Transformadores-WalterRies

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TRANSFORMADORES 
 
 
ÍNDICE 
 
1 – INTRODUÇÃO 1 
2 – TEORIA ELEMENTAR DO TRANSFORMADOR 1 
2.1 – O transformador em vazio 4 
2.2 – O transformador sob carga 4 
3 – TRANSFORMADOR COM NÚCLEO DE FERRO 8 
3.1 – Circuito equivalente e diagrama fasorial 8 
3.2 – Formas construtivas de núcleos e bobinas 13 
4 – CARACTERÍSTICAS DE DESEMPENHO 17 
4.1 – Corrente de excitação 17 
4.1.1 – Corrente magnetizante 17 
4.1.2 - Corrente de perdas magnéticas 21 
4.2 – Perdas de excitação ou perdas magnéticas 22 
4.2.1 – Perdas por histerese 22 
4.2.2 – Perdas por correntes de Foucault ou perdas parasitas 23 
4.3 – Medição das perdas e corrente de excitação 23 
4.4 – Impedância 25 
4.4.1 – Impedância percentual 25 
4.4.2 – Resistência percentual 26 
4.4.3 – Ensaio de curto-circuito do transformador 26 
4.4.4 – Relação entre resistências de perdas e reatância de dispersão 28 
4..5 – Regulação da tensão 29 
4. 6 – Rendimento do transformador 32 
5 – CÁLCULO DA CORRENTE DE EXCITAÇÃO E DAS PERDAS EM VAZIO 34 
6 – CÁLCULO DAS PERDAS DEVIDAS ÀS CORRENTES DE CARGA 40 
6.1 – Perdas ôhmicas nos enrolamentos (Wo) 42 
6.2 – Perdas parasitas nos condutores 46 
6.3 – Perdas adicionais devidas ao fluxo de dispersão 55 
6.4 – Perdas por circulação de corrente 55 
7 - CÁLCULO DA REATÂNCIA DE DISPERSÃO 57 
7.1 – Método do fluxo concatenado 57 
7.2 – Método da energia armazenada no campo magnético de dispersão do fluxo 59 
7.3 – Reatância de dispersão transversal 63 
8 – CONSTRUÇÃO 69 
8.1 = Núcleo e elementos de montagem 69 
8.1.1 - Dimensionamento das chapas do núcleo 69 
8.1.2 - Pressão de empacotamento e fator de empilhamento 75 
8.1.3 – Planilha para cálculo de núcleos 75 
8.1.4 – Etapas de construção do núcleo 76 
8.1.5 – Núcleos para transformadores pequenos 81 
8.2 – BOBINAS 82 
8.2.1 – Tipos de bobonas 82 
8.2.2 – O Condutor 83 
8.2.3 – Construção das bobinas 86 
8.2.4 – Tratamento das bobinas, encolunamento e montagem 91 
9 – O ISOLAMENTO DO TRANSFORMADOR 93 
9.1 – Introdução 93 
9.2 – Características dos dielétricos 94 
9.2.1 – Rigidez dielétrica 93 
9.2.2 – Constante dielétrica 96 
9.2.3 – Perdas dielétricas 101 
9.2.4 – Variação da rigidez dielétrica do ar com a espessura, pressão e temperatura 103 
9.2.5 – Variação da rigidez dielétrica com a espessura em materiais sólidos e líquidos 105 
9.2.5.1 – Óleo para transformador 106 
9.2.5.2 – Dielétricos sólidos 106 
 1 
9.2.6 – Variação da rigidez dielétrica com a temperatura nos materiais sólidos 107 
9.2.7 – Variação da tensão disruptiva e da rigidez dielétrica com o tempo 107 
9.2.7.1 – Rigidez dielétrica com tensões alternativas senoidais 107 
9.3 – Transitórios nos sistemas elétricos 112 
9.3.1 – Sobre tensão de chaveamento de um curto-circuito 112 
9.3.2 – Disjuntor desligando um transformador sem carga 114 
9.3.3 – Transformador atingido por uma onda de impulso 116 
9.3.4 – Onda de impulso normalizada 118 
9.3.5 – Distribuição da tensão de impulso ao longo dos enrolamentos 120 
9.3.5.1 – Distribuição inicial das tensões para uma excitação salto unitário u-1(t) 122 
9.3.5.2 – Distribuição final da tensão de impulso no enrolamento 126 
9.3.5.3 – Distribuição transitória da tensão de impulso no enrolamento 126 
ANEXO A: Calculo das capacitâncias distribuídas de um enrolamento 131 
9.4 – Critérios de dimensionamento e formas construtivas 135 
9.4.1 – Isolamento entre espiras, entre camadas e entre discos 136 
9.4.2 – Isolamento entre bobinas e entre bobinas e massa 138 
9.4.3 – Isolamento entre fases 141 
9.4.4 – Isolamento entre enrolamento externo e a caixa do transformador 142 
10 – DIMENSIONAMENO DOS TRANSFORMADORES DE POTÊNCIA 144 
10.1 – Relações econômicas 144 
10.2 – Cálculo da seção do núcleo 145 
10.3 – Dimensionamento dos enrolamentos 148 
11 – CÁCULO TÉRMICO DOS TRANSFORMADORES 150 
11.1 – Generalidades 150 
11.2 – Distribuição da temperatura num transformador 153 
11.3 – Transmissão de calor por condução 155 
11.3.1 – Entre paredes planas 155 
11.3.2 – Placas paralelas que são fontes de calor 156 
11.4 – Transmissão de calor por convecção 159 
11.5 – Transmissão de calor radiação 161 
11.6 – Salto de temperatura entre os enrolamentos e o óleo (Δθco1) 164 
11.6.1 – Enrolamentos helicoidais em camadas refrigeradas em ambas as faces laterais 164 
11.6.2 – Enrolamentos em disco 166 
12 – DISSIPAÇÃO DE CALOR NOS TRANSFORMADORES 168 
12.1 – Refrigeração natural 168 
12.1.1 – Dissipação de calor por tubos 170 
12.1.2 – Dissipação de calor em tanques ondulado 171 
12.1.3 – Dissipação de calor por radiadores de chapa 172 
12.2 – Refrigeração forçada 176 
12.3 – Comportamento térmico do transformador às sobrecargas 178 
13 – ESFORÇOS ELETROMECÂNICOS NOS ENROLAMENTOS 183 
13.1 – Forças produzidas pela interação de correntes e de campos magnéticos 183 
13.2 – Esforços mecânicos nos enrolamentos 187 
13.3 – Cálculo dos esforços mecânicos 190 
13.3.1 – Esforços em bobinas concêntricas com alturas iguais e simétricas 190 
13.3.2 – Esforços em bobinas concêntricas assimétricas ou com exclusões 194 
13.4 – Projeto mecânico para suportar os esforços eletromagnéticos 199 
13.4.1 – Esforços radiais nas bobinas externas 199 
13.4.2 – Esforços radiais nas bobinas internas 200 
13.4.3 – Esforços axiais nas bobinas 201 
13.4.4 – Bobinas concêntricas com alturas iguais e deslocamento axial 202 
13.5 – Efeitos dinâmicos dos esforços eletromagnéticos 206 
 
 2 
 TRANSFORMADORES 
1– INTRODUÇÃO 
 
 
O transformador foi o grande impulsionador da transmissão de energia elétrica a longas distâncias, 
pois, foi através dele que se conseguiu elevar as tensões das linhas para uma transmissão econômica desta 
energia. No Brasil já se utilizam linhas de transmissão de 750 kV que, junto com outras de 550, 440, 345, 
220 kV constituem o sistema básico de transmissão de energia elétrica. Para o consumo desta energia as 
tensões devem ser abaixadas de acordo com as necessidades. 
O uso generalizado do transformador tem um reflexo econômico acentuado na sociedade exigindo, 
constantemente, critérios sempre mais avançados de dimensionamento e construção, tendo em mira 
conciliar custos e segurança operacional. 
Para cada MVA de potência gerada por uma usina, são necessários de 6 a 10 MVA de potência em 
transformadores para que esta energia chegue ao consumidor final. Estes transformadores estão 
localizados: 
• Nas subestações das usinas geradoras, elevando a tensão de geração a valores que permitem a 
transmissão econômica da energia elétrica; 
• Nas subestações de interligação de sistemas elétricos; 
• Nas subestações abaixadoras de tensão para alimentação de grandes centros urbanos e industriais; 
• Nas subestações de distribuição em baixa tensão industrial, comercial e domiciliar e pública. 
 É grande a diversidade de tipos de transformadores e de possibilidades de ligações para atender às 
mais diversas aplicações. Além dos transformadores utilizados para transmitir e distribuir a energia 
elétrica, que são normalmente denominados de ”transformadores de potencia”, existe uma gama muito 
grande de outros transformadores especiais, tais como: transformadores de medição, tanto de corrente 
(TC) como de tensão ou potencial (TP), pequenos transformadores para uso em aparelhos 
eletrodomésticos e industriais ou de laboratório, etc. 
Considerando-se que o Brasil tem, atualmente, cerca de 70 GVA de energia elétricagerada e 
admitindo que o consumo cresça a taxa de 5% ao ano, um acréscimo anual de energia elétrica gerada de 
3,5 GVA deveria ser instalado. Levando ainda em consideração uma reposição necessária de 3% ao ano 
dos transformadores instalados, resultaria na necessidade média anual de construir cerca de 30 a 56 GVA 
ou 33.000 a 56.000 MVA em novos transformadores para o Brasil. 
O projeto de um transformador é um processo essencialmente iterativo que procura obter o 
equipamento de menor custo total e que atenda às especificações do usuário dentro das prescrições 
estabelecidas pelas normas de construção, métodos de ensaio e utilização. 
 
2 – TEORIA ELEMENTAR DO TRANSFORMADOR 
O funcionamento do transformador se baseia no acoplamento eletromagnético entre duas bobinas. 
Ele é constituído, fundamentalmente, por uma bobina primária que recebe a energia elétrica numa 
determinada tensão e corrente e uma bobina secundária pela qual esta energia, com tensão e corrente 
diferentes, é transferida a uma carga. O circuito magnético que acopla as bobinas primária e secundária 
pode ser o ar ou um material ferro-magnético para aumentar o acoplamento. Transformadores destinados 
a transferir energia elétrica com potências elevadas têm o circuito magnético construído com material 
ferro-magnético. Transformadores usados em equipamentos que operam com freqüências elevadas, 
radiofreqüências, têm o circuito magnético com ar ou outro material isolante. 
Sob o ponto de vista de Circuitos Elétricos o transformador é um quadripólo, fig. 2.1, com tensão e 
corrente de entrada e, tensão e corrente de saída, formando o laço de entrada alimentado por uma fonte de 
tensão e o laço de saída que é ligado à carga. No interior do quadripólo encontram-se os parâmetros 
elétricos, resistências e capacitâncias definidas no estudo do campo elétrico e indutâncias definidas no 
estudo do campo magnético. O quadripólo fica definido pelas duas equações: 
• Tensão aplicada na entrada em função das correntes de entrada e saída; 
• Tensão da saída em função das correntes de entrada e saída. 
 
Walter Ries 1 
 TRANSFORMADORES 
 
 
v 1 i 1
-
+
Parâmetros
R L C i 2 v 2
+
-
 
 
 
 Fig. 2.1: O quadripólo 
 
Para definir as equações fundamentais de tensões que explicam o funcionamento do transformador 
desprezam-se, inicialmente, as resistências ôhmicas e capacitâncias distribuídas das bobinas e considera-
se que o circuito magnético e constituído por ar. 
Na fig. 2.2 a bobina 1 é alimentada por uma fonte de tensão v1 variável com o tempo e a bobina 2 
está com seus terminais abertos. Na fig. 2.3 é a bobina 2 que está sendo alimentada por uma fonte de 
tensão v2 variável com o tempo e a bobina 1 está com seus terminais abertos. As correntes que circulam 
pelas bobinas produzem fluxos magnéticos cujo sentido pode ser dado pela regra do saca-rolha. O campo 
magnético pode ser representado, graficamente, por linhas de fluxo. Cada linha de fluxo representa uma 
mesma parcela do fluxo total como, por exemplo, 1 Wb. O fluxo total produzido pela corrente i1 não 
atravessa todas as N1 espiras da bobina 1 nem todas as N2 espiras da bobina 2. Também o fluxo total 
produzido pela corrente i2 não atravessa todas as N2 espiras da bobina 2 nem todas as N1 espiras da bobina 
1. Chama-se de fluxo concatenado ao fluxo que atravessa ou concatena uma espira. Se uma espira é 
atravessada por um fluxo de 10 webers, o fluxo concatenado nesta espira é de 10 weber-espiras. Nem 
todas as espiras são atravessadas pela mesma quantidade de fluxo. Portanto, cada espira tem o seu valor 
de fluxo concatenado. A soma do fluxo concatenado de todas as espiras é o que se chama de fluxo 
concatenado na bobina. 
 
 Têm-se, assim, as seguintes definições para os fluxos concatenados nas bobinas das figuras 2.2 e 2.3: 
 
λ11 é o fluxo concatenado na bobina 1 produzido pela corrente i1; 
λ21 é o fluxo concatenado na bobina 2 produzido pela corrente i1. 
λ22 é o fluxo concatenado na bobina 2 produzido pela corrente i2; 
λ12 é o fluxo concatenado na bobina 1 produzido pela corrente i2 
. 
Segundo a lei de Faraday a força eletromotriz (fem) induzida numa espira é proporcional à 
variação do fluxo que atravessa a mesma. Assim, cada um dos fluxos concatenados, acima definidos, 
induz uma determinada fem ou tensão nas bobinas. 
 
 
N1 e1
i2
e2 N2v 2
Fig. 2.3: Auto-indução e indução mútua
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 2.2: Auto-indução e indução mútua
i1
e2
N1 e1
N2
v 1
 
Walter Ries 2 
 TRANSFORMADORES 
A relação entre um fluxo concatenado e a corrente que o produz é uma constante e se denomina de 
Indutância sendo medida em Henry (H). O valor da indutância depende somente das dimensões físicas da 
bobina e da permeabilidade magnética do meio. Se o fluxo concatenado na bobina for produzido pela 
corrente que nela circula, então, a indutância se denomina de Auto-indutância, ou simplesmente 
Indutância, com símbolo (L). Se o fluxo concatenado na bobina é produzido por uma corrente que circula 
em outra bobina, então a relação entre este fluxo concatenado e a corrente que o produz recebe o nome de 
Indutância mútua com símbolo (M) e também é medida em henry (H). 
A expressão 2.1 dá a indutância da bobina 1 na forma diferencial e a expressão 2.2 dá a tensão 
induzida nesta bobina quando a corrente que por ela circula e o fluxo gerado varia com o tempo. O 
sentido dos fluxos é determinado pela regra do saca-rolha e a polaridade das tensões induzidas é 
determinada pela Lei de Lenz. Segundo esta lei a tensão induzida tem uma polaridade que se opõe à 
causa que a produz. A causa que produz a tensão induzida e1 na bobina 1 é a tensão aplicada v1 que faz 
circular a corrente i1. Se o valor da resistência ôhmica da bobina é desprezível, então o único efeito que se 
opõe á tensão aplicada v1 é a tensão induzida e1. Portanto, tem-se e1 = v1. Combinando as expressões 2.1 
e 2.2 resulta a expressão 2.3 que é uma outra forma de apresentar a tensão induzida na bobina 1 pela ação 
da corrente variável. 
A expressão 2.4 dá a indutância mútua na bobina 2 produzida pela corrente que circula na bobina 1. 
A expressão 2.5 dá a tensão induzida na bobina 2 pelo fluxo, produzido pela corrente na bobina 1, e 
concatenado com as espiras da bobina 2. Combinando as expressões 2.4 e 2.5 resulta a expressão 2.6 que 
é uma outra forma de apresentar a tensão induzida na bobina 2 pelo fluxo produzido pela bobina 1. A 
polaridade da tensão induzida e2 pode ser determinada pelo sentido que a corrente na bobina 2 deveria ter 
para contrariar o fluxo indutor da bobina 1. 
 
