2g Rz 18 0 6 4 -4 -12 1 A2' Rz B2g 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 B1g 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 E' 2 -1 0 2 -1 0 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B2g Ry xz 4 0 0 4 0 0 0 4 4 0 1 B1g x2-y2 36 0 0 8 4 0 4 E' x, y x2-y2, xy B3g 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 B2g 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 A1" 1 1 1 -1 -1 -1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B3g Rx yz 4 0 0 -4 0 0 0 4 -4 0 0 B2g xy 18 0 -6 -4 4 -12 0 A1" Rx Au 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 Eg 2 0 -2 0 0 2 0 -2 0 0 A2" 1 1 -1 -1 -1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 Au 8 0 0 0 0 0 0 -8 0 0 0 Eg Rx, Ry xz, yz 18 0 6 -4 4 12 3 A2" z B1u 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 A1u 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 E" 2 -1 0 -2 1 0 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B1u z 4 0 0 4 0 0 0 -4 -4 0 0 A1u 36 0 0 -8 -4 0 2 E" Rx, Ry xz, yz B2u 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 A2u 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B2u y 4 0 0 -4 0 0 0 -4 4 0 0 A2u z B3u 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 B1u 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B3u x 4 0 0 4 0 0 0 -4 -4 0 0 B1u B2u 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 Tabela Periódica dos elementos D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 3sig-v Resultado 4 0 0 -4 0 0 0 -4 4 0 0 B2u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A1' 1 1 1 1 1 1 Eu 2 0 -2 0 0 -2 0 2 0 0 H He gama 5 2 1 3 0 3 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 Li Be B C N O F Ne 5 4 3 3 0 9 2 A1' x2+y2; z2 8 0 0 0 0 0 0 8 0 0 1 Eu x, y Na Mg Al Si P S Cl Ar A2' 1 1 -1 1 1 -1 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr 5 2 1 3 0 3 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe 5 4 -3 3 0 -9 0 A2' Rz Cs Ba Lu Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn E' 2 -1 0 2 -1 0 Fr Ra Lr Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Uub Uut Uuq Uup Uuh Uus Uuo 5 2 1 3 0 3 10 -4 0 6 0 0 1 E' (x,y) (x2-y2; xy) La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tn Yb Lu A1" 1 1 1 -1 -1 -1 D2h E i IV Raman Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr 5 2 1 3 0 3 Ag 1 1 1 1 1 1 1 1 5 4 3 -3 0 -9 0 A1" B1g 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 xy A2" 1 1 -1 -1 -1 1 B2g 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 xz 5 2 1 3 0 3 B3g 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 yz 5 4 -3 -3 0 9 1 A2" z Au 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 E" 2 -1 0 -2 1 0 B1u 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 z 5 2 1 3 0 3 B2u 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 y 10 -4 0 -6 0 0 0 E" (Rx,Ry) (xz, yz) B3u 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 x D5h E 2C5 2C5(2) 5C2 sig-h 2S5 2S5(3) 5sig-v Resultado A1' 1 1 1 1 1 1 1 1 gama 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 5 5 0 0 5 1 A1' x2+y2; z2 A2' 1 1 1 -1 1 1 1 -1 D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 IV Raman E IV Raman 5 0 0 1 5 0 0 1 A1' 1 1 1 1 1 1 x2+y2; z2 1 1 1 1 z 5 0 0 -5 5 0 0 -5 0 A2' Rz A2' 1 1 -1 1 1 -1 Rz 1 1 -1 -1 Rz xy E'1 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 E' 2 -1 0 2 -1 0 (x,y) (x2-y2; xy) 1 -1 1 -1 x, Ry xz 5 0 0 1 5 0 0 1 A1" 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 y, Rx yz 10 0 0 0 10 0 0 0 1 E'1 (x,y) A2" 1 1 -1 -1 -1 1 z E'2 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 E" 2 -1 0 -2 1 0 (Rx,Ry) (xz, yz) 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 1 E'2 (x2-y2; xy) A1" 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 5 -5 0 0 -5 