Matemática Financeira 1 Parte II

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MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA SMF-NITEROI 
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Aula 1 – Parte 2 
1 Descontos Simples ......................................................................................................................... 2 
2 Desconto Racional Simples (por dentro) ............................................................................... 4 
3 Desconto Comercial Simples (por fora) ................................................................................. 7 
4 Desconto Bancário .......................................................................................................................... 8 
5 Relação entre os descontos simples por fora e por dentro .......................................... 26 
6 Questões FGV ................................................................................................................................. 29 
7 Relação das questões comentadas ........................................................................................ 37 
8 Gabaritos .......................................................................................................................................... 44 
 
 
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1 Descontos Simples 
Imagine que você tem uma dívida de R$ 10.000,00 para ser paga daqui a 
dois anos. Mas você foi aprovado no concurso da SEFAZ/RJ e decidiu 
liquidar a sua divida com o primeiro salário. É justo você pagar R$ 
10.000,00 mesmo pagando dois anos antes da data combinada? É óbvio que 
não! Daí surge a pergunta: Quanto eu devo pagar hoje a minha dívida de R$ 
10.000,00? 
Essa é uma situação típica de uma operação de desconto. Desconto é o 
abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é 
negociada antes da data de vencimento. Notas promissórias, duplicatas, 
letras de câmbio são alguns documentos que atestam dívidas e são 
chamados títulos de créditos. Esses títulos apresentam os seguintes 
conceitos de valores: 
Valor Nominal, Valor de Face, 
Valor Futuro (N) 
É o valor que está escrito no 
título. É o valor que deve ser 
pago na data do vencimento. 
Valor Atual, Valor Presente, 
Valor Líquido, Valor 
Descontado (A) 
O valor líquido é obtido pela 
diferença entre o valor nominal e 
o desconto. 
 
Desconto (D) 
Desconto é o abatimento que 
se faz no valor de uma dívida 
quando ela é negociada antes 
da data de vencimento. É a 
diferença entre o valor 
nominal e o valor atual. 
Para caracterizar uma operação de desconto, devemos saber qual é o tempo 
de antecipação do pagamento. Esse tempo de antecipação será denotado 
pela letra “n”. E já que estamos “transportando” uma quantia no tempo, 
devemos saber qual é a taxa percentual que fará esse transporte. A taxa do 
desconto será denotada pela letra “i”. 
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O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o desconto 
racional, também chamado de desconto por dentro. O desconto racional é 
o desconto “teoricamente” correto. Existe também o desconto comercial ou 
desconto por fora. É o desconto sem fundamentação teórica, mas muito 
praticado no mercado financeiro. Pode ainda ser simples ou composto. Isso 
gera quatro tipos de descontos: 
� Desconto Racional Simples 
� Desconto Racional Composto 
� Desconto Comercial Simples 
� Desconto Comercial Composto 
 
Existe uma diferença entre o desconto comercial e o chamado desconto 
bancário. O desconto bancário leva em conta também despesas 
administrativas (ou impostos) cobradas pelos bancos para a efetivação da 
operação de desconto. Ou seja, o desconto bancário é uma modalidade de 
desconto comercial, acrescida de taxas e despesas administrativas. 
Para se responder qualquer questão sobre descontos, devemos saber qual é 
a modalidade do desconto (racional ou comercial) e o regime da operação 
(simples ou composto). Nesta aula, falaremos apenas dos descontos 
simples. 
Quando a questão nada falar acerca do regime trabalhado, 
adotaremos a convenção de usar o regime simples. 
E quanto à modalidade do desconto? Adiante falaremos que o 
desconto racional simples equivale a uma operação de juros simples. 
Então se o enunciado deixar claro que a taxa percentual de desconto 
é na realidade uma taxa de juros, devemos inferir que se trata de 
uma operação de desconto racional. Caso contrário, trata-se de uma 
operação de desconto comercial. Essa convenção também será 
utilizada quando estudarmos os descontos compostos. 
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Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o 
valor atual sempre será igual ao valor nominal menos o desconto. 
Esse raciocínio é válido para os quatro tipos de desconto. 
A N D= − 
Voltando ao nosso exemplo. Você tinha uma dívida de R$ 10.000,00. E 
quando você foi ao banco negociar a dívida, seu gerente disse que você ia 
ter um desconto de R$ 2.000,00. Logicamente, você irá pagar R$ 8.000,00. 
10.000 2.000 8.000A N D= − = − = 
Alternativamente, podemos dizer que o desconto é a diferença entre os 
valores nominal e atual. 
D N A= − 
Voltemos ao nosso exemplo. Você tinha uma dívida de R$ 10.000,00. Foi ao 
banco e eles disseram que a dívida poderia ser quitada hoje por R$ 
8.000,00. Podemos, então, concluir que o desconto dado pelo banco foi de 
R$ 2.000,00. 
10.000 8.000 2.000D N A= − = − = 
Falarei agora separadamente sobre cada um dos tipos de descontos e em 
seguida resolverei questões diversas de concursos passados. Comecemos 
pelo desconto racional simples ou desconto simples por dentro. 
Então para deixar bem clara a situação: Existe uma dívida para ser paga em 
alguma data futura. O valor dessa dívida é chamado de VALOR NOMINAL 
(N). Quero antecipar o pagamento dessa dívida. Obviamente, se eu 
antecipar o pagamento da dívida, pagarei um valor menor do que o valor 
nominal. O valor que será acordado para que o pagamento seja antecipado 
será denominado VALOR ATUAL (A). A diferença entre o valor nominal e o 
valor atual é denominada DESCONTO (D). 
2 Desconto Racional Simples (por dentro) 
 
A operação de desconto racional simples, por definição, é 
equivalente a uma operação de juros simples. 
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Enquanto que na operação de juros simples, o nosso objetivo é 
projetar um valor presente para o futuro, na operação de desconto 
racional simples teremos como objetivo projetar o Valor Nominal 
para a data atual. 
O desconto simples por dentro ou desconto simples racional é obtido 
aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, 
corresponde ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta 
para o vencimento do título. 
Já que o desconto racional simples equivale à operação de juros simples, 
podemos fazer um desenho comparativo. 
 
 
� O valor atual do desconto racional simples corresponde ao capital 
inicial da operação de juros simples. 
� O valor nominal do desconto racional simples corresponde ao 
montante da operação de juros simples. 
� O desconto da operação de desconto racional simples corresponde 
ao juro da operação de juros simples. 
Podemos dizer que o valor nominal é o montante do valor atual em 
uma operação de juros simples em que o juro é igual ao desconto 
racional simples!! 
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Correspondência entre os elementos das operações 
Juros Simples Desconto Racional Simples (por 
dentro) 
Capital Inicial (C) Valor Atual (A) 
Montante (M) Valor Nominal (N) 
Juro (J) Desconto (D) 
 
Vamos então “deduzir” as fórmulas da operação de desconto racional 
simples (por dentro). 
Juros Simples: J C i n= ⋅ ⋅ 
 
Desconto Racional Simples: 
 
Juros Simples: (1 )M C i n= ⋅ + ⋅ 
 
Desconto Racional Simples: 
 
 
E não podemos nos esquecer que a taxa e o tempo devem estar 
sempre na mesma unidade! 
De acordo com as fórmulas explicitadas acima, só podemos calcular o 
desconto racional simples se soubermos o valor atual. Vamos então deduzir 
uma fórmula para calcular o desconto racional simples em função do valor 
nominal. 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ 
D A i n= ⋅ ⋅
 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅
 
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O fator (1+i.n) que está “multiplicando” no segundo membro, “passará 
dividindo” para o primeiro membro. 
(1 )
N
A
i n
=
+ ⋅ 
Devemos agora substituir essa expressão na fórmula D A i n= ⋅ ⋅ . 
 