 11 11 1
11 1 1 11
1
21 21 1
21 2 2 21
1
dλ dλ diL = [2.1] e = [2.2] e = L [2.3]
di dt dt
dλ dλ diM = [2.4] e = [2.5] e = M [2.6]
di dt dt
 
 
 
 
De modo idêntico pode-se escrever as expressões 2.7 a 2.12 para o caso em que a bobina 2 é 
alimentada por uma fonte de tensão v2 que faz circular por ela uma corrente i2 . Aparece, assim, a tensão 
induzida e2 na bobina 2 e a tensão e1 induzida pelo fluxo concatenado mútuo λ12. 
 
 
22 22 2
22 2 2 22
2
12 12 2
12 1 1 12
2
dλ dλ diL = [2.7] e = [2.8] e = L [2.9]
di dt dt
dλ dλ diM = [2.10] e = [2.11] e = M [2.12]
di dt dt
 
 
 
 
 
O fluxo concatenado pode ser definido com maior clareza através do conceito de fluxo médio 
equivalente por espira que atravessa todas as espiras da bobina. Assim, os fluxos concatenados 
λ11, λ22, λ12 e λ21 podem ser dados pelas expressões 2.13 a 2.16 em que ϕ11, ϕ22 ϕ12 e ϕ21 são os fluxos 
médios equivalentes por espira correspondentes. 
 
 11 1 11 22 2 22
21 2 21 12 1 12
[2.13] [2.14]
[2.15] [2.16]
N N
N N
λ ϕ λ ϕ
λ ϕ λϕ
= =
= = 
 
 
A fig. 2.4 é igual à fig. 2.2, porém representada com os fluxos concatenados interpretados pelos 
fluxos médios equivalentes por espira. 
 
 
Walter Ries 3 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode-se verificar na fig. 2.4, a simplificação da representação dos fluxos por meio do fluxo médio 
equivalente por espira. O fluxo total gerado pela corrente i1 na bobina 1 pode ser dividido em dois: o fluxo 
ϕd1 que fica restrito à bobina 1 e o fluxo ϕ21 que atravessa as duas bobinas. O fluxo ϕd1 toma a 
denominação de fluxo disperso da bobina 1, pois não participa no acoplamento entre as duas bobinas. O 
fluxo ϕ21 é o fluxo mútuo gerado pela bobina 1 e que atravessa a bobina 2. O fluxo total gerado pela 
bobina 1 é dado pela expressão 2.17. A expressão 2.18 dá a mesma equação em termos de fluxos 
concatenados e número de espiras 
 
2.1 – O transformador em vazio 
As figuras 2.2 e 2.3 mostram o princípio elementar de funcionamento do transformador em vazio 
ou sem carga. Na figura 2.2 a fonte de tensão está aplicada à bobina 1 que na terminologia usada em 
transformadores é denominada bobina primária ou simplesmente primário, e, a bobina 2 é denominada 
bobina secundária ou simplesmente secundário. Na figura 2.3 a bobina primária é a bobina 2 e a 
secundária a bobina 1. Em ambas as figuras não tem corrente circulando pela bobina secundária onde 
somente é induzida uma fem.. 
As expressões 2.1 a 2.6 são as equações que definem a operação em vazio do transformador 
representado pela fig. 2.2. Com a definição do fluxo médio equivalente por espira às expressões 2.2 e 2.5, 
para a fig. 2.2 ou 2.4, podem ser também dadas pelas expressões 2.19 e 2.20. 
Especificamente para o caso da fig. 2.2 as equações que definem a operação em vazio do 
transformador são dadas pelas expressões 2.21 e 2.22. 
 
 
 
 
 
 
2.2 - O transformador sob carga 
 
 Na fig. 2.5 a bobina 2 alimenta uma carga pela qual circula a corrente i2. A fonte de tensão desta 
corrente é a tensão induzida e2. A fig. 2.6 é uma representação da figura 2.5 usando fluxos médios 
equivalentes por espira. 
Ao circular uma corrente de carga no secundário ela também vai gerar fluxos como representados 
na fig. 2.5. O sentido desta corrente de carga na bobina secundária deve ser o de produzir um fluxo com 
sentido contrário ao do fluxo que a gera (Lei de Lenz), sem anulá-lo, pois isto significaria eliminar a fonte 
de sua geração. Para manter a causa da geração da tensão e corrente secundarias a corrente primária deve 
aumentar de modo a contrabalançar o fluxo produzido pela bobina secundária. Deste modo, a energia 
entregue à carga pela bobina secundária é realmente suprida pela fonte que alimenta a bobina primária. 
Esta é a explicação qualitativa do fenômeno. A explicação quantitativa diz que a força magnetomotriz 
produzida pela corrente secundária é contrabalançada por uma força magnetomotriz produzida por uma 
11 1 21
111 21
1 1 2
11
1 1
21
2 2
[2.17]
[2.18]
[2.19]
[2.20]
d
d
N N N
de N
dt
de N
dt
ϕ ϕ ϕ
λλ λ
ϕ
ϕ
= +
= +
=
=
11 1
1 1 1 11
21 1
2 2 2 21
[2.21]
[2.22]
d div e N L
dt dt
d div e N M
dt dt
ϕ
ϕ
= = =
= = =
e 2
N 1
i 1
 e 1
N 2
ϕ d1
ϕ 2 1
v 1
ig. 2.4: Igual à fig. 2.2, mas com fluxos médios equivalentes por espiraF
Walter Ries 4 
 TRANSFORMADORES 
corrente de carga ic1 na bobina primária conforme mostra a expressão 2.23. A expressão 2.24 mostra as 
componentes da corrente primária. A corrente im produz o fluxo mútuo ϕ , comum às duas bobinas e se 
denomina corrente magnetizante. A corrente de carga no primário faz aumentar o fluxo de dispersão ϕd1 
na bobina primário. A corrente de carga no secundário gera o fluxo disperso ϕd2 na bobina secundária. 
 
2 2 1 1 1 1[2.23] [2.24]c m cm N i N i i i i= = = + 
 
 
ϕ12
ϕ21
ϕ
ϕd2
i 2
v 2
ϕd1
i 1
v 1
Fig. 2.6: Transformador sob carga
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
i
2
N1 e1
e2 v 2N2
v 1
Fig. 2.5: Transformador sob carga 
 
 
A distribuição dos fluxos no transformador sob carga é determinada aplicando o princípio da 
superposição de causas e efeitos que é válido somente para sistemas com elementos lineares. Assim, a 
corrente primária i1 produz os fluxos ϕd1 e ϕ21 , cuja soma é o fluxo total por ela produzido na bobina 
primária. A corrente secundária i2 produz os fluxos ϕd2 e ϕ12, cuja soma é o fluxo total por ela produzido 
na bobina secundária. As expressões 2.25 e 2.26 mostram a composição destes fluxos. 
 
 
11 1 21 22 2 12[2.25] [2.26]d dϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + = + 
 
O fluxo total que atravessa cada uma das bobinas é dado pela soma dos efeitos das correntes 
primária e secundária. Para se realizar esta soma deve-se levar em consideração o sentido dos diferentes 
fluxos. Isto é, deve-se fixar um sentido como positivo, como por exemplo, o sentido do fluxo produzido 
pela corrente primária. Nestas condições, as expressões 2.27 e 2.28 mostram o fluxo total que atravessa, 
respectivamente, a bobina primária e secundária.. A soma vetorial dos fluxos mútuos ϕ21 e ϕ12 resulta em 
um fluxo ϕ comum às duas bobinas. 
 
1 11 12 1 21 12 1
2 21 22 21 12 2 2
[2.27]
[2.28]
d d
d d
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= − = + − = +
= − = − − = −
 
 
 
As expressões 2.27 e 2.28 permitem analisar o transformador sob dois aspectos diferentes, 
mostrados nos conjuntos de expressões 2.29 e 2.30. 
 
 1 11 11 12
2 21 22 2 2
[2.29] [2.30]d
d
ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= += − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥= − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
Walter Ries 5 
 TRANSFORMADORES 
 A tensão induzida resultante em cada bobina corresponde à tensão gerada pelo fluxo equivalente 
total que concatena todas as espiras desta bobina. Esta tensão induzida resultante é igual em modulo e 
polaridade à tensão nos terminais da bobina. Resultam, assim, as expressões 2.31 e 2.32 para as tensões v1 
e v2. 
 
 
1 2
1 1 2 2[2.31] [2.32]
d dv N v N
dt dt
ϕ ϕ= =
 
Cada um dos fluxos médios equivalentes por espira, que aparece nas equações 2.29, gera uma 
tensão induzida como mostram as equações 2.33. 
Os fluxos que aparecem nas equações 2.28 geram, por vez, as tensões induzidas dadas nas 
equações 2.34. 
 
 
1 2 1
1 11 12 1 1 1
1 2 2
2 21 22 2 2 2
[2.33] [2.34]
d
d
di di di dv L M v L N
dt dt dt dt
di di didv M L v N L
dt dt dt dt
ϕ
ϕ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
 
Tanto o conjunto de equações 2.33 como o conjunto 2.34 define o princípio de funcionamento do 
transformador sob carga. O conjunto de equações 2.33 dá as tensões de entrada e saída em função das 
correntes de entrada e saída do transformador tais quais como definidas para um quadripolo na análise 
dos circuitos elétricos. No conjunto de equações 2.34 as tensões de entrada e saída são definidas em 
função das correntes de entrada e saído e do fluxo mútuo. Isto conduz a dois caminhos de análise 
diferentes da operação de transformadores. 
 Observando o transformador como um quadripólo linear passivo demonstra-se, pelo teorema da 
reciprocidade, que as induções mútuas M12 e M21 são iguais e o transformador passa a ser representadopelo quadripólo da fig. 2.7. As indutâncias L1 e L2 são as indutâncias de dispersão do primário e do 
secundário e M é a indutância mútua entre os dois laços de entrada e de saída do transformador. L1 + M 
= L11 é a indutância própria do primário e L2 + M = L22 é a indutância própria do secundário. 
Aplicando-se ao quadripólo da fig. 2.6 as equações dos laços de entrada e saída, reproduzem-se as 
equações 2.33. 
 
i 1 i 2
+
v 1 v 2
+
L1 L2
M
Fig. 2.7: representação do transformador como um quadripólo
 
 
 
 
O maior grau de acoplamento eletromagnético entre duas bobinas é definido pelo Coeficiente de 
Acoplamento. Assim, pode-se definir o coeficiente de acoplamento da bobina 2 com a bobina 1 pela 
relação dada na expressão 2.35 e o coeficiente de acoplamento da bobina 1 com a bobina 2 pela relação 
dada na expressão 2.36. Por definição, o coeficiente de acoplamento das bobinas é a média geométrica 
dos coeficientes acima definidos, conforme mostra a expressão 2.37. 
 
21 1
21
11 11 1 11
12 2
12
22 22 2 22
21 12
11 22
[2.35]
[2.36]
[2.37]
Mi Mk
L i L
Mi Mk
L i L
Mk k k
L L
λ
λ
λ
λ
= = =
= = =
= =
 
 
 
 
 
As expressões 2.35 e 2.36 também podem ser dadas pelas expressões 2.38 e 2.39 que mostram que 
o coeficiente de acoplamento é tanto maior quanto menor forem os fluxos de dispersão ou as indutâncias 
de dispersão das bobinas. 
 
Walter Ries 6 
 TRANSFORMADORES 
 
11 1 1 1
21
11 11 11
22 2 2 2
12
22 22 22
1 1 [2.3
1 1 [2.39]
Lk
L
Lk
L
λ λ λ
λ λ
λ λ λ
λ λ
−= = − = −
−= = − = −
8] 
 
 
Enquanto as expressões 2.33 dão uma interpretação mais matemática da operação do 
transformador, as expressões 3.34 permitem uma interpretação mais física. 
 
 11 1 1
2
2 2 2
[2.40]
d
d
div L e
dt
div e L
dt
⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
As expressões 2.33 podem ser apresentadas como mostram as expressões 2.40 onde se observam 
as tensões induzidas no primário e no secundário pelo fluxo mútuo ϕ. Para este conjunto de expressões 
pode-se, portanto construir o circuito equivalente que mostra a fig. 2.8 onde os sinais (+) indicam a 
polaridade instantânea das tensões. 
a N2+
e1 e2
+
i 1 i 2i c1
i m
L2L1
Lmv 1
+
v 2
+N1
 
 
 
 
 
 
 Fig. 2.8: Circuito equivalente do transformador sem perdas
Para separar as componentes da corrente do primário, cria-se uma indutância de magnetização pela 
qual circula a corrente de magnetização que gera o fluxo mútuo ϕ e as tensões induzidas do primário e do 
secundário de um transformador ideal com N1 espiras no primário e N2 espiras no secundário onde 
circulam as correntes de carga (do primário e do secundário). Este transformador ideal está em paralelo 
com a indutância de magnetização. A indutância de dispersão do primário é colocada em série com a 
fonte de alimentação do primário circulando por ela, portanto, toda a corrente da bobina primária. A 
indutância de dispersão do secundário é ligada em série com o secundário do transformador ideal. O 
transformador ideal tem um coeficiente de acoplamento das bobinas igual a 1 e é definido pelas 
expressões 2.41 e 2.42. A relação entre o número de espiras do primário e o número de espiras do 
secundário é representada pela letra “a” e se denomina de relação de transformação do transformador 
ideal. 
 
 1 1 2 2
1 1 2
2 2 1
[2.41]
[2.42]
c
c
N i N i
e N ia
e N i
=
 = = =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Walter Ries 7 
 TRANSFORMADORES 
3 – O TRANSFORMADOR COM NÚCLEO DE FERRO 
3.1 – Circuito equivalente e diagrama fasorial 
 Os transformadores utilizados na transmissão de energia elétrica são construídos com núcleo de 
ferro como mostra a fig. 3.1. O material utilizado para construir o núcleo é uma liga de ferro-silício com 
cerca de 3 a 5% de Si. Com a passagem do fluxo magnético ocorrem duas espécies de perdas no núcleo: 
perdas por histerese e perdas por correntes parasitas ou de Foucault que serão analisadas mais adiante. 
Para reduzir as perdas por correntes de Foucault o núcleo é construído com chapas finas laminadas a frio 
cobertas com uma camada muito fina de um isolante elétrico. Como a permeabilidade magnética destes 
materiais é muito elevada, a força magnetomotriz de magnetização é muito pequena para fazer circular 
um fluxo mútuo elevado através do circuito magnético. As forças magnetomotriz produzidas pelas 
correntes de carga do primário e do secundário, embora sejam muito maiores do que a fmm de 
magnetização, não conseguem fazer circular fluxos de dispersão elevados, pois uma boa parte do seu 
circuito magnético se fecha pelo ar ou outro isolante, tal como o óleo mineral, e que tem uma 
permeabilidade magnética muito baixa. Alto fluxo mútuo e baixos fluxos de dispersão dão como 
resultado um alto grau de acoplamento entre o primário e o secundário. Deste modo é possível conseguir 
coeficientes de acoplamento que podem atingir valores da ordem de 0,998. 
 
