Transformações Lineares

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FACULDADE DE TECNOLOGIA SENAI CIMATEC 
ENGENHARIA 
 
Transformações Lineares 
 No Ensino Médio é comum trabalharmos com funções de IR em IR, de apenas uma variável. 
Mas vários problemas são modelados e resolvidos por fórmulas que dependem de mais de uma 
variável. Por essa razão, vamos tratar agora de funções que têm como domínio e contradomínio 
outros espaços vetoriais, como o IR2, IR3, M2x2, etc. Assim, tanto os elementos do domínio ou do 
contradomínio poderão ser “vetores” e as funções deste tipo são também chamadas de funções 
vetoriais. 
 Uma transformação 𝑇: 𝑉 → 𝑊, é uma função que associa a todo vetor 𝑣 ∈ 𝑉 um único vetor 𝑤 =
𝑇(𝑣) ∈ 𝑊. 
 Por exemplo, seja 𝑉 = ℝ2 e 𝑊 = ℝ3. Uma transformação T: 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ3associa vetores 𝑣 =
(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 com vetores (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3. Se a lei que define a transformação T for: 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥,−2𝑦, 𝑥 − 𝑦) 
 Então em particular, temos: 
𝑇(−1,3) = (−3,−6,−4) 
𝑇(0, 0) = (0, 0, 0) 
𝑇(2, 1) = (6,−2, 1) 
 
 Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação 𝑇: 𝑉 → 𝑊 é chamada de transformação linear 
se: 
 
I. 𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣), ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 
 
II. 𝑇(𝛼𝑢) = 𝛼𝑇(𝑢), ∀𝛼 ∈ ℝ 𝑒 𝑢 ∈ 𝑉 
 
 Quando 𝑉 = 𝑊, a função 𝑇: 𝑉 → 𝑉 é também chamada de operador linear. 
 
Exemplo 1: 𝑇:ℝ2 → ℝ3, definida por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥,−2𝑦, 𝑥 − 𝑦) é uma transformação linear. 
De fato, sejam 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) 𝑒 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) ∈ ℝ
2. Então: 
 
I. 𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇((𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2)) = 𝑇(𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) = 
 𝑇(3(𝑥1 + 𝑥2), −2( 𝑦1 + 𝑦2), 𝑥1 + 𝑥2 −𝑦1 − 𝑦2) = 
 𝑇(3(𝑥1 + 𝑥2), −2( 𝑦1 + 𝑦2), 𝑥1 + 𝑥2 −𝑦1 − 𝑦2) = 
 𝑇(3𝑥1, −2 𝑦1, 𝑥1 − 𝑦1) + 𝑇(3𝑥2, −2 𝑦2, 𝑥2 − 𝑦2)= 
 𝑇(𝑥1, 𝑦1) + 𝑇(𝑥2, 𝑦2) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) 
 
II. 𝑇(𝛼𝑢) = 𝑇(𝛼(𝑥1, 𝑦1)) = 𝑇(𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1) = (3𝛼𝑥1, −2𝛼𝑦1, 𝛼𝑥1 − 𝛼𝑦1) = 
𝛼(3𝑥1, −2 𝑦1, 𝑥1 − 𝑦1) = 𝛼 𝑇(𝑥1, 𝑦1) = 𝛼𝑇(𝑢) 
 
 Exemplo 2: 𝑇:ℝ2 → ℝ2, definida por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 3𝑥) é uma transformação linear? Resp.: Sim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 3: A transformação 𝑇:ℝ2 → ℝ2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥2, 2𝑥 + 𝑦) é linear? Resp.: Sim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Proposições: 
• Toda transformação linear 𝑇:ℝ → ℝ é da forma de 𝑇(𝑥) = 𝑎𝑥 
• Toda transformação linear 𝑇: ℝ2 → ℝ2 é da forma de 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦, 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦) 
• As transformações lineares só contém expressões com monômios de grau 1. 
• Toda transformação linear leva o vetor nulo no vetor nulo. 
• Se 𝑇: 𝑉 → 𝑊 é uma transformação linear, então: 
i. 𝑇(0)⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ 
ii. 𝑇(−𝑣) = −𝑇(𝑣) 
iii. 𝑇(𝛼𝑢 + 𝛽𝑣) = 𝛼𝑇(𝑢) + 𝛽𝑇(𝑣) 
 
 
 Determinação de transformações lineares 
 
 Uma transformação linear 𝑇: 𝑉 → 𝑊 fica completamente determinada se forem dadas as 
imagens de vetores de uma base de V. 
 
 Veremos nos exemplos abaixo, como encontrar a expressão que define a transformação linear. 
 