1
N
D i n
i n
= ⋅ ⋅
+ ⋅ 
 
 
 
 Logo, 
 
Portanto, há três expressões básicas que precisamos saber em uma 
operação de desconto racional simples. São elas: 
 
 
 
 
3 Desconto Comercial Simples (por fora) 
 
Vimos que o desconto racional simples equivale a uma operação de juros 
simples. Na operação de juros simples, a taxa de juros incide sobre o capital 
inicial. Obviamente, no desconto racional simples (que equivale ao juro 
simples) a taxa incide sobre o valor atual. 
1
N i n
D
i n
⋅ ⋅
=
+ ⋅ 
D A i n= ⋅ ⋅ (1 )N A i n= ⋅ + ⋅ 
1
N i n
D
i n
⋅ ⋅
=
+ ⋅ 
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Imagine que você fosse aplicar alguma quantia no banco e o gerente te 
dissesse que a taxa de juros iria incidir sobre o montante (valor final). 
Estranho ou não? Pois é justamente o que acontece no desconto comercial 
simples. A taxa não incide sobre o valor atual como em uma operação de 
juros simples. No caso do desconto comercial a taxa incide sobre o valor 
nominal (valor futuro). É justamente por isso que o desconto comercial 
simples não é o “teoricamente” correto, mas é usado em larga escala no 
mercado financeiro. 
Os elementos da operação de desconto comercial simples são os mesmos do 
desconto racional simples. A única coisa que vai mudar é o fato de a taxa 
incidir sobre o valor nominal. Portanto, o desconto comercial simples 
será dado por 
 
 
 
Em qualquer tipo de desconto, o valor atual é igual ao valor nominal menos 
o desconto. 
A N D= − 
Substituindo a primeira expressão na segunda: 
A N N i n= − ⋅ ⋅ 
Finalmente colocando o “N” em evidência: 
 
 
 
4 Desconto Bancário 
 
O desconto bancário leva em conta também despesas 
administrativas cobradas pelos bancos para a efetivação da 
operação de desconto. Ou seja, o desconto bancário é uma 
D N i n= ⋅ ⋅
 
(1 )A N i n= ⋅ − ⋅
 
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modalidade de desconto comercial, acrescida de taxas e despesas 
administrativas. 
No próprio site da FGV, há um link muito interessante sobre o desconto 
bancário. 
http://academico.direito-rio.fgv.br/wiki/Desconto_bancário 
Eis um trechinho do texto da FGV... 
“A clássica definição de desconto bancário encontra-se estampada no art. 
1858 do Código Civil italiano(COVELLO,Sergio Carlos,Contratos 
Bancários,4ªedição,Livraria e Editora Universitária de Direito,pág.237), o 
desconto bancário é o contrato pelo qual o Banco (descontador) antecipa ao 
cliente (descontário) o valor de um crédito contra terceiro, ainda não 
vencido, de que se fez cessionário, deduzindo desse valor a importância 
correspondente às despesas e juros pelo espaço intercorrente desde a data 
à sua antecipação.” 
 
Podemos afirmar que o valor líquido recebido (V) é igual ao valor nominal 
menos as despesas administrativas e menos o desconto por fora. As 
despesas administrativas são calculadas como se não houvesse desconto por 
fora, ou seja, o percentual incidirá sobre o valor nominal. Da mesma forma, 
o desconto por fora será efetuado como se não houvesse despesas 
administrativas. 
Portanto, 
F B
V N D D= − − , onde DF é o desconto por fora e DB são as taxas e as 
despesas administrativas cobradas pelo banco. 
 
Vamos começar resolvendo algumas questões de bancas “NÃO-FGV” para 
que possamos sedimentar alguns conceitos, deduzir algumas fórmulas, dar 
algumas dicas e memorizar as fórmulas. Em seguida, resolveremos algumas 
questões recentes da FGV. 
 
Vocês verão que este assunto de Matemática Financeira é muito fácil. Não 
há “truques”. As questões são bem diretas. Perceberão também que a FGV 
gosta mais do desconto comercial... 
 
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01. (Fiscal de Rendas RJ 2010/ESAF) Um título sofre um desconto simples 
por fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa 
de desconto de 2,5% ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal 
do título? 
a) R$ 22.500,00 
b) R$ 25.000,00 
c) R$ 17.500,00 
d) R$ 20.000,00 
e) R$ 27.500,00 
Resolução 
A taxa do desconto simples por fora (comercial) incide sobre o valor 
nominal. 
O valor do desconto é de R$ 2.500,00; a taxa do desconto é de 2,5% ao 
mês e o tempo de antecipação é de 4 meses. 
Desta forma, 
�� = � ∙ � ∙ � 
2.500 = � ∙
2,5
100
∙ 4 
2.500 = � ∙
10
100
 
2.500 = � ∙ 0,1 
� =
2.500
0,1
= 25.000 
Letra B 
02. (BNB 2004 – ACEP) Em uma operação de desconto racional com 
antecipação de 5 meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e a taxa de 
desconto foi 5% ao mês. Qual o valor de face desse título? 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 10.666,67 
c) R$ 32.000,00 
d) R$ 40.000,00 
e) R$ 160.000,00 
Resolução 
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Lembre-se sempre que uma operação de desconto racional equivale 
a uma operação de juros simples, de tal forma que o valor atual 
equivale ao capital inicial e o valor nominal equivale ao montante. 
Além disso, a questão usou alguns “apelidos” do valor atual e do valor 
nominal. Vamos relembrar: 
Valor Nominal, Valor de Face, 
Valor Futuro (N) 
Valor Atual, Valor Presente, 
Valor Líquido, Valor 
Descontado (A) 
 
Então, já que a questão está pedindo o valor de face, queremos, portanto, o 
valor nominal. Já os R$ 8.000,00 que a questão chamou de valor descontado 
nós estamos acostumados a chamá-lo de valor atual. 
De posse dessas informações, podemos desenhar o diagrama abaixo. 
 