0 A1" A2" 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 -5 -5 0 0 5 0 A2" z E"1 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 -2 -0.6180339887 1.6180339887 0 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 -10 0 0 0 0 E"1 (Rx,Ry) (xz, yz) E"2 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 -2 1.6180339887 -0.6180339887 0 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 -10 0 0 0 0 E"2 Dnd 7- OS GRUPOS Dnd Sn 8- OS GRUPOS Sn Cubicos 9- OS GRUPOS CUBICOS Td E 8C3 3C2 6S4 A1 1 1 1 1 1 x2+y2+z2 A2 1 1 1 -1 -1 E 2 -1 2 0 0 (2z2-x2-y2, x2-y2) T1 3 0 -1 1 -1 (Rx, Ry, Rz) T2 3 0 -1 -1 1 (x, y, z) (xy, xz, yz) Gama 4 1 0 0 2 Resultado 4 8 0 0 12 1 A1 4 8 0 0 -12 0 A2 8 -8 0 0 0 0 E 12 0 0 0 -12 0 T1 12 0 0 0 12 1 T2 Oh E 8C3 6C2 6C4 3C2 i 6S4 8S6 A1g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x2+y2+z2 A2g 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 Eg 2 -1 0 0 2 2 0 -1 2 0 2z2-x2-y2; x2-y2 T1g 3 0 -1 1 -1 3 1 0 -1 -1 Rx, Ry, Rz T2g 3 0 1 -1 -1 3 -1 0 -1 1 xz, yz, xy A1u 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 A2u 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 Eu 2 -1 0 0 2 -2 0 1 -2 0 T1u 3 0 -1 1 -1 -3 -1 0 1 1 x, y, z T2u 3 0 1 -1 -1 -3 1 0 1 -1 Gama 6 0 0 2 2 0 0 0 4 2 Resultado 6 0 0 12 6 0 0 0 12 12 1 A1g 6 0 0 -12 6 0 0 0 12 -12 0 A2g 12 0 0 0 12 0 0 0 24 0 1 Eg 18 0 0 12 -6 0 0 0 -12 -12 0 T1g 18 0 0 -12 -6 0 0 0 -12 12 0 T2g 6 0 0 12 6 0 0 0 -12 -12 0 A1u 6 0 0 -12 6 0 0 0 -12 12 0 A2u 12 0 0 0 12 0 0 0 -24 0 0 Eu 18 0 0 12 -6 0 0 0 12 12 1 T1u 18 0 0 -12 -6 0 0 0 12 -12 0 T2u Lineares 9- OS GRUPOS Cinfinito-v e D infinito-h PARA MOLÉCULAS LINEARES Icosaédricos 11- OS GRUPOS ICOSAÉDRICOS C1 1- GRUPOS DE BAIXA SIMETRIA (grupos não axiais) C1 E A 1 Cs E sig-h A' 1 1 x, y, Rz A" 1 -1 z, Rx, Ry yz, xz Gama 4 0 Resultado 4 0 2 A' 4 0 2 A" Ci E i Ag 1 1 Rx, Ry, Rz Au 1 -1 x, y, z Gama 1 -1 Resultado 1 -1 0 Ag 1 1 1 Au Cn 2- OS GRUPOS AXIAIS Cn C6 E C6 C3 C2 (C3)2 (C6)5 E=exp(2pi i/6) A 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 C2 E C2 B 1 -1 1 -1 1 -1 A 1 1 z, Rz x2, y2, z2, xy E1 1 E _E2 -1 _E* E* (x, y) (yz, xz) B 1 -1 x, y, Rx, Ry yz, xz 1 E* _E2* -1 _E E ( Rx, Ry) Gama 2 0 E2 1 _E _E* 1 _E2* _E (x2-y2, xy) Resultado 1 _E* _E 1 _E2 _E* 2 0 1 A Gama 6 0 0 0 0 0 2 0 1 B Resultado 6 0 0 0 0 0 1 A C3 E C3 (C3)2 E=exp(2pi i/3) 6 0 0 0 0 0 1 B A 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E1 E 1 E E* (x, y)( Rx, Ry) (x2-y2, xy)(yz, xz) 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E1 1 E* E 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E2 Gama 3 0 0 6 0 0 0 0 0 0 E2 Resultado 3 0 0 1 A 3 0 0 0 B C7 E C7 (C7)2 (C7)3 (C7)4 (C7)5 (C7)5 E=exp(2pi i/7) A 1 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 E1 1 E E2 E3 E3* E2* E* (x, y) (yz, xz) C4 E C4 C2 (C4)3 1 E* E2* E3* E3 E2 E ( Rx, Ry) A 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 E2 1 E2 E3* E* E E3 E2* (x2-y2, xy) B 1 -1 1 -1 x2-y2, xy 1 E2* E3* E E* E3* E2 E 1 i -1 _ i (x, y)( Rx, Ry) (yz, xz) E3 1 E3 E* E2 E2* E E3* 1 _ i -1 i 1 E3* E E2* E2 E* E3 Gama 4 0 0 0 Gama 7 0 0 0 0 0 0 Resultado Resultado 4 0 0 0 1 A 7 0 0 0 0 0 0 1 A 4 0 0 0 0 E 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E1 4 0 0 0 0 E 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E1 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E2 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E2 C5 E C5 (C5)2 (C5)3 (C5)4 E=exp(2pi i/5) 7 0 0 0 0 0 0 0 E3 A 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 7 0 0 0 0 0 0 0 E3 E1 1 E E2 E2* E* (x, y)( Rx, Ry) (yz, xz) 1 E* E2* E2 E E2 1 E2 E* E E2* (x2-y2, xy) C8 E C8 C4 C2 (C4)3 (C8)3 (C8)5 (C8)7 E=exp(2pi i/8) 1 E2* E E* E2 A 1 1 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 Gama 5 