ECV5214 - Mecânica de Sólidos II - Poliana Dias de Moraes - AED02 resolvido - 2015/2

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Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, 
seqüenciais e organizados. 
UFSC - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
ECV5214 – MECÂNICA DE SÓLIDOS II 
2a Atividade de ensino à distância – Semestre 2015-1 
 
1) Calcule o giro em C da viga abaixo, usando o 
Método da Viga Conjugada, também conhecido 
como Método de Mohr. 
 
 
 
2) São usados postes de madeira de 7,62 cm de 
diâmetro para conter um muro. Se a pressão do solo 
ao longo do poste varia de zero, no topo, ao 
máximo de 14,37 kN/m na extremidade B. Quais 
são a inclinação e o deslocamento no topo? Emad = 
11031 MPa. (integração direta) 
 
 
3) As barras prismáticas AD e BD são ligadas para 
formar a viga em balanço ADB. A rigidez flexional 
no trecho AD é EI e no trecho DB é 2EI. Calcular a 
declividade e a flecha na extremidade A. 
 
 
 
4) Calcule as reações da viga apoiada engastada e 
trace os diagramas de esforços internos. 
 
5) Determine a energia de deformação da viga em 
balanço AB em virtude da tensão de cisalhamento e 
da tensão normal, sendo que a viga tem seção 
transversal quadrada e está submetida a uma carga 
uniformemente distribuída. Faça uma análise da 
influência da relação L/a, sendo L o comprimento 
do balanço e a o lado da seção transversal (use 
gráficos para ilustrar e explique o fenômeno). 
 
6) Uma barra uniforme de rigidez flexional EI é 
dobrada e carregada como indica a figura. 
Determinar, usando o Teorema de Castigliano: a) o 
deslocamento vertical em D; b) a declividade de BC 
em C. 
 
7) Defina o que é módulo de dureza e módulo de 
resiliência 
 
Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, 
seqüenciais e organizados. 
Resolução dos problemas propostos 
1) Calcule o giro em C da viga abaixo, usando o 
Método da Viga Conjugada, também conhecido 
como Método de Mohr. 
 
 
 
Pode-se usar uma estrutura equivalente, na qual a 
força horizontal aplicada é substituída por uma 
força e um binário atuando em C. Adicionalmente, 
pode-se trabalhar com o seguimento BCD da viga 
conforme ilustrado pela figura abaixo, no qual 
4,5qa é a reação do trecho AB sobre o ponto B. 
 
Faz-se o digrama de momentos fletores da 
estrutural real 
 
Determina-se, também, a viga conjuda da viga real 
e aplica-se um carregamento fictício igual ao 
momento fletor da viga real dividido pela rigidez do 
trecho correspondente da vigam conforme ilustrado 
abaixo. 
 
A viga conjugada BCD é uma viga Gerber e pode 
ser desmontada, conforme o esquema a seguir. 
 
 
Tem-se que a rotacao em C na viga real é igual ao 
esforço cortante em C na viga conjugada. 
CC V=θ 
34,82 qa
EIC
−=θ 
 
 
 
Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, 
seqüenciais e organizados. 
(QUESTÃO 2): 
São usados postes de madeira de 7,62 cm de 
diâmetro para conter um muro. Se a pressão do solo 
ao longo do poste varia de zero, no topo, ao 
máximo de 14,37 kN/m na extremidade B. Quais 
são a inclinação e o deslocamento no topo? Emad = 
11031 MPa. (integração direta) 
 
Calculam-se as reações nos vínculo B, conforme 
indicado a seguir. 
 
 
 
Utilizamos a seguinte seção para a determinacao 
dos momentos fletores na estrutura: 
 
Partimos das seguintes condicoes para o 
desenvolvimento do problema: 
 
Sendo que temos as seguintes condicoes de 
contorno: 
Θ(1.8) = Y(1.8) = 0 
Resolução das integrais: 
 
Aplicando as condições de contorno: 
 
 
Obtemos, portanto: 
 
 Substituindo na expressão, obtemos que: 
 
Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, 
seqüenciais e organizados. 
(QUESTÃO 3): As barras prismáticas AD e BD 
são ligadas para formar a viga em balanço ADB. A 
rigidez flexional no trecho AD é EI e no trecho DB 
é 2EI. Calcular a declividade e a flecha na 
extremidade A. 
 
Inicialmente determinamos o DMF da viga real: 
 
Com o DMF real dividido pela rigidez do 
respectivo trecho, constrói-se o carregamento da 
viga fictícia: 
 
Para determinar a declividade e a flecha da viga real 
em A deve-se encontrar, respectivamente, o esforço 
cortante e o momento fletor da viga conjugada, os 
quais têm valores iguais às reações em A. 
 
 
Portanto, 
 
Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, 
seqüenciais e organizados. 
(QUESTÃO 4): Calcule as reações da viga 
apoiada engastada e trace os diagramas de esforços 
internos. 
 