Utilizaremos a fórmula (1 )N A i n= ⋅ + ⋅ que é idêntica à fórmula do montante 
em juros simples. A taxa é igual a 5% = 0,05 ao mês. 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ 
8.000 (1 0,05 5)N = ⋅ + ⋅ 
10.000,00N = 
Letra A 
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03. (PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Um títulosofreu desconto racional 
simples 3 meses antes do seu vencimento. A taxa utilizada na operação foi 
5% ao mês. Se o valor do desconto foi R$ 798,00, é correto afirmar que o 
valor de face desse título, em reais, era 
(A) menor do que 5.400,00. 
(B) maior do que 5.400,00 e menor do que 5.600,00. 
(C) maior do que 5.600,00 e menor do que 5.800,00. 
(D) maior do que 5.800,00 e menor do que 6.000,00. 
(E) maior do que 6.000,00. 
Resolução 
A questão exige uma aplicação direta da fórmula do desconto racional 
simples. 
� = � ∙ � ∙ � 
798 = � ∙
5
100
∙ 3 
798 = 0,15 ∙ � 
� = 5.320 
O problema pede o valor de face (valor nominal). Lembre-se que o valor 
nominal é igual a soma do valor atual com o desconto. 
� = � + � = 5.320 + 798 = 6.118 
Letra E 
04. (BNB 2003 – ACEP) José tomou emprestado R$ 10.000,00, pretendendo 
saldar a dívida após dois anos. A taxa de juros combinada foi de 30% a.a. 
Qual valor José pagaria a dívida 5 meses antes do vencimento combinado 
sem prejuízo para o banco se nesta época a taxa de juros simples anual 
fosse 24% e fosse utilizado desconto simples racional? 
a) R$ 16.000,00 
b) R$ 13.800,00 
c) R$ 17.600,00 
d) R$ 14545,45 
e) R$ 14.800,00 
Resolução 
Primeiramente vamos resumir os dados do enunciado. 
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O valor do empréstimo é o valor atual da operação. A = 10.000,00 
Taxa de juros do empréstimo: 30% a.a. 
Tempo para pagamento do empréstimo: 2 anos. 
Prazo de antecipação do pagamento do empréstimo: 5 meses 
Taxa de desconto racional: 24% a.a. 
O próximo passo é saber quanto José se comprometeu a pagar daqui a 2 
anos. Queremos saber o montante em uma operação de juros simples. Esse 
valor do montante será o valor nominal da dívida (que depois será 
renegociada). 
(1 )M C i n= ⋅ + ⋅ 
10.000 (1 0,30 2)M = ⋅ + ⋅ 
16.000M = 
Ou seja, o valor nominal da dívida é igual a R$ 16.000,00. De posse 
desse valor, deixe-me “recontar” o enunciado. 
José tem uma dívida de R$ 16.000,00 para ser paga daqui a 2 anos. Quanto 
José deve pagar se ele quer antecipar o pagamento 5 meses antes do 
vencimento a uma taxa de juros simples de 24% a.a.? 
Ou seja, temos agora uma operação de desconto racional simples, já que 
existe uma dívida que será antecipada usando uma taxa de juros simples. 
Comentei anteriormente que o desconto racional simples EQUIVALE, ou seja, 
é a mesma coisa que uma operação de juros simples. 
Temos um valor nominal N = 16.000,00 que será antecipado 5 meses a uma 
taxa de juros simples igual a 24% a.a. = 2% a.m. Observe que para 
transformar a taxa anual para taxa mensal basta dividir por 12. Queremos 
saber o valor atual do desconto racional simples. 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ 
Portanto, 1
N
A
i n
=
+ ⋅ 
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16.000 16.000
14545, 45
1 0,02 5 1,1
A = = =
+ ⋅ 
Letra D 
05. (AFT 2010 ESAF) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ 
10.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 
4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do título? 
a) R$ 60.000,00. 
b) R$ 46.157,00. 
c) R$ 56.157,00 
d) R$ 50.000,00. 
e) R$ 55.000,00. 
Resolução 
Sabemos que no desconto simples por dentro a taxa é incidida sobre o valor 
atual. Assim, 
� = � ∙ � ∙ � 
10.000 = � ∙ 0,04 ∙ 5 
10.000 = � ∙ 0,2 
� =
10.000
0,2
= 50.000 
Dessa forma, o valor nominal será dado por 
N = A + D = 50.000 + 10.000 = 60.000,00 
Letra A 
06. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Qual é o valor atual, em reais, de um 
título cujo valor de face é R$ 2.000,00, descontado dois meses antes do 
vencimento (desconto simples por fora), sendo a taxa de desconto de 10% 
ao mês? 
(A) 1.600,00 
(B) 1.620,00 
(C) 1.680,00 
(D) 1.720,00 
(E) 1.800,00 
Resolução 
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Para resolver tal problema, podemos aplicar a fórmula vista anteriormente. 
Lembre-se que valor de face é o mesmo que valor nominal. 
� = � ∙ (1 − � ∙ �) 
� = 2.000 ∙ (1 − 0,10 ∙ 2) = 2.000 ∙ 0,80 = 1.600,00 
Letra A 
07. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Um cheque pré-datado para daqui a 3 
meses, no valor de R$ 400,00, sofrerá desconto comercial simples hoje. Se 
a taxa de desconto é de 12% ao mês, o valor a ser recebido (valor 
descontado), em reais, será igual a 
(A) 400,00 
(B) 352,00 
(C) 256,00 
(D) 144,00 
(E) 48,00 
Resolução 
Outra questão muito simples sobre descontos. Aplicação direta da fórmula 
utilizada no problema anterior. 
� = � ∙ (1 − � ∙ �) 
� = 400 ∙ (1 − 0,12 ∙ 3) = 400 ∙ 0,64 = 256,00 
Letra C 
08. (Técnico de Administração e Controle Júnior/ Petrobras 
2008/CESGRANRIO) A fim de antecipar o recebimento de cheques pré-
datados, um lojista paga 2,5% a.m. de desconto comercial. Em março, ele 
fez uma promoção de pagar somente depois do Dia das Mães e recebeu um 
total de R$120.000,00 em cheques pré-datados, com data de vencimento 
para 2 meses depois. Nesta situação, ele pagará, em reais, um desconto 
total de 
(A) 6.000,00 
(B) 5.200,00 
(C) 5.000,00 
(D) 4.500,00 
(E) 4.000,00 
Resolução 
Quando o problema não fornece informações acerca do regime (simples ou 
composto), devemos utilizar o regime simples. 
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Temos, portanto, que descontar um valor nominal de R$ 120.000,00 (este é 
o valor nominal, pois ele que está escrito no cheque) 2 meses antes da data 
de seu vencimento a uma taxa de 2,5% (desconto comercial simples). 
Para calcular o desconto, podemos utilizar diretamente a fórmula (lembre-se 
que a taxa do desconto comercial incide sobre o valor nominal). 
� = � ∙ � ∙ � 
� = 120.000 ∙
2,5
100
∙ 2 
� = 6.000 
Letra A 
09. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Um cheque pré-datado para daqui a 3 
meses, no valor de R$ 400,00, sofrerá desconto comercial simples hoje. 
Se a taxa de desconto é de 12% ao mês, o valor a ser recebido (valor 
descontado), em reais, será igual a 
(A) 400,00 
(B) 352,00 
(C) 256,00 
(D) 144,00 
(E) 48,00 
Resolução 
Vamos calcular o valor do desconto, utilizando a fórmula � = � ∙ � ∙ �. 
� = 400 ∙
12
100
∙ 3 
� = 144 
Assim, o valor descontado (valor atual) é igual a: 
� = � − � = 400 − 144 = 256	����� 
Letra C 
10. (UnB/CESPE – PMCE 2008) Julgue o item seguinte. Caso um título de R$ 
15.000,00 seja resgatado 3 meses antes de seu vencimento, sob o regime 
de juros simples e à taxa de juros de 12% ao ano, então o valor do desconto 
racional, ou por dentro, será superior a R$ 450,00. 
 
Resolução 
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A operação de desconto racional simples, por definição, é 
equivalente a uma operação de juros simples. 
Temos três fórmulas básicas no desconto racional simples. Uma que 
relaciona o desconto com o valor atual. � = � ∙ ∙ ! 
A segunda fórmula relaciona o valor de face (N) com o valor atual (A): 
"	 = 	� ∙ 	 (#	 + ∙ !). 
A terceira fórmula relaciona o desconto (D) com o valor de face (N). 
� =
" ∙ ∙ !
#	 + ∙ !
 
É justamente dessa formula que precisamos para resolver essa questão. 
Observe que a taxa é de 12% ao ano e que o tempo de antecipação é de 3 
meses. Para que possamos utilizar a fórmula acima, devemos ter uma 
conformidadeentre a taxa e o tempo. Como a taxa é de 12% ao ano, e o 
ano tem 12 meses, então a taxa mensal será de 1% (12%/12). 
Temos os seguintes dados da questão: 
�	 = 	15.000, �	 = 	0,01, �	 = 	3	$����. 
Logo, o desconto racional simples será 
� =
15.000 ∙ 0,01 ∙ 3
1 + 0,01 ∙ 3
=
450
1,03
≅ 436,89 
Portanto, o item está errado, pois 436,89 < 450,00. 
11. (Economista – IBRAM – UnB/CESPE - 2009) Com relação a desconto, 
julgue o item abaixo. Considere que um título de valor nominal igual a R$ 
5.000,00, com vencimento em um ano, esteja sendo liquidado dois meses 
antes. Nesse caso, se a taxa nominal de juros simples corrente é de 36% ao 
ano e se o desconto considerado é o racional (ou por dentro), então a 
quantia que o devedor está deixando de pagar por liquidar o título 
antecipadamente é inferior a R$ 290,00. 
 
Resolução 
 
O título será descontado dois meses antes da data de vencimento. E já que 
a taxa nominal é de 36% ao ano, devemos transformá-la em uma taxa 
mensal. O ano possui 12 meses, então a taxa mensal é de 3% = 0,03. 
 
A quantia que o devedor está deixando de pagar é o que denominamos 
desconto. 
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Sabemos que é válida a seguinte expressão para o desconto 
racional. 
 