0 0 0 0 B 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 Resultado E1 1 E i -1 1 _E* _E* E* (x, y) (yz, xz) 5 0 0 0 0 1 A 1 E* _i -1 i _E _E* E ( Rx, Ry) 5 0 0 0 0 0 E1 E2 1 i -1 1 -1 _i i _i (x2-y2, xy) 5 0 0 0 0 0 E1 1 _i -1 1 -1 i _i i 5 0 0 0 0 0 E2 E3 1 _E* i -1 _i E* E _E* 5 0 0 0 0 0 E2 1 _E _i -1 i E E* _E Gama 8 0 0 0 0 0 0 0 Resultado 8 0 0 0 0 0 0 0 1 A 8 0 0 0 0 0 0 0 1 B 8 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 0 E1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E3 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E3 Dn 3- OS GRUPOS Dn D2 E C2(Z) C2(Y) C2(X) A 1 1 1 1 x2, y2, z2 B1 1 1 -1 -1 z, Rz xy B2 1 -1 1 -1 y, Ry xz B3 1 -1 -1 1 X, RX yz Gama 4 0 0 0 Resultado 4 0 0 0 1 A 4 0 0 0 1 B1 4 0 0 0 1 B2 4 0 0 0 1 B3 D3 E 2C3 3C2 A 1 1 1 x2+y2, z2 B 1 1 -1 z, Rz E 2 -1 0 (X,y), (Rx, Ry) (x2-y2, xy)(xz,yz) Gama 3 0 0 Resultado 3 0 0 1 A 3 0 0 0 B 6 0 0 2 E D4 E C4 C2(=(C4)2) 2C2' 2C2" A1 1 1 1 1 1 x2+y2, z2 A2 1 1 1 -1 -1 z, Rz B1 1 -1 1 1 -1 x2- y2 B2 1 -1 1 -1 1 xy E 2 0 -2 0 0 (x,y), (Rx, Ry) (xz, yz) Gama 0 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 B1 0 0 0 0 0 0 B2 0 0 0 0 0 0 E D5 E 2C5 2C5)2 5C2 A1 1 1 1 1 x2+ y2, z2 A2 1 1 1 -1 z, Rz E1 2 2COS 72 2COS144 0 (x,y)(Rx, Ry) (xz, yz) E2 2 2COS 144 2COS72 0 (x2-y2,xy) Gama 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 E1 0 0 0 0 0 E2 D6 E 2C6 2C3 C2 3C2' 3C2" A1 1 1 1 1 1 1 x2+y2, z2 A2 1 1 1 1 -1 -1 z, Rz B1 1 -1 1 -1 1 -1 B2 1 -1 1 -1 -1 1 E1 2 1 -1 -2 0 0 (x,y), (Rx, Ry) (xz, yz) E2 2 -1 -1 2 0 0 (x2-y2, xy) Gama 0 0 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 0 B1 0 0 0 0 0 0 0 B2 0 0 0 0 0 0 0 E1 0 0 0 0 0 0 0 E2 Cnv 4- OS GRUPOS Cnv C5v E 2C4 C2 2sig-v 2sig-d A1 1 1 1 1 1 z C2v E C2(z) sig-v (xz) sig'-v (yz) A2 1 1 1 -1 -1 Rz A1 1 1 1 1 z B1 1 -1 1 1 -1 A2 1 1 -1 -1 Rz xy B2 1 -1 1 -1 1 xy B1 1 -1 1 -1 x, Ry xz E 2 0 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) B2 1 -1 -1 1 y, Rx yz Gama 0 0 0 0 0 Gama 4 0 0 0 Resultado Resultado 0 0 0 0 0 0 A1 4 0 0 0 1 A1 0 0 0 0 0 0 A2 4 0 0 0 1 A2 0 0 0 0 0 0 B1 4 0 0 0 1 B1 0 0 0 0 0 0 B2 4 0 0 0 1 B2 0 0 0 0 0 0 E C3v E 2C3 C6v E 2C6 2C3 C2 3sig-v 3sig-d A1 1 1 1 z x2+y2, z2 A1 1 1 1 1 1 1 z A2 1 1 -1 Rz A2 1 1 1 1 -1 -1 Rz E 2 -1 0 x,y; Rx, Ry (x2-y2, xy); (xz, yz) B1 1 -1 1 -1 1 -1 Gama 3 0 1 B2 1 -1 1 -1 -1 1 Resultado E1 2 1 -1 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) 3 0 3 1 A1 E2 2 -1 -1 2 0 0 3 0 -3 0 A2 Gama 0 0 0 0 0 0 6 0 0 1 E Resultado 0 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 0 B1 C4v E 2C4 C2 2sig-v 0 0 0 0 0 0 0 B2 A1 1 1 1 1 1 z 0 0 0 0 0 0 0 E A2 1 1 1 -1 -1 Rz B1 1 -1 1 1 -1 B2 1 -1 1 -1 1 xy E 2 0 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) Gama 5 1 1 3 1 Resultado 5 2 1 6 2 2 A1 5 2 1 -6 -2 0 A2 5 -2 1 6 -2 1 B1 5 -2 1 -6 2 0 B2 10 0 -2 0 0 1 E Cnh 5- OS GRUPOS Cnh C2h E C2 i sig-h Ag 1 1 1 1 Rz Bg 1 -1 1 -1 Rx; Ry xz; yz Au 1 1 -1 -1 z Bu 1 -1 -1 1 x, y gama 6 0 0 2 Resultado 6 0 0 2 2 Ag 6 0 0 -2 1 Bg 6 0 0 -2 1 Au 6 0 0 2 2 Bu Dnh 6- OS GRUPOS Dnh D2h E C2 (z) C2 (y) C2 (x) i sig-xy sig-xz sig-yz Resultado D4h E 2C4 C2 2C2' 2C2" i 2S4 sig-h 2sig-v 2sig-d Resultado IV Raman D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 3sig-v Resultado Ag 1 1 1 1 1 1 1 1 A1g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A1' 1 1 1 1 1 1 gama 4 0 0 0 0 4 0 0 gama 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 gama 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 4 0 0 1 Ag x2; y2; z2 4 0 0 4 0 0 0 4 4 0 1 A1g x2+y2; z2 18 0 -6 4 -4 12 2 A1' x2+y2, z2 B1g 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 A2g 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 A2' 1 1 -1 1 1 -1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B1g