 
Substitui-se o vínculo em A por sua reação, 
 
Determinam-se os momentos fletores da viga 
considerando-se também o carregamento RA. 
 
A partir do diagrama de corpo-livre do segmento da 
esquerda da seção S1, efetua-se o equilíbrio de 
momentos da seção determina-se o momento 
interno. 
 
∑ = 0sM 
0
2 1
=+⋅+− MxwxxRAV 
 
2
2
1
x
wxRM AV −= 
 
x
R
M
AV
=
∂
∂ 1
 
 
A partir do diagrama de corpo-livre do segmento da 
esquerda da seção S2, efetua-se o o mesmo 
procedimento e determina-se o momento interno. 
 
∑ = 0sM 
0
422 2
=+





+⋅+





+− MxLLwxLRA 
 
+





+⋅−





+= x
LL
wx
LRM A 4222
 
 






+=
∂
∂
x
L
R
M
A 2
2
 
 
Para determinar RA por meio do Teorema de 
Castigliano, sabe-se que: 
0=
∂
∂
=
A
A R
U
v 
 
∫ ∂
∂
=
l A
A dxR
M
EI
M
v 
 
Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, 
seqüenciais e organizados. 
0
2
0
22
2
0
11
=
∂
∂
+
∂
∂
= ∫∫
L
A
L
A
A dxR
M
EI
Mdx
R
M
EI
M
v 
 
Substituindo-se os momentos internos e as suas 
derivadas em relação a, obtém uma equação 
adicional que permite chegar ao valor da reação em 
A, cujo valor é: 
wLRA 128
41
= 
 
Conhecida a reação RA, pode-se determinar o valor 
das reações do vínculo B, por meio das equações de 
equilíbrio estático, a partir do diagrama de corpo-
livre da viga. 
 
Chega-se à: 
wLRB 128
23
= e 
 
2
128
7
wLM B = 
 
Com isso obtém-se um problema isostático em que 
se pode determinar as outras reações e os 
diagramas. 
 
 
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seqüenciais e organizados. 
(QUESTÃO 5): 
 
 
 
Deduziremos a parcela de flexão e cisalhamento 
separadamente: 
∫=
V
cis dVG
U
2
2τ
 e 
It
QV
=τ 
 
∫






= dAdx
G
It
QV
U cis 2
2
 
 
Fazendo o desenvolvimento da integral, chega-se a 
dx
A
V
G
fU
l
c
cis ∫=
0
2
2
. 
 
A seção é quadrada, portanto o fator de forma é 
igual a 6/5 e o esforço cortante na seção é 
( ) wxxV = . 
 Substituindo na equação, tem-se: 
( ) dx
A
wx
G
U
l
cis ∫=
0
2
2
5
6
, 
 
dx
a
xw
G
U
l
cis ∫=
0
2
22
5
3
, 
 
2
32
2
32
5
1
35
3
a
lw
Ga
xw
G
U cis == 
 
A parcela da energia de deformação referente à 
flexão é dada por 
∫=
V
flexão dVE
U
2
2σ
 e 
I
My
−=σ . 
 
∫






−
=
V
flexão dVE
I
My
U
2
2
, 
 
dx
EI
MU
l
flexão ∫=
0
2
2
, sendo ( )
22wx
xM = . 
 
dx
EI
wx
U
l
flexão ∫






=
0
22
2
2
 
 
dx
EI
xw
U
l
flexão ∫=
0
42
2
4
, 
 
EI
lw
EI
xwdx
EI
xwU
ll
flexão 40588
52
0
52
0
42
=
⋅
== ∫ 
 
Calculando-se o momento de inércia para a seção, 
tem-se: 
12
4aI = , 
 
.
10
3
40
12
12
40
4
52
4
52
4
52
Ea
lw
Ea
lw
aE
lwU flexão === 
 
Logo, a energia de deformação total da viga devida 
ao cisalhamento e à flexão é dada por: 
4
52
2
32
10
3
5
1
Ea
lw
a
lw
G
U += , 
 














+=
2
4
52
3
21
10
3
L
a
G
E
Ea
lwU . 
 
 Supondo que G = E/2, tem-se: 














+=
2
4
52
3
41
10
3
L
a
Ea
lwU . 
 
 
L
a
 
U
U flexão
 
1 0,428571429 
0,6 0,675675676 
0,4 0,824175824 
0,2 0,949367089 
0,1 0,986842105 
0,05 0,996677741 
0,04 0,997871208 
0,02 0,999466951 
Com isso, percebe-se que a representatividade da 
energia de deformação devida ao cisalhamento é 
altamente dependente da esbeltez do elemento, 
sendo que, quanto mais esbelto o elemento 
considerado, menos representativo é a energia de 
deformação devida ao cisalhamento. Quando a 
relação a/L = 0,1, a energia de deformação 
representa menos de 2% da energia total do sistema. 
Porém isso não se verifica, para materiais como os 
polímeros, cuja relação entre E e G é maior. 
Analisando-se a razão 
flexão
cis
U
U
, chega-se: 
Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, 
seqüenciais e organizados. 
2
2 





=
L
a
G
E
U
U
flexão
cis
. 
 
