antiderivação f'(x) = x³ - x + 2 para todo x e f(1) = 2

antiderivação pode ser entendido como integral, portanto antiderivada dessa função para todo x é f(x) = x4/4 - x2/2 + 2x, agora para f`(1) = 2 temos f(1) = 2x

Quando lida-se com funções polinomiais \(P(x)=ax^n\), em que \(a\) é um número real, emprega-se a Regra do Tombo para o cálculo da derivada, onde a mesma é \(P'(x)=a\cdot \left(n\cdot x^{n-1} \right)\). Isto é, basta “tombar” o expoente da variável, transformando-o em um multiplicador, e subtrair \(1\) do expoente.

No problema em questão, aplicando a regra do tombo ao contrário, isto é, integrando, vem que:

\[\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{{x^{3 + 1}}}}{{3 + 1}} - \dfrac{{{x^{1 + 1}}}}{{1 + 1}} + \dfrac{{2x}}{1} + c \cr & f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x + c }\]

Sendo \(c\) uma constante que pertence aos reais. Sabendo ainda que \(f(1)=2\), determina-se o valor de \(c\):

\[\eqalign{ & f\left( 1 \right) = 2 \cr & \dfrac{{{1^4}}}{4} - \dfrac{{{1^2}}}{2} + 2 \cdot 1 + c = 2 \cr & \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} + 2 + c = 2 \cr & \cr & c = 2 - 2 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} \cr & c = \dfrac{1}{4} }\]

Portanto, resulta que:

\[\boxed{f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x + \dfrac{1}{4}}\]