Rz xy 4 0 0 -4 0 0 0 4 -4 0 0 A2g Rz 18 0 6 4 -4 -12 1 A2' Rz B2g 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 B1g 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 E' 2 -1 0 2 -1 0 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B2g Ry xz 4 0 0 4 0 0 0 4 4 0 1 B1g x2-y2 36 0 0 8 4 0 4 E' x, y x2-y2, xy B3g 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 B2g 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 A1" 1 1 1 -1 -1 -1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B3g Rx yz 4 0 0 -4 0 0 0 4 -4 0 0 B2g xy 18 0 -6 -4 4 -12 0 A1" Rx Au 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 Eg 2 0 -2 0 0 2 0 -2 0 0 A2" 1 1 -1 -1 -1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 Au 8 0 0 0 0 0 0 -8 0 0 0 Eg Rx, Ry xz, yz 18 0 6 -4 4 12 3 A2" z B1u 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 A1u 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 E" 2 -1 0 -2 1 0 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B1u z 4 0 0 4 0 0 0 -4 -4 0 0 A1u 36 0 0 -8 -4 0 2 E" Rx, Ry xz, yz B2u 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 A2u 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B2u y 4 0 0 -4 0 0 0 -4 4 0 0 A2u z B3u 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 B1u 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B3u x 4 0 0 4 0 0 0 -4 -4 0 0 B1u B2u 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 Tabela Periódica dos elementos D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 3sig-v Resultado 4 0 0 -4 0 0 0 -4 4 0 0 B2u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A1' 1 1 1 1 1 1 Eu 2 0 -2 0 0 -2 0 2 0 0 H He gama 5 2 1 3 0 3 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 Li Be B C N O F Ne 5 4 3 3 0 9 2 A1' x2+y2; z2 8 0 0 0 0 0 0 8 0 0 1 Eu x, y Na Mg Al Si P S Cl Ar A2' 1 1 -1 1 1 -1 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr 5 2 1 3 0 3 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe 5 4 -3 3 0 -9 0 A2' Rz Cs Ba Lu Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn E' 2 -1 0 2 -1 0 Fr Ra Lr Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Uub Uut Uuq Uup Uuh Uus Uuo 5 2 1 3 0 3 10 -4 0 6 0 0 1 E' (x,y) (x2-y2; xy) La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tn Yb Lu A1" 1 1 1 -1 -1 -1 D2h E i IV Raman Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr 5 2 1 3 0 3 Ag 1 1 1 1 1 1 1 1 5 4 3 -3 0 -9 0 A1" B1g 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 xy A2" 1 1 -1 -1 -1 1 B2g 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 xz 5 2 1 3 0 3 B3g 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 yz 5 4 -3 -3 0 9 1 A2" z Au 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 E" 2 -1 0 -2 1 0 B1u 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 z 5 2 1 3 0 3 B2u 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 y 10 -4 0 -6 0 0 0 E" (Rx,Ry) (xz, yz) B3u 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 x D5h E 2C5 2C5(2) 5C2 sig-h 2S5 2S5(3) 5sig-v Resultado A1' 1 1 1 1 1 1 1 1 gama 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 5 5 0 0 5 1 A1' x2+y2; z2 A2' 1 1 1 -1 1 1 1 -1 D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 IV Raman E IV Raman 5 0 0 1 5 0 0 1 A1' 1 1 1 1 1 1 x2+y2; z2 1 1 1 1 z 5 0 0 -5 5 0 0 -5 0 A2' Rz A2' 1 1 -1 1 1 -1 Rz 1 1 -1 -1 Rz xy E'1 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 E' 2 -1 0 2 -1 0 (x,y) (x2-y2; xy) 1 -1 1 -1 x, Ry xz 5 0 0 1 5 0 0 1 A1" 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 y, Rx yz 10 0 0 0 10 0 0 0 1 E'1 (x,y) A2" 1 1 -1 -1 -1 1 z E'2 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 E" 2 -1 0 -2 1 0 (Rx,Ry) (xz, yz) 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 1 E'2 (x2-y2; xy) A1" 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 