Para vigas em madeira, tem-se que o 
16
EG ≈ , tem-
se: 
2
32 





=
L
a
U
U
flexão
cis
. Logo 
 
 
L
a
 
flexão
cis
U
U
 
1 32 
0,6 11,52 
0,4 5,12 
0,2 1,28 
0,1 0,32 
0,05 0,08 
0,04 0,0512 
0,02 0,0128 
Percebe-se que, quando a/L = 0,1 a energia de 
deformação representa 32% da energia de flexão. 
Isso representa uma contribuição elevada para a 
deformação total da estrutura. 
Vale lembrar que alguns métodos usados 
para a determinação de deslocamentos 
transversais e rotações em vigas são 
desenvolvidos considerando apenas as 
energias de deformação devidas à flexão, 
não sendo indicados para a análise de 
estruturas pouco esbeltas ou que 
apresentam módulo de elasticidade 
transversal (G) muito menor que o 
módulo de elasticidade longitudinal (E). 
 
Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, 
seqüenciais e organizados. 
(QUESTÃO 6) Uma barra uniforme de rigidez 
flexional EI é dobrada e carregada como indica a 
figura. Determinar, usando o Teorema de 
Castigliano: a) o deslocamento vertical em D; b) a 
declividade de BC em C. 
 
Item (a) O Teorema de Castigliano define que o 
deslocamento é dado por 
D
D Q
U
v
∂
∂
= . Se for 
considerada somente a energia de deformação da 
estrutura devida à flexão sobre toda a estrutura. 
Divide-se a integral em 3 domínios de integração, 
que são os trechos AB, BC e CD. Logo, 
∫ ∂
∂
=
estr D
D dxQ
M
EI
M
v 
 
∫
∫∫
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
L
D
CDCD
L
D
BCBC
L
D
ABAB
D
dxQ
M
EI
M
dxQ
M
EI
MdxQ
M
EI
M
v
0
00
 
 
 
]'0[ lx << PxQlM AB +−= 
]''0[ lx << QxQlPlM BC += 
]'''0[ lx << PxPlM CD = 
l
dQ
dM AB
= xl
dQ
dM BC += 0=
dQ
dM CD
 
( )( ) ( )(


−+−+−−= ∫∫
LL
D xQxQlPldxlQlPxEI 00
1
υ
 
 
( ) 





+−+−= ∫∫
LL
D dxPlxPlPlxdxEI 0
2
0
1
υ 
 
[ ]














+−





−=
L
L
L
D
xPlxPlxPl
EI 0
2
0
2
0
2
22
1
υ 
 






+−−=
22
1 333 PlPlPl
EID
υ 
 
↑−=
EI
Pl
D
3
υ 
 
A direção e sentido do deslocamento vD são os 
mesmos de Q arbitrado, pois o valor obtido é 
positivo. 
Item (b) Deseja-se determinar a declividade da 
linha elástica em C. O Teorema de Castigliano 
define que a rotação é dada por 
C
C M
U
∂
∂
=θ . Se for 
considerada somente a energia de deformação da 
estrutura devida à flexão, tem-se: 
∫ ∂
∂
=
estr C
C dxM
M
EI
Mθ 
∫
∫∫
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
L
C
CDCD
L
C
BCBC
L
C
ABAB
C
dx
M
M
EI
M
dx
M
M
EI
Mdx
M
M
EI
M
0
00
θ
 
 
 
]'0[ lx << PxQM AB += 
]''0[ lx << PlQM BC += 
]'''0[ lx << )-( xlPM CD = 
1=
dQ
dM AB
 1=
dQ
dM BC
 0=
dQ
dM CD
 
( ) ( ) 





++++= ∫∫ 0
1
00
LL
C dxPlQdxPxQEIθ 
 
Substituímos Q = 0 na fórmula, pois Q é um 
momento fictício. O sentido da rotação θc é o 
Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, 
seqüenciais e organizados. 
mesmo do momento fictício arbitrado, pois o valor 
obtido é positivo. 
.
2
3 2
EI
Pl
C =θ 
 
Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, 
seqüenciais e organizados. 
(QUESTÃO 7): Defina o que é módulo de dureza 
e módulo de resiliência 
 
 Módulo de Resiliência é a densidade da energia 
de deformação no material quando a tensão σ atinge 
o limite de proporcionalidade, sendo dado por: 
E
u
lp
lplpr
2
2
1
2
1 σ
εσ == 
 
 
A resiliência de um material representa a sua 
capacidade de absorver energia sem sofrer qualquer 
dano permanente. 
 
O módulo de dureza de um material representa a 
densidade de energia de deformação do material 
imediatamente antes da ruptura. Essa propriedade 
deve ser considerada quando se projeta elementos 
que possam ser sobrecarregados acidentalmente, 
sendo que a mesma indica como o elemento irá se 
comportar até a sua ruptura.