Aula_16_Transformação inversa

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16/10/2013
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Professora: Jossana Ferreira
Transformação LinearTransformação Linear
Inversa
•Definição
•Transformações lineares injetoras, bijetoras e 
sobrejetoras
•Transformação linear inversa
Função injetora e não sobrejetora Função sobrejetora e não injetora
Função bijetora
•Definição
•Seja T:V→W uma transformação linear
•A imagem de T é o subespaço composto por todos os 
vetores em W gerados a partir de V através da 
transformação
•Se T é bijetora, então cada vetor w pertencente à Im(T) e é 
imagem de um único vetor v em V
•Essa unicidade permite definir uma nova função, chamada 
transformação inversa de T, que leva W de volta em V.
•Notação: T-1
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•Definição •Condição
•Para que uma transformação linear admita uma 
inversa a transformação deve ser Bijetora
Seja T:V→W uma transformação linear
•Transformação linear injetora
•Ocorre quando a imagem de vetores distintos são 
distintas. ker(T)=0
•Transformação linear sobrejetora
•Ocorre quando a imagem de T coincide com W
•Transformação linear Bijetora
•Ocorre quando for injetora e sobrejetora ao mesmo 
tempo
•Exemplo 1: Dada a transformação linear T:ℜ2→ℜ2, 
T(x,y)=(x+y,x), verifique se T é injetora, sobrejetora e 
bijetora.
•Injetora: N(T)=0
(x+y,x)=(0,0)
x+y=0
x=0, logo y=0, 
então N(T)=(0,0), portanto a transformação é injetora.
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•Exemplo 1: 
•Sobrejetora: Im(T)= ℜ2
(x+y,x)=(a,b)
Como os vetores (1,1) e (1,0) geram todo o ℜ2, então 
a transformação é sobrejetora. 






+





=





0
1
1
1
yx
b
a
•Exemplo 1: 
•Bijetora: Deve ser Injetora e Sobrejetora
Como foi verificado que sim, a transformação é 
bijetora.
•Exemplo 2: Dada a transformação linear T:ℜ2→ℜ2, 
T(x,y)=(x+y,x), verifique se T admite inversa, caso 
afirmativo, encontre T-1.
•Forma 1: 
T(x,y)=(x+y,x)=(a,b) Então:
x+y=a T-1(a,b)=(b,a-b)
x=b, logo y=a-b
•Exemplo 2:
•Forma 1: Conferindo 
T-1(T(x,y))=(x,y)
T(x,y)=(x+y,x) T-1(a,b)=(b,a-b)
T(10,7)=(17,10) T-1(17,10)=(10,7)
Confere
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•Exemplo 2:
•Forma 2: T(x,y)=(x+y,x)
T(x)=Ax 











=
y
x
T
01
11)(x






−
=






=
−
11
10
01
11
1A
A












−
=
−
y
x
yxT
11
10),(1
T-1(x,y)=(y,x-y)
•Conclusão:
•Uma transformação linear admite transformação 
inversa quando a matriz A admitir inversa, ou seja, 
det(A)≠0.
•Exercício 1: Identifique a transformação (por 
extenso) e verifique se é injetora e/ou sobrejetora. 
•Exercício 2: Verifique se a transformação 
admite inversa.
uu 





−
=
11
02)(T
))(()(,: xaxaxaaaxaTPPT 0213010131 +++=+→
IMPORTANTE
•Saber identificar quando uma Transformação linear é 
injetora, sobrejetora e bijetora.
•Saber quando uma Transformação Linear admite 
inversa
•Saber encontrar a inversa de uma Transformação 
Linear
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