5 -5 0 0 -5 0 A1" A2" 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 -5 -5 0 0 5 0 A2" z E"1 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 -2 -0.6180339887 1.6180339887 0 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 -10 0 0 0 0 E"1 (Rx,Ry) (xz, yz) E"2 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 -2 1.6180339887 -0.6180339887 0 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 -10 0 0 0 0 E"2 Dnd 7- OS GRUPOS Dnd Sn 8- OS GRUPOS Sn Cubicos 9- OS GRUPOS CUBICOS Td E 8C3 3C2 6S4 A1 1 1 1 1 1 x2+y2+z2 A2 1 1 1 -1 -1 E 2 -1 2 0 0 (2z2-x2-y2, x2-y2) T1 3 0 -1 1 -1 (Rx, Ry, Rz) T2 3 0 -1 -1 1 (x, y, z) (xy, xz, yz) Gama 4 1 0 0 2 Resultado 4 8 0 0 12 1 A1 4 8 0 0 -12 0 A2 8 -8 0 0 0 0 E 12 0 0 0 -12 0 T1 12 0 0 0 12 1 T2 Oh E 8C3 6C2 6C4 3C2 i 6S4 8S6 A1g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x2+y2+z2 A2g 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 Eg 2 -1 0 0 2 2 0 -1 2 0 2z2-x2-y2; x2-y2 T1g 3 0 -1 1 -1 3 1 0 -1 -1 Rx, Ry, Rz T2g 3 0 1 -1 -1 3 -1 0 -1 1 xz, yz, xy A1u 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 A2u 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 Eu 2 -1 0 0 2 -2 0 1 -2 0 T1u 3 0 -1 1 -1 -3 -1 0 1 1 x, y, z T2u 3 0 1 -1 -1 -3 1 0 1 -1 Gama 6 0 0 2 2 0 0 0 4 2 Resultado 6 0 0 12 6 0 0 0 12 12 1 A1g 6 0 0 -12 6 0 0 0 12 -12 0 A2g 12 0 0 0 12 0 0 0 24 0 1 Eg 18 0 0 12 -6 0 0 0 -12 -12 0 T1g 18 0 0 -12 -6 0 0 0 -12 12 0 T2g 6 0 0 12 6 0 0 0 -12 -12 0 A1u 6 0 0 -12 6 0 0 0 -12 12 0 A2u 12 0 0 0 12 0 0 0 -24 0 0 Eu 18 0 0 12 -6 0 0 0 12 12 1 T1u 18 0 0 -12 -6 0 0 0 12 -12 0 T2u Lineares 9- OS GRUPOS Cinfinito-v e D infinito-h PARA MOLÉCULAS LINEARES Icosaédricos 11- OS GRUPOS ICOSAÉDRICOS C1 1- GRUPOS DE BAIXA SIMETRIA (grupos não axiais) C1 E A 1 Cs E sig-h A' 1 1 x, y, Rz A" 1 -1 z, Rx, Ry yz, xz Gama 4 0 Resultado 4 0 2 A' 4 0 2 A" Ci E i Ag 1 1 Rx, Ry, Rz Au 1 -1 x, y, z Gama 1 -1 Resultado 1 -1 0 Ag 1 1 1 Au Cn 2- OS GRUPOS AXIAIS Cn C6 E C6 C3 C2 (C3)2 (C6)5 E=exp(2pi i/6) A 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 C2 E C2 B 1 -1 1 -1 1 -1 A 1 1 z, Rz x2, y2, z2, xy E1 1 E _E2 -1 _E* E* (x, y) (yz, xz) B 1 -1 x, y, Rx, Ry yz, xz 1 E* _E2* -1 _E E ( Rx, Ry) Gama 2 0 E2 1 _E _E* 1 _E2* _E (x2-y2, xy) Resultado 1 _E* _E 1 _E2 _E* 2 0 1 A Gama 6 0 0 0 0 0 2 0 1 B Resultado 6 0 0 0 0 0 1 A C3 E C3 (C3)2 E=exp(2pi i/3) 6 0 0 0 0 0 1 B A 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E1 E 1 E E* (x, y)( Rx, Ry) (x2-y2, xy)(yz, xz) 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E1 1 E* E 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E2 Gama 3 0 0 6 0 0 0 0 0 0 E2 Resultado 3 0 0 1 A 3 0 0 0 B C7 E C7 (C7)2 (C7)3 (C7)4 (C7)5 (C7)5 E=exp(2pi i/7) A 1 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 E1 1 E E2 E3 E3* E2* E* (x, y) (yz, xz) C4 E C4 C2 (C4)3 1 E* E2* E3* E3 E2 E ( Rx, Ry) A 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 E2 1 E2 E3* E* E E3 E2* (x2-y2, xy) B 1 -1 1 -1 x2-y2, xy 1 E2* E3* E E* E3* E2 E 1 i -1 _ i (x, y)( Rx, Ry) (yz, xz) E3 1 E3 E* E2 E2* E E3* 1 _ i -1 i 1 E3* E E2* E2 E* E3 Gama 4 0 0 0 Gama 7 0 0 0 0 0 0 Resultado Resultado 4 0 0 0 1 A 7 0 0 0 0 0 0 1 A 4 0 0 0 0 E 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E1 4 0 0 0 0 E 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E1 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E2 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E2 C5 E C5 (C5)2 (C5)3 (C5)4 E=exp(2pi i/5) 7 0 0 0 0 0 0 0 E3 A 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 7 0 0 0 0 0 0 0 E3 E1 1 E E2 E2* E* (x, y)( Rx, Ry) (yz, xz) 1 E* E2* E2 E E2 1 E2 E* E E2* (x2-y2, xy) C8 E C8 C4 C2 (C4)3 (C8)3 (C8)5 (C8)7 E=exp(2pi i/8) 1 E2* E E* E2 A 1 1 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 