φ1 / 2φ1 / 2φ / 2
φ2 / 2 φ2 / 2
φ / 2
+
V1
V2
+
I1
I2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.1: Transformador com núcleo de ferro 
 
Na fig. 3.1 os valores das tensões e correntes correspondem aos valores eficazes do domínio 
freqüência senoidal e os fluxos correspondem aos valores máximos. Assim, o valor máximo do fluxo 
mútuo φ que atravessa os duas bobinas ou enrolamentos se bifurca em duas partes iguais retornando pelas 
colunas laterais, mas sempre percorrendo um caminho com alta permeabilidade magnética (ou com baixa 
relutância magnética). Os fluxos de dispersão do primário e do secundário (φ1 e φ2) atravessam as suas 
respectivas bobinas, mas retornam pelo ar (ou óleo) que tem uma baixa permeância P ou alta relutância 
R magnética. 
A disposição das bobinas na fig. 3.1 ainda é didática, pois com esta montagem as bobinas estariam 
se repelindo violentamente devido à oposição dos fluxos de dispersão do primário e secundário. As 
bobinas deverão ser montadas de modo a anular ou minimizar esta repulsão. Uma montagem muito 
utilizada é a concêntrica, isto é, uma bobina dentro da outra, ambas com a mesma altura. Com esta 
montagem existe um equilíbrio instável entre as bobinas. Qualquer deslocamento axial relativo entre elas 
produzirá esforços axiais de repulsão que aumentam à medida que o deslocamento axial aumenta. Estas 
são as conseqüências da Lei de Lenz. 
Com o aparecimento de perdas no núcleo de ferro o circuito equivalente da fig. 2.7 deverá ter 
também um elemento resistivo, em paralelo com a indutância de magnetização, pelo qual circulará uma 
corrente de perdas magnéticas. A soma desta corrente de perdas magnéticas e a corrente de magnetização 
é a corrente de excitação I0 do transformador. Para levar em conta as perdas ôhmicas nas resistências dos 
condutores utilizados para construir as bobinas do primário e do secundário, adicionam-se resistências em 
serie com as indutâncias (ou reatâncias no domínio freqüência) de dispersão. Resulta, então, o circuito 
equivalente da fig. 3.2. Nesta figura pode-se observar a representação do transformador ideal com núcleo 
de ferro. 
Walter Ries 8 
 TRANSFORMADORES 
 I1
Rp ImIp Xm
Io
R1 X1
+
V1
+
E1 E2
+ +
V2
I2R2 X2Ic1
N1 N2
CZ θ∠
 
 
 
 
 
 Fig. 3.2: Circuito equivalente de um transformador com núcleo de ferro. 
 
 As tensões e correntes são fasores (ou vetores girantes) e, portanto suas composições sãofasoriais 
(ou vetoriais). Na fig.3.2 as correntes e tensões estão representadas pelos valores eficazes 
correspondentes. 
 
Adota-se a seguinte simbologia: 
V1 - tensão aplicada ao primário 
 V2 - tensão aplicada à carga no secundário 
 E1 e E2 - FEM induzida no primário e no secundário pelo fluxo mútuo 
 I1 e I2 - corrente no primário e corrente no secundário 
 Im - corrente de magnetização que gera o fluxo mútuo φ 
 Ip - corrente de perdas no núcleo 
 Io = Im + Ip - corrente de excitação (a soma é vetorial) 
 Ic1 = I1 - Io - corrente de carga no primário (a soma é vetorial) 
 N1 e N2 - número de espiras do primário e do secundário 
 a = N1/N2 - relação de transformação 
 R1 e R2 - resistência ôhmica do primário e do secundário 
 X1 e X2 - reatância de dispersão do primário e do secundário 
 Rp - resistência equivalente das perdas no núcleo 
 Xm - reatância de magnetização do núcleo 
 
 
 No domínio freqüência senoidal o fluxo mútuo ϕ que induz as tensões e1 e e2 tem seu valor 
instantâneo dado pela função senoidal 3.1 em que φ é o valor máximo instantâneo. 
 
1 1 1 1max
2 2 2 2max
1max
1 1 1 1
2max
2 2 1 2
( ) (2 ) [3.1]
2 cos( ) cos( ) [3.2]
2 cos( ) cos( ) [3.3]
2 4, 44 4, 44 [3.4]
2 2
2 4, 44 4, 44 [3.5]
2 2
fe
fe
sen t sen ft
de N N f t E t
dt
de N N f t E t
dt
EE N f N f N fBA
EE N f N f N fBA
ϕ φ ω φ π
ϕ φ π ω ω
ϕ φ π ω ω
π φ φ
π φ φ
= =
= = =
= = =
= = = =
= = = =
 
 
 
 
 
 
 
Como as tensões induzidas no primário e no secundário são as derivadas do fluxo concatenado 
mútuo, elas serão, pois, funções co-senoidais dadas pelas expressões 3.2 e 3.3 em que E1max e E2max são 
Walter Ries 9 
 TRANSFORMADORES 
os valores máximos instantâneos das tensões. Os valores eficazes das tensões são os valores máximos 
instantâneos divididos pela raiz de 2, o que resultam as expressões 3.4 e 3.5. Na representação vetorial o 
fluxo máximo instantâneo e os valores máximos e eficazes das tensões induzidas são vetores girantes ou 
fasores. Como as tensões são co-senoidais positivas quando o fluxo é senoidal positivo, os fasores 
representativos das tensões estão adiantados de 90 º em relação ao fasor fluxo indutor. 
Nas expressões 3.4 e 3.5 o fluxo mútuo é dado pelo produto da indução (ou densidade de fluxo) B, 
em Wb/m2, e da área da secção do núcleo de ferro Afe, em m2. A unidade “Weber por metro quadrado” è 
também denominada por “Tesla” com símbolo T, isto é, 1 Wb/m2 = 1 T. No sistema CGS 
eletromagnético a unidade da indução é o “Gauss” (G) e, 1 T = 104 G. Estas duas expressões são 
fundamentais no dimensionamento dos transformadores, pois permitem determinar o número de espiras 
do primário e secundário, sendo conhecidos os demais valores. A indução B é arbitrada em função do 
material utilizado na construção do núcleo, a secção do núcleo de ferro é obtida por considerações 
geométricas e econômicas, conforme será visto no Capitulo 6 (6.2), e f é a freqüência da rede elétrica. 
Das relações conhecidas dadas pelas expressões 3.6 e 3.7 pode-se obter a expressão 3.8 que 
representa a potência de conversão do transformador e mostra como a energia elétrica é transferida do 
primário ao secundário. 
 
1 1 2
2 2 1
1 2 1 1 2 2
1 1 2 2
[3.6]
[3.7]
[3.8]
c
c
c c
E N I a
E N I
FMM FMM ou N I N I
E I E I S
= = =
= =
= =
 
 
 
 
A fig. 3.3 mostra o diagrama vetorial do transformador da fig. 3.2. Para traçar este diagrama inicia-se 
com a tensão e corrente secundária defasando a corrente em relação a tensão de um ângulo θ 
correspondente ao ângulo de fase da impedância de carga. Se a carga é indutiva a corrente está em atraso 
de θ graus em relação a tensão. O sentido de giro dos fasores é positivo quando é contrario ao dos 
ponteiros de um relógio. A seguir, soma-se, à tensão V2, a queda de tensão na resistência da bobina 
secundária I2R2, em fase com a corrente I2, e a queda de tensão na reatância de dispersão do secundário 
I2X2 que está avançada de 90º em relação à corrente I2. Esta soma corresponde à tensão induzida E2 do 
secundário (fasor E2 do diagrama). 
 
E2
φ Io
IpIm
I2
I1
IC1
V2
V1
E1
I1 R1 I1 X1 I2 R2 I2 X2θ θ1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.3: Diagrama fasorial ou vetorial do transformador para a<1. 
 
A tensão induzida no primário do transformador é dada pela relação de transformação da expressão 
3.6. Esta tensão está em fase com a tensão induzida no secundário (fasor E1). Pela expressão 3.7 vê-se 
que a relação das correntes de carga do primário e do secundário também depende somente da relação de 
transformação e, portanto, também estão em fase (fasores I2 e IC1). Considerando que a corrente de 
magnetização Im provém da tensão induzida no primário aplicada à reatância de magnetização, então esta 
Walter Ries 10 
 TRANSFORMADORES 
corrente e o fluxo mútuo φ que ela produz devem estar atrasados de 90º em relação as tensões E1 e E2. A 
corrente de perdas Ip do núcleo deve estar em fase com a tensão E1. A soma da corrente de magnetização 
e da corrente de perdas do núcleo é a corrente de excitação I0 que somada à corrente de carga IC1 vai dar a 
corrente de entrada I1. As quedas de tensão na resistência da bobina primária I1R1, e na reatância de 
dispersão da mesma I1X1 devem ser somadas â tensão induzida no primário para se obter a tensão 
aplicada V1. A queda de tensão na resistência do primário está em fase com a corrente primária e a queda 
de tensão na reatância de dispersão está em avanço de 90º. θ1 é o ângulo de defasagem entre a tensão e a 
corrente aplicada ao primário do transformador. 
Um transformador deve ter alto rendimento, isto é, as perdas internas devem ser baixas em relação à 
potência de conversão. Isto significa que as perdas no núcleo, representadas pela passagem da corrente Ip 
através da resistência Rp, e as perdas nas resistências das bobinas pela passagem das correntes do 
primário e do secundário, devem ser baixas. Rendimentos da ordem de 99,5% ou mais são normais em 
transformadores com elevada potência de conversão. Também as reatâncias de dispersão do primário e do 
secundário devem ter valores limitados a fim de não proporcionarem quedas de tensão muito elevadas, 
incompatíveis com os limites especificados para os sistemas de transmissão e distribuição da energia 
elétrica. Levando estes fatos em consideração, pode-se simplificar, sem maiores conseqüências, o circuito 
equivalente conforme mostra a fig. 3.4 em que o circuito de excitação foi deslocado para a esquerda, 
antes da impedância Z1 = R1 + jX1 do primário. 
 I1
Rp ImIp Xm
Io
R1 X1
+
V1
+
E1 E2
+ +
V2
I2R2 X2Ic1
+
V1
Circuito equivalenete 
em vazio
Circuito equivalenete sob carga
N1 N2
CZ θ∠
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.4: Circuito equivalente simplificado do transformador. 
 
Com esta disposição, o circuito de excitação, portanto o circuito equivalente em vazio, fica 
independente do circuito sob carga do transformador, pois a tensão que se aplica aos dois é a mesma V1. 
Em vazio, a tensão aplicada ao primário e a tensão primária induzida passam a serem iguais. Como 
conseqüência, as tensões especificadas para os transformadores são as próprias tensões induzidas em 
vazio. 
O diagrama fasorial também fica simplificado e dividido em dois, conforme mostram as figuras 3.5 e 
3.6. 
Na fig. (3.5) a corrente magnetizante está em fase com o fluxo mútuo e defasado em atraso de 90º em 
relação à tensão aplicada V1. A corrente de perdas no núcleo esta em fase com V1. A corrente total de 
excitação está atrasada, em relação à tensão aplicada,de um ângulo θo. 
Na fig. 3.6, inicia-se a construção do diagrama pela tensão e corrente do secundário. Adicionando á 
tensão secundária a queda na impedância do secundário obtém-se a tensão induzida no secundário. Pela 
relação de transformação obtém-se a tensão induzida no primário. Adicionando a queda de tensão no 
primário, sabendo que a corrente no primário e no secundário estão em fase, obtém-se a tensão aplicada 
ao primário. A relação de transformação também é usada para determinar a corrente no primário em 
função da corrente de carga do secundário. Como se observa, o fator de potência do primário, dado por 
cosθ1 é menor do que o fator de potência da carga ligada ao secundário, cosθ. São as reatâncias de 
dispersão do primário e do secundário que contribuem para a diminuição do fator de potência. 
 
 
Walter Ries 11 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v1
Io
φ
Ip
Im
θο
E2
V2
V1
E1
I2 R2
I2 X2
I2
IC1
θ
I1 R1
I1 X1
θ1
Fig. 3.5: Diagrama fasorial em vazio Fig. 3.6: Diagrama fasorial sob carga para a>1 
 
O transformador também pode ser representado sem o transformador ideal desde que se transfiram as 
impedâncias do secundário para o primário ou vice-versa e modo a se ter as mesmas potências 
individuais. Assim, ao transferir a impedância do secundário para o primário, deve-se ter a mesma 
potência ativa de perdas na resistência da bobina secundária e a mesma potência reativa na reatância de 
dispersão secundária. Também a impedância de carga é transferida ao primário com o mesmo critério de 
igualdade de potências ativa e reativa. As expressões 3.9, 3.11 e 3.13 dão as condições de igualdade de 
potências ao transferir os parâmetros do secundário para o primário do transformador com a eliminação 
do transformador ideal. As expressões 3.10, 3.12 e 3.14 dão os valores que os parâmetros devem ter ao 
serem transferidos do secundário para o primário. 
 2
2 2 22
1 21 2 2 21 2 22
1
2
2 2 22
1 21 2 2 21 2 22
1
2 2 2
1 1 2 1
[3.09] [3.10]
[3.11] [3.12]
[3.13] [3.14]c c c c
II R I R R R R a
I
II X I X X X X a
I
I Z I Z Z Z a
= = =
= = =
= =
 
 
 
 
 
 I1
Rp ImIp Xm
Io
R1 X1
+
V1
+
E1 E21
+ +
V21
I21R21 X2 1IC1
+
V1
Circuito equivalenete 
em vazio
Circuito equivalenete sob carga
1CZ θ∠
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.7: Circuito equivalente transferindo os parâmetros do secundário para o primário 
A fig. 3.7 mostra como se apresenta o circuito equivalente transferindo os parâmetros do secundário 
para o primário. A tensão E2 , da fig. 3.4, ao ser transferida para o primário, deve ser multiplicada pela 
relação de transformação a, isto é: E21 = aE2 = E1. Da mesma forma, a tensão V2 também deve ser 
multiplicada pela relação de transformação, isto é: V21 = aV2 . 
As resistências e as reatâncias das bobinas primária e secundária, na fig.3.7, podem ser somadas 
resultando no circuito equivalente da fig. 3.8. 
 
 
Walter Ries 12 
 TRANSFORMADORES 
+
V1
1CZ θ∠
I1 R X
+
V1
+
V21
IC1
Rp ImIp Xm
Io
Circuito equivalenete em vazio Circuito equivalenete sob carga
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.8: Circuito equivalente simplificado refletido ao primário do transformador. 
 
Nestas condições, o transformador sob carga pode ser representado por uma única impedância interna 
formada pela resistência equivalente às perdas sob carga e por uma reatância equivalente a produzida 
pelos fluxos de dispersão do primário e secundário. O diagrama fasorial fica reduzido ao diagrama 
apresentado na fig. 3.9. 
Em resumo, o transformador pode ser representado, em vazio pelo circuito de excitação e, sob carga, 
pela impedância interna. 
 
V21
V1
IC1
θ I R I Xθ1
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.9: Diagrama fasorial simplificado do transformador sob carga. 
 
 
3.2 – Formas construtivas de núcleos e bobinas 
A fig. 3.1 é uma representação didática do transformador e que é utilizada para mostrar o princípio de 
funcionamento. Um transformador com as bobinas montadas como mostra esta figura não suportaria, 
mecanicamente, os esforços de repulsão produzidos pelos fluxos de dispersão das bobinas. Por outro lado, 
esta disposição das bobinas não favorece a obtenção de um máximo valor para o coeficiente de 
acoplamento eletromagnético entre elas. 
Como já dito, o núcleo é construído com chapas muito finas de uma liga de ferro-silício, isoladas 
entre si, para diminuir as perdas. Ele é constituído pelas Colunas, sobre as quais são montadas as bobinas, 
e pelas Culatras que completam o circuito magnético do fluxo mútuo. 
Na Fig. 3.10 a bobina primária e a secundária são helicoidais e concêntricas, e estão montadas sobre 
a coluna central do núcleo. As duas colunas laterais e as duas culatras, superior e inferior, têm a 
metade da secção da coluna central, pois, por elas circula somente a metade do fluxo mútuo. Este tipo de 
transformador é denominado de “núcleo envolvente”, pois o núcleo envolve as bobinas. O sentido da 
corrente nas bobinas é identificado por “cruz” e “ponto” para determinar, pela regra do saca-rolha os 
sentidos dos fluxos. O fluxo de dispersão do primário circula pela coluna central e retorna, pelo espaço 
entre as bobinas. O fluxo de dispersão do secundário circula pelas colunas laterais e retorna também pelo 
espaço entre as bobinas. Pelos sentidos dos fluxos de dispersão, vê-se que a bobina primária forma um 
pólo N na parte inferior e um pólo S na parte superior e, a bobina secundaria forma um pólo S na parte 
inferior e um pólo norte na parte superior. Se as bobinas têm a mesma altura e forem montadas na mesma 
altura, a força de repulsão entre elas é nula, porém, qualquer deslocamento relativo no sentido vertical 
produz um esforço de repulso que aumenta com a amplitude deste deslocamento. Examinando, no 
entanto, os esforços entre dois condutores pelos quais circulam correntes, podem-se ver que entre as 
bobinas primaria e secundário se geram agora esforços radiais (ver, no estudo do Campo Magnético, a 
Walter Ries 13 
 TRANSFORMADORES 
origem destas forças). Deste modo a bobina interna tende a ser amassada contra a coluna central e a 
bobina externa tende a ser expandida. O cálculo destes esforços e como evitar que venham deformar 
mecanicamente as bobinas, constitui um capítulo importante do projeto de transformadores. 
 
×
P P SS
×
φ2 /2φ1 / 2φ2 /2 φ1 / 2
φ/2 φ/2
φ
Fig. 3.10: Transformadador monofásico tipo núcleo envolvente (shell type)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na fig. 3.10 a bobina primária está colocada em baixo da bobina secundária, mas pode-se ter também 
o caso inverso em que a bobina primária envolve a bobina secundária. Normalmente a bobina, com tensão 
mais baixa, é montada sobre a coluna central do núcleo. 
Na fig. 3.11 tem-se um transformador monofásico em que as bobinas estão montadas nas duas 
colunas do núcleo, isto é, em cada coluna está montada uma metade do primário e uma metade do 
secundário. Tanto o primário como o secundário é formado por duas bobinas, cada uma com a metade do 
número de espiras correspondente. As duas metades do primário, assim como as duas metades do 
secundário são ligadas em série obedecendo a polaridade destas metades. As bobinas também são 
concêntricas como no caso da fig. 3.10. Este é o transformador monofásico tipo núcleo envolvido, pois o 
núcleo está envolvido pelas bobinas. Neste caso a secção do núcleo é igual em todo o seu comprimento 
pois é atravessada pelo mesmo fluxo mútuo φ. Os fluxos de dispersão circulam pelas colunas e pelo 
espaço não magnético (ar ou óleo) entre as bobinas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1/ 2(φ1 + φ2) 1 / 2(φ1 + φ2)
N1 / 2
×××
P P SSSS P P
φ
N1 / 2
N2 / 2N2 / 2
×
Fig. 3.11: Transformador monofásico tipo núcleo envolvido (core type) 
 
Na figura 3.12 tem-se um transformador monofásico com núcleo envolvente mas com bobinas 
intercaladas, alternativamente, do primário e do secundário. Estas bobinas individuais têm pequena altura 
em forma de disco ou panqueca. Quanto maior for o número de discos intercalados (primário – 
secundário) maior será o acoplamento entre os enrolamentos, menores os fluxos de dispersão e, 
conseqüentemente, menores as reatâncias de dispersão e menor, portanto, a impedância total como vista 
na fig. 3.8. 
 
 
 
Walter Ries 14 
 TRANSFORMADORES 
 
 
φP
S
+
φ/2 φ/2
+ P
+
Fig. 3.12: Transformador monofásico tipo "núcleo envolvente"
com bobinas intercaldas ou em sandwich.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
φ Α φ Β φ C
×× ××××
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.13 Transformador trifásico tipo “núcleo envolvido” com bobinas concêntricas por fase 
 
Na fig. 3.13 tem-se um transformador trifásico com núcleo envolvido e bobinas concêntricas. Em 
cada coluna são montadas as bobinas do primário e secundário de uma fase do transformador. Tanto as 
bobinas do primário como as do secundário das três fases podem estar ligadas em “estrela” ou em 
“triângulo”. As tensões de fase das três bobinas primárias estão defasadas de 120 º e geram fluxos mútuos 
também defasados de 120º. A soma vetorial destes 3 fluxos é nula, do que se conclui não existir 
necessidade de caminho magnético de retorno para a soma. Com outras palavras, os valores instantâneos 
dos fluxos das 3 fases se compensam sem necessidade de uma coluna de retorno da soma. O fluxo 
máximo que passa pelas colunas e culatras é o fluxo mútuo de uma fase. Assim, colunas e culatras têm a 
mesma secção. Os fluxos dispersos por fase circulam pela coluna e pelo espaço não magnético (ar ou 
óleo) entre bobinas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
××
×
××
××
×
×
B
2
ΦA
2
Φ
C
2
Φ
Fig. 3.14: Transformador trifásico tipo "núcleo envolvente" com bobinas intercaladas 
 
Na Fig. 3.14 tem-se um transformador trifásico tipo “núcleo envolvente”. Os fluxos mútuos das três 
fases possuem circuitos magnéticos independentes. Como na Fig. 3.12, as colunas laterais e as culatras 
Walter Ries 15 
 TRANSFORMADORES 
têm a metade da secção da coluna central. As culatras comuns entre as fases “A” e “B” e entre as fases 
“B” e “C” também têm a metade da secção da coluna central, pois, por elas passa somente a metade do 
fluxo mútuo de uma fase conforme mostra a soma vetorial da Fig. 3.15. 
 φA/2
φC/2 φB/2
φB/2φA/2 +
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.15: Soma vetorial dos fluxos φΑ/2 e φB/2 B
 
Normalmente os transformadores monofásicos são construídos com “núcleo envolvente”, como 
mostra a Fig. 3.10, e, os transformadores trifásicos com “núcleo envolvido”, como mostra a Fig. 3.13 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
[1] R. Küchler – Die Transformatoren – Springer – Verlag – 1966 
[2] Members of the Staff of The Department of Electrical Engineering – MIT. John Wiley – 1952 
[3] Westinghouse Electric Corporation. Electrical Transmission and Distribuition Reference Book – 
1950 
[4] R.G. Fowler. Introduction to Electric Theory. Addison-Wesley - 1953 
 
Walter Ries 16 
 TRANSFORMADORES 
4 – CARACTERÍSTICAS DE DESEMPENHO 
 As características de desempenho são aquelas as quais o transformador deve responder de acordo 
com as especificações básicas e de conformidade com as normas técnicas estabelecidas. Ao mesmo tempo 
em que são estudadas estas características, são também apresentados os métodos de cálculo das grandezas 
responsáveis por este desempenho. 
4.1 – Corrente de excitação 
 A corrente de excitação pode ser decomposta em suas componentes conforme mostra o diagrama 
fasorial da fig. 3.13: 
• Corrente magnetizante “Im” 
• Corrente de perdas “Ip” 
 A corrente magnetizante é a que gera o fluxo mútuo ou útil que acopla os enrolamentos primário e 
secundário. É sempre desejável que esta corrente seja a menor possível, utilizando materiais magnéticos 
especiais, mas sempre tendo em vista o aspecto econômico do projeto. 
 A corrente de perdas tem duas origens: energia despendida na orientação cíclica dos domínios 
magnéticos dos materiais e que se denominam de perdas por histerese; energia perdida pelas correntes 
parasitas nas chapas do núcleo, correntes estas também denominadas por correntes de Foucault. 
 4.1.1 – Corrente magnetizante. 
 O objetivo básico no projeto de um circuito magnético é determinar a força magnetomotriz “fmm” 
“NIm” necessária para se obter um fluxo “φ ” na secção desejada do circuito. Determinada a “fmm” e 
conhecido o número de espiras da bobina, determina-se a corrente magnetizante “Im”. 
 A lei fundamental dos circuitos magnéticos é a Lei de Ampère que diz: a integral de linha da 
intensidade de campo “H” ao longo de um caminho fechado que atravessa “N” espiras de uma bobina 
percorrida por uma corrente de “i” ampères é igual ao produto “Ni”. A expressão 4.1 define a Lei de 
Ampère e as figuras 4.1 e 4.2 são exemplos de circuitos magnéticos. 
 
 
 
 
 
 
0
[4.1]
[4.2]
[4.3]
[4.4]
r
Hdl Ni
Bfmm m Hdl dl Ni
dlNi m d
A
μ
μ μ μ
ϕ ϕ ϕμ
=
= = = =
=
= = = ℜ = ℜ
∫
∫ ∫
∫ ∫
v
v v
v v
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.1: Solenoide
1
i
1
N
2
3
l f
l a i
i
B=μΟΗ
B=μ ΗNS
Fig. 4.2: Solenoide com núcleo de ferro e ar
 
Na fig. 4.1 mostra uma bobina com “N” espiras percorridas por uma corrente “i”. Se o núcleo é de ar 
as linhas de fluxo se apresentam, aproximadamente como as desenhadas. Para qualquer uma das linhas, 
tais como a linha de fluxo 1 ou 2 é aplicável a lei de Ampère, devendo ser “N” o número de espiras 
Walter Ries 17 
 TRANSFORMADORES 
atravessadas pela linha de fluxo que pode ser, por exemplo, uma linha de fluxo (ou tubo de fluxo) de 1 
Wb. Assim, a linha 2 atravessa todas as espiras, e a linha 1, somente 5 espiras. A integral de linha da 
expressão 4.1 pode ser escrita para qualquer linha como, por exemplo, a linha 3 que atravessa todas as 
espiras e não é uma linha se fluxo. Para as linhas de fluxo 1 e 2 o vetor intensidade de campo “H” é 
sempre tangencial à linha e os vetores “H” e “dl” estão alinhados. Para a linha 3, de um modo geral, os 
vetores “H” e “d”l não estão alinhados e a integração é do produto escalar destes vetores. A forma e o 
comprimento da linha escolhida não influem no resultado, pois, quanto mais longa for a linha escolhida, 
maior o número de elementos “dl” e menores as intensidades de campo “H” tomadas ao longo deste 
caminho, de modo que o resultado final é sempre o produto Ni dos ampere-espiras concatenados por 
qualquer caminho fechado. Já o circuito magnético da fig. 4.2 é mais simples, pois o núcleo de ferro 
concentra mais as linhas de fluxo. Até mesmo no “gap” de ar as linhas de fluxo ficam mais paralelas 
devido à proximidade do material ferro magnético. 
O produto “Ni” é a força magnetomotriz que produz o fluxo total “ϕ”. A intensidade de campo “H” 
multiplicada pela permeabilidade magnética “μ” do meio dá a indução ou densidade de campo “B”. 
Assim, a expressão 4.1 pode ser dada também pela expressão 4.2 onde a permeabilidade magnética “μ” 
do meio é o produto da permeabilidade magnética relativa “μr” multiplicada pela permeabilidade 
magnética absoluta do vácuo (ou ar), cujo valor é igual a 
 μo = 4π 10-7 H/m. 
Expressando a indução “B” pelo quociente do fluxo total “ϕ” que atravessauma secção de área “A” 
do circuito magnético, pode-se escrever a expressão 4.4 em que “dR” é a relutância magnética do tronco 
do tubo de fluxo com comprimento elementar “dl”, permeabilidade magnética “μ” e secção “A”. A 
somatória de todas as relutâncias elementares é a relutância total “R” do circuito magnético. A relutância 
magnética “R” do circuito é, portanto igual à fmm “Ni” dividida pelo fluxo total “ϕ”. A simplicidade da 
expressão 4.4 contrasta com a dificuldade enorme que se tem em determinar uma expressão matemática 
que relacione a variável “l” (comprimento do circuito magnético) com a secção “A” a fim de resolver a 
integral. Já para a figura 4.2 esta dificuldade é menor, considerando-se que a secção “A” permanece 
constante ao longo de todo o caminho fechado “L=lf + la”. Isto implica em dizer que todo o fluxo circula 
pelo núcleo de ferro e que no pequeno intervalo de ar ele não sofre dispersão. Neste caso a expressão 4.4 
apresenta a forma da expressão 4.5 onde se identificam dois troncos com relutâncias diferentes, mas 
perfeitamente definidas em função das respectivas permeabilidades dos meios. A permeabilidade 
magnética μf é a permeabilidade magnética relativa do ferro, para uma determinada indução B. No caso 
do circuito magnético da fig. 4.2 a secção do núcleo de ferro é constante e, como não existe dispersão no 
entreferro de ar a secção neste trecho também permanece constante. Por conseguinte, a indução 
magnética B é igual em todo o circuito. Neste caso, a expressão 4.2 pode-se ser também expressa pela 
expressão 4.5a. Portanto, conhecidas as dimensões do circuito magnético e o número de espiras da 
bobina, pode-se determinar a corrente magnetizante para um determinado valor de indução determinada 
em função do fluxo ϕ desejado e da secção A do circuito magnético, conforme mostra a expressão 4.6. A 
permeabilidade magnética para os materiais ferromagnéticos não permanece constante quando a 
indução varia, mas a correspondência entre a indução e a permeabilidade pode ser obtida nas curvas de 
magnetização do material utilizado. Estas curvas podem ser levantadas em laboratório ou são fornecidas 
pelos fabricantes destes materiais. 
 
( )
0 0
0 0
0
[4.5]
[4.5 ]
[4.6]
f a
f a
f f a
f fa
a
f o f
f f
a a
f f
l ldlNi
A A A
Bl lBlB BNi dl l a
l lB Hi l l
N N
⎛ ⎞= = + = ℜ + ℜ = ℜ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ℘⎝ ⎠
⎛ ⎞= = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫
∫
v
v
ϕϕ ϕ ϕ ϕμ μ μ μ
μ μ μ μ μ μ
μ μ μ
 
 
 
 
 
 
A fig. 4.3 mostra a característica de magnetização que relaciona a indução magnética B com a 
intensidade de campo magnético H de uma chapa de ferro-silício de grão orientado, com 0,5mm de 
espessura. A indução B é dada em Tesla (T), em função da intensidade de campo H, dada em A/m. A 
relação entre B e H dá a permeabilidade magnética absoluta do ferro. A permeabilidade relativa é dada 
pela permeabilidade absoluta dividida pela permeabilidade absoluta do ar. A particularidade desta curva é 
Walter Ries 18 
 TRANSFORMADORES 
que a intensidade de campo H é dada já em ampère-espiras de excitação eficazes por metro. Isto significa 
que com ela pode-se determinar, através da expressão 4.6, diretamente a corrente eficaz de excitação do 
circuito magnético no qual se está aplicando uma tensão alternativa senoidal. A corrente de excitação 
eficaz incorpora a corrente eficaz de magnetização e a corrente eficaz de perdas no circuito magnético. 
 
Pode-se verificar na fig.4.3 que, para uma indução de B = 1,6 T tem-se H = 40 A/ m, o que 
corresponde uma permeabilidade magnética relativa de: 
 7
0 0
1,6 10 31.831
40 4f
B
H
μμ μ μ π= = = =i 
o que permite ver porque, muitas vezes, a relutância magnética das partes do circuito magnético formadas 
por material ferromagnético, é desprezada em presença das relutância das partes formadas por materiais 
amagnéticos. 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
10 100 1000
Instensidade de campo magnético H em A/m eficazes de 
excitação (Io)
In
du
çã
o 
m
ag
né
tic
a 
B 
(v
al
or
 d
e 
pi
co
) 
em
 T
es
la
 (T
)
 
 
 
 
 
 
 
 4.3: Curva de magnetização de chapa de ferro-silício de grão orientado M 5. 
Como a corrente de excitação nos transformadores deve ser tão baixa quanto economicamente 
possível, os núcleos são construídos com materiais com alta permeabilidade magnética e sem intervalos 
ou “gaps” de ar ou outro material amagnético. Com a introdução de materiais ferromagnéticos, aparecem 
perdas por correntes parasitas e por histerese que também devem ser mantidas tão baixas quanto possíveis 
através do uso de ligas especiais e formas construtivas especiais dos núcleos. 
A fig.4.4 mostra o núcleo e as bobinas concêntricas de um transformador monofásico em vazio, isto 
é, o primário está sendo percorrido pela corrente de excitação. A componente magnetizante da corrente de 
excitação produz a fmm = N1 im. O circuito magnético tem dois ramos iguais em paralelo, cada um com 
uma secção igual a metade da secção da coluna central. A relutância total do circuito magnético é dada 
pela expressão 4.7 em que lc é o comprimento médio da coluna e l2 o comprimento médio de cada um dos 
ramos paralelos. A relutância dos ramos paralelos é a metade da relutância de cada ramo, pois, trata-se de 
duas relutâncias iguais em paralelo. Por definição a indutância de magnetização da bobina primária é o 
fluxo concatenado dividido pela corrente que o produziu, conforme dado pela expressão 4.9. Como a 
relutância R ou a permeância P não é mais constante, pois a permeabilidade varia com a corrente de 
magnetização ou com a intensidade de campo, a indutância, bem como a reatância de magnetização Xm = 
2πfLm,, não são mais elementos lineares do circuito. Como conseqüência, a corrente de magnetização terá 
componentes harmônicos. 
 
 
Walter Ries 19 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.4: Transformador monofásico em vazio. 
Se a tensão v1 aplicada ao primário do transformador é uma função co-senoidal então a tensão 
induzida e1 também deverá ser co-senoidal e o fluxo ou a indução será senoidal, conforme mostram as 
expressões 4.10 a 4.12. 
 
 
 
 
 
Na expressão 4.8, se o fluxo ϕ é senoidal e a relutância magnética não é constante, então a corrente 
magnetizante Im e a intensidade de campo H por ela produzida não irão variar segundo uma senoide. 
Como conseqüência aparecerá na corrente de magnetização, harmônicos de ordem impar, de acordo com 
a análise de Fourier para funções periódicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na fig. 4.5 representa-se o fluxo ou a indução como uma senoide e a corrente de magnetização ou a 
intensidade de campo como formada pela soma de uma componente senoidal fundamental e uma 
componente harmônica de terceira ordem. Além da componente harmônica de terceira ordem aparece, 
com amplitudes decrescentes, uma série de componentes harmônicas, todas de ordem impar. Para 
simplificar a exposição considera-se somente a componente harmônica de terceira ordem que é a mais 
importante. 
 Tendo-se em abscissas os valores de H, em A/m ou Im em A, e, em ordenadas as induções ou o 
fluxo, resulta a curva denominada de magnetização representada na fig. 4.6. 
Os valores de fluxo e de indução correspondem aos valores máximos instantâneos (valores de pico) e 
os valores da corrente e da intensidade de campo são os valores eficazes.Observa-se que com o aumento 
da indução, ou do fluxo, a corrente de magnetização cresce exponencialmente. Quando a indução 
aumenta diminui a permeabilidade e o valor da relutância aumenta, de modo que, para o mesmo fluxo, a 
corrente de magnetização deve aumentar. Em laboratório pode-se medir o fluxo ou a indução para cada 
SS P P
×
φ/ φ/2 2
φ
N1 Im
2
1
21 1
1
[4.7]
2
[4.8]
[4.9]
c
m
m
m m
l l
A A
N i
NL N
i i
ℜ = +
= ℜ = ℘
= = = ℘
μ μ
ϕϕ
λ ϕ
1 1 1 1
1 1
1
1
1 1
cos cos [4.10]
[4.11]
1 [4.12]
v V t e E t
de N
dt
Ee dt sen t
N N
= = =
=
= =∫
ω ω
ϕ
ϕ ωω
-2,25
-2
-1,75
-1,5
-1,25
-1
-0,75
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
2,25
-1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6
Fig. 4.6: Curva de magnetização B=f(H)
B ou φ
H ou Im
-2,25
-2
-1,75
-1,5
-1,25
-1
-0,75
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
2,25
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390
Fig. 4.5: Componentes da corrente Im
B;φ
H;Im
H1 ; Im1
H3 ; Im3
Walter Ries 20 
 TRANSFORMADORES 
valor de corrente que circula por uma bobina. À medida que a corrente aumenta os acréscimos de indução 
são sempre menores e diz-se que o núcleo esta chegando à saturação. 
Muitas vezes esta curva recebe o nome de Curva de Saturação do material ferro-magnético. Os 
harmônicos da corrente magnetizante podem, percentualmente, ser grandes, porém, como a corrente de 
magnetização normalmente é muito pequena, da ordem de 0,2 a 0,3% da corrente de carga de um 
transformador, estes harmônicos de corrente têm pouco significado na distorção harmônica total das 
correntes de carga. 
Para uma mesma tensão aplicada ao primário do transformador, a expressão 3.4 mostra que quanto 
maior for a indução B menor pode ser o número de espiras. Portanto, para o projeto de núcleos de 
transformadores utilizam-se materiais que podem operar com valores elevados de indução e com 
correntes de magnetização pequenas. 
A corrente de magnetização é, pois, representada pela fundamental e suas harmônicas de ordem 
impar, conforme mostra a expressão 4.13. As amplitudes dos harmônicos decrescem com a ordem dos 
mesmos. 
 
1 3 5sen sen 3 sen 5 ......... [4.13]mi I t I t I t= + + +ω ω ω
 
4.1.2 - Corrente de perdas magnéticas 
Como foi dito, as perdas magnéticas são de duas naturezas: perdas por histerese ph e perdas por 
correntes parasitas ou de Foucault pF. Estas perdas são representadas, no circuito equivalente do 
transformador da fig. 3.8, pela resistência Rp que está em paralelo com a reatância de magnetização Xm. 
Por esta resistência circula a corrente de perdas ip que tem duas componentes: a corrente de perdas por 
histerese ih e a corrente de perdas por correntes de Foucault iF. A corrente de perdas está em fase com a 
tensão aplicada ao primário e portanto deve estar em avanço de 90º em relação ao fluxo φ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 4.7: Componentes da corrente de excitação io. 
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
Na fig. 4.7pode-se ver a corrente de magnetização im deformada somente pela terceira harmônica, a 
corrente de perdas ip em avanço de 90º em relação ao fluxo ϕ e a corrente de excitação io que é a soma da 
corrente de magnetização e a corrente de perdas conforme mostra a expressão 4.14.. 
 
 
 
O valor eficaz da corrente de magnetização é dado pela expressão 4.15 em função dos valores 
máximos das correntes componentes. O valor eficaz da corrente de perdas é dado pela expressão 4.16 em 
função do seu valor de pico, e, o valor eficaz da corrente de excitação é dado pela expressão 4.17. 
0 1 3 5sen sen 3 sen 5 ........ cos . [4.14]m p poi i i I t I t I t I t= + = + + + +ω ω ω ω
1
1,5
2
2,5
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
φ ; B
i m i p = i h + i F 
i o 
Walter Ries 21 
 TRANSFORMADORES 
 
 
A fig. 4.8 mostra o diagrama fasorial da fig. 4.7 que é o diagrama fasorial do transformador em 
vazio. 
 
 
 
 
 
 
 
v1
Io
φ
Ip
Im
θο
Fig.4.8: Diagrama fasorial 
do transformador em vazio
2 2 2 2
1 3 5
2 2
0
......... [4.15]
2
[4.16]
2
[4.17]
n
m
po
p
m p
I I I II
I
I
I I I
+ + + +=
=
= +
 
4.2 – Perdas de excitação ou perdas magnéticas 
 4.2.1 – Perdas por histerese 
Ao se magnetizar um material ferro-magnético com valores crescentes da intensidade de campo H 
até um valor máximo Hmax., obtém-se uma curva semelhante à da fig. 4.6 no primeiro quadrante. Ao se 
reduzir paulatinamente a intensidade de campo H os valores das induções não coincidem com os valores 
obtidos para valores crescentes de H, isto é, para os mesmos valores de H as induções são maiores e, para 
H=0, a indução é maior do que zero, o que indica que o material ficou com uma magnetização remanente. 
Completando o ciclo de variação da intensidade de campo desde um valor máximo positivo até o mesmo 
valor máximo, porém negativo, obtém-se o que se denomina o laço de histerese do material como mostra 
a fig. 4.9. Este laço de histerese é decorrente da energia necessária para orientar os domínios magnéticos 
do material. As perdas por histerese são, portanto, proporcionais à área do laço de histerese. A área do 
laço de histerese e, portanto, as perdas por ciclo e por unidade de volume do material são dadas pela 
expressão 4.18. em que: 
• ph são as perdas por histerese por kg do material (W/kg); 
• γ = M/V é o peso específico do material (kg/m3); 
• f é a freqüência da rede de alimentação (Hz); 
• M é a massa do material (kg); 
• V é o volume do material (m3) 
 
max
max
( / ) [4.18]
B
H B
fp HdB W kg
=
−= ∫γ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dB
Hmax
Bmax
-Bmax
-Hmax
Fig. 4.9: Laço de histerese do material
Correntes parasitas
t
B
Fig. 4.10: Correntes parasitas no material
 
Walter Ries 22 
 TRANSFORMADORES 
A área do laço de histerese cresce também com a freqüência, isto é, o valor da integral da expressão 
4.18 cresce com a freqüência. A medida que a indução tende à saturação as perdas por histerese tendem 
também à saturação, pois pouco cresce a área do laço após um elevado valor de Bmax. Tudo isto é válido 
para as perdas por histerese produzidas por um fluxo pulsante como ocorre nos núcleos de 
transformadores. Nas máquinas rotativas, em algumas partes do circuito magnético, as induções nos 
materiais variam sob a ação de um campo girante. As perdas por histerese neste caso são diferentes 
daquelas produzidas por campos pulsantes para os mesmos valores máximos de indução. Sob a ação de 
campos girantes muito intensos, que levam o material à saturação, as perdas tendem a ser nulas. 
Levando em conta todas estas particularidades procura-se, muitas vezes, expressar as perdas por 
histerese através de uma equação mais simples e válida para uma pequena faixa de variação da 
freqüência. Resulta, assim, a expressão 4.19 em que: 
• kH é uma constante que depende do sistema de unidades, das características do material e 
do comportamento do fluxo (pulsante ou rotativo); 
• f é a freqüência da variação do fluxo (Hz); 
• Bmax é a indução máxima, valor de pico (T); 
• x é um expoente que varia de 0,5 a 2,3 dependendo do material e da indução máxima B Bmax. 
Normalmente o valor de x varia de 1,5 a 2,00. 
 
max ( / ) [4.19]
x
H Hp k f B W kg= ⋅ ⋅ 
 
4.2.2 – Perdas por correntes de Foucault ou perdas parasitas 
As perdas parasitas ou por correntes de FoucaultpF são originadas pelas correntes que circulam no 
material devido às tensões induzidas pela variação do fluxo, conforme mostra a fig. 4.10. 
Estas perdas dependem da resistividade do material, da indução, da freqüência e da espessura das 
chapas de ferro silício que formam o núcleo do transformador. Elas são dadas pela expressão 4.20 em 
que: 
• kF é um fator numérico que depende do sistema de unidades utilizado; 
• t é a espessura da chapa (m): 
• B é o valor eficaz da indução, portanto, é o valor máximo dividido pela raiz de 2; 
• ρ é a resistividade do material (ohms-metro). 
 2
2 2 ( / ) [4.20]efF F
B
p k f t W kg= ⋅ ⋅ ⋅ ρ 
 
Como se observa pela expressão 4.20, quanto menor a espessura da chapa e maior a resistividade do 
material, menores são as perdas por correntes parasitas. Portanto, os núcleos das máquinas elétricas em 
que o fluxo é variável são construídos com material laminado com pequena espessura e com composição 
química que resulte num material com elevada resistividade. 
 
4.3 - Medição das perdas e corrente de excitação 
No ensaio em vazio de um transformador, segundo esquema de ligações da fig. 4.11, as perdas por 
histerese e por correntes parasitas são medidas em conjunto e não existe a necessidade em separá-las. 
A corrente de excitação medida Io é o valor eficaz dada pela expressão 4.17. Esta corrente 
normalmente é dada em percentagem da corrente nominal In conforme expressão 4.21. 
 
0
0 % 100 [4.21]
n
II
I
= 00 % 100 [4.21]
n
II
I
= 
Walter Ries 23 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
I0
E2
po
BT AT
W
W
W
A
A
A
V
V
VG
3~
E1
 Fig.4.11: Esquema de ligações para o ensaio em vazio de um transformador trifásico 
 
Tanto a corrente de excitação como as perdas em vazio são valores especificados e garantidos pelo 
fabricante do transformador. 
Os transformadores de transmissão e distribuição de energia elétrica normalmente ficam energizado, 
com ou sem carga, durante as 24 horas do dia ou 8.760 horas do ano. A perda em vazio do transformador 
é constante, independente da corrente de carga que normalmente é bastante variável durante o dia. Sob 
este ponto de vista, um kW nominal de perda em vazio tem um valor maior do que 1 kW nominal de 
perda sob carga. Este é um fator que deve ser levado em consideração na compra de um transformador. 
O desenvolvimento de chapas magnéticas para uso na construção de máquinas elétricas reduziu 
muito as perdas e a corrente de excitação destes equipamentos. 
Basicamente as chapas utilizadas na construção de circuitos magnéticos em máquinas elétricas 
podem ser classificadas em: 
• Chapas de grão não orientado: 
• Chapas de grão orientado. 
As chapas de grão não orientado são normalmente laminadas a quente e possuem propriedades 
magnéticas iguais em todas as direções no plano da chapa. 
As chapas de grão orientado possuem propriedades magnéticas superiores no sentido de laminação. 
Estas chapas são laminadas a frio que, por um processo especial de laminação e recozimentos associado a 
uma composição química adequada, adquirem propriedades magnéticas acentuadamente superiores no 
sentido da laminação em detrimento de suas propriedades no sentido perpendicular. 
A composição química das chapas de ferro usadas na construção do circuito magnético das máquinas 
elétricas é muito importante. Assim, elas não devem possuir mais do que 0,005% a 0,01% de carbono, 0,1 
a 0,3% de manganês, 0,01 a 0,05% de fósforo e 0,005 a 0,02% de enxofre. A fim de aumentar a 
permeabilidade magnética e diminuir as perdas, as chapas magnéticas possuem 0,5 a 4,0% de silício e se 
classificam em: 
• Chapas com baixo silício (0,5 a 1,5% de Si); 
• Chapas com médio silício (2,0 a 3,0% de Si); 
• Chapas com alto silício (> 3,0% de Si) 
Segundo a AISI (American Iron and Steel Institute) as chapas de aço para emprego em circuitos 
magnéticos são designadas pela letra M associada a um número. Assim, as chapas de grão orientado são 
designadas por M-3 a M-10 e as de grão não orientado por M-15 a M-45. As espessuras das chapas 
variam de 0,2 a 0,8 mm. 
Para núcleos de transformadores de distribuição e de transmissão são usadas chapas de grão 
orientado, M-3, M-4, M-5, M-6 e M-7 com espessuras de 0,3 a 0,5 mm e cobertas com uma finíssima 
camada isolante de material inorgânico (2 a 3 mícron), material este que pode suportar temperaturas de 
recozimento da chapa de, aproximadamente, 800º C. 
Os fabricantes destas chapas fornecem todas as curvas de características magnéticas necessárias para 
o cálculo das perdas e correntes de excitação. As curvas das figuras 5.6 e 5.7 dão as características 
magnéticas para a chapa de grão orientado, M-5 com espessura de 0,5 mm. Nestas curvas o valor da 
Walter Ries 24 
 TRANSFORMADORES 
indução corresponde ao valor máximo (de pico). A intensidade de campo corresponde ao valor da 
corrente de excitação Io em valor eficaz por metro. 
 
4.4 – Impedância 
 4.4.1 – Impedância percentual 
 Quando se faz a representação do circuito equivalente do transformador sob carga, conforme fig. 
4.12, a impedância interna é expressa pelo seu módulo Z, dado pela expressão 4.22, em percentagem da 
impedância básica ZB que é dada pela expressão 4.23. 
 
+
V1
1CZ θ∠
I1 R X
+
V1
+
V21
IC1
Rp ImIp Xm
Io
Circuito equivalenete em vazio Circuito equivalenete sob carga
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 4.12: Circuito equivalente do transformador. 
 
2 2
2 2
[4.22]
[4.23]B B BB
B B B B
Z R X
V V VZ
I I V S
= +
= = =
 
 
 
 
Esta impedância básica do transformador ou de um “sistema” é a relação entre a tensão e a corrente 
nominais (do transformador ou do sistema). Nos sistemas monofásicos VB, IB BB e SB são, respectivamente, a 
tensão básica, a corrente básica e a potência básica do sistema. Nos sistemas trifásicos é convencional se 
chamar de básico os valores da tensão de linha, corrente de linha e potência trifásica nominais. 
 Qualquer que seja a ligação dos enrolamentos primário e secundário (delta ou estrela) de um 
transformador trifásico, a representação do circuito equivalente sempre será o de uma só fase como na fig. 
4.12 em que tensão, corrente e impedância são grandezas de “fase”. Não existe a necessidade de 
representar o circuito equivalente em sua forma trifásica, pois é o mesmo que representar três circuitos 
monofásicos iguais ligados em estrela equivalente, como mostra a fig. 4.13. 
 
1CZ θ∠
1CZ θ∠
1CZ θ∠
F2
Z = R + jX
N
Z = R + jX
F1
I n= I B
V n =V B
3
BV
Z = R + jX
F3
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 4.13: Circuito equivalente trifásico do transformador sob carga. 
No circuito trifásico chama-se de tensão básica a tensão de linha. Neste caso a tensão básica de fase 
será a tensão básica de linha dividida por raiz de três. A impedância básica da expressão 4.23, que 
corresponde à impedância de uma fase do transformador, pode ser também dada em função da tensão 
básica de linha VB, conforme mostra a expressão 4.23 em que a potência básica SB BB é a potência básica 
Walter Ries 25 
 TRANSFORMADORES 
trifásica. Como se vê, a expressão 4.24 é igual a expressa 4.23 se a tensão básica for a tensão de linha e a 
potência básica for a potência das três fases. 
 
2 2
[4.24]
33
% 100 [4.25]
B B B
B
B B BB
B
V V VZ
I V SI
ZZ
Z
= = =
=
 
 
 
 
A impedância percentual do transformador é o valor da impedância interna por fase do transformadordividido pela impedância básica dado em por cento, como mostra a expressão 4.25. 
Esta impedância percentual também pode ter outras interpretações como se pode observar ao se 
multiplicar o numerador e o denominador da expressão 4.25 pelo valor da corrente nominal conforme se 
observa na expressão 4.26. Multiplicando o numerado e o denominador da expressão 4.25 pelo quadrado 
da corrente nominal tem-se a expressão 4.27. 
 
2 2
2
100% 100 [4.26]
100% 100 100 [4.27]
n
B n
n n
B n n n
ZI Queda de tensão internaZ
Z I Tensão básica ou nominal defase
ZI ZI potência interna por faseZ
Z I V I Potência nominal do transformador por fase
×= =
×= = =
 
Das expressões 4.26 e 4.27 se obtém duas conclusões fundamentais: 
• A impedância percentual representa a percentagem da tensão nominal que deve ser aplicada 
por fase no transformador em curto-circuito (ZC=0) para fazer circular pelos enrolamentos a 
corrente nominal. 
• A impedância percentual representa a percentagem da potência interna nominal por fase que 
deve ter a fonte de alimentação para fazer circular a corrente nominal nos enrolamentos do 
transformador em curto-circuito (ZC=0). 
Exemplo: Qual deve ser a tensão e a potência de uma fonte para fazer circular a corrente nominal pelos 
enrolamentos de um transformador com o secundário em curto-circuito, se o transformador tem uma 
potência trifásica de 5.000 kVA, uma tensão primária de linha de 69 kV e uma impedância de 7%? 
A tensão de linha da fonte deverá ser de 7% de 69 kV, ou seja, 4,83 kV. A potência trifásica da fonte 
deverá ser de 7% de 5.000 kVA, ou seja, 350 kVA. 
 
 4.4.2 – Resistência percentual 
 Do mesmo modo como se definiu a impedância percentual, no parágrafo 4.4.1, pode-se definir a 
resistência percentual dada pela expressão 4.28, em que ZB é a impedância básica do sistema dada pela 
expressão 4.23. Multiplicando o numerador e denominador da expressão 4.28 por n
B
fI (número de fases 
vezes a corrente de carga ao quadrado) vê-se que a resistência percentual também pode ser calculada pela 
expressão 4.29 em que W
2
c são as perdas totais nos enrolamentos e S é a potência nominal do 
transformador. 
 
% 100 [4.28] % 100 [4.29]c
B
WRR R
Z S
= = 
 
 
 4.4.3 – Ensaio de curto-circuito do transformador 
 Como foi visto, a impedância do transformador refletida, por exemplo, para o primário, tem dois 
componentes, um resistivo R e outro reativo X, como se pode ver na fig. 4.13. A resistência R é a soma da 
Walter Ries 26 
 TRANSFORMADORES 
resistência do enrolamento primário e da resistência do enrolamento secundário refletida ao primário, e, a 
reatância X é a soma da reatância de dispersão do primário e a reatância de dispersão do secundário 
refletida ao primário. Normalmente a reatância de dispersão é muito maior do que a resistência de perdas 
dos enrolamentos. 
O ensaio de curto-circuito é um ensaio que normalmente é feito nos transformadores ao saírem das 
linhas de fabricação com o objetivo de medir a impedância interna, determinar as perdas nos 
enrolamentos e realizar o ensaio de aquecimento que permite verificar a elevação da temperatura média 
das bobinas quando o transformador estiver operando com carga nominal. 
 
BTAT
W
W
W
A
A
A
V
V
VG
3~
curto-circuito
In 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 4.14: Ligações e medições para o ensaio de curto-circuito de um transformador trifásico. 
O circuito da fig.4.14 apresenta o sistema de medições para a realização do ensaio de curto-circuito 
de um transformador trifásico. A tensão do gerador de alimentação é ajustada para que circule pelos 
enrolamentos as respectivas correntes nominais (no primário e no secundário). Se Vcc for a tensão de 
linha medida pelos voltmetros, então, a impedância interna por fase, também denominada de impedância 
de curto-circuito do transformador será dada pela expressão 4.30 em que In é a corrente nominal do 
enrolamento de alta tensão (AT). Se a tensão básica for a tensão nominal e a potência básica for a 
potência nominal transformador pode-se determinar a impedância percentual do transformador pela 
expressão 4.31. Medindo as perdas nominais nos condutores pode-se determinar a resistência percentual 
interna do transformador pela expressão 4.29 e, conseqüentemente, a reatância percentual de dispersão 
pela expressão 4.32. 
 
 
( ) ( )
2
2 2
[4.30]
3
% 100 100 [4.31]
% % % [4.32]
cc
n
B
B B
VZ ohms
I
SZZ Z
Z V
X Z R
=
= =
= −
 
 
 
 
 
 
A impedância dos transformadores é uma grandeza muito importante na coordenação das proteções e 
na regulação e estabilidade dos sistemas elétricos. O valor desta impedância deve ser, portanto, bem 
especificado pelos usuários de transformadores e garantido pelos fabricantes destes equipamentos. 
Dependendo da potência, tipo e finalidade do transformador a impedância pode variar de 1,5% a 15% ou 
mais. A impedância também recebe o nome de tensão de curto-circuito e as normas brasileiras ABNT 
admitem uma tolerância de ±7,5% ou de 10% sobre o valor declarado ou garantido pelo fabricante, 
dependendo do tipo e do número de enrolamentos. Em casos especiais estas tolerâncias podem ser 
ajustadas entre fabricante e usuário. 
 
 
 
Walter Ries 27 
 TRANSFORMADORES 
 
 4.4.4 – Relação entre resistências de perdas e reatância de dispersão 
 Referindo-se ao circuito equivalente da fig. 3.4, vê-se que cada enrolamento tem a sua resistência e a 
sua reatância de dispersão. Quando as bobinas primária e secundária são concêntricas, normalmente o 
enrolamento de menor tensão (BT) é o interno, por motivos de isolamento como se mostra na fig. 4.15. 
Esta figura representa um corte, à direita da linha de centro que passa no meio de uma coluna do núcleo, 
de duas bobinas concêntricas de um transformador monofásico ou de uma fase de um transformador 
trifásico. Pode-se identificar as culatras, superior e inferior, a coluna central sobre a qual estão montadas 
as bobinas, as secções das bobinas de alta tensão (AT) e de baixa tensão (BT) e o sentido de circulação do 
óleo isolante e refrigerante quando o transformador está carregado e produzindo perdas nas resistências 
dos enrolamentos primário e secundário. No interior dos contornos da AT e da BT têm-se as secções de 
cobre dos condutores e seus isolamentos, normalmente, de papel especialmente tratado a fim de 
apresentar boas características de isolamento, especialmente quando impregnados por óleo mineral para 
transformadores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.15: Bobinas concêntricas e refrigeração Fig. 4.16: Bobinas concêntricas e fluxo de dispersão 
circulação óleo
BT AT
Culatra superior
Culatra inferior
Co
lu
na
 d
o 
nú
cl
eo
×
BT AT
Culatra superior
Culatra inferior
Co
lu
na
 d
o 
nú
cl
eo Fluxo de dispersão
A fig. 4.22 mostra as linhas de fluxo de dispersão produzidas pelas correntes primária e secundária. 
Nota-se que as linhas são paralelas no espaço entre as bobinas de BT e de AT, porém, nas cabeceiras, as 
linhas tendem a se dispersar. Existem também linhas de fluxo de dispersão que atravessam as bobinas de 
AT e BT no sentido axial. A densidade de fluxo de dispersão na BT é nula no início de sua espessura 
radial e aumenta linearmente até um valor máximo no final de sua espessura, permanece constante no 
espaço entre a BT e AT e passa a decrescer, também linearmente, no sentido radial da AT até atingir um 
valor nulo. 
Normalmente se procura trabalhar com o mesmo valor de densidade de corrente nos enrolamentos de 
AT e BT. Isto resulta em se ter perdas muito semelhantes nos enrolamentos primário e secundário.A 
circulação do óleo entre as bobinas e o núcleo tem uma dupla função: isolar e refrigerar. Sob o ponto de 
vista de refrigeração, a bobina externa é mais bem atendida, mas como tem uma espessura maior de 
isolamento de papel por ser a bobina de AT, ela tende a ter uma elevação de temperatura em relação ao 
óleo igual ao da bobina interna que possui uma espessura de isolamento de papel menor. Isto nos leva a 
concluir que as elevações de temperaturas dos condutores das bobinas de AT e BT, em relação ao óleo 
são, aproximadamente, iguais e que as perdas também são, aproximadamente iguais, o que permite 
escrever as expressões 4.33 e 4.34 em que a é a relação de transformação. 
 
2 2
1 1 2 2
2
21 2
2
2 1
[4.33]
[4.34]
I R I R
R I a
R I
≅
≅ =
 
 
 
Quanto às reatâncias de dispersão do primário e do secundário pode-se chegar também a uma 
conclusão semelhante. Observando-se a fig. 4.16 vê-se que os fluxos de dispersão do primário e do 
secundário percorrem trajetórias iguais e, portanto, de igual permeância magnética P. Pode-se, portanto 
escrever as expressões 4.35 e 4.36 para as indutâncias de dispersão do primário e do secundário em 
função do número de espiras e da permeância do circuito magnético percorrido pelo fluxo de dispersão. 
Walter Ries 28 
 TRANSFORMADORES 
 
 
2
21
1 1
2
22
2 2
2
21 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2
[4.35]
[4.36]
[4.37]
NL N
NL N
L N L X Ra
L N L X R
= = ℘ℜ
= = ℘ℜ
= = = = ≅ωω
 
 
 
 
 
 
 
A expressão 4.37 conclui que as resistências dos enrolamentos são aproximadamente proporcionais 
às reatâncias de dispersão ou ainda, as resistências e reatâncias do secundário transferidas ao primário são 
aproximadamente iguais às resistências e reatâncias do primário. Ao se medir, portanto, a impedância 
interna de um transformar, em percentagem, pode-se afirmar que a cada um dos enrolamentos 
corresponde, aproximadamente, a metade deste valor. 
 
4. 5 – Regulação da tensão 
 Devido à queda de tensão na impedância interna do transformador a tensão secundária varia quando a 
carga é variável permanecendo a tensão primária aplicada constante. 
 
+
V1 1CZ θ∠
I1 = Ic1 = I2 1 R X
+
V21
 
 
 
 
 
 Fig.: 4.17: Circuito equivalente do transformador sob carga 
 A Fig.4.17 mostra, uma vez mais, o circuito equivalente do transformador sob carga desprezando-se 
o circuito de excitação e tendo todos os parâmetros do secundário refletidos para o primário, 
desaparecendo o transformador ideal. A tensão V21 é, portanto, a tensão aplicada à carga, no secundário, 
refletida ao primário. A corrente do secundário refletida ao primário é I21 e, portanto igual á corrente do 
primário I1. 
 A carga total alimentada pelo transformador é representada pelo módulo de sua Impedância Zc1 
refletida ao primário e pelo ângulo de fase θ. Se o ângulo de fase é zero a carga é ôhmica, se for positivo 
a carga é capacitiva, se for negativo a carga é indutiva. Na figura 4.18 está representado o diagrama 
fasorial para uma carga indutiva em que a corrente de carga está atrasada em relação à tensão aplicada à 
carga. Na figura 4.19 representa-se o diagrama fasorial para uma carga capacitiva em que a corrente de 
carga está avançada em relação à tensão aplicada à carga. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.18: Diagrama fasorial para carga indutiva Fig. 4.19: Diagrama fasorial para carga capacitiva 
V21
V1
I1 = I2 1
θc1
I R
I X
θ1
O
A
B
C
D
F
V21
V1
I1 = I2 1
θc1 I R I Xθ1
O A
B
C
D
F
Walter Ries 29 
 TRANSFORMADORES 
 Pode-se observar que quando a carga é indutiva a tensão aplicada à carga é menor do que a tensão 
aplicada no primário do transformador. Quando a carga é capacitiva a tensão aplicada à carga aumenta 
podendo ser igual ou mesmo superior à tensão aplicada no primário. 
 A regulação de tensão de um transformador é definida como sendo a variação percentual ou per unit 
da tensão primária para manter a tensão secundária constante e igual à tensão em vazio, quando a carga 
varia de zero até a plena c
 
 
 
arga. A expressão 4.38 define a “regulação de tensão” do transformador. 
Da fig. 4.18 se obtém a expressão 4.39 ou a expressão 4.40 . De maneira idêntica, obtém-se da fig. 
 
 
 
 A tensão secundá ncia. Deste 
modo pode-se defini ões 4.46 e 
4.47 raduzem o co-seno e o seno do ângulo de fase da carga por meio de uma simples letra. A letra p 
sugere q
Substituindo estes valores unitário as expressões 4.48 e 4.49, 
spectivamente para cargas indutivas e cargas capacitivas. 
 
o rá, pois, dada pelas 
4.50 e 4.51, respectivamente para cargas indutiva e capacitiva. 
 
 
 
1 21 1
21 21
/1 1 [4.38]V V V
V V
−Re 0g = = −
 
4.19 as expressões 4.41 e 4.42. 
 
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 [4.39]
cos
OD DC CB BF OF
V I
+ + + = 
 ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
21 1 1 21 1 1 12
2 2 2
2 2
21 1 1 21 1 1 12
[4.40]
[4.41]
cos [4.42]
c c
c c
R V sen I X V
OD DC CB BF OF
V I R V sen I X V
+ + + =
+ + − =
+ + − =
θ θ
θ θ
 
 
ria aplicada à carga refletida para o primário é tomada como referê
r os valores unitários dados pelas expressões 4.43, 4.44, 4.45. As express
 t
potência ativa e a letra sugere potência reativa. 
 
 
 
1
1
21
[4.43]Vv
V
=
1
21
1
21
1
1
[4.44]
[4.45]
cos [4.46]
[4.47]
c
c
I Rr
V
I Xx
V
p
q sen
θ
θ
=
=
=
=
 
 
 
 
 
 
s nas expressões 4.40 e 4.42, resultam
re
 ( ) ( )
( ) ( )
2
1 2
22
[4.48]v p r q x
v p r q x
= + + +
= + + −
2
1 2
[4.49]
 
 
 
A regulação de tensã do transformador, definida pela expressão 4.38 se
expressões 
( ) ( )
 ( ) ( )
2 2
1
2 2
Re 0 /1 1 1 [4.50g v p r q x= − = + + + −
1
]
Re 0 /1 1 1 [4.51]g v p r q x= − = + + − −
Walter Ries 30 
 TRANSFORMADORES 
 
Uma expressão muito aproximada para a regulação se obtém do diagrama fasorial da fig. 4.20 em 
s fasores já estão referidos à tensão de referência v21. Se a tensão aplicada v1 se mantém 
o v21 irá variar, porém v1 em relação a v21 vai descrever um circulo, como se vê na fig. 
.20. Assim, pode-se escrever, para a expressão da regulação dada pela expressão 4.38, a expressão 4.52 
em 
 
 
A queda de tensão 8 a 20 vezes 
enor do que a queda de tensão x na reatância de dispersão. 
edas de tensão r e x são funções lineares da carga no transformador. Para cada estado de carga, 
gulação pode ser calculada pelas expressões 4.50 e 4.51 ou pela expressão 4.54. 
 primário ou no enrolamento secundário um 
om
om o 
an
ia 
A
que todos o
constante, a tensã
4
que NM tem um valor muito pequeno de modo que se pode dizer que GN = 2v1. De uma 
propriedade do triângulo retângulo GMF obtém-se o valor para FN = px – qr e, conseqüentemente, o 
valor de NM que substituído na expressão 4.52 resulta na expressão geral 4.54 que dá a regulação para 
uma carga indutiva e capacitiva. O sinal do terceiro membro, entre parênteses, da expressão 4.54 é 
negativo para uma carga indutiva e positiva para uma carga capacitiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 4.20: Diagrama fasorial com valores unitários 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r na resistência interna dos transformadores é, normalmente, de 
m
 As qu
de 0% a 100%, a re
 Se a regulação de tensão de um transformador for muito alta ou, se a tensão primária aplicadativer 
uma variação muito elevada, pode-se instalar no enrolamento
c utador que varie o número de espiras deste enrolamento de modo a compensar a queda ou elevação 
da tensão secundária. Esta comutação pode ser feita com o transformador desenergizado ou c
tr sformador energizado. No primeiro caso a comutação se denomina de comutação em vazio (com 
comutador em vazio) e no segundo caso de comutação sob carga (com comutador sob carga). A 
comutação sob carga costuma ser automática, isto é, sempre que a tensão aplicada à carga variar além de 
um determinado percentual, realiza-se, automaticamente a comutação de espiras para corrigir a tensão. 
Naturalmente, o custo de um comutador sob carga é muito maior do que o de um comutador em vazio. 
Exemplo de cálculo da regulação de um transformador: calcular a regulação de um transformador 
com 70% de carga, sendo x 0/1 = 0,1 e r 0/1 = 0,01 para uma carga indutiva com fator de potência igual a 
0,8. 
 Os valores em per unit de r e x correspondem a um transformador carregado com sua potênc
nominal, isto é, com 100% de carga. Assim, os valores de r e x para 70% de carga são os valores a 100% 
multiplicados por 0,7. para p = 0,8 tem-se q = 0,6. 
 
v 21=1
v 1 F
θc1
r
x
I 1 = I 21
θ1
M
B
C
D
O N
G
( )2GN NM FN propriedade do triângulo=i
( ) ( )
1
1
2 2
1
0 /1 1 [4.52]
2
2 [4.53]
Reg v pr qr NM
GFM
GN v por ser NM muito pequeno
v NM FN px qr
= − = + +
≅
= = −i
( )2Re 0 /1 [4.54]
2
px qr
g pr qx= + + ∓
Walter Ries 31 
 TRANSFORMADORES 
 
 ( )20,8 0,07 0,6 0,007% 100 0,8 0,007 0,6 0,0Reg ⎛ ⎞⋅ − ⋅= ⋅ − ⋅⎜⎜ 7 4,89%2+ =⎟⎟⎝ ⎠ 
 
4. 6 – Rendim
Qualquer que seja a máquina, o seu rendimento é dado pela expressão 4.55. 
 
n
WFe = perdas devidas à corrente de excitação ou perdas ferro 
• Wc = perdas nos condutores devidas à corrente de carga. 
 quando varia a carga no transformador, ao passo que 
as pe rrente de carga. 
 A relação e nte e a potência aparente 
nominal car pela expressão 4.56 em que 
f é
 
 
A potência de saída do entregue à carga e é dada 
a expressão 4.58 em que cos θc é o fator de potência da carga. 
 
perdas nos condutores são dadas pela expressão 4.59 em que WcN são as perdas nominais nos 
es. 
Deste modo, pode ável e com o fator de 
 constante, através da expressão 4.60, onde Ps é dado pela expressão 4.58, Wc pela 
pr
o a função η = f(Fc) e igualando a zero determina-se a condição de rendimento máximo que 
ando as c. O valor 
o fator de carga para rendimento máximo é, assim, dado pela expressão 4.61. 
 
imento de um transformador sob carga nominal é sempre muito alto, normalmente acima de 
transformadores de 0,1% e perdas nos condutores da 
ento do transformador 
 
 
 [4.55]
s s e
e s e
P P P perdasPotência de saída
a P P perdas P
−
Potência de entrad
= = = =+η
 
Co forme visto, as perdas são de duas origens: 
• 
As perdas de excitação permanecem constantes 
rdas no co utor variam com o quadrado da cond
ntre a potência aparente de carga S num determinado insta
 de ga SN do transformador denomina-se Fator de Carga Fc dado 
n o número de fases, VN é a tensão nominal de fase, IN é a corrente nominal de carga por fase e I a 
corrente de carga no instante considerado. 
 
 
 
[4.56]f Nc
N f N N N
n V IS IF
S n V I I
= = =
[4.57]c NI F I=
 
 
pel
 transformador, refletida ao primário, é a potência
 
[4.58]s c c c N cP S cos F S cos= =θ θ 
2 2 2 2 [4.59]c c N c cNW I R F I R F W= = = 
 As 
condutor
 -se escrever o rendimento de um transformador sob carga vari
potência na carga
ex essão 4.59 e WFe são as perdas de excitação que são constantes quando a carga varia. 
 
2 [4.60]
s c N c
s Fe c c N c c cN Fe
P F S cos
P W W F S cos F W W
= =+ + + +
θη θ 
 
 Derivand
se verifica qu perdas constantes são iguais as perdas variáveis, isto é: quando WFe = W
d
 
[4.61]Fec
cN
F
W
= W 
 
 O rend
99%. Para de altas potências, perdas ferro da ordem
Walter Ries 32 
 TRANSFORMADORES 
ordem de 0,4%, ou menores, são normais. A fig. 4.22 foi construída com perdas exageradas (7% sob 
 da Fig. 4.21 dá uma idéia do valor do rendimento de transformadores em função da 
 
 
 
Fig. 4.22: Curvas do rendimento, das perdas no ferro e das perdas nos condutores
plena carga). A tabela
potência. 
 
 
 
KVA 1 5 10 50 500 10.000 50.000
Rend. % 92 95 95,5 97 98 99 99,5
 Fig. 4.21: Rendimentos de transformadores 
 
 
 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Fator de carga em per unit
Re
nd
im
en
to
 e
m
 p
er
 u
ni
t
 
 
0,02
0
pe
rd
as
 e
m
 p
er
 u
ni
0,04
0,06η
Wfe
Wc
t
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Walter Ries 33 
 TRANSFORMADORES 
 
5 – CÁLCULO DA CORRENTE DE EXCITAÇÃO E DAS PERDAS EM VAZIO 
O ponto de partida para o cálculo da corrente de excitação é a fixação da indução máxima B admitida 
para a chapa magnética que é utilizada na construção do núcleo do transformador. Esta indução é 
escolhida nas proximidades do joelho da curva de magnetização H = f(B) ou B = f(H) de modo que a 
corrente de excitação não ultrapasse o valor especificado para o transformador. Está claro que este cálculo 
é iterativo, pois a corrente de excitação e a indução são funções uma da outra e um bom projeto procura 
sempre encontrar um valor para a indução que resulta em um valor da corrente de excitação tão próximo 
quanto possível do valor desejável. Os fabricantes de chapa para construção de núcleos dão as induções 
em função da intensidade de campo eficaz, isto é, em função dos ampère-espiras por metro referentes à 
corrente de excitação Io eficaz. A indução, no entanto, se refere ao valor máximo (de pico). 
Dado o valor da indução B determina-se, na curva de excitação, o valor da intensidade de campo H 
em A/m eficazes. A fmm em ampère-espiras (AE) necessária para fazer circular um fluxo com densidade 
de campo igual à indução B num circuito magnético de secção constante igual a Afe e comprimento lfe 
será dado pela expressão 5.1, em que a corrente Io é a corrente eficaz da corrente de excitação que é a 
soma fasorial da corrente eficaz de magnetização e da corrente eficaz de perdas. O valor eficaz, em 
módulo, da corrente eficaz de excitação é dado pela expressão 4.17. 
 
1 0 ( ) [5.1
fe
fe fe
fe
lBfmm N I Hl l AE
A
= = = = φμ μ ] 
 
Para obter o valor da corrente de excitação através da expressão 5.1 é necessário conhecer o número 
de espiras do enrolamento primário e o comprimento médio do núcleo de ferro. O número de espiras do 
primário é obtido da expressão 3.4 resultando a expressão 5.2 em que a tensão induzida no primário é 
igual à tensão aplicada admitindo válido o circuito equivalente simplificado do transformador mostrado 
na fig. 3.4 
1 1
1 [5.2]4,44 4,44fe fe
E VN
fBA fBA
= = 
 
O número de espiras dado pela expressão 5.2 deve ser um número inteiro, pois não existe uma fração 
de espira, a menos que se faça um furo no núcleo para se ter uma espira com uma secção fracionária da 
secção do núcleo, o que não constitui uma solução recomendável nem necessária para este caso. Assim, o 
número de espiras do primário é o número inteiro mais próximo do valor dado pela expressão 5.2. Como 
conseqüência, deve-se ajustar na expressão 5.2 o valor da indução B ou da secção Afe. Via de regra, se o 
número de espiras do primário é um número inteiro,resulta para o secundário um número não inteiro de 
espiras, porquanto as relações entre tensões induzidas e número de espiras devem satisfazer a expressão 
3.6. Como o número de espiras do secundário também deve ser um número inteiro, resultará um erro na 
relação de transformação que deveria ser a relação entre as tensões primária e secundária induzidas. Ester 
erro não poderá ser maior do que 0,5% conforme Norma???? Se este erro for maior, deve-s ajustar o valor 
da indução e/ou da secção do núcleo (expressão 5.2). 
O cálculo da corrente eficaz de excitação utilizando a expressão 5.1, em que lfe é o comprimento 
médio do núcleo, tem uma série de dificuldades. Em primeiro lugar, o que é comprimento médio do 
núcleo, por fase, para um transformador trifásico tipo núcleo, conforme fig. 3.13? Em segundo lugar, 
quando se usa uma chapa magnética de grão orientado, pode existir uma parte do núcleo em que a direção 
do fluxo não coincide com a orientação dos grãos da chapa. Estas partes do núcleo terão uma menor 
permeabilidade magnética consumindo uma maior fmm por metro (H) para fazer circular o fluxo 
magnético. 
 Na fig. 5.1 tem-se um núcleo monofásico em que o corte das chapas é feito a 90º em relação à 
orientação dos grãos. A fim de reduzir o efeito do pequeno entreferro que resulta na formação de uma 
camada de chapas componentes, tipos 1 e 2, as diversas camadas são colocadas de modo alternativo como 
mostram as duas camadas da fig. 5.1. Deste modo, além de diminuir o efeito do entreferro, o núcleo 
torna-se, após a prensagem das culatras, uma peça única podendo ser levando pela culatra superior sem se 
desmantelar. A secção do núcleo é construída em degraus, como mostra a fig. 5.2, aproximando-se da 
secção circular, tanto mais quanto maior for o número de degraus. 
 
Walter Ries 34 
 TRANSFORMADORES 
 
 
50% desta zona está 
com grãos a 90º
Juntas com 
pequeno entreferro.
φ
 
 
 
 
 
lfe 11
2
2
 
 Fig. 5.1: Núcleo monofásico com corte de chapa a 90º 
 
 
l1l2l3l4
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 5.2: Secção do núcleo, colunas e culatras. 
 
Na fig. 5.3 tem-se um núcleo trifásico com as chapas cortadas a 90º que, montadas em camadas, 
alternando as junções, apresenta, depois de prensado, a mesma rigidez construtiva como acima citada para 
o núcleo monofásico. Uma camada do núcleo é montada com três comprimentos de chapa. 
Vê-se que, nos cantos dos núcleos e, inclusive, no centro das culatras dos núcleos trifásicos, o fluxo 
percorre as chapas em sentido diferente da orientação dos grãos em, aproximadamente, metade da massa 
destas zonas como mostra o detalhe da fig. 5.1. 
 
 
22
1
1
1
3 2 2
1
1
1
3
 
 
 
 
 
 Fig. 5.3: Núcleo trifásico com corte das chapas a 90º 
 
Para contornar o problema de se ter grandes massas de material com o fluxo orientado no sentido 
perpendicular à orientação dos grãos, nada mais lógico do que cortar a 45º as chapas que compõem o 
núcleo de modo que o fluxo percorra sempre o circuito no sentido da orientação dos grãos, como pode ser 
visto na fig. 5.4. Para evitar um pequeno entreferro contínuo nas junções das chapas elas são montadas 
com um pequeno deslizamento cíclico, alternando o sentido deste deslizamento nas sucessivas camadas 
de chapa do núcleo como mostra a fig. 5.4. Um pequeno entreferro contínuo representaria uma relutância 
magnética muito grande aumentado muito a fmm de excitação e, portanto, a corrente de excitação do 
transformador. 
Walter Ries 35 
 TRANSFORMADORES 
O núcleo trifásico da fig. 5.4 é montado com 4 tipos de chapas por camada. Os dois desenhos desta 
figura representam duas camadas sucessivas da montagem do núcleo. Os pequenos deslizamentos, de 10 a 
15 mm, das chapas são suficientes para descaracterizar um entreferro contínuo nos pontos de junção e, 
após a prensagem das culatras, garantem uma boa rigidez mecânica do núcleo. As duas camadas 
sucessivas representadas na fig. 5.4 mostram bem como se alternam as 4 partes componentes de uma 
camada. A fig. 5.5 mostra duas camadas superpostas. Este tipo de corte e montagem das chapas diminui 
muito o peso das zonas de transição do fluxo, isto é, das zonas em que o fluxo não está alinhado com os 
grãos orientados das chapas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
4 11
3
3
 Fig. 5.4: Núcleo trifásico com corte da chapa a 45 º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5.5: Montagem de duas camadas do núcleo trifásico com corte da chapa a 45 º 
 
O cálculo da corrente de excitação bem como o cálculo das perdas nos núcleos dos transformadores 
deve ser feito considerando, separadamente, as zonas em que o fluxo se alinha com a orientação dos grãos 
e as zonas de transição em que o fluxo fica perpendicular à orientação dos grãos. Neste caso, utilizam-se, 
com grande vantagem, as curvas de magnetização que dão o valor de volt-ampère/kg e de watt/kg do 
material em função da indução B, conforme mostram as figuras 5.6 e 5.7. As curvas da fig. 5.6 se referem 
ao fluxo percorrendo o circuito magnético no sentido da orientação do grãos e a fig. 5.7 quando o fluxo 
percorre o circuito no sentido perpendicular à orientação do grãos. 
 
 
 
 
Walter Ries 36 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
 
 
Fig. 5.6: Características magnéticas da chapa de ferro-silício de grão orientado com espessura de 0,5 mm, 
quando o fluxo tem a direção da orientação do grão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5.7: Características magnéticas da chapa de ferro-silício de grão orientado com espessura de 0,5 mm, 
quando o fluxo e a orientação do grão estão em quadratura. 
 
As curvas VA/kg e W/kg em função de B são derivadas das curvas que dão a intensidade de campo 
eficaz H em função da indução. Se E é a tensão induzida no primário ou no secundário com N espiras, a 
potência aparente por fase é dada pela expressão 5.3 de onde se deduz que a fmm de excitação será dada 
pela expressão 5.4 onde H é a intensidade de campo eficaz de excitação e lfe é o comprimento médio 
equivalente do núcleo por fase. 
0,1 1 10 100 1000
W/kg VA/kg A/m 0º 60Hz
B
 (T
)
W/kg
VA/kg
A/m
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
1 10 100 1000
W/kg VA/kg A/m 90º 60Hz
B
 (T
)
VA/kgW/kg
A/m
Walter Ries 37 
 TRANSFORMADORES 
 
0 0
0
0
0
4,44 [5.3]
[5.4]
4,44
[5.5]
4,44 [5.6]
fe
fe
fe
fe fe f
f
EI BA fNI
EINI Hl
BA f
M A l n
n EI VA f BH
M kg
=
= =
=
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
γ
γ
 
 
 
 
 
 
 
Outrossim, a massa do núcleo de ferro é dada pela expressão 5.5 em que: 
• M é a massa em kg 
• γ é a massa específica do material em kg/m3 
• nf é o número de fases do transformador 
• Afe é a secção do núcleo em m3 
 
Das expressões 5.4 e 5.5 obtém-se a expressão 5.6 onde se vê que o valor da potência aparente por kg 
do núcleo é proporcional ao produto da indução pela intensidade de campo, pois 4,44f/γ é uma 
constante. Então, para um valor B de indução corresponde um único valor de H para a intensidade de 
campo magnético de excitação e um único valor para VA/kg. Portanto, a curva fornecida pelo fabricante 
da chapa que dá VA/kg em função da indução B permite determinar a corrente de excitação atravésda 
expressão 5.7 conhecendo a massa total do núcleo em kg e a tensão aplicada E em vazio. 
 ( )
0
/
[5.7]
f
VA kg M
I
n E
= 
 
De um modo geral, a maior parte do material do núcleo está com o fluxo orientado no sentido dos 
grãos, porém, parte do material está em quadratura. As curvas VA/kg = f(B) são essencialmente 
importantes para o cálculo da corrente de excitação para estes casos. Os fabricantes de chapas magnéticas 
também fornecem a curva VA/kg = f(B) para o caso em que a orientação do fluxo está a 90º em relação à 
orientação dos grãos. Nestes casos a corrente de excitação é calculada pela expressão 5.8 em que: 
• (VA/kg)0 é o valor correspondente à indução B quando o material é percorrido 
por um fluxo cura orientação coincide com a orientação dos grãos. 
• (VA/kg)90º é o valor correspondente à indução B quando o material é percorrido 
por um fluxo orientado a 90º em relação à orientação dos grãos. 
• M0 é a massa de material percorrido com fluxo coincidente com a orientação 
dos grãos. 
• M90 é a massa de material percorrido com fluxo em quadratura com os grãos. 
 ( ) ( )
( ) ( )
0 900 90
0
0 0 900 90
/ /
[5.8]
/ / [5.9]
f
VA kg M VA kg M
I
n E
p W kg M W kg M
+=
= +
 
 
 
 
 
 
Walter Ries 38 
 TRANSFORMADORES 
Conforme se vê nas expressões 4.19 e 4.20 as perdas no material que forma o núcleo dos 
transformadores é uma função da indução B. Portanto, o fabricante da chapa magnética também fornece 
as curvas das perdas por kg em função da indução, tanto para material com grãos orientados no sentido do 
fluxo magnético como para material com grãos a 90º do sentido do fluxo. 
As perdas de excitação do núcleo são, portanto, dadas pela expressão 5.9 em que: 
• (W/kg)0 é o valor correspondente ao material com grãos orientados no sentido do fluxo 
magnético. 
• (W/kg)90 é o valor correspondente ao material com grãos orientados em 90º com o sentido do 
fluxo. 
Segundo normas de ensaio de transformadores, a corrente de excitação não deve exceder a 20% do 
valor constante em proposta do fabricante, quando se trata do fornecimento de um único transformador. 
Se 2 ou mais transformadores iguais estão sendo fornecidos numa mesma encomenda, a média das 
correntes de excitação de todo o lote não deve exceder ao valor proposto pelo fabricante. 
No que se refere às perdas em vazio do transformador, as normas especificam uma tolerância 
máxima de 10% a mais. 
A fixação dos valores garantidos para a corrente de excitação e para as perdas em vazio decorre de 
fatores econômicos. Na análise econômica do custo do transformador as perdas no ferro bem com as 
demais perdas são levadas em consideração. Um quilowatt hora de perdas custa ao usuário do 
transformador um determinado valor durante o tempo de vida do transformador ou durante o tempo que 
leva para que o investimento feito na compra retorne. Os custos das perdas é somado ao custo do 
equipamento quando as propostas de diversos fornecedores são comparadas. 
Finalmente, a corrente de excitação percentual dada pela expressão 4.21 pode ser dada também 
pela expressão 5.10. 
 
 
 
( ) ( )0 900 90
0
/ /
% 100 [5.10]
VA kg M VA kg M
I
Potência Nominal
+=
 
Walter Ries 39 
 TRANSFORMADORES 
6 – CÁLCULO DAS PERDAS DEVIDAS ÀS CORRENTES DE CARGA 
 As perdas provocam o aquecimento das diversas partes do transformador: núcleo, enrolamentos e 
óleo quando a parte ativa (núcleo e enrolamentos) está imersa em óleo. 
 As normas brasileiras da ABNT especificam os métodos de medida da temperatura nos enrolamentos 
e óleo bem como as elevações máximas de temperatura permitidas para cada classe de material isolante 
empregado. 
 A grande maioria dos transformadores de força e de distribuição possui a sua parte ativa imersa em 
óleo (mineral ou sintético) que proporciona um elevado isolamento entre as partes construtivas e é, ao 
mesmo tempo, um ótimo elemento refrigerante e condutor do calor gerado pelas perdas. Nos 
transformadores com parte ativa imersa em óleo o material isolante utilizado é normalmente de classe A 
(papel, papelão, tecido de algodão, etc.) cuja temperatura máxima de trabalho especificada é de 105 ºC. 
 Na fig. 6.1 tem-se um exemplo de transformador imerso em óleo mineral cuja refrigeração é feita por 
tubos pelo qual circula o óleo por efeito termo-sifão, isto é, o óleo aquece com as perdas, sobe ao longo 
dos enrolamentos e desce pelos tubos resfriando-se. O nível de óleo no interior é mantido um pouco 
acima dos furos superiores pelos quais passa o óleo. O transformador é hermeticamente fechado 
mantendo uma camada de ar superior para absorver a dilatação do óleo com o calor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 6.1: Transformador trifásico de distribuição, sem conservador de óleo 
 
 Na fig. 6.2 tem-se um transformador com conservador de óleo em que o nível de óleo no conservador 
varia de acordo com a dilatação do óleo pelo aquecimento devido às perdas. Quando esfria o óleo se 
contrai e o nível no conservador abaixa “respirando” ar do exterior através de uma câmera que contem 
material que absorve a umidade (sílica gel) evitando, assim, a contaminação do óleo. No interior da caixa 
do transformador o óleo aquecido sobe retornando para a parte de baixo através dos tubos de refrigeração 
que dissipam o calor para o ar externo. 
 Na fig. 6.3 vê-se também um transformador com conservador de óleo mas a refrigeração é realizada 
através de trocadores de calo óleo-água e utilizando uma bomba para forçar a circulação do óleo no 
interior da caixa. Esta circulação de óleo no interior da caixa é sempre de baixo para cima, portanto, no 
mesmo sentido de uma circulação por efeito termo-sifão. 
 Para a classe A de isolamento, as elevações máximas de temperatura do líquido isolante (óleo) e dos 
enrolamentos são as seguintes: 
a) Para transformadores sem conservador de óleo conforme fig. 6.1. 
 Líquido isolante Δθmáx. = 50ºC 
 Enrolamentos Δθmáx. = 55ºC 
Walter Ries 40 
 TRANSFORMADORES 
b) Para transformadores com conservador de óleo conforme figuras 6.2 e 6.3. 
Líquido isolante Δθmáx. = 55ºC 
 Enrolamentos Δθmáx. = 55ºC 
 A temperatura ambiente de referência é de 40ºC para transformadores refrigerados a ar externamente, 
como nas figuras 6.1 e 6.3. Para transformadores refrigerados com água através de trocadores de calor 
água-óleo a temperatura ambiente de referência é de 30ºC, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 6.2: Transformador trifásico com conservador de óleo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig.6.3: Transformador trifásico com conservador de óleo e trocador de calor óleo-água 
A temperatura do líquido isolante é medida mediante termômetro cujo bulbo é mergulhado cerca de 5 
cm no óleo na parte superior do tanque. Esta temperatura se denomina de temperatura de óleo de topo. A 
temperatura do óleo no topo é a mais elevada e no fundo é a mais baixa. Esta diferença de temperatura 
que chega a valores de 20 a 30ºC é conseqüência da circulação natural do óleo no interior do tanque por 
efeito termo-sifão. O óleo aquecido sobe “lambendo” os enrolamentos e o núcleo e desce através dos 
radiadores (tubos externos, radiadores em chapa estampada em forma de favos, etc.) ou é forçado a 
circular pelos trocadores de calor água-óleo como mostraa fig. 6.3. 
 As temperaturas dos enrolamentos são medidas pelo método da variação de resistência ôhmica das 
bobinas. As bobinas não possuem a mesma temperatura no sentido vertical, sendo mais baixa na 
Walter Ries 41 
 TRANSFORMADORES 
cabeceira inferior e mais alta na cabeceira superior, acompanhando a temperatura do óleo envolvente. 
Portanto, a temperatura medida pelo método da variação de resistência ôhmica fornece um valor médio 
da temperatura da bobina. A temperatura mais elevada das bobinas está, normalmente, na parte superior e 
as normas especificam que a elevação de temperatura no ponto mais quente não deve ultrapassar de 65 ºC 
em relação à temperatura do ambiente. Para uma temperatura ambiente de 40ºC a temperatura máxima no 
ponto mais quente não pode, portanto, ultrapassar de 105ºC que corresponde a classe A dos materiais 
empregados na construção de transformadores imersos em óleo. 
As perdas nos transformadores são constituídas por: 
1. Perdas no núcleo e perdas de excitação, já analisadas no parágrafo 4.2; 
2. Perdas joule nos enrolamentos produzidas pelas correntes de carga e que, por sua vez se dividem, 
 para efeito de cálculo, em:, 
• Perdas ôhmicas, 
• Perdas parasitas, 
• Perdas por circulação de corrente em condutores paralelos. 
3. Perdas parasitas por fluxo de dispersão. 
 As maiores perdas são as perdas joule nos enrolamentos, em segundo lugar têm-se as perdas no 
núcleo e, por fim, aparecem as perdas por fluxo disperso. 
 As perdas ôhmicas nos enrolamentos são aquelas equivalentes às produzidas por uma corrente 
contínua com valor igual ao valor eficaz da corrente alternada. No entanto, sabe-se que, ao circular por 
um condutor uma corrente alternada, o próprio fluxo gerado pela corrente induz tensões e correntes 
parasitas que aumentam as perdas joule neste condutor. Estas perdas parasitas dependem, entre outras 
causas, da configuração do fluxo que as produz e são calculadas separadamente para os diferentes 
enrolamentos do transformador. 
 As perdas por circulação de corrente podem ocorrer sempre que se têm condutores em paralelo que, 
por construção, ficam com comprimentos diferentes. Estas perdas são praticamente anuladas com a 
realização das transposições dos condutores em paralelo de modo a torná-los iguais em comprimento. 
 As perdas parasitas produzidas por fluxos dispersos gerados pela própria corrente de carga são 
difíceis de serem anulados e de serem calculados com certa precisão. Estas perdas são pequenas e muitas 
vezes podem ser desprezadas, desde que se tomem os necessários cuidados construtivos. 
 As normas de fornecimento de transformadores estipulam uma tolerância para as perdas garantidas 
pelo fabricante. Assim, a norma da ABNT estipula uma tolerância de 10% para as perdas no núcleo e de 
6% para as perdas totais. Estas tolerâncias devem cobrir todas as dificuldades de cálculo. 
 São as elevações de temperatura dos enrolamentos e do líquido isolante que limitam as potências dos 
transformadores em operação. 
6.1 – Perdas ôhmicas nos enrolamentos (Wo) 
 As perdas ôhmicas nos enrolamentos são calculadas pela expressão 6.1 em que “Rcc” é a resistência 
ôhmica do condutor do enrolamento medido com corrente contínua. A resistência “Rcc” é dada pela 
expressão 6.2 em função de 
• “ρ ” que é a resistividade do material condutor, em ohm-metro (Ωm), 
• “l” que é o comprimento do condutor em metros e 
• “s” que é a secção do condutor em m2. 
 [ ]
( )
2
0 ( ) 6.1
[6.2]
cc
cc
W I w
 
 
 As perdas nos enrolamentos são sempre dadas a uma temperatura de referência em função da classe 
de temperatura dos materiais isolantes empregados. A fig. 6.4 mostra as classes de temperatura dos 
materiais isolantes e as temperaturas de referência das perdas nos transformadores. 
R atts W
lR ohms
s
=
= Ωρ
Walter Ries 42 
 TRANSFORMADORES 
 
Classe Temper. Temper.
referência
ºC ºC
A 105 75
B 130 75
F 155 115
H 180 115
Fig. 6.4: Classe de isolamento dos materiais e 
temperatura de referência das perdas
 
 
 
 
 
 
 
 Os materiais condutores normalmente utilizados na construção dos enrolamentos são o cobre e o 
alumínio que apresentam boas propriedades elétricas como condutores de eletricidade conjugadas com os 
seus preços. Sendo “d” a densidade de corrente no condutor dada pela expressão 6.3, “Pc” o peso do 
condutor dado pela expressão 6.4 em que “γc” é o peso especifico do material, pode-se escrever a 
expressão 6.5 derivada da expressão 6.1. 
 ( )
( )
2
2 2
0
( / ) [6.3] [6.4]
[6.5]
c c f
c
c
Id A m P l s kg
s
W d l s d P W
γ
ρρ γ
= = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
