ECV5214 - Mecânica de Sólidos II - Poliana Dias de Moraes - AED01 resolvido - 2015/2

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UFSC - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
ECV5214 – MECÂNICA DE SÓLIDOS II 
1
a
 Atividade de ensino à distância – Semestre 2015-2 
 
1) ) Dimensionar a espessura h das paredes 
de um reservatório de GNV para suportar 
uma pressão interna de 22 MPa, de acordo 
com a Teoria de Falha de Von Mises. 
Considerar a tensão de escoamento do aço 
igual a 400 MPa e coeficiente de segurança 
igual a 2,0. 
 
 
 
Resposta: 
Considerações iniciais: 
a) despreza-se o peso próprio do 
reservatório; 
b) casca fina → espessura << raio; 
c) pressão na parede do reservatório pz 
= 22 MPa = 22 N/mm²; 
d) r1 =  
e) r0 = r2  200 mm 
 
Equações de cascas: 
t
p
rr
z
21
 
 


hsenr
R
02

 
Critério de falha de von Mises para o plano: 
 2222121 yf 
. 
 
Cálculo da tensão de membrana na direção 
do paralelo. 
t
p
rr
z
21
 
 
h
Nmm
mm
222
200



 
 
h
4400

 
Cálculo da pressão meridional no cilindro 
 


hsenr
R
02

; 
prR 2
 
  N
mm
N
mmR 5,276460122200
2
2







 
  12002
5,2764601


hmm
N


, 
h
2200

 
O critério de falha de von Mises ou da 
Máxima Energia de Distorção é dado por: 
 2222121 yf 
. Considerando que 
o coeficiente de segurança é igual a 2,0, 
tem-se: 
2
2
221
2
1
0,2 







yf
 
2
2
22
200
2200220044004400






























mm
N
hhhh
 
22 363 mmh 
 
mmh 05,19
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (2.5) Um estado plano de tensões ocorre 
em um ponto crítico de um componente 
estrutural feito em concreto. Uma série de 
ensaios mostrou, para o concreto 
empregado, que a tensão de ruptura à 
compressão é UC = 60 MPa e a tensão de 
ruptura à tração é UT = 10 MPa. 
Determinar, empregando o critério de 
Mohr, se a estrutura está segura. 
25 MPa
5 MPa
40 MPa
25 MPa
5 MPa
40 MPa
 
Pode-se resolver o problema de dois modos 
gráficos: o primeiro, determinando a 
envoltória de falha para o concreto a partir 
das suas resistências à compressão e à 
tração; e a segunda, determinando o espaço 
resistência no espaço das tensões principais. 
 
Primeiro modo de resolução. 
No espaço das tensões normais e de 
cisalhamento, traçam-se os círculos de Mohr 
para o ensaio à compressão (UC = 60 MPa), 
em vermelho, e o para o ensaio de tração 
(UT = 10 MPa), em azul escuro. Após, 
define-se a envoltória de falha para o 
concreto (reta tangente aos dois círculos). 
Finalmente, traça-se o círculo de Mohr para 
o estado de tensões do ponto, em azul claro: 
X = (5;-25) MPa, Y = (-40;25) MPa. 
Constata-se que o círculo de Mohr para o 
estado de tensões do ponto está fora da 
envoltória de falha, portanto a estrutura não 
está segura. 
 
 
Segundo modo de resolução gráfico 
Traça-se o círculo de Mohr para o estado de 
tensões dado. Determinam-se as tensões 
principais 1 e 2, as quais são desenhadas 
no espaço definido pelo critério de 
segurança. 
 
Cálculo das tensões principais: 
Rméd 1
 
Rméd  2
 
MPaméd 5,22
2
540



 
    MPaR 51,30255,2240 22 
 
MPa01,851,305,221 
 
MPa01,5351,305,222  
O ponto relativo às tensões principais 1 e 
2 está fora do hexágono de segurança 
relativo ao critério de Mohr-Coulomb, 
conforme ilustra a figura abaixo. Portanto o 
ponto não está seguro. 
 