Gama 5 0 0 0 0 B 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 Resultado E1 1 E i -1 1 _E* _E* E* (x, y) (yz, xz) 5 0 0 0 0 1 A 1 E* _i -1 i _E _E* E ( Rx, Ry) 5 0 0 0 0 0 E1 E2 1 i -1 1 -1 _i i _i (x2-y2, xy) 5 0 0 0 0 0 E1 1 _i -1 1 -1 i _i i 5 0 0 0 0 0 E2 E3 1 _E* i -1 _i E* E _E* 5 0 0 0 0 0 E2 1 _E _i -1 i E E* _E Gama 8 0 0 0 0 0 0 0 Resultado 8 0 0 0 0 0 0 0 1 A 8 0 0 0 0 0 0 0 1 B 8 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 0 E1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E3 8 0 0 0 0 0 0 0 0 E3 Dn 3- OS GRUPOS Dn D2 E C2(Z) C2(Y) C2(X) A 1 1 1 1 x2, y2, z2 B1 1 1 -1 -1 z, Rz xy B2 1 -1 1 -1 y, Ry xz B3 1 -1 -1 1 X, RX yz Gama 4 0 0 0 Resultado 4 0 0 0 1 A 4 0 0 0 1 B1 4 0 0 0 1 B2 4 0 0 0 1 B3 D3 E 2C3 3C2 A 1 1 1 x2+y2, z2 B 1 1 -1 z, Rz E 2 -1 0 (X,y), (Rx, Ry) (x2-y2, xy)(xz,yz) Gama 3 0 0 Resultado 3 0 0 1 A 3 0 0 0 B 6 0 0 2 E D4 E C4 C2(=(C4)2) 2C2' 2C2" A1 1 1 1 1 1 x2+y2, z2 A2 1 1 1 -1 -1 z, Rz B1 1 -1 1 1 -1 x2- y2 B2 1 -1 1 -1 1 xy E 2 0 -2 0 0 (x,y), (Rx, Ry) (xz, yz) Gama 0 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 B1 0 0 0 0 0 0 B2 0 0 0 0 0 0 E D5 E 2C5 2C5)2 5C2 A1 1 1 1 1 x2+ y2, z2 A2 1 1 1 -1 z, Rz E1 2 2COS 72 2COS144 0 (x,y)(Rx, Ry) (xz, yz) E2 2 2COS 144 2COS72 0 (x2-y2,xy) Gama 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 E1 0 0 0 0 0 E2 D6 E 2C6 2C3 C2 3C2' 3C2" A1 1 1 1 1 1 1 x2+y2, z2 A2 1 1 1 1 -1 -1 z, Rz B1 1 -1 1 -1 1 -1 B2 1 -1 1 -1 -1 1 E1 2 1 -1 -2 0 0 (x,y), (Rx, Ry) (xz, yz) E2 2 -1 -1 2 0 0 (x2-y2, xy) Gama 0 0 0 0 0 0 Resultado 0 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 0 B1 0 0 0 0 0 0 0 B2 0 0 0 0 0 0 0 E1 0 0 0 0 0 0 0 E2 Cnv 4- OS GRUPOS Cnv C5v E 2C4 C2 2sig-v 2sig-d A1 1 1 1 1 1 z C2v E C2(z) sig-v (xz) sig'-v (yz) A2 1 1 1 -1 -1 Rz A1 1 1 1 1 z B1 1 -1 1 1 -1 A2 1 1 -1 -1 Rz xy B2 1 -1 1 -1 1 xy B1 1 -1 1 -1 x, Ry xz E 2 0 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) B2 1 -1 -1 1 y, Rx yz Gama 0 0 0 0 0 Gama 4 0 0 0 Resultado Resultado 0 0 0 0 0 0 A1 4 0 0 0 1 A1 0 0 0 0 0 0 A2 4 0 0 0 1 A2 0 0 0 0 0 0 B1 4 0 0 0 1 B1 0 0 0 0 0 0 B2 4 0 0 0 1 B2 0 0 0 0 0 0 E C3v E 2C3 C6v E 2C6 2C3 C2 3sig-v 3sig-d A1 1 1 1 z x2+y2, z2 A1 1 1 1 1 1 1 z A2 1 1 -1 Rz A2 1 1 1 1 -1 -1 Rz E 2 -1 0 x,y; Rx, Ry (x2-y2, xy); (xz, yz) B1 1 -1 1 -1 1 -1 Gama 3 0 1 B2 1 -1 1 -1 -1 1 Resultado E1 2 1 -1 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) 3 0 3 1 A1 E2 2 -1 -1 2 0 0 3 0 -3 0 A2 Gama 0 0 0 0 0 0 6 0 0 1 E Resultado 0 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 0 B1 C4v E 2C4 C2 2sig-v 0 0 0 0 0 0 0 B2 A1 1 1 1 1 1 z 0 0 0 0 0 0 0 E A2 1 1 1 -1 -1 Rz B1 1 -1 1 1 -1 B2 1 -1 1 -1 1 xy E 2 0 -2 0 0 (x, y ); (Rx, Ry) (xz, yz) Gama 5 1 1 3 1 Resultado 5 2 1 6 2 2 A1 5 2 1 -6 -2 0 A2 5 -2 1 6 -2 1 B1 5 -2 1 -6 2 0 B2 10 0 -2 0 0 1 E Cnh 5- OS GRUPOS Cnh C2h E C2 i sig-h Ag 1 1 1 1 Rz Bg 1 -1 1 -1 Rx; Ry xz; yz Au 1 1 -1 -1 z Bu 1 -1 -1 1 x, y gama 6 0 0 2 Resultado 6 0 0 2 2 Ag 6 0 0 -2 1 Bg 6 0 0 -2 1 Au 6 0 0 2 2 Bu Dnh 6- OS GRUPOS Dnh D2h E C2 (z) C2 (y) C2 (x) i sig-xy sig-xz sig-yz Resultado D4h E 2C4 C2 2C2' 2C2" i 2S4 sig-h 2sig-v 2sig-d Resultado IV Raman D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 3sig-v Resultado Ag 1 1 1 1 1 1 1 1 A1g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A1' 1 1 1 1 1 1 gama 4 0 0 0 0 4 0 0 gama 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 gama 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 4 0 0 1 Ag x2; y2; z2 4 0 0 4 0 0 0 4 4 0 1 A1g x2+y2; z2 18 0 -6 4 -4 12 2 A1' x2+y2, z2 B1g 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 A2g 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 A2' 1 1 -1 1 1 -1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B1g Rz xy 4 