FIS II - ONDAS MECANICAS (Ver 1 - 22 nov 2012) pdf

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FÍSICA I I 
 ONDAS MECÂNICAS 
Referências: 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos 
de Física - Volume 2 (Gravitação, Ondas, Termodinâmica). LTC, 8ª 
Edição, 2009 
YOUNG , Hugh D; FREEDMAN ,Roger A. (SEARS & ZEMANSKY). 
Física II – Termodinâmica e Ondas. Editora Pearson, 12ª Edição. 
2012 
RAMALHO, NICOLAU & TOLEDO – Fundamentos da Física – Vol 2. 
(Termologia,óptica, Ondas). Editora Moderna, 2006 
SADALLA, Michel F. Física II – Notas de Aulas FACENS Nov/2012 
Prof. Michel Sadalla Filho versão 
22 nov 2012 
ONDAS - I Halliday 
Denomina-se onda o movimento causado por uma perturbação 
que se propaga através de um meio. 
São três os tipos de ondas: 
1. Ondas mecânicas: se propagam em um meio material, como 
água, ar ou rochas. 
Exemplos: ondas do mar; ondas sonoras, ondas sísmicas 
2. Ondas eletromagnéticas: não precisam de um meio para se 
propagar. No vácuo, se propagam com velocidade da luz: c = 
299.792.458 m/s ~ 300 x 106 m/s 
Exemplos: luz visível, luz ultravioleta, ondas de rádio, de 
televisão, as microondas, os raios X e as ondas de radar 
3. Ondas de matéria: associadas a movimentos dos elétrons, 
prótons, utilizadas em laboratórios. 
Um pulso isolado é produzido em uma corda isolada. Um 
elemento típico da corda (assinalada com um ponto) se 
desloca para cima e depois para baixo quando o pulso passa 
por ele. O pulso e o movimento ocorrem pois a corda está 
sob tensão (Fig.01) 
 Como o movimento do 
elemento é perpendicular à 
direção de propagação da 
onda, o pulso é uma onda 
transversal 
A distorção da forma da corda 
(pulso) se propaga ao longo da 
corda com uma certa 
velocidade v. 
Halliday 
Fig. 01 Onda transversal 
ONDAS 
Seja o exemplo da Fig. (02) abaixo, onde duas pessoas 
seguram a extremidade de uma corda. A pessoa da direita faz 
um movimento vertical brusco para cima e depois para baixo, 
causando uma distorção (perturbação) na corda. 
A perturbação denomina-se pulso, o movimento do pulso é chamado 
de onda, a mão da pessoa que faz o movimento vertical é a fonte e a 
corda, na qual se propaga a onda, é denominada meio. 
A extremidade que recebeu o impulso retorna à posição inicial, 
por ser a corda um meio elástico. 
Halliday 
http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/ondas.htm 
Fig. 02 
ONDAS Halliday 
As pessoas (Figs. 03 e 04) deslocam as mãos para cima e 
para baixo continuamente em um MHS, que é senoidal  
movimento da onda também é um movimento senoidal em 
qualquer instante. 
Fig. 04 – Ondas senoidal 
 (transversal) 
Estas ondas também são 
ondas transversais pois as 
oscilações são perpendicu-
lares à propagação da onda) 
http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/ondas.htm 
Fig.03 
ONDAS Halliday 
Uma onda sonora é produzida em um tubo cheio de ar, 
provendo o tubo para frente e para trás. Como as oscilações 
de um elemento de ar (representada pelo ponto) são paralelas 
à direção de propagação da onda, ela é uma onda 
longitudinal. (Fig. 05) 
Fig. 05 – Onda longitudinal 
O movimento do êmbolo para 
direita e para a esquerda faz 
com que o ar se movimente na 
forma de um pulso. 
Observação: é a onda que se 
propaga e não o meio 
material (corda ou ar) no 
qual a onda se move 
Halliday 
Onda transversal 
(Comprimento de onda e frequência) 
A descrição do deslocamento de um elemento (direção y) em 
uma onda transversal do tipo senoidal é dada pela função: 
Fig. 03 – 
Assim, y é função da posição 
horizontal x e do tempo t, onde: 
k = número de onda 
x = posição 
ω = frequência angular 
A = amplitude ( ym de máximo) 
Fase da onda = k x - ωt 
Halliday 
Fig. 03 
Onda transversal 
(Comprimento de onda e frequência) 
A descrição do movimento de um elemento em uma onda 
transversal do tipo senoidal (Fig. X) abaixo é dada pela 
função: 
 
Ramalho 
(Comprimento de onda e frequência) 
mão da pessoa: fonte 
corda: meio em que a onda se 
propaga – ela não apresenta 
deformação permanente pela 
passagem do pulso. 
Partícula P: se desloca para 
cima e para baixo em uma 
direção perpendicular à de pro-
pagação da onda, mas não 
acompanha a propagação da 
onda. A onda lhe cedeu energia 
mas não a movimenta (Fig.06) 
Fig. 06 
A M P L I T U D E e FA S E 
D E U M A O N D A 
A m p l i t u d e ( A o u y m) : é o 
módulo do deslocamento máximo 
dos elementos a partir da posição 
de equilíbrio. 
F a s e d a o n d a : é o argumento 
kx –ωt do seno da Eq. que oscila 
entre +1 (y = +A) e – 1 (y = – A). 
 