� =
� ∙ � ∙ �
1 + � ∙ �
 
� =
5.000 ∙ 0,03 ∙ 2
1 + 0,03 ∙ 2
≅ 283,02 
 
Como 283,02 < 290,00, então o item está certo. 
12. (Auditor Fiscal do Tesouro Municipal – Vitória – 2007 – Unb/ Cespe) 
Considere que uma pessoa pretenda quitar, 4 meses antes do vencimento, 
um título de valor nominal de R$ 7.800,00. Nesse caso, se for usado o 
desconto racional simples à taxa de 60% ao ano, a pessoa deve pagar 
menos de R$ 6.300,00. 
 
Resolução 
 
O que a pessoa deve pagar na antecipação de um título é o que chamamos 
de valor atual ou valor descontado. 
 
Temos então um título com o valor nominal (N) de R$ 7.800,00 e queremos 
descontá-lo a uma taxa de 60% ao ano. Já que o tempo de antecipação é de 
quatro meses, devemos transformar a taxa anual para taxa mensal. 
Considerando que o ano tem 12 meses, a taxa de 60% ao ano é equivalente 
a uma taxa de 5% = 0,05 ao mês (60%/12 = 5%). 
 
Sabemos que em um desconto racional simples (por dentro) é válida a 
seguinte relação: 
 
� = � ∙ (1 + �. �) 
 
Logo, 
 
� =
�
(1 + �. �)
=
7.800
1 + 0,05 ∙ 4
=
7.800
1,2
= 6.500,00 
 
O item está errado. 
 
 
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13. (TCE – Piauí 2002 – FCC) Uma duplicata, de valor nominal R$ 
16.500,00, será descontada 50 dias antes do vencimento, à taxa de 0,02% 
ao dia. Se for utilizado o desconto simples bancário, o valor de resgate será: 
a) R$ 14.850,00 
b) R$ 16.119,29 
c) R$ 16.335,00 
d) R$ 16.665,32 
e) R$ 18.233,50 
 
Resolução 
O desconto simples bancário é, nesse caso, o mesmo que o desconto 
comercial simples (por fora). Nesse caso, podemos utilizar a fórmula 
(1 )A N i n= ⋅ − ⋅ 
Perceba que a taxa e o tempo estão na mesma unidade de tempo. Portanto, 
não há alterações a fazer nos dados do enunciado. 
0,02
16.500 1 50
100
A
 = ⋅ − ⋅ 
  
16.335,00A = 
Letra C 
 
14. (AFC 2005 – ESAF) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu 
vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples 
foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo 
da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a: 
a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês. 
b) R$ 400.000,00 e 5,4% ao mês. 
c) R$ 450.000,00 e 64,8% ao ano. 
d) R$ 400.000,00 e 60% ao ano. 
e) R$ 570.000,00 e 5,4% ao mês. 
Resolução 
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O primeiro passo é colocar a taxa e o tempo na mesma unidade. 
Podemos, por exemplo, colocar a taxa e o tempo em meses. 
45 dias correspondem a 1 mês e meio. Ou seja, 45 d = 1,5 m. 
Já em relação à taxa, para transformar a taxa anual em taxa mensal 
basta dividi-la por 12. Assim, i = 60%/12 = 5% = 0,05 ao mês. 
O valor descontado (valor atual) é igual a R$ 370.000,00. 
Da teoria exposta sobre desconto comercial simples, sabemos que: 
(1 )A N i n= ⋅ − ⋅ 
370.000
1 1 0,05 1,5
A
N
i n
= =
− ⋅ − ⋅ 
400.000N = 
O problema ainda pergunta qual é a taxa efetiva da operação. O que é a 
taxa efetiva??? 
A taxa de desconto efetiva nada mais é do que a taxa de juros simples que 
aplicada ao valor descontado do título, durante um prazo equivalente ao que 
falta para o vencimento, produz como montante o valor nominal do título. 
??? 
Ou seja, a taxa efetiva é igual a taxa de desconto racional simples que 
produz o mesmo valor atual no mesmo tempo de antecipação. Ou, se 
preferir, pode aplicar uma capitalização simples sobre o valor atual para 
gerar o valor nominal. 
(1 )
e
M C i n= ⋅ + ⋅ 
(1 )
e
N A i n= ⋅ + ⋅ 
400.000 370.000 (1 1,5)
e
i= ⋅ + ⋅ 
Pode-se dividir ambos os membros por 10.000 ou “cortar 4 zeros”. 
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40 37 (1 1,5)
e
i= ⋅ + ⋅ 
40 37 55,5
e
i= + ⋅ 
55,5 3
e
i⋅ = 
3
55,5
e
i = 
Para transformar em taxa percentual multiplicamos por 100%. 
3 300
100% %
55,5 55,5
e
i = ⋅ = 
5,4% . .i a m≅ 
Letra B 
ATENÇÃO!!!!!! 
Agora que aprendemos a calcular a taxa efetiva a partir do seu 
conceito, colocarei a sua disposição uma fórmula indispensável para 
ganhar tempo. Lembre que nos últimos 10 minutos da sua prova 
você vai implorar por um pouco mais de tempo. Então, vamos 
aprender a ganhar tempo. Guarde bem essa fórmula porque nem 
todos os livros a descreve. 
A taxa efetiva para o desconto simples comercial é dada por 
1
e
i
i
i n
=
− ⋅ 
Onde i é a taxa do desconto! 
Um detalhe: essa fórmula só poderá ser utilizada se não houver taxas 
administrativas ou impostos cobrados pelo banco!! 
Vamos resolver novamente a segunda parte desse quesito. 
A taxa é de 5% ao mês durante 1,5 meses. 
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0,05
5,4%
1 1 0,05 1,5
e
i
i
i n
= = ≅
− ⋅ − ⋅ 
15. (Fiscal de Fortaleza – 2003 – ESAF) Um título no valor nominal de R$ 
20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1800,00 três meses 
antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada. 
a) 6% 
b) 5% 
c) 4% 
d) 3,3% 
e) 3% 
Resolução 
Sabemos que a taxa de desconto no desconto comercial simples é incidida 
sobre o valor nominal. Dessa forma, o desconto é dado por 
D N i n= ⋅ ⋅ 
Como estamos querendo calcular a taxa mensal do desconto. Podemos 
“isolar” a taxa na fórmula acima. O “N” e o “n” que estão multiplicando “vão 
para o outro membro dividindo”. Assim, 
D
i
N n
=
⋅ 
O enunciado nos forneceu o valor nominal (R$ 20.000,00), o desconto 
(R$ 1.800,00) e o tempo de antecipação (três meses). Já que o tempo de 
antecipação é dado em meses, obviamente a taxa será mensal. E lembre-se 
que para transformar a taxa em termos percentuais devemos multiplicá-la 
por 100%. 
1.800
100%
20.000 3
i = ⋅
⋅
 
