INTEGRAIS IMPR�PRIAS[1]

Prévia do material em texto

Prof. Antonio Diego Silva Farias 
Cálculo II – Integrais Impróprias 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO – UFERSA 
CAMPUS PAU DOS FERROS 
04 de Maio de 2016 
Integrais Impróprias 
 Nesta aula analisaremos alguns tipos especiais de integrais 
definidas, que ainda não foram estudadas. Estas integrais 
podem ser de um dos seguintes tipos: 
 
 Tipo 1: Integrais em intervalos ilimitados; 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
𝑎
 ou 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
−∞
 ou 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
−∞
 
 Tipo 2: Integrais de funções descontínuas; 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, onde 𝑓(𝑥) é descontínua em 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏]. 
Integrais Impróprias 
Definição de uma integral do tipo 1 
a) Se 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑡
𝑎
 existe para cada 𝑡 ≥ 𝑎, então 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑡→+∞
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑡
𝑎
+∞
𝑎
 
desde que o limite exista. 
b) Se 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑡
 existe para dada 𝑡 ≤ 𝑏, então 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
−∞
= lim
𝑡→−∞
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑡
 
desde que o limite exista. 
 
As integrais impróprias 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
𝑎
 e 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
−∞
 são chamadas de 
convergentes se os limites correspondentes existem e divergentes 
se os limites não existem. 
Integrais Impróprias 
c) Se as ambas as integrais 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
𝑎
 e 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
−∞
 são 
convergentes (ou convergem), então definimos 
 
 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
−∞
= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
−∞
+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
𝑎
 
 
Obs: O número real 𝑎 pode ser arbitrariamente escolhido. 
Integrais Impróprias 
Exemplos 
1) Calcule a área da região 𝑆 que está sob a curva 𝑦 =
1
𝑥2
, 
acima do eixo 𝑥 e à direita da reta 𝑥 = 1. 
2) Determine se a integral 
1
𝑥
𝑑𝑥
+∞
1
 é convergente ou 
divergente. 
3) Calcule 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥
0
−∞
. 
4) Calcule 
1
1+𝑥2
𝑑𝑥
+∞
−∞
. 
Integrais Impróprias 
Definição de uma integral do tipo 2 
a) Se 𝑓 é uma função contínua em [𝑎, 𝑏) e descontínua em 𝑏, 
então 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑡→𝑏
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
se esse limite existir. 
b) Se 𝑓 é contínua em (𝑎, 𝑏] e descontínua em 𝑎, então 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑡→𝑎
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑡
𝑏
𝑎
 
Se esse limite existir. 
A integral imprópria 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 é chamada de convergente se o 
limite correspondente existir e divergente se o limite não existir. 
 
 
Integrais Impróprias 
c) Se 𝑓 possui uma descontinuidade em um ponto 𝑐, com 
𝑎 < 𝑐 < 𝑏,e ambas as integrais 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑐
𝑎
 e 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
 
forem convergentes, então 
 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑐
𝑎
+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
 
Integrais Impróprias 
Exemplos 
1) Calcule 
1
𝑥−2
𝑑𝑥
5
2
. 
2) Determine se a integral sec 𝑥 𝑑𝑥
𝜋/2
0
 converge ou 
diverge. 
3) Calcule 
𝑑𝑥
𝑥−1
3
0
 se for possível. 
4) Calcule ln 𝑥 𝑑𝑥
1
0
. 
Integrais Impróprias 
 
Teorema da comparação: Se 𝑓 e 𝑔 são funções contínuas 
com 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ≥ 0 para 𝑥 ≥ 𝑎. Então: 
a) Se 𝑓(𝑥)
+∞
𝑎
𝑑𝑥 é convergente, então 𝑔(𝑥)
+∞
𝑎
𝑑𝑥 
também é convergente. 
b) Se 𝑔(𝑥)
+∞
𝑎
𝑑𝑥 é divergente, então 𝑓(𝑥)
+∞
𝑎
𝑑𝑥 
também é divergente. 
 
Integrais Impróprias 
Exemplos 
 
a) Mostre que 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥
+∞
0
 é convergente. 
 
 
b) Mostre que 
1+𝑒−𝑥
𝑥
+∞
1
𝑑𝑥 é divergente. 
Referências Bibliográfica 
 STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2013. 1077 p. v. 1. ISBN: 9788522106608. 
 THOMAS, George B et al. Cálculo. São Paulo: Addison 
Wesley, 2009. 784 p. ISBN: 9788588639317. 
 GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 632 p. v.1. ISBN: 
9788521612599. 
 LEITHOLD, Louis. O Cálculo com geometria analítica. 
3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. 1-685 p. v.1. ISBN: 
8529400941.