F i g . ( 0 7 ) : Cinco “instantâneos” 
de uma onda em uma corda se 
propagando no sentido positivo do 
eixo x. A amplitude (A) está 
indicada. 
Halliday 
COMPRIMENTO DE ONDA 
e 
NÚMERO DE ONDA 
C o m p r i m e n t o d e o n d a (λ ) : é 
a distância (paralela) à direção de 
propagação da onda) entre 
repetições da forma de onda. Na 
Fig (x) vemos um comprimento de 
onda típico, a partir de uma 
posição arbitrária x1, para t = 0. 
y ( x , t ) = A s e n ( k x -ω t ) 
 t = 0 : y ( x , 0 ) = A s e n k x 
Como y é o mesmo nas duas 
extremidades de λ ou seja em x1 e 
em x1 + λ : 
Fig. 07 
COMPRIMENTO DE ONDA 
e 
NÚMERO DE ONDA 
y (x , t ) =A sen (kx -ω t )  t=0 : 
y (x ,0 ) =A sen kx 
Uma função seno começa a se repetir 
quando o seu ângulo (ou argumento) 
aumenta de 2π radianos: 
k ≡ número de onda Fig. 07 
COMPRIMENTO DE ONDA 
e 
NÚMERO DE ONDA 
Unidade de k Sistema Internacional: 
≡ radiano por metro ou [ m-1 ] 
Obs.: não confundir este k com a 
constante elástica da mola 
Pela Fig. X observamos que de um 
“instantâneo” para outro, a onda se 
move para a direita de λ/4  no quinto 
“instantâneo” ela se moveu para a 
direita de um comprimento de onda λ. 
k ≡ número de onda 
PERÍODO, FREQUÊNCIA e 
FREQUÊNCIA ANGULAR 
A Fig. 08 mostra um gráfico do deslocamento y da Eq.( ) em 
função do tempo t em uma certa posição da corda, tomada 
como sendo x = 0. Assim, este gráfico analisa o movimento 
vertical ( y ) de apenas um ponto da corda (elemento), aqui 
na posição x = 0. Tomando novamente a Eq. ( ) para x = 0: 
 
Fig. 08 
Da tr igonometr ia: 
Assim: 
PERÍODO, FREQUÊNCIA e 
FREQUÊNCIA ANGULAR 
A Fig. 08 mostra o gráfico da equação 
Este gráfico mostra a oscilação de um ponto determinado 
( x = 0) na direção y mas não mostra a forma da onda. 
Período ( T ) de oscilação de uma onda é o tempo que 
um elemento da corda leva para realizar uma oscilação 
completa. Considerando os intervalos de tempo t1 e t1 + T: 
 
Esta equação é 
satisfeita apenas se : 
Fig.08 
PERÍODO, FREQUÊNCIA e 
FREQUÊNCIA ANGULAR 
Frequência angular da onda ( ω ): SI [ radiano/s ] 
A Frequência ( f ) de uma onda é definida como 1/T e 
está relacionada com a frequência angular pela fórmula: 
 