0 0 -4 0 0 0 4 -4 0 0 A2g Rz 18 0 6 4 -4 -12 1 A2' Rz B2g 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 B1g 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 E' 2 -1 0 2 -1 0 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B2g Ry xz 4 0 0 4 0 0 0 4 4 0 1 B1g x2-y2 36 0 0 8 4 0 4 E' x, y x2-y2, xy B3g 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 B2g 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 A1" 1 1 1 -1 -1 -1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B3g Rx yz 4 0 0 -4 0 0 0 4 -4 0 0 B2g xy 18 0 -6 -4 4 -12 0 A1" Rx Au 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 Eg 2 0 -2 0 0 2 0 -2 0 0 A2" 1 1 -1 -1 -1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 Au 8 0 0 0 0 0 0 -8 0 0 0 Eg Rx, Ry xz, yz 18 0 6 -4 4 12 3 A2" z B1u 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 A1u 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 E" 2 -1 0 -2 1 0 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 18 0 -2 4 -2 4 4 0 0 0 0 -4 0 0 0 B1u z 4 0 0 4 0 0 0 -4 -4 0 0 A1u 36 0 0 -8 -4 0 2 E" Rx, Ry xz, yz B2u 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 A2u 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B2u y 4 0 0 -4 0 0 0 -4 4 0 0 A2u z B3u 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 B1u 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 4 0 0 0 0 4 0 0 1 B3u x 4 0 0 4 0 0 0 -4 -4 0 0 B1u B2u 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 Tabela Periódica dos elementos D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 3sig-v Resultado 4 0 0 -4 0 0 0 -4 4 0 0 B2u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A1' 1 1 1 1 1 1 Eu 2 0 -2 0 0 -2 0 2 0 0 H He gama 5 2 1 3 0 3 4 0 0 2 0 0 0 4 2 0 Li Be B C N O F Ne 5 4 3 3 0 9 2 A1' x2+y2; z2 8 0 0 0 0 0 0 8 0 0 1 Eu x, y Na Mg Al Si P S Cl Ar A2' 1 1 -1 1 1 -1 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr 5 2 1 3 0 3 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe 5 4 -3 3 0 -9 0 A2' Rz Cs Ba Lu Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn E' 2 -1 0 2 -1 0 Fr Ra Lr Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Uub Uut Uuq Uup Uuh Uus Uuo 5 2 1 3 0 3 10 -4 0 6 0 0 1 E' (x,y) (x2-y2; xy) La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tn Yb Lu A1" 1 1 1 -1 -1 -1 D2h E i IV Raman Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr 5 2 1 3 0 3 Ag 1 1 1 1 1 1 1 1 5 4 3 -3 0 -9 0 A1" B1g 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 xy A2" 1 1 -1 -1 -1 1 B2g 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 xz 5 2 1 3 0 3 B3g 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 yz 5 4 -3 -3 0 9 1 A2" z Au 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 E" 2 -1 0 -2 1 0 B1u 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 z 5 2 1 3 0 3 B2u 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 y 10 -4 0 -6 0 0 0 E" (Rx,Ry) (xz, yz) B3u 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 x D5h E 2C5 2C5(2) 5C2 sig-h 2S5 2S5(3) 5sig-v Resultado A1' 1 1 1 1 1 1 1 1 gama 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 5 5 0 0 5 1 A1' x2+y2; z2 A2' 1 1 1 -1 1 1 1 -1 D3h E 2C3 3C2 sig-h 2S3 IV Raman E IV Raman 5 0 0 1 5 0 0 1 A1' 1 1 1 1 1 1 x2+y2; z2 1 1 1 1 z 5 0 0 -5 5 0 0 -5 0 A2' Rz A2' 1 1 -1 1 1 -1 Rz 1 1 -1 -1 Rz xy E'1 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 E' 2 -1 0 2 -1 0 (x,y) (x2-y2; xy) 1 -1 1 -1 x, Ry xz 5 0 0 1 5 0 0 1 A1" 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 y, Rx yz 10 0 0 0 10 0 0 0 1 E'1 (x,y) A2" 1 1 -1 -1 -1 1 z E'2 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 E" 2 -1 0 -2 1 0 (Rx,Ry) (xz, yz) 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 1 E'2 (x2-y2; xy) A1" 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 