180.000%
60.000
i = 
3% a.m.i = 
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Letra E 
16. (BNDES 2009 CESGRANRIO) Umapromissória sofrerá desconto 
comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, à taxa simples de 18% ao 
ano. O banco que descontará a promissória reterá, a título de saldo médio, 
7% do valor de face durante o período que se inicia na data do desconto e 
que termina na data do vencimento da promissória. Há ainda IOF de 1% 
sobre o valor nominal. Para que o valor líquido, recebido no momento do 
desconto, seja R$ 4.620,00, o valor nominal, em reais, desprezando-se os 
centavos, deverá ser 
(A) 5.104 
(B) 5.191 
(C) 5.250 
(D) 5.280 
(E) 5.344 
Resolução 
Trata-se de um desconto bancário simples. O desconto bancário leva em 
conta também despesas administrativas cobradas pelos bancos para 
a efetivação da operação de desconto. Ou seja, o desconto bancário é 
uma modalidade de desconto comercial, acrescida de taxas e 
despesas administrativas. 
Podemos afirmar que o valor líquido recebido (V) é igual ao valor nominal 
menos as despesas administrativas e menos o desconto por fora. As 
despesas administrativas são calculadas como se não houvesse desconto por 
fora, ou seja, o percentual incidirá sobre o valor nominal. Da mesma forma, 
o desconto por fora será efetuado como se não houvesse despesas 
administrativas. 
Portanto, 
F B
V N D D= − − , onde DF é o desconto por fora e DB são as taxas e as 
despesas administrativas cobradas pelo banco. Lembrando que o desconto 
comercial simples (por fora) é dado por D = N.i.n, 
0,07 0,01V N N i n N N= − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ 
Além disso, o tempo de antecipação (2 meses e 20 dias) pode ser escrito 
como 80 dias (30+30+20). 
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Observação: O mês comercial possui 30 dias e o ano comercial 
possui 30x12 = 360 dias. 
Assim, a taxa de 18% = 0,18 ao ano para ser escrita sob a forma de taxa 
diária deverá ser dividida por 360. 
Ou seja, 
0,18
360
i = . 
Ufa! Voltemos à nossa expressão. 
7% 1%V N N i n N N= − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ 
O valor líquido recebido foi igual a R$ 4.620,00. 
0,18
80 0,07 0,01 4.620
360
N N N N− ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ = 
1 0,04 0,07 0,01 4.620N N N N⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = 
Já que 1 – 0,04 – 0,07 – 0,01 = 0,88, temos que 
0,88 4.620N⋅ = 
4.620
5.250
0,88
N = =
 
Letra C 
17. (CEF 2004 FCC) Em suas operações de desconto de duplicatas, um 
banco cobra uma taxa mensal de 2,5% de desconto simples comercial. Se o 
prazo de vencimento for de 2 meses, a taxa mensal efetiva nessa operação, 
cobrada pelo banco, será de, aproximadamente, 
(A) 5,26% 
(B) 3,76% 
(C) 3,12% 
(D) 2,75% 
(E) 2,63% 
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Resolução 
A questão envolve o cálculo da taxa efetiva em uma operação de 
desconto simples comercial. Basta aplicar a fórmula descrita 
anteriormente: 
0,025 0,025 2,5%
100% 2,63%
1 1 0,025 2 0,95 0,95
e
i
i
i n
= = = ⋅ = ≅
− ⋅ − ⋅ 
Mas de qualquer forma, é bom saber resolver das duas maneiras. Nunca se 
sabe o que pode acontecer na hora da prova (esquecer a fórmula, por 
exemplo). 
A taxa efetiva é a taxa de juros que aplicada sobre o valor líquido 
gera um montante igual ao valor de face. 
Além disso, sabe-se que a taxa do desconto comercial simples incide sobre o 
valor nominal. E a fórmula que envolve o valor líquido e o valor de face é 
dada por 
(1 )A N i n= ⋅ − ⋅ 
2,5
1 2
100
A N
 = ⋅ − ⋅ 
 
 
0,95A N= ⋅ 
Faremos agora uma capitalização simples em que o capital inicial é igual a A 
e o montante é igual a N. 
(1 )M C i n= ⋅ + ⋅ 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ 
0,95 (1 2)N N i= ⋅ + ⋅ 
1 0,95 (1 2)i= ⋅ + ⋅ 
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1 0,95 1,9 i= + ⋅ 
1,9 0,05i⋅ = 
0,05 5%
100%
1,9 1,9
i = ⋅ =
 
2,63%i ≅ 
Letra E 
Um pouco mais trabalhoso, não !? 
5 Relação entre os descontos simples por fora e por dentro 
 
Como o desconto simples comercial (por fora) é calculado sobre o 
valor nominal, ao passo que o desconto simples racional é calculado 
sobre o valor atual, é fácil constatar que, quando calculados nas mesmas 
condições, o desconto simples por fora será sempre maior do que o por 
dentro. Isso porque o valor nominal é sempre maior do que o valor atual. 
Acompanhe o raciocínio: Quanto maior o desconto, menor o valor atual do 
título. Pode-se concluir que o valor atual do desconto simples comercial é 
sempre menor do que no desconto simples por dentro (por isso é tão 
utilizado no mercado financeiro: experimente trocar um cheque e veja onde 
é incidida a taxa – no valor nominal). 
Assim, considerando-se uma mesma taxa de desconto, é mais vantajoso 
para o adquirente do título (o banco, ou uma empresa de factoring, por 
exemplo) utilizar o desconto bancário (daí o “apelido” do desconto 
comercial) do que o desconto racional. 
Bom... Chega de filosofia! Vamos ao que interessa. Vejamos a seguir qual é 
a relação entre os descontos simples por fora e por dentro, quando 
calculados nas mesmas condições, ou seja, à mesma taxa de desconto e 
pelo mesmo prazo para o vencimento do título. 
Para diferenciar, chamarei de DF o desconto simples por fora (comercial) e 
DD o desconto simples por dentro (racional). 
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Vimos anteriormente que 
 e 
1
D F
N i n
D D N i n
i n
⋅ ⋅
= = ⋅ ⋅
+ ⋅ 
Logo, 
1
F
D
D
D
i n
=
+ ⋅ 
( )1F DD D i n= ⋅ + ⋅ 
18. (Fiscal PA 2002 – ESAF) Uma nota promissória sofre um desconto 
simples comercial de R$ 981,00, três meses antes do seu vencimento, a 
uma taxa de desconto de 3% ao mês. Caso fosse um desconto racional, 
calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa. 
a) R$ 1.000,00 
b) R$ 950,00 
c) R$ 927,30 
d) R$ 920,00 
e) R$ 900,00 
Resolução 
Para quem conhece a fórmula que mostrei anteriormente, a questão é 
facílima!! 
( )1F DD D i n= ⋅ + ⋅ 
O enunciado nos forneceu o valor do desconto comercial simples (por fora) 
que é igual a R$ 981,00, a taxa que é igual a 3% = 0,03 ao mês e o tempo 
de antecipação que é igual a 3 meses. 
( )981 1 0,03 3DD= ⋅ + ⋅ 
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981 1,09
D
D= ⋅ 
981
900
1,09
D
D = =
 
 Letra E 
19. (AFPS 2002 – ESAF) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve 
sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu 
vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial 
por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a 
mesma taxa de desconto mensal. 
a) R$ 890,00 
b) R$ 900,00 
c) R$ 924,96 
d) R$ 981,00 
e) R$ 1.090,00 
Resolução 
A taxa de desconto será igual nas duas operações. 
A primeira operação é um desconto comercial simples com valor nominal R$ 
10.900,00, desconto igual a R$ 981,00 e tempo de antecipação igual a 3 
meses. Como sabemos que o desconto comercial simples é dado por 
F
D N i n= ⋅ ⋅ , então 
 981 10.900 3i= ⋅ ⋅ 
981 32.700 i= ⋅ 
981
0,03
32700
i = = 
Já que a taxa utilizada será a mesma nos dois descontos, e a questão trocou 
o desconto comercial simples por um desconto racional simples, podemos 
calcular esse novo desconto com a fórmula 
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( )1F DD D i n= ⋅ + ⋅ 
( )981 1 0,03 3DD= ⋅ + ⋅ 
981 1,09
D
D= ⋅ 
981
900
1,09
D
D = = 
Letra B 
6 Questões FGV 
 
20. (Agente Administrativo CAERN 2010/FGV) Qual é o valor hoje de um 
título que vencerá daqui a 4 meses, cujo valor nominal é R$ 5.000,00, se ele 
for submetido a desconto comercial simples à taxa mensal de 3%? 
(A) R$ 4.400,00 
(B) R$ 4.800,00 
(C) R$ 4.550,00 
(D) R$ 4.450,00 
(E) R$ 4.850,00 
 
Resolução 
 
O problema é muito claro. Há um título com valor nominal � = 5.000,00 que 
será descontado (desconto comercial simples) à taxa de 3% ao mês com 4 
meses de antecipação. Vamos calcular o valor do desconto. 
 