Ex.1: Sabendo que 𝑇:ℝ2 → ℝ2 é linear e que 𝑇(1,0) = (2, 1) 𝑒 𝑇(0,1) = (−1, 2), determine a 
expressão 𝑇(𝑥, 𝑦). 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.2: Determinar a transformação 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ3 linear, sabendo que 𝑇(1, 0) = (1, 2, 3) 𝑒 𝑇(0,1) =
(– 1, 0, 1). 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.3: Determine a transformação 𝑇:ℝ2 → ℝ2 linear, sabendo que 𝑇(1,1) = (1, 0)𝑒 𝑇( −1,1) = ( 1,2 ). 
 
 
 
 
 
 
 
 Transformações Injetoras, sobrejetoras ou bijetoras 
 
 Uma transformação linear 𝑇: 𝑈 ⟶ 𝑉 é : 
1. Injetora se 𝑇(𝑢) = 𝑇(𝑣) implicar que 𝑢 = 𝑣; 
2. Sobrejetora se para todo 𝑣 𝜖 𝑉 existir 𝑢 𝜖 𝑈 tal que 𝑇(𝑢) = 𝑣; 
3. Bijetora se for injetora e sobrejetora. 
 
 Proposição 1: Uma transformação linear 𝑇: 𝑈 ⟶ 𝑉 é injetora se e somente se 𝑇(𝑢) = 0 implicar 
𝑢 = 0. 
 
 Núcleo de uma Transformação Linear 
 
 Quando trabalhamos com funções no Ensino Médio, procuramos saber “onde elas 
se anulam”, ou seja, procuramos saber em que pontos 𝑥𝜖 ℝ temos 𝑓(𝑥) = 0. 
 No caso de Álgebra Linear, os elementos que são transformados em zero (vetor nulo) serão 
chamados de elementos do núcleo de T. 
 Consideremos então uma transformação linear 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊, já dissemos que o vetor nulo de V é 
transformado no vetor nulo de W, ou seja, 𝑇(0) = 0. Mas o fato de 𝑇(0) = 0, não invalida que 
outros vetores 𝑣 𝜖 𝑉, também tenham imagem igual ao vetor nulo, ou seja, 𝑇(𝑣) = 0. Estes vetores 
pertencem ao subconjunto que chamamos de núcleo de T, e denotamos por 𝑵(𝑻). 
 
𝑁(𝑇) = {𝑣 ∈ 𝑉; 𝑇(𝑣) = 0} 
 
 Proposição 2: Uma transformação linear 𝑇: 𝑈 ⟶ 𝑉 é injetora se e somente se 𝑁(𝑇) = {0}. 
 
 Proposição 3: Se U e V são espaços vetoriais de dimensão finita tais que 𝑑𝑖𝑚 𝑈 = dim𝑉e se 
𝑇: 𝑈 ⟶ 𝑉 é uma transformação linear então as seguintes condições são equivalentes: 
1. T é sobrejetora; 
2. T é injetora; 
3. T é bijetora; 
4. T leva bases de U em bases de V. 
 
Ex.1: Considere 𝑇:ℝ2 → ℝ2, dada por 𝑇 (𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦, 4𝑥 − 2𝑦). 
Neste caso, o vetor nulo é 0⃗ = (0,0). É claro que 𝑇(0,0) = (0,0). O que queremos saber é se 
“existem outros” vetores que também têm imagem (0,0). 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.2: Considere agora 𝑇:ℝ2 → ℝ2, dada por 𝑇 (𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦). Será que existem outros 
vetores, além de 𝑣 = 0⃗ , tais que 𝑇(𝑣) = 𝑂 ? 
 
 
 
 
 
 
Ex.3: Seja 𝑇:ℝ3 ⟶ ℝ3, dada por 𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑧, 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧). Vamos verificar qual é o 
núcleo de T, e sua dimensão. 
 
 
 Imagem de uma Transformação Linear 
 
 Outra noção que também vimos no Ensino Médio foi do conjunto imagem. Esse conjunto é 
constituído pelas imagens 𝑓(𝑥), quando variamos 𝑥. Em Álgebra Linear definimos assim: 
 
 Seja uma transformação linear 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊. O conjunto imagem de T é o subconjunto 
𝐼𝑚(𝑇) = { 𝑇(𝑣) ; 𝑣 𝜖 𝑉 } = {𝑤 𝜖 𝑊 ; 𝑤 = 𝑇(𝑣) } 
 
 Vamos ver como determinar o conjunto imagem de T. Para isso precisaremos “desfolhar” o 
vetor T(x, y), como fizemos com subespaços gerados. 
 