5 -5 0 0 -5 0 A1" A2" 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 5 0 0 1 5 0 0 1 5 0 0 -5 -5 0 0 5 0 A2" z E"1 2 0.6180339887 -1.6180339887 0 -2 -0.6180339887 1.6180339887 0 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 -10 0 0 0 0 E"1 (Rx,Ry) (xz, yz) E"2 2 -1.6180339887 0.6180339887 0 -2 1.6180339887 -0.6180339887 0 5 0 0 1 5 0 0 1 10 0 0 0 -10 0 0 0 0 E"2 Dnd 7- OS GRUPOS Dnd Sn 8- OS GRUPOS Sn Cubicos 9- OS GRUPOS CUBICOS Td E 8C3 3C2 6S4 A1 1 1 1 1 1 x2+y2+z2 A2 1 1 1 -1 -1 E 2 -1 2 0 0 (2z2-x2-y2, x2-y2) T1 3 0 -1 1 -1 (Rx, Ry, Rz) T2 3 0 -1 -1 1 (x, y, z) (xy, xz, yz) Gama 4 1 0 0 2 Resultado 4 8 0 0 12 1 A1 4 8 0 0 -12 0 A2 8 -8 0 0 0 0 E 12 0 0 0 -12 0 T1 12 0 0 0 12 1 T2 Oh E 8C3 6C2 6C4 3C2 i 6S4 8S6 A1g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x2+y2+z2 A2g 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 Eg 2 -1 0 0 2 2 0 -1 2 0 2z2-x2-y2; x2-y2 T1g 3 0 -1 1 -1 3 1 0 -1 -1 Rx, Ry, Rz T2g 3 0 1 -1 -1 3 -1 0 -1 1 xz, yz, xy A1u 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 A2u 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 Eu 2 -1 0 0 2 -2 0 1 -2 0 T1u 3 0 -1 1 -1 -3 -1 0 1 1 x, y, z T2u 3 0 1 -1 -1 -3 1 0 1 -1 Gama 6 0 0 2 2 0 0 0 4 2 Resultado 6 0 0 12 6 0 0 0 12 12 1 A1g 6 0 0 -12 6 0 0 0 12 -12 0 A2g 12 0 0 0 12 0 0 0 24 0 1 Eg 18 0 0 12 -6 0 0 0 -12 -12 0 T1g 18 0 0 -12 -6 0 0 0 -12 12 0 T2g 6 0 0 12 6 0 0 0 -12 -12 0 A1u 6 0 0 -12 6 0 0 0 -12 12 0 A2u 12 0 0 0 12 0 0 0 -24 0 0 Eu 18 0 0 12 -6 0 0 0 12 12 1 T1u 18 0 0 -12 -6 0 0 0 12 -12 0 T2u Lineares 9- OS GRUPOS Cinfinito-v e D infinito-h PARA MOLÉCULAS LINEARES Icosaédricos 11- OS GRUPOS ICOSAÉDRICOS C1 1- GRUPOS DE BAIXA SIMETRIA (grupos não axiais) C1 E A 1 Cs E sig-h A' 1 1 x, y, Rz A" 1 -1 z, Rx, Ry yz, xz Gama 4 0 Resultado 4 0 2 A' 4 0 2 A" Ci E i Ag 1 1 Rx, Ry, Rz Au 1 -1 x, y, z Gama 1 -1 Resultado 1 -1 0 Ag 1 1 1 Au Cn 2- OS GRUPOS AXIAIS Cn C6 E C6 C3 C2 (C3)2 (C6)5 E=exp(2pi i/6) A 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 C2 E C2 B 1 -1 1 -1 1 -1 A 1 1 z, Rz x2, y2, z2, xy E1 1 E _E2 -1 _E* E* (x, y) (yz, xz) B 1 -1 x, y, Rx, Ry yz, xz 1 E* _E2* -1 _E E ( Rx, Ry) Gama 2 0 E2 1 _E _E* 1 _E2* _E (x2-y2, xy) Resultado 1 _E* _E 1 _E2 _E* 2 0 1 A Gama 6 0 0 0 0 0 2 0 1 B Resultado 6 0 0 0 0 0 1 A C3 E C3 (C3)2 E=exp(2pi i/3) 6 0 0 0 0 0 1 B A 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E1 E 1 E E* (x, y)( Rx, Ry) (x2-y2, xy)(yz, xz) 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E1 1 E* E 6 0 0.00E+00 0 0 0 0 E2 Gama 3 0 0 6 0 0 0 0 0 0 E2 Resultado 3 0 0 1 A 3 0 0 0 B C7 E C7 (C7)2 (C7)3 (C7)4 (C7)5 (C7)5 E=exp(2pi i/7) A 1 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 E1 1 E E2 E3 E3* E2* E* (x, y) (yz, xz) C4 E C4 C2 (C4)3 1 E* E2* E3* E3 E2 E ( Rx, Ry) A 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 E2 1 E2 E3* E* E E3 E2* (x2-y2, xy) B 1 -1 1 -1 x2-y2, xy 1 E2* E3* E E* E3* E2 E 1 i -1 _ i (x, y)( Rx, Ry) (yz, xz) E3 1 E3 E* E2 E2* E E3* 1 _ i -1 i 1 E3* E E2* E2 E* E3 Gama 4 0 0 0 Gama 7 0 0 0 0 0 0 Resultado Resultado 4 0 0 0 1 A 7 0 0 0 0 0 0 1 A 4 0 0 0 0 E 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E1 4 0 0 0 0 E 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E1 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E2 7 0 0.00E+00 0 0 0 0 0 E2 C5 E C5 (C5)2 (C5)3 (C5)4 E=exp(2pi i/5) 7 0 0 0 0 0 0 0 E3 A 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 7 0 0 0 0 0 0 0 E3 E1 1 E E2 E2* E* (x, y)( Rx, Ry) (yz, xz) 1 E* E2* E2 E E2 1 E2 E* E E2* (x2-y2, xy) C8 E C8 C4 C2 (C4)3 (C8)3 (C8)5 (C8)7 E=exp(2pi i/8) 1 E2* E E* E2 A 1 1 1 1 1 1 1 1 z, Rz x2+ y2, z2 Gama 5 0 0 0 0 B 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 Resultado
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