� = � ∙ � ∙ � 
 
� = 5.000 ∙
3
100
∙ 4 
 
� = 600 
 
Ora, se o valor nominal do título é de R$ 5.000,00 e haverá um desconto de 
R$ 600,00, então o valor atual é igual a: 
 
� = � − � = 5.000 − 600 = 4.400,00 
Letra A 
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21. (Fiscal de Rendas SEFAZ/RJ 2010/FGV) A empresa Bonneli recebeu, pelo 
valor de R$ 18.000,00, por meio de uma operação de factoring, R$ 
12.000,00 como sendo o valor atual. O prazo de antecipação, em dias, se a 
taxa de juros foi de 5% ao mês, no regime juros simples, foi de: 
(A) 30. 
(B) 60. 
(C) 90. 
(D) 100. 
(E) 120. 
 
Resolução 
 
Quando o problema não informa qual é a modalidade do desconto, devemos 
verificar o que é dito a respeito da taxa do desconto. Se o problema fala 
explicitamente que é uma TAXA DE JUROS, então concluímos que o 
desconto é racional (isso foi dito na página 03). 
Devemos seguir este raciocínio, pois o desconto racional simples equivale a 
uma operação de juros simples. 
 
Se isso não for informado, então utilizamos o desconto comercial. 
 
Ora, o problema nos informou que a TAXA DE JUROS foi de 5% ao mês. 
Desta forma, foi utilizado o desconto racional simples. 
 
O valor atual é de R$ 12.000,00. Como o valor nominal é de R$ 18.000,00, 
então o desconto foi de R$ 6.000,00 (=18.000 – 12.000). 
 
Vamos aplicar a fórmula do desconto racional simples. 
 
� = � ∙ � ∙ � 
 
6.000 = 12.000 ∙
5
100
∙ � 
 
6.000 = 600 ∙ � 
 
� = 10 
 
Como a taxa é mensal, então o tempo calculado é igual a 10 meses. 
 
Assim, o tempo em dias é igual a 10 x 30 = 300 dias. 
 
Não há alternativa compatível. 
 
A questão foi ANULADA pela FGV. 
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22. (Processo Seletivo 2009/FGV) Uma loja recebeu, pela venda de um 
produto, uma duplicata de $ 1.000,00 com vencimento em três meses. 
Sabendo que o banco pagou por ela $ 940,00, a taxa mensal de desconto 
comercial cobrada por esse banco foi: 
A) 5% 
B) 7% 
C) 1% 
D) 4% 
E) 2% 
 
Resolução 
 
O valor pago pelo banco é justamente o valor atual. 
 
Assim, o valor atual é igual a $ 940,00 e o valor nominal é igual a $ 
1.000,00. O desconto é a diferença entre o valor atual e o valor nominal. 
 
� = 1.000 − 940 = 60 
 
Para calcular a taxa mensal de desconto comercial, vamos aplicar a fórmula 
do desconto comercial vista anteriormente (observe que o tempo de 
antecipação é de 3 meses). 
 
� = � ∙ � ∙ � 
 
60 = 1.000 ∙ � ∙ 3 
60 = 3.000 ∙ � 
 
� =
60
3.000
= 0,02 = 2% 
Letra E 
 
 
23. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Com relação aos diferentes tipos de desconto 
simples analise as afirmativas a seguir: 
I. O desconto racional (por dentro), no regime de capitalização simples, é 
dado pela diferença entre o valor futuro e o valor presente. 
II. O desconto comercial (por fora), no regime de capitalização simples, é 
dado pela relação D = VF*d*n, no qual VF é o valor futuro, d é a taxa de 
desconto por período e n é o número de períodos de desconto. 
III. o desconto bancário é o contrato pelo qual o banco (descontador) 
antecipa ao cliente (descontário) o valor de um crédito. 
 
Assinale: 
 
a) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. 
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b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
c) se somente a afirmativa III estiver correta. 
d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 
e) se todas as afirmativas estiverem corretas. 
Resolução 
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. 
I. O desconto racional (por dentro), no regime de capitalização simples, é 
dado pela diferença entre o valor futuro e o valor presente. 
Verdade. Aliás, qualquer que seja o tipo de desconto (racional ou comercial, 
simples ou composto), seu valor sempre será a diferença entre o valor 
futuro e o valor presente. 
II. O desconto comercial (por fora), no regime de capitalização simples, é 
dado pela relação D = VF*d*n, no qual VF é o valor futuro, d é a taxa de 
desconto por período e n é o número de períodos de desconto. 
 
Verdade. Sabemos que a taxa do desconto comercial incide sobre o valor 
nominal (valor futuro). Lá na nossa exposição teórica, vimos que � = � ∙ � ∙ �. 
A FGV simplesmente trocou as notações. O valor nominal N (futuro) foi 
chamado de VF, a taxa de desconto i foi trocada por d. 
III. o desconto bancário é o contrato pelo qual o banco (descontador) 
antecipa ao cliente (descontário) o valor de um crédito. 
 
Verdade. Esse é o próprio texto que se encontra no site da FGV (eu deixei o 
link para que vocês possam dar uma lida e copiei um trecho). 
Eis o que há escrito no site da FGV: 
“...o desconto bancário é o contrato pelo qual o Banco (descontador) 
antecipa ao cliente (descontário) o valor de um crédito contra terceiro, ainda 
não vencido, de que se fez cessionário, deduzindo desse valor a importância 
correspondente às despesas e juros pelo espaço intercorrente desde a data 
à sua antecipação.” 
Letra E 
24. (SEAD/AP 2010/FGV) Pedro desconta um título de R$ 7.000,00 com 
vencimento de 60 dias em um banco que cobra taxa de desconto simples 
“por fora” de 4% ao mês. Pedro receberá: 
a) R$ 6.720,00. 
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b) R$ 6.471,89. 
c) R$ 6.451,20. 
d) R$ 6.440,00. 
e) R$ 6.160,00. 
 
Resolução 
 
Desconto simples “por fora” é apenas um apelido do desconto 
simples COMERCIAL. 
 
O valor nominal do título é de R$ 7.000,00. A taxa do desconto é de 4% ao 
mês e o tempo de antecipação é de 2 meses (60 dias). Vamos aplicar a 
fórmula do desconto comercial simples. 
 
� = � ∙ � ∙ � 
 
� = 7.000 ∙
4
100
∙ 2 
 
� = 560,00 
 
Assim, o valor que Pedro receberá é igual a: 
 
� = � − � = 7.000 − 560 
 
� = 6.440,00 
Letra D 
 
 
25. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Um título com valor de R$ 5.000,00, com 1 mês 
para seu vencimento, é descontado no regime de juros simples a uma taxa 
de desconto “por fora” de 3% ao mês. O valor presente do título é igual a: 
a) R$ 5.500,00. 
b) R$ 5.150,00. 
c) R$ 4.997,00. 
d) R$ 4.850,00. 
e) R$ 4.500,00. 
 
Resolução 
 
Mesma banca, mesma questão. Impressionante a falta de criatividade, 
hein?! 
 
O valor nominal do título é de R$ 5.000,00. O tempo de antecipação é de 1 
mês e a taxa do desconto é de 3% ao mês. Lembre-se que desconto “por 
fora” é apenas um apelido do desconto comercial. 
 
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� = � ∙ � ∙ � 
 
� = 5.000 ∙
3
100
∙ 1 
 
� = 150 
O valor presente (valor atual) é diferença entre o valor nominal e o 
desconto. 
 
� = � − �= 5.000 − 150 
 
� = 4.850 
 
Letra D 
 
26. (SERC/MS 2006/FGV) Determine o valor atual de um título descontado 
(desconto simples por fora) dois meses antes do vencimento, sendo a taxa 
de desconto 10% e o valor de face igual a R$ 2.000,00. 
(A) R$ 1.580,00 
(B) R$ 1.600,00 
(C) R$ 1.640,00 
(D) R$ 1.680,00 
(E) R$ 1.720,00 
 
Resolução 
 
Aqui vamos “passar a mão na cabeça” da FGV. Ele disse que a taxa de 
desconto é de 10%: ao mês? Ao bimestre? Ao semestre? Ao ano? 
 