 
 
3) Uma plataforma de observação em um 
parque de animais silvestres está apoiada 
por uma série de colunas de alumínio tendo 
comprimento L = 3,25 m e diâmetro externo 
d = 100 mm. As bases das colunas estão 
fixadas em pés de concreto e os topos das 
colunas estão apoiados lateralmente pela 
plataforma. As colunas estão sendo 
dimensionadas para sustentar carregamentos 
compressivos de P = 100 kN. Determine a 
mínima espessura necessária t das colunas 
para um coeficiente de segurança igual a 3, 
considerando à flambagem de Euler. (Para o 
alumínio, use E=72 GPa ). 
 
Considerando-se que na construção da 
coluna, ela pode ser considerada engastada 
na base e rotulada na extremidade 
superior→ Lef = 0,7L; 
 
Assim, a carga crítica será dada por 
 2
2
2
2
7,0 L
EI
L
EI
P
ef
cr


e o momento de 
inércia por 
 44
64
IEIE ddIII 
, 
    44 21,01,0
64
tmmI 
 . 
A coluna de resistir 3 vezes mais que a carga 
atuante de 100 kN (CS = 3), portanto a 
coluna deve ser dimensionada para resistir a 
300 kN. Logo 
    
 
N
m
tmm
m
N
Pcr
5
2
44
2
92
103
25,37,0
21,01,0
64
1072










 
    4644 1051,4421,01,0 mtmm 
, 
  464 1049,5521,0 mtm 
, 
mtm 08631,021,0 
, 
mt 006846,0
, portanto 
mmtmín 85,6
. 
 
É necessário verificar se a falha ocorrerá por 
flambagem ou por escoamento do alumínio. 
Para isso é preciso determinar o índice de 
esbeltez da coluna, dado por: 
r
Lef

. 
O raio de giração r é dado por 
A
I
r 
. 
Considerando a espessura da coluna, aquela 
que foi calculada 
mmt 85,6
. Tem-se: 
      4444 30,86100
6464
mmmmddI IE 

 
4610186,2 mmI 
. 
 
A área da seção transversal é dada por 
      2222 30,86100
44
mmmmddA IE 
 
22005mmA
. 
Logo, 
mm
mm
mm
r 0,33
2005
10186,2
2
46



, 
9,68
33
32507,0



mm
mm
 
O índice de esbeltez limite pode ser obtido 
pela equação 
2
2



E
cr 
, quando a tensão 
crítica for igual à tensão de escoamento do 
alumínio 
MPaesc 422
 
 
22
2
422
mm
NE
cr  

 
9,1683
422
72000
2
2
2
2
lim 


mm
N
mm
N

 . 08,41lim  . 
Com 
lim 
, indica que a coluna falhará 
por flambagem. A tensão crítica de 
flambagem, considerando o coeficiente de 
segurança igual a 3 é 
MPa
mm
kN
A
Pcr
cr 150
2005
300
2

. 
 
4) Explique o significado físico da 
indeterminação resultante da solução da 
equação diferencial que governa o 
comportamento de colunas. 
 
A equação que relaciona a curvatura da 
coluna birrotulada na configuração 
deformada devida à flambagem com o 
momento fletor interno é uma equação 
diferencial linear de 2ª ordem diferencial 
com coeficientes constantes, dada por: 
0
2
2
 y
EI
P
dx
yd
 
(1) 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
A equação (1) tem a mesma forma que a 
equação que representa a oscilação vertical 
de um sistema massa-mola (Eq. 2), exceto 
que neste último a variável independente é o 
tempo t. A solução da equação (2) é dada 
pela Eq. (3) 
02
2
2
 yk
dt
yd
 
(2) 
ktCsenktCy cos21 
 (3) 
Se for chamado 
EI
P
k 2
, 
(4) 
Eq (1) toma forma de 
02
2
2
 yk
dx
yd
, 
(5) 
cuja solução geral é dada por 
kxCsenkxCy cos21 
. (6) 
 Aplicando-se as condições de contorno de 
deslocamento transversal em x = 0, y = 0 
(Fig. b), chega-se 
00cos0 21  kCsenkCy
, (7) 
.001 22  CC
 
A equação que representa a deformada da 
coluna pós-flambagem é dada por 
senkxCy 1
, (8) 
sendo C1 a deformação máxima da coluna. 
 
