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Lista de Exercícios 10
1. Determine o conjunto verdade das sentenças abertas abaixo, considerando o seguinte conjunto universo
U = {Brasil, Argentina,EstadosUnidos, Uruguai, Portugal, Inglaterra, Japa˜o}
(a) P (x) : x fica na Europa
(b) P (x) : x foi campeão mundial de futebol
(c) P (x) : x fica na África
(d) P (x) : x tem o inglês como língua oficial
2. Determine o conjunto verdade das sentenças abertas abaixo, considerando o conjunto universo da
questão anterior:
(a) x fica na África ou na Ásia
(b) x fica na Europa e x foi campeão mundial de futebol
(c) x não fica na Europa e x não foi campeão mundial de futebol
(d) se x fica na América, então x foi campeão mundial de futebol
(e) x fica na Europa se e somente se x foi campeão mundial de futebol
3. Determine o conjunto-verdade das seguintes sentenças abertas, para U = {1, 3, 4, 7, 9, 11}:
a) x2 < 25 VP = {1, 3, 4} b) x2 + 3 ∈ U VP = {1} c) |2x− 5| > 5 VP = {7, 9, 11}
d) 0 < x < 12 VP = U e) x e´ divisor de 27 VP = {1, 3, 9} f) x e´ divisı´vel por 5 VP = ∅
g) x e´ ı´mpar VP = {1, 3, 7, 9, 11} h) x e´ par VP = {4} i) x e´ primo VP = {3, 7, 11}
4. Para cada sentença aberta do exercício anterior, escolha, se possível, uma instanciação dentro do uni-
verso U = {4, 5, 10}, que resulte em um enunciado verdadeiro, e outra que gere um enunciado falso.
Considere a variável x como uma instanciação verdadeira e a variável y como uma instanciação falsa.
a) x2 < 25 x = 4, y = 10 b) x2 + 3 ∈ U @x, y = 4 c) |2x− 5| > 5 x = 10, y = 4
d) 0 < x < 12 x = 4,@y e) x e´ divisor de 27 @x, y = 4 f) x e´ divisı´vel por 5 x = 10, y = 4
g) x e´ ı´mpar x = 5, y = 4 h) x e´ par x = 4, y = 5 i) x e´ primo x = 5, y = 4
5. Determine o valor verdade das seguintes proposições no universo U = {1, 2, 3, 4, 5}:
a) (∃x ∈ U)(x + 3 = 10) F b) (∃x ∈ U)(x + 3 < 5) V
c) (∀x ∈ U)(x + 3 < 10) V d) (∀x ∈ U)(x + 3 ≤ 7) F
6. Encontre a negação de cada proposição do exercício anterior, transformando os quantificadores existen-
ciais em universais e vice-versa.
a) (∀x ∈ U)(x + 3 6= 10) b) (∀x ∈ U)(x + 3 ≥ 5)
c) (∃x ∈ U)(x + 3 ≥ 10) d) (∃x ∈ U)(x + 3 > 7)
7. Considerando U = {3, 5, 7, 9} encontre um contra-exemplo para cada uma das seguintes proposiçoes ou
conclua que ela é verdadeira:
a) (∀x ∈ U)(|x| = 5) x = 3 b) (∀x ∈ U)(x e´ ı´mpar) V
c) (∀x ∈ U)(x + 3 > 7) x = 3 d) (∀x ∈ U)(x e´ primo) x = 9
8. Seja o predicado F (x, y) representando �x é filho de y� e considere os conjuntosA = {Mario,Beatriz, Carlos}
eB = {Antoˆnio, Pedro}. Determine a validade dos enunciados abaixo, considerando que F (Antoˆnio,Ma´rio),
F (Antoˆnio,Beatriz), F (Pedro, Carlos):
a) (∀x ∈ B)(∃y ∈ A)F (x, y) b) (∃x ∈ B)(∀y ∈ A)F (x, y)
c) (∀x ∈ B)(∀y ∈ A)F (x, y) d) (∃x ∈ B)(∃y ∈ A)F (x, y)
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9. Traduza as seguintes sequências abertas para a linguagem simbólica. Use a inicial maiúscula do nome
do predicado para representá-lo.
a) x e´ um homem bom b) x e´ inteligente ou esperto
c) x na˜o e´ primata nem bı´pede d) se x e´ crianc¸a enta˜o e´ inocente
10. Dados os predicados C(x) : x é chinês, e S(x) : x é sábio. Simbolize:
(a) todo chinês é sábio
(b) nem todo chinês é sábio
(c) alguns sábios não são chineses
(d) alguns chineses são sábios, outros não
(e) se todos os sábios são chineses, então, se existe um sábio, existe um chinês
11. Dados os predicados F (x) : x é obra de arte, G(x) : x foi pintado por Van Gogh, H(x) : x surgiu no
século XX, e N(x) : x é nobre. Traduza:
(a) ∀x(G(x)→ F (x)) �Tudo que foi pintado por Van Gogh é obra de arte�
(b) ∃x(G(x) ∧ ¬F (x)) �Algumas coisas pintadas por Van Gogh não são obras de arte�
(c) ¬∃x(F (x) ∧H(x)) �Nenhuma obra de arte surgiu no século XX�
(d) ∀x(G(x)→ F (x))→ N(arte) �Se tudo que foi pintado por Van Gogh é arte então a arte é nobre�
12. Escreva na forma simbólica as expressoes abaixo, utilizando os predicados definidos:
(a) Alguns loucos são doentes. (L(x) : x é louco; D(x) : x é doente)
(b) Deus ajuda a quem cedo madruga. (M(x) : x madruga; D(x) : Deus ajuda x)
(c) Cão que ladra não morde. (C(x) : x é um cão; L(x) : x ladra; M(x) : x morde)
(d) Existem bons e maus jogadores. (J(x) : x é um jogador; B(x) : x é bom)
(e) A toda ação corresponde uma reação. (A(x) : x é uma açao; R(x) : x é uma reação; C(x, y) : x
corresponde a y)
(f) Alguns remédios não podem ser guardados em qualquer armário. (R(x) : x é um remédio; A(x) : x
é um armário; G(x, y) : x pode ser guardado em y)
(g) Nem todos os atores são apreciados por todas as pessoas. (A(x) : x é um ator; P (x) : x é uma
pessoa; R(x, y) : x é apreciado por y)
(h) O filho do tio de uma pessoa é primo dessa pessoa. (F (x, y) : x é filho de y; T (x, y) : x é tio de y;
P (x, y) : x é primo de y)
(i) Sempre existe um chinelo velho para um pé doente. (C(x) : x é um chinelo; V (x) : x é velho;
P (x) : x é um pé; D(x) : x é doente; R(x, y) : x é para y)
(j) Quem parte e reparte, e não fica com a melhor parte, ou é tolo ou não tem arte. (P (x) : x parte;
R(x) : x reparte; M(x) : x fica com a melhor parte; T (x) : x é tolo; A(x) : x tem arte)
(k) Os amigos dos meus amigos são meus amigos. (M(x) : x é meu amigo; A(x, y) : x é amigo de y)
(l) Se duas pessoas são filhos do mesmo pai e da mesma mãe, então são irmãos. (P (x, y) : x é pai de
y; M(x, y) : x é mãe de y; I(x, y) : x é irmão de y)
13. Escreva na forma simbólica as negativas das expressões abaixo, explicitando os predicados utilizados:
(a) Todos estão alegres
(b) Se alguém falar, todos saberão
(c) Todo peixe-boi é peixe
(d) Nem tudo o que reluz é ouro
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