Já que o tempo foi dado em meses, vamos FINGIR que ele falou que a taxa 
é mensal. 
 
Lembre-se: nosso objetivo é acertar a questão e não brigar com a banca. A 
fase de brigar com a banca é depois!!! 
 
O valor nominal (valor de face) do título é de R$ 2.000,00. O tempo de 
antecipação é de 2 meses e a taxa do desconto é de 10% . Lembre-se que 
desconto “por fora” é apenas um apelido do desconto comercial. 
 
� = � ∙ � ∙ � 
 
� = 2.000 ∙
10
100
∙ 2 
 
� = 400 
 
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O valor presente (valor atual) é diferença entre o valor nominal e o 
desconto. 
 
� = � − � = 2.000 − 400 
 
� = 1.600,00 
 
Esta questão deveria ter sido anulada. 
 
Letra B 
 
27. (SEFAZ/RJ 2008/FGV) Um banco desconta (desconto simples por fora), 
dois meses antes do vencimento, promissórias com taxa de desconto de 5% 
ao mês e exige que 20% do valor de face da promissória sejam aplicados 
em um CDB que rende 6% nesses dois meses. A taxa bimestral de juros 
cobrada pelo banco é de, aproximadamente: 
(A) 9,2%. 
(B) 12,6%. 
(C) 11,1%. 
(D) 10,3%. 
(E) 18,4%. 
 
Resolução 
 
Esta questão foi um pouco mais chatinha... 
 
Vamos supor que o valor nominal da promissória fosse de R$ 100,00. Esta 
promissória será descontada 2 meses antes do vencimento a uma taxa de 
5% ao mês (desconto simples por fora). Vamos calcular o valor do desconto. 
 
� = � ∙ � ∙ � 
 
� = 100 ∙
5
100
∙ 2 
 
� = 10	����� 
 
Assim, o valor de resgate (valor atual) seria de R$ 100,00 – R$ 10,00 = R$ 
90,00. 
 
Só que o banco, para fazer o desconto da promissória, exige que 20% do 
valor nominal sejam aplicados em um CDB que rende 6% nesses dois 
meses. 
 
Como estamos supondo que o valor nominal é igual a R$ 100,00, então o 
cliente será obrigado a aplicar R$ 20,00 no CDB. 
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Ele iria resgatar R$ 90,00. Como ele aplicou R$ 20,00 no CDB, então ele fica 
com apenas R$ 70,00. 
 
Ora, mas os R$ 20,00 que foram aplicados no CDB vão render 6% nos dois 
meses. 
 
6%	'�	20 =
6
100
∙ 20 = 1,20 
 
Estes R$ 20,00 renderam R$ 1,20 nos dois meses. Assim, o cliente, daqui a 
dois meses, vai buscar R$ 21,20 lá no banco. 
 
Vamos calcular a taxa de juros bimestral utilizada pelo banco. 
 
O valor atual, de resgate, foi de R$ 70,00. Temos que pensar qual é o valor 
futuro destes R$ 70,00, caso não houvesse o desconto. Estes R$ 70,00 
valeriam: 
 
($	100,00 − ($	21,20 = ($	78,80 
 
Ou seja, R$ 100,00 da promissória menos o valor que rendeu no CDB 
(lembre-se que não podemos levar em consideração R$ 21,20, pois esse 
dinheiro não foi descontado. Ele permaneceu no banco e a pessoa o retirou 
no final). 
Assim, temos um valor atual de R$ 70,00 e um valor futuro de R$ 78,80. Os 
juros foram de R$ 8,80. Vamos calcular a taxa bimestral. 
 
* = + ∙ � ∙ � 
 
8,80 = 70 ∙ � ∙ 1 
 
Estou usando � = 1 porque a taxa é bimestral e o tempo é de 2 meses (1 
bimestre). 
 
� =
8,80
70
≅ 0,12571 
 
� ≅ 12,6% 
Letra B 
 
Pronto!! 
 
Hoje, ficamos por aqui. Abraço! 
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7 Relação das questões comentadas 
 
01. (Fiscal de Rendas RJ 2010/ESAF) Um título sofre um desconto simples 
por fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa 
de desconto de 2,5% ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal 
do título? 
a) R$ 22.500,00 
b) R$ 25.000,00 
c) R$ 17.500,00 
d) R$ 20.000,00 
e) R$ 27.500,00 
02. (BNB 2004 – ACEP) Em uma operação de desconto racional com 
antecipação de 5 meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e a taxa de 
desconto foi 5% ao mês. Qual o valor de face desse título? 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 10.666,67 
c) R$ 32.000,00 
d) R$ 40.000,00 
e) R$ 160.000,00 
03. (PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Um título sofreu desconto racional 
simples 3 meses antes do seu vencimento. A taxa utilizada na operação foi 
5% ao mês. Se o valor do desconto foi R$ 798,00, é correto afirmar que o 
valor de face desse título, em reais, era 
(A) menor do que 5.400,00. 
(B) maior do que 5.400,00 e menor do que 5.600,00. 
(C) maior do que 5.600,00 e menor do que 5.800,00. 
(D) maior do que 5.800,00 e menor do que 6.000,00. 
(E) maior do que 6.000,00. 
04. (BNB 2003 – ACEP) José tomou emprestado R$ 10.000,00, pretendendo 
saldar a dívida após dois anos. A taxa de juros combinada foi de 30% a.a. 
Qual valor José pagaria a dívida 5 meses antes do vencimento combinado 
sem prejuízo para o banco se nesta época a taxa de juros simples anual 
fosse 24% e fosse utilizado desconto simples racional? 
a) R$ 16.000,00 
b) R$ 13.800,00 
c) R$ 17.600,00 
d) R$ 14545,45 
e) R$ 14.800,00 
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05. (AFT 2010 ESAF) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ 
10.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 
4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do título? 
a) R$ 60.000,00. 
b) R$ 46.157,00. 
c) R$ 56.157,00 
d) R$ 50.000,00. 
e) R$ 55.000,00. 
06. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Qual é o valor atual, em reais, de um 
título cujo valor de face é R$ 2.000,00, descontado dois meses antes do 
vencimento (desconto simples por fora), sendo a taxa de desconto de 10% 
ao mês? 
(A) 1.600,00 
(B) 1.620,00 
(C) 1.680,00 
(D) 1.720,00 
(E) 1.800,00 
07. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Um cheque pré-datado para daqui a 3 
meses, no valor de R$ 400,00, sofrerá desconto comercial simples hoje. Se 
a taxa de desconto é de 12% ao mês, o valor a ser recebido (valor 
descontado), em reais, será igual a 
(A) 400,00 
(B) 352,00 
(C) 256,00 
(D) 144,00 
(E) 48,00 
08. (Técnico de Administração e Controle Júnior/ Petrobras 
2008/CESGRANRIO) A fim de antecipar o recebimento de cheques pré-
datados, um lojista paga 2,5% a.m. de desconto comercial. Em março, ele 
fez uma promoção de pagar somente depois do Dia das Mães e recebeu um 
total de R$120.000,00 em cheques pré-datados, com data de vencimento 
para 2 meses depois. Nesta situação, ele pagará, em reais, um desconto 
total de 
(A) 6.000,00 
(B) 5.200,00 
(C) 5.000,00 
(D) 4.500,00 
(E) 4.000,00 
09. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Um cheque pré-datado para daqui a 3 
meses, no valor de R$ 400,00, sofrerá desconto comercial simples hoje. Se 
a taxa de desconto é de 12% ao mês, o valor a ser recebido (valor 
descontado), em reais, será igual a 
(A) 400,00 
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(B) 352,00 
(C) 256,00 
(D) 144,00 
(E) 48,00 
10. (UnB/CESPE – PMCE 2008) Julgue o item seguinte. Caso um título de R$ 
15.000,00 seja resgatado 3 meses antes de seu vencimento, sob o regime 
de juros simples e à taxa de juros de 12% ao ano, então o valor do desconto 
racional, ou por dentro, será superior a R$ 450,00. 
11. (Economista– IBRAM – UnB/CESPE - 2009) Com relação a desconto, 
julgue o item abaixo. Considere que um título de valor nominal igual a R$ 
5.000,00, com vencimento em um ano, esteja sendo liquidado dois meses 
antes. Nesse caso, se a taxa nominal de juros simples corrente é de 36% ao 
ano e se o desconto considerado é o racional (ou por dentro), então a 
quantia que o devedor está deixando de pagar por liquidar o título 
antecipadamente é inferior a R$ 290,00. 
 