Se forconsiderada a condição de contorno 
de x =L, y = 0, chega-se a 
01  senkLCy
. (9) 
 
Para a Eq.(9) ser nula, existem duas 
possibilidades: ou C1 é nulo ou senkL = 0. 
Se C1 for zero, a coluna estará na 
configuração reta, pois C1 representa o valor 
da amplitude da deformação transversal 
sofrida pela coluna (amplitude da oscilação 
do movimento harmônico). Não é esse o 
caso, pois a coluna sofreu flambagem e está 
encurvada. Logo senkL é que deve ser nulo. 
Para que senkL seja nulo, kL = n, ou seja, 
nL
EI
P

. 
(10) 
Para que a condição da Eq. (9) seja atendida, 
2
22
L
EIn
P


. 
(11) 
O menor valor que atende a condição da Eq. 
(9) é para n = 1, ou seja, 
2
2
L
EI
Pcr


, 
(12) 
chamada de carga Crítica de Euler. 
 
5) Uma casca tronco-cônica, com diâmetro 
superior de r, altura a e espessura t, está 
submetida a uma carga linear 
uniformemente distribuída q (N/m). A 
geratriz faz um ângulo  com o eixo da 
casca. Sabendo que a reação de apoio é 
uniforme ao longo da circunferência da base 
e tem a direção da geratriz, deduzir as 
fórmulas para o cálculo das tensões 
meridional () e paralela () na casca. 
 
 
 
Considerações iniciais: 
a) pode-se desprezar o peso próprio do 
reservatório; 
b) casca fina → espessura << raio; 
c) r1 =  
Equações de cascas: 
t
p
rr
z
21
 
 


hsenr
R
02

 
Cálculo da tensão meridional 
 
 
 
 
 
Faz um corte transversal em y e efetua-se o 
equilíbrio estático na vertical do segmento 
superior. Levam-se em conta a resultante da 
carga distribuída q, do peso próprio p e das 
tensões internas 

. 
  0vF
 
0 RRR pq
 
0cos2
cos2
22 0
0 




 
   tr
yrr
prq
 
 cos222cos2
0
0
yrr
prqtr 




 

 
 




cos2
cos2
22
0
0
tr
yrr
prq 




 


 
 


cos
cos2
0
0
tr
yrr
prq 




 


 
 




cos
cos2cos
cos
0
0
tr
yrr
p
rq





 


 
 


 2
0
0
cos
2
cos
tr
y
rr
prq 




 


. 
(1) 
Porém da geometria da casca ilustrada no 
desenho, obtém-se: 
ytgrr  0
. (2) 
Substituindo-se, (2) em (1), obtém-se a 
expressão para a solução da tensão 
meridional do tronco de cone. 
Se o peso próprio muito pequeno em relação 
à carga q e for desprezado, tem-se: 
  

costytgr
rq


. (3) 
Cálculo da tensão tangencial 
h
p
r
z
 2
 
. 
 
2r
t
pz
 
(4) 
Considerando o peso próprio por área de 
superfície p, tem: 
senppz 
. (5) 
Da geometria, obtém-se: 
cos
0
2
r
r 
. 
(6) 
Substituindo (5) e (6) em (4), 


cos
0r
t
senp 

 
 
 tg
t
rp 0
 
(7) 
Substituindo (2) em (7) chega-se à equação 
para a tensão tangencial 
 ytgrtg
t
p


 
 
(8) 
Se o peso próprio for desprezado, 
0