f ≡ número de oscilações 
por unidade de tempo por 
um elemento de corda 
SI: f ≡ [ Hz, ciclos/s ] 
C O N S TA N T E D E FA S E 
A Fig (9a) mostra uma onda progressiva senoidal para um 
instante t = 0. Notar que em x = 0, o deslocamento y = 0 e 
a inclinação tem o valor máximo positivo. 
 Para a onda da Fig (9b) foi introduzido uma constante 
de fase ϕ na função de onda. Assim, a Eq (x) fica: 
Por exemplo, na Fig (9b), a 
constante de fase ϕ = π/5, o 
valor de y (x=0, t=0), tem valor 
diferente de zero, ao contrário 
da Fig (9a). A onda ainda é 
senoidal, e temos mesmos 
valores de A, k e ω 
Fig. 09 
VELOCIDADE DE UMA ONDA PROGRESSIVA 
A Fig (10) mostra dois instantâneos da onda da Eq (xxx), 
separados por um intervalo de tempo Δt, se deslocando no 
sentido positivo de x, com toda forma de onda se deslocando 
de uma distância Δx nessa direção durante um internvalo de 
tempo Δt. Quando a onda se move, cada ponto da forma da 
onda, como o ponto (1) assinalado em um dos picos, conserva 
seu deslocamento y. (Os pontos da corda não conservam seus 
deslocamentos, mas o mesmo não se aplica aos pontos da 
forma da onda). 
Fig. 10 
VELOCIDADE DE UMA ONDA PROGRESSIVA 
Anál ise da Fig (10): Dois instantâneos da onda da Fig 
(x) nos instantes t = 0 e t = Δt . 
Quando a onda se move para a direita com velocidade v a 
curva inteira se desloca de uma distância Δx durante um 
intervalo de tempo Δt. O ponto (1) “viaja” com a forma da 
onda, mas os elementos da corda se deslocam apenas para 
cima e para baixo. Se o ponto (1) conserva seu 
deslocamento quando se move, a fase da Eq (xxx), que 
Fig. 10 
determina esse deslo-
camento, deve perma-
necer constante: 
= constante 
VELOCIDADE DE UMA ONDA PROGRESSIVA 
Anál ise da Fig (10): Dois instantâneos da onda da Fig 
(x) nos instantes t = 0 e t = Δt . 
Fig. 10 
 
 
S a b e m o s q u e : 
VELOCIDADE DE UMA ONDA PROGRESSIVA 
A Equação v = λ/T nos diz que a velocidade da onda 
é igual ao comprimento de onda por período; a onda se 
desloca de uma distância igual a um comprimento de 
onda em período de osci lação. 
Fig. 10 
C a s o a p r o p a g a ç ã o d a o n d a f o s s e n o s e n t i d o 
n e g a t i v o d e x , a c o n d i ç ã o f i c a r i a : kx + ω t = cte 
y ( x , t ) = A s e n ( k x +ω t ) 
y ( x , t ) = h ( k x +ω t ) 
O c a s o g e r a l d a e q u a ç ã o 
d a o n d a : 
onde h representa qualquer 
função e não apenas função 
seno. 
VELOCIDADE DA ONDA EM 
UMA CORDA ESTICADA 
A Equação v = λ/T nos permite calcular a velocidade 
de uma onda, mas é determinada pelas propriedades 
do meio , como por exemplo, a água, o ar, o aço, ou 
uma corda est icada – o meio deve possuir massa (para 
que possa exist i r energia c inét ica) e elast ic idade (para 
que possa exist i r energia potencial) . 
Seja a corda homogênea, de secção transversal 
constante, de massa m e comprimento L Fig (11), 
Hal l iday 
Fig. 11 
Chama-se densidade l inear ( μ ) 
da corda, a grandeza: 
VELOCIDADE DA ONDA EM 
UMA CORDA ESTICADA Hal l iday 
Fig. 11 
A densidade l inear ( μ ) representa a massa da corda 
por unidade de comprimento. 
No Sistema Internacional : 
 [ μ ] ≡ [ Kg/m ] 
Pode-se demonstrar que a velocidade de propagação 
do pulsa na corda depende apenas da intensidade da 
força de tração ( ) e da densidade l inear da 
corda , ( μ ) sendo dada pela expressão: 
VELOCIDADE DA ONDA EM 
UMA CORDA ESTICADA Hal l iday 
A velocidade de uma onda 
No Sistema Internacional : 
 
“ A v e l o c i d a d e d e u m a o n d a e m u m a c o r d a 
i d e a l e s t i c a d a d e p e n d e a p e n a s d a t e n s ã o 
( t r a ç ã o ) e d a m a s s a e s p e c í f i c a l i n e a r d a 
c o r d a , e n ã o d a f r e q u ê n c i a d a o n d a ” . 
VELOCIDADE DA ONDA EM 
UMA CORDA ESTICADA Hal l iday 
A velocidade de uma onda: 
A frequência de uma 
onda é f ixada pela força 
que a produz: 
O comprimento de onda 
é dado pela Equação: 
A frequência angular 
de uma onda: 
Suponha que duas ondas se propagam simultaneamente 
na mesma corda est icada. Sejam y1 (x ,t) e y2 (x ,t) 
os deslocamentos que a corda sofrer ia se cada onda se 
propagasse sozinha. O deslocamento da corda quando 
as ondas se propagam ao mesmo tempo é a soma 
algébr ica de cada uma delas: 
y’ (x ,t) = y1 (x ,t) + y2 (x ,t) 
i . O ndas supe r pos t as s e som am 
a l g e b r i c am e n t e p a ra p r o d u z i r u m a 
o n d a r e s u l t a n t e o u o n d a t o t a l 
i i . O ndas s upe r pos t as n ã o s e a f e t am 
m u t u a m e n t e 
Uma sér ie de instantâneos 
que mostra dois pulsos se 
propagando em sent idos 
opostos em uma corda 
est icada. O pr incípio da 
superposição se apl ica 
quando os pulsos passam 
um pelo outro 
Fig. 12 
Fig. 12 
ENERGIA DE PROPAGAÇÃO DE UMA ONDA 
Ramalho 
Fig. 13 
São duas as formas de energia que se propagam 
com o pulso em uma onda: 
Energia Cinética: 
associada ao 
movimento da corda 
Energia Potencial 
Elástica : associada à 
deformação da corda 
À medida que o pulso de propaga, a parte da frente 
está se movendo para c ima, e a parte de trás está se 
movendo para baixo (Fig 13) 
Exemplo 01 Uma onda que se propaga em uma corda 
é descr i ta pela equação: (observar ângulo em radianos) 
y(x,t) = 0,00327 sen (72,1x – 2,72t) 
Onde as constantes numéricas estão no SI: 
0,00327 m; 72,1 rad/m e 2,72 rad/s. Pede-se 
a) Qual a ampl i tude da onda? 
b) Quais são o comprimento de onda, o período e a 
f requência da onda? 
c) Qual a velocidade da onda? 
d) Qual o deslocamento y para x = 22,5 cm e t = 18,9 s? 
 
Respostas: (Hal l iday 16-2) 
a) A = 3,27 mm ou ym = 3,27 mm; c) v = 3,77 cm/s 
b) k = 72,1 rad/m; λ = 8,71 cm; T = 2,31 s; f = 0,433 Hz 
d) y = 0,00192 m = 1,92 mm 
Exemplo 02 Para o exemplo 01, ver i f icamos que em t = 
18,9 s o deslocamento transversal y do elemento de 
corda s i tuado em x = 0,225 m provocado pela onda de 
equação y(x,t) =0,00327 sen (72,1x – 2,72t) 
é 1,92 mm. Pede-se: 
a) Qual é a velocidade transversal u desse elemento 
de corda nesse instante t? 
 
Respostas: 
(Hal l iday 16-3) 
a) u = 7,20 mm/s 
VELOCIDADE TRANSVERSAL DO 
ELEMENTO DE CORDA 
A velocidade transversal u é a taxa de variação com o tempo 
do deslocamento y de um elemento da corda. Como já visto: 
y ( x , t ) = A s e n ( k x -ω t ) 
Para um elemento de corda em uma certa posição x , a 
var iação da velocidade em y é obt ida der ivando-se a 
equação acima em relação ao tempo.Ao der ivarmos y 
em relação ao tempo, mantendo-se x constante, temos 
uma der ivada parc ia l , representada pelo símbolo 
Assim: ( ) 
Exemplo. Na Fig (14) duas cordas foram amarradas 
uma na outra com um nó e est icadas entre dois 
suportes ríg idos. As cordas têm massas específ icas 
l ineares μ1 = 1,4 x 10
-4 kg/m e μ2 = 2,8 x 10
-4 kg/m. Os 
comprimentos são L1 = 3,0 m e L2 = 2,0 m, e a corda 1 
está submetida a uma tensão de 400 N. Dois pulsos 
são enviados s imultaneamente em direção ao nó a 
part i r dos suportes. Qual dos pulsos chega pr imeiro ao 
nó? 
Fig. 14 
Respostas: (Hal l iday 16-4) 
t1 = 1,77 x 10
-3 s t2 = 1,67 x 10
-3 s 
Exemplo. Uma corda tem massa específ ica μ = 525 
g/m e uma tensão = 45 N. Uma onda senoidal de 
frequência f = 120 Hz e ampl i tude A = 8,5 mm é 
produzida na corda. Determine a frequência angular e 
a velocidade de propagação da corda. 
Respostas: 
ω = 754 rad/s v = 9,26 m/s 
( H a l l i d a y 1 6 - 5 
m o d i f i c a d o ) 
http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/ondas.htm 
Uma onda transfere 
energia de um ponto 
a outro sem 
transporte de matéria 
Ao jogarmos uma pedra em 
uma superfície líquida 
(como a água de uma 
piscina), a perturbaçãose 
propaga sob a forma de 
uma onda circular. 
Fig.15 
Fig.16 
Ramalho, Nicolau & Toledo 
O N D A S M I S TA S 
Ondas mistas : aquelas em que as partículas do maio 
vibram transversal e longitudinal, ao mesmo tempo, como as 
que se propagam na superfície de um líquido. 
o pedaço de 
cort iça f lutuante, 
ao ser at ingido 
pela onda, v ibra 
transversal e 
longi tudinalmente 
Fig.17