Ex.1: 𝑇:ℝ2 → ℝ2, dada por 𝑇 (𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦, 4𝑥 − 2𝑦) 
 
 Logo, 𝑇 (𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦, 4𝑥 − 2𝑦) = (2𝑥, 4𝑥) + (−𝑦,−2𝑦) = 𝑥 (2, 4) + 𝑦 (−1,−2). 
Assim, um vetor típico de 𝐼𝑚(𝑇) é a combinação linear dos vetores 𝑤1 = (2, 4) 𝑒 𝑤2 = (−1,−2). 
 
𝐼𝑚(𝑇) = [(2, 4), (−1,−2)] = [(1,2)] 
 
Como esses vetores são paralelos (dependentes) podemos retirar um deles do conjunto de 
geradores, sem problemas. 
 
 
Ex.2: Agora determine a imagem da transformação 𝑇:ℝ2 → ℝ2, dada por 𝑇 (𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦) 
e sua dimensão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Proposição: 𝑁(𝑇) é um subespaço vetorial de V. E 𝐼𝑚(𝑇) é um subespaço vetorial de W. 
 
 Teorema (do Núcleo e da Imagem: Seja 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊 uma transformação linear, e 𝑑𝑖𝑚 𝑉 = 𝑛. 
Então 𝑑𝑖𝑚(𝑉) = 𝑑𝑖𝑚 𝑁(𝑇) + 𝑑𝑖𝑚 𝐼𝑚(𝑇) 
 
Ex.: 𝑇:ℝ3 ⟶ ℝ3 
 𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑧, 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧) 
 
dimℝ3 = 3 
𝑁(𝑇) = [(1,1,−1)] 𝑒 𝑑𝑖𝑚 𝑁(𝑇) = 1 
𝐼𝑚(𝑇) = [ (−1, 0, −1), (0, 1, 1)] 𝑒 𝑑𝑖𝑚 𝐼𝑚(𝑇) = 2 
Assim, 𝑑𝑖𝑚 ℝ3 = 1 + 2 = 𝑑𝑖𝑚 𝑁(𝑇) + 𝑑𝑖𝑚 𝐼𝑚(𝑇) 
 
 Isomorfismo e Automorfismo 
 Dizemos que uma transformação linear 𝑇: 𝑈 ⟶ 𝑉 é isomorfismo quando ela for bijetora. 
 No caso em que 𝑈 = 𝑉 diremos que que T é um automorfismo. 
 Se 𝑇: 𝑈 ⟶ 𝑉 é um isomorfismo dizemos que os espaços U e V são isomorfos. 
 
 As seguintes transformações são exemplos de isomorfismo, por isso os respectivos espaços 
vetoriais são isomorfos: 
1. 𝑇: 𝑈 ⟶ 𝑈 dada por 𝑇(𝑢) = 𝑢 
2. 𝑇: ℝ𝑛 ⟶ 𝑃𝑛−1(ℝ) dada por 𝑇(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = 𝑥1 + 𝑥2𝑡 + ⋯+ 𝑥𝑛𝑡
𝑛−1 
 
Ex.: Verifique se 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑧, 𝑧 − 𝑦) é um automorfismo de ℝ3 
 
Obs.: Se dois espaços têm a mesma dimensão finita então eles são isomorfos. 
 
 
 
 Matriz Associada a uma transformação Linear 
 
 Vimos que as transformações lineares 𝑇:ℝ2 → ℝ2 são do tipo 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦, 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦) , com 
a, b, c e d constantes. 
 Podemosescrever os vetores em forma de coluna, [𝑣] = (
𝑥
𝑦) e de modo análogo, escrevemos 
[𝑇(𝑣)] = (
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦
). Assim a função 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦, 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦) pode ser vista como um produto 
de matrizes 𝐴 𝑣 = [𝑇(𝑣)] ⇒ (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) . (
𝑥
𝑦) = (
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦
), e a matriz 𝐴 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) é a matriz associada à 
transformação T, e pode ser denotada pelo símbolo [T] 
. 
Ex.1: Dada T(x, y) = (x – 2y, 3x+2y), qual a matriz A que a representa? 
Neste caso temos que encontrar uma matriz A, tal que (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) . (
𝑥
𝑦) = (
𝑥 − 2𝑦
3𝑥 + 2𝑦
). 
Podemos concluir que [𝑇] = (
1 −2
3 2
) 
 
Ex.2: Dada 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ3, T(x, y) = (x – 2y, 3x + 2y, −5x + y), encontre a matriz associada a essa 
função. 
 
 
 
 
 
 
Ex.3: Se temos agora 𝑇: ℝ3 ⟶ ℝ2, T(x, y, z) = (2x – y, x + 3y − z), qual a matriz associada de T? 
 
 
 
 
 
 
Ex.4: Dada 𝑇:ℝ3 ⟶ ℝ3, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦 + 𝑧, 𝑦 + 2𝑧, 3𝑥 − 𝑦 + 𝑧), qual a matriz associada de T?