Dirigido 2 Cálculo 1 16S1 Unicamp

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Estudo Dirigido 2 - MA111 A e B - 1S16
Teorema Fundamental do Ca´lculo 2
Considere f uma func¸a˜o integra´vel no intervalo [a, b], tal que existe uma
outra func¸a˜o g satisfazendo g′ = f , nesse intervalo.
a) Utilize o teorema do valor me´dio para mostrar que, se m = inf{f(x), x ∈
[a, b]}, M = sup{f(x), x ∈ [a, b]}, enta˜o
m(b− a) ≤ g(b)− g(a) ≤M(b− a).
b) Agora considere P = {a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn−1 ≤ xn = b}, mi =
inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]} e Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}. Mostre que
mi(xi − xi−1) ≤ g(xi)− g(xi−1) ≤Mi(xi − xi−1).
c) Some as desigualdades anteriores para i = 1, . . . , n e conclua que
L(f,P) ≤ g(b)− g(a) ≤ U(f,P),
para qualquer partic¸a˜o do intervalo [a, b], onde L e U sa˜o respectiva-
mente as somas inferior e superior da func¸a˜o f , subordinada a` partic¸a˜o
P do intervalo [a, b].
d) Use a hipo´tese que f e´ integra´vel em [a, b] para concluir que∫ b
a
f = g(b)− g(a).
e) Escreva o resultado que voceˆ acaba de demonstrar na forma de um
Teorema.
Compare os Teoremas 1 e 2 do cap. 14 do Spivak. Discuta com os seus
colegas o quanto esses dois teoremas sa˜o complementares. Converse sobre os
papeis desempenhados pela F do Teorema 1 e pela g do Teorema 2.
Teste seus conhecimentos fazendo, pelo menos, os exerc´ıcios 1, 2, 3, 11 e
12 do cap´ıtulo 14 do Spivak (voceˆ na˜o vai precisar entregar esses exerc´ıcios,
mas na˜o deixe de fazeˆ-los).
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