12. (Auditor Fiscal do Tesouro Municipal – Vitória – 2007 – Unb/ Cespe) 
Considere que uma pessoa pretenda quitar, 4 meses antes do vencimento, 
um título de valor nominal de R$ 7.800,00. Nesse caso, se for usado o 
desconto racional simples à taxa de 60% ao ano, a pessoa deve pagar 
menos de R$ 6.300,00. 
 
13. (TCE – Piauí 2002 – FCC) Uma duplicata, de valor nominal R$ 
16.500,00, será descontada 50 dias antes do vencimento, à taxa de 0,02% 
ao dia. Se for utilizado o desconto simples bancário, o valor de resgate será: 
a) R$ 14.850,00 
b) R$ 16.119,29 
c) R$ 16.335,00 
d) R$ 16.665,32 
e) R$ 18.233,50 
14. (AFC 2005 – ESAF) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu 
vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples 
foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo 
da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a: 
a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês. 
b) R$ 400.000,00 e 5,4% ao mês. 
c) R$ 450.000,00 e 64,8% ao ano. 
d) R$ 400.000,00 e 60% ao ano. 
e) R$ 570.000,00 e 5,4% ao mês. 
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15. (Fiscal de Fortaleza – 2003 – ESAF) Um título no valor nominal de R$ 
20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1800,00 três meses 
antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada. 
a) 6% 
b) 5% 
c) 4% 
d) 3,3% 
e) 3% 
 
16. (BNDES 2009 CESGRANRIO) Uma promissória sofrerá desconto 
comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, à taxa simples de 18% ao 
ano. O banco que descontará a promissória reterá, a título de saldo médio, 
7% do valor de face durante o período que se inicia na data do desconto e 
que termina na data do vencimento da promissória. Há ainda IOF de 1% 
sobre o valor nominal. Para que o valor líquido, recebido no momento do 
desconto, seja R$ 4.620,00, o valor nominal, em reais, desprezando-se os 
centavos, deverá ser 
(A) 5.104 
(B) 5.191 
(C) 5.250 
(D) 5.280 
(E) 5.344 
17. (CEF 2004 FCC) Em suas operações de desconto de duplicatas, um 
banco cobra uma taxa mensal de 2,5% de desconto simples comercial. Se o 
prazo de vencimento for de 2 meses, a taxa mensal efetiva nessa operação, 
cobrada pelo banco, será de, aproximadamente, 
(A) 5,26% 
(B) 3,76% 
(C) 3,12% 
(D) 2,75% 
(E) 2,63% 
18. (Fiscal PA 2002 – ESAF) Uma nota promissória sofre um desconto 
simples comercial de R$ 981,00, três meses antes do seu vencimento, a 
uma taxa de desconto de 3% ao mês. Caso fosse um desconto racional, 
calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa. 
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a) R$ 1.000,00 
b) R$ 950,00 
c) R$ 927,30 
d) R$ 920,00 
e) R$ 900,00 
19. (AFPS 2002 – ESAF) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve 
sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu 
vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial 
por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a 
mesma taxa de desconto mensal. 
a) R$ 890,00 
b) R$ 900,00 
c) R$ 924,96 
d) R$ 981,00 
e) R$ 1.090,00 
20. (Agente Administrativo CAERN 2010/FGV) Qual é o valor hoje de um 
título que vencerá daqui a 4 meses, cujo valor nominal é R$ 5.000,00, se ele 
for submetido a desconto comercial simples à taxa mensal de 3%? 
(A) R$ 4.400,00 
(B) R$ 4.800,00 
(C) R$ 4.550,00 
(D) R$ 4.450,00 
(E) R$ 4.850,00 
 
21. (Fiscal de Rendas SEFAZ/RJ 2010/FGV) A empresa Bonneli recebeu, pelo 
valor de R$ 18.000,00, por meio de uma operação de factoring, R$ 
12.000,00 como sendo o valor atual. O prazo de antecipação, em dias, se a 
taxa de juros foi de 5% ao mês, no regime juros simples, foi de: 
(A) 30. 
(B) 60. 
(C) 90. 
(D) 100. 
(E) 120. 
 
22. (Processo Seletivo 2009/FGV) Uma loja recebeu, pela venda de um 
produto, uma duplicata de $ 1.000,00 com vencimento em três meses. 
Sabendo que o banco pagou por ela $ 940,00, a taxa mensal de desconto 
comercial cobrada por esse banco foi: 
A) 5% 
B) 7% 
C) 1% 
D) 4% 
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E) 2% 
 
23. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Com relação aos diferentes tipos de desconto 
simples analise as afirmativas a seguir: 
I. O desconto racional (por dentro), no regime de capitalização simples, é 
dado pela diferença entre o valor futuro e o valor presente. 
II. O desconto comercial (por fora), no regime de capitalização simples, é 
dado pela relação D = VF*d*n, no qual VF é o valor futuro, d é a taxa de 
desconto por período e n é o número de períodos de desconto. 
III. o desconto bancário é o contrato pelo qual o banco (descontador) 
antecipa ao cliente (descontário) o valor de um crédito. 
 
Assinale: 
 
a) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. 
b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
c) se somente a afirmativa III estiver correta. 
d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 
e) se todas as afirmativas estiverem corretas. 
24. (SEAD/AP 2010/FGV) Pedro desconta um título de R$ 7.000,00 com 
vencimento de 60 dias em um banco que cobra taxa de desconto simples 
“por fora” de 4% ao mês. Pedro receberá: 
a) R$ 6.720,00. 
b) R$ 6.471,89. 
c) R$ 6.451,20. 
d) R$ 6.440,00. 
e) R$ 6.160,00. 
 
25. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Um título com valor de R$ 5.000,00, com 1 mês 
para seu vencimento, é descontado no regime de juros simples a uma taxa 
de desconto “por fora” de 3% ao mês. O valor presente do título é igual a: 
a) R$ 5.500,00. 
b) R$ 5.150,00. 
c) R$ 4.997,00. 
d) R$ 4.850,00. 
e) R$ 4.500,00. 
 
26. (SERC/MS 2006/FGV) Determine o valor atual de um título descontado 
(desconto simples por fora) dois meses antes do vencimento, sendo a taxa 
de desconto 10% e o valor de face igual a R$ 2.000,00. 
(A) R$ 1.580,00 
(B) R$ 1.600,00 
(C) R$ 1.640,00 
(D) R$ 1.680,00 
(E) R$ 1.720,00 
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27. (SEFAZ/RJ 2008/FGV) Um banco desconta (desconto simples por fora), 
dois meses antes do vencimento, promissórias com taxa de desconto de 5% 
ao mês e exige que 20% do valor de face da promissória sejam aplicados 
em um CDB que rende 6% nesses dois meses. A taxa bimestral de juros 
cobrada pelo banco é de, aproximadamente: 
(A) 9,2%. 
(B) 12,6%. 
(C) 11,1%. 
(D) 10,3%. 
(E) 18,4%. 
 
 
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8 Gabaritos 
 
01. B 
02. A 
03. E 
04. D 
05. A 
06. A 
07. C 
08. A 
09. C 
10. Errado 
11. Certo 
12. Errado 
13. C 
14. B 
15. E 
16. C 
17. E 
18. E 
19. B 
20. A 
21. Anulada 
22. E 
23. E 
24. D 
25. D 
26. B 
27. B