Dirigido 5 Cálculo 1 16S1 Unicamp

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Estudo Dirigido 5 - MA111 A e B - 1S16
Integrac¸a˜o por Partes e Frac¸o˜es Parciais
Antes de comec¸ar, vamos introduzir um pouco de notac¸a˜o, nomenclatura
e alguns comenta´rios.
Nesse cap´ıtulo vamos trabalhar com consequeˆncias do Teorema Funda-
mental do Ca´lculo. Por ele, sabemos que se f = g′ para alguma g, ambas
definidas no intervalo [a, b], enta˜o∫ b
a
f = g(b)− g(a).
Tambe´m sabemos que, se f for cont´ınua, um exemplo para uma g com tal
propriedade e´
F (x) =
∫ x
a
f =
∫ x
a
f(t) dt.
Isso tudo abordamos com os estudos dirigidos 1 e 2.
Pore´m, se pararmos por a´ı, fica um pouco iroˆnico: para obter a inte-
gral de f no intervalo [a, b], “basta” voceˆ calcular a integral para o intervalo
arbitra´rio [a, x] e depois substituir x = b. O que queremos sa˜o maneiras
alternativas de saber todas as func¸o˜es g com a propriedade de g′ = f . De
certa forma, queremos falar de uma operac¸a˜o que se comporta como uma in-
versa da derivac¸a˜o: na derivac¸a˜o, se uma func¸a˜o f e´ dada por uma expressa˜o,
sabemos como obter uma expressa˜o para f ′, a func¸a˜o que a cada valor de
x associa a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x, f(x)).
Agora, e´ como se conheceˆssemos essa inclinac¸a˜o para cada ponto e queremos
saber a func¸a˜o.
Uma primeira noc¸a˜o deve saltar aos olhos: e´ imposs´ıvel obter uma u´nica
func¸a˜o. A derivada fala sobre variac¸o˜es. Se conhecermos precisamente todas
as variac¸o˜es, ainda assim existira˜o infinitas func¸o˜es g com a propriedade que
g′ = f . Por outro lado, ja´ mostramos (usando o Teorema do Valor Me´dio)
que se g′ = h′ em um intervalo [a.b], enta˜o h = g+C, para alguma constante
C.
Assim, a “operac¸a˜o inversa” da derivada, ao inve´s de levar cada func¸a˜o
em uma func¸a˜o, leva cada func¸a˜o a uma famı´lia de func¸o˜es: todas as func¸o˜es
que, quando derivadas, chegam na func¸a˜o originalmente dada1. Se estamos
1E´ a mesma ideia que, em geral, f−1(b) denota o conjunto das pre´-imagens de b por f ,
ou seja, todos os valores de x tais que f(x) = b. Apenas se f for 1− 1 e´ que f−1 denota
uma func¸a˜o.
1
trabalhando com func¸o˜es definidas em um intervalo, essa famı´lia tem um
u´nico paraˆmetro livre: a constante C. O s´ımbolo usual para essa “anti-deri-
vada” e´ ∫
f ou
∫
f(x) dx,
que deve ser entendido como a famı´lia de func¸o˜es tais que suas derivadas sa˜o
dadas por f .
Toda func¸a˜o cuja derivada e´ f e´ chamada uma primitiva de f . Assim F
e´ uma primitiva de f se F ′ = f e, para func¸o˜es definidas em um intervalo,
faz sentido entender que ∫
f = F + C,
onde C e´ uma constante, e, em uma notac¸a˜o um pouco misturada2, costu-
mamos escrever ∫
f(x) dx = F (x) + C,
como, por exemplo, ∫
x2 dx =
x3
3
+ C.
Por fim,
∫
f e´ usualmente chamada integral indefinida de f , enquanto∫ b
a
f e´ chamada integral definida. Note que, ainda que a notac¸a˜o e a no-
menclatura sejam muito parecidas, a segunda vem do conceito de integral
de Riemann, enquanto a primeira e´ uma espe´cie de anti-derivada. A relac¸a˜o
ı´ntima entre as duas e´ estabelecida pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo.
Agora ma˜os a massa. Essencialmente, cada propriedade da derivada gera
alguma propriedade para a integral.
a) Usando que, se f e g sa˜o deriva´veis, (f + g)′ = f ′ + g′, prove uma
propriedade ana´loga para
∫
(f + g). Da mesma forma, se a e´ uma
constante, o que acontece com
∫
af?
b) Vamos agora para a regra de Leibniz: (fg)′ = f ′g + fg′. A partir da
expressa˜o equivalente, f ′g = (fg)′− fg′, obtenha uma relac¸a˜o entre as
primitivas de f ′g e fg′.
2Pense um pouquinho o que ha´ de misturado nessa notac¸a˜o.
2
c) Conclua, a partir do item b), a relac¸a˜o∫ b
a
f ′(x)g(x) dx = [f(x)g(x)]ba −
∫ b
a
f(x)g′(x) dx.
O item a) fala da linearidade da integral indefinida. Os itens b) e c) sa˜o
chamados integrac¸a˜o por partes3. A primeira vista, estamos “trocando seis
por meia du´zia”. Os exemplos a seguir devem desfazer essa impressa˜o.
d) Calcule
∫
xex dx. (Sugesta˜o: Considere f ′(x) = ex e g(x) = x na
integrac¸a˜o por partes.)
e) Calcule
∫
x2ex dx.
f) Argumente que se p e´ um polinoˆmio, integrac¸a˜o por partes permite
obter
∫ b
a
p(x)ex dx, bem como
∫ b
a
p(x) cosx dx e
∫ b
a
p(x) sen x dx.
g) Agora um caso curioso: queremos calcular I =
∫ b
a
ex cosx dx. Use
integrac¸a˜o por partes. Voceˆ deve ter chegado em uma expressa˜o para
I que parece pouco estimulante, por ainda envolver uma integral...
Insista! Use integrac¸a˜o por partes na integral que ainda fazia parte
da sua expressa˜o. Aqui, duas coisas podem acontecer, dependendo de
algumas escolhas suas: ou voceˆ obteve algo pouco esclarecedor como
I = I (nesse caso, volte na segunda integrac¸a˜o por partes e escolha
diferentemente quem chamar de f ′ e quem chamar de g), ou voceˆ chegou
em uma equac¸a˜o envolvendo I, que pode ser resolvida!
Ja´ deve estar claro que integrac¸a˜o por partes e´ mais interessante do que
parece, a` primeira vista. Voceˆ pode testar mais casos, por exemplo, nos
exerc´ıcios 3, 13 e 14 do cap´ıtulo 19 do Spivak.
Agora vamos pular para uma te´cnica espec´ıfica para func¸o˜es racionais.
Lembrando, func¸o˜es racionais sa˜o aquelas da forma r(x) =
p(x)
q(x)
, onde p e q
sa˜o polinoˆmios.
3Uma observac¸a˜o sobre notac¸a˜o: [f(x)g(x)]
b
a = f(b)g(b) − f(a)g(a) denota a variac¸a˜o
entre a e b do termo entre colchetes. De fato, a notac¸a˜o mais comum e´f(x)g(x)|ba =
f(b)g(b) − f(a)g(a). A escolha pela primeira e´ para deixar mais claro que tudo que esta´
dentro do colchetes deve ser considerado.
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g) Prove que para mostrar que para toda func¸a˜o racional pode ser ex-
plicitada uma primitiva, e´ suficiente mostrar que isso e´ verdade para
polinoˆmios p e q com coeficiente l´ıder igual a 1 e com a condic¸a˜o
deg(p) < deg(q). (deg(p) denota o grau do polinoˆmio p e func¸o˜es ra-
cionais com deg(p) < deg(q) sa˜o chamadas pro´prias, da mesma forma
que frac¸o˜es com numerador menor que o denominador sa˜o chamadas
pro´prias.)
A ideia central no me´todo e´ que, dada uma func¸a˜o racional pro´pria, seu
denominador pode ser fatorado e a func¸a˜o reescrita como uma soma de ou-
tras func¸o˜es racionais, onde em cada parcela ha´ apenas um dos fatores do
denominador como denominador.
Vamos nos concentrar aqui nos casos mais simples... Depois voceˆ pode
pensar nos casos mais complicados.
h) Considere r(x) =
ax2 + bx+ c
(x− α)(x− β)(x− γ) , onde α, β, γ sa˜o nu´meros re-
ais distintos. Mostre que
r(x) =
A
x− α +
B
x− β +
C
x− γ ,
com A,B,C sendo nu´meros reais obtidos como soluc¸a˜o de um sistema
de equac¸o˜es lineares obtido a partir da afirmac¸a˜o: dois polinoˆmios reais
coincidem se, e somente se, os respectivos coeficientes de monoˆmios de
mesmo grau coincidem. Por fim, obtenha uma primitiva para r (su-
gesta˜o: deixe essa primitiva em termos dos paraˆmetros A,B,C, α, β, γ.)
i) De forma ana´loga, considere r(x) =
ax2 + bx+ c
(x2 + αx+ β)(x− γ) , onde x
2 +
αx+ β e´ um polinoˆmio sem ra´ızes reais. Mostre que
r(x) =
Ax+B
x2 + αx+ β
+
C
x− γ
e obtenha uma primitiva para r.
Pense um pouco sobre quais outros casos poderiam aparecer e como eles
devem ser tratados.
Teste e amplie seus conhecimentos sobre frac¸o˜es parciais (como se chama
esse me´todo) fazendo o exerc´ıcio 6 do cap´ıtulo 19 do Spivak.
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