Notas de aula sobre Quádricas

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Sec¸a˜o 7.3: Identificac¸a˜o de Qua´dricas
Dada a equac¸a˜o em coordenadas retangulares (cartesianas) de R2
ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx+ hy + iz + j = 0,
para achar que qua´drica ela representa no espac¸o, procedemos semelhantemente como
no caso das conicas:
1. Escreva a equac¸a˜o na forma matricial:
(
x y z
) a d/2 e/2d/2 b f/2
e/2 f/2 c
 xy
z
+ ( g h i )
 xy
z
+ f = 0.
2. Encontre os valores a′, b′ e c′ que sa˜o ra´ızes do polinomio
p(λ) = det(A− λI3) = det
 a− λ d/2 e/2d/2 b− λ f/2
e/2 f/2 c− λ
 = 0.
3. Obtemos as novas coordenadas x′, y′, z′ assim: xy
z
 =
 u1 v1 w1u2 v2 w2
u3 v3 w3
 x′y′
z′
 ,
onde (u1, u2, u3) e´ um vetor unita´rio tal que a− a′ d/2 e/2d/2 b− a′ f/2
e/2 f/2 c− a′
 u1u2
u3
 =
 00
0
 ,
o vetor (v1, v2, v3) e´ um vetor unita´rio tal que a− b′ d/2 e/2d/2 b− b′ f/2
e/2 f/2 c− b′
 v1v2
v3
 =
 00
0

e vetor (w1, w2, w3) e´ um vetor unita´rio tal que a− c′ d/2 e/2d/2 b− c′ f/2
e/2 f/2 c− c′
 w1w2
w3
 =
 00
0
 .
Antes de procedermos como no caso 2-dimensional, temos que considerar o seguinte:
(a) Se a′, b′ e c′ sa˜o 3 nu´meros distintos, os vetores u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) e
1
w = (w1, w2, w3) sa˜o mutuamente ortogonais.
(b) Se a′ = b′, pode ser que quando estiver resolvendo o sistema seus vetores u e v
nao sejam perpendiculares. Neste caso, tome v′ dado por
v′ = v − v · u||u||2u = v − projuv.
Note que v′ · u = 0. Enta˜o use as coordenadas do vetor v′, pois voce quer um
referencial que seja ortonormal.
(c) Se a′ = b′ = c′, fac¸a como no caso (b) para obter o vetor v′. A seguir fac¸a o
produto vetorial w = u× v′ e normalize este vetor, dividindo pela sua norma, isto e´:
w =
1
||u× v′||u× v.
′
Em todos os casos, o vetor w pode ser dado como na linha acima.
Agora substituia as novas coordenadas na equac¸a˜o original e proceda como no
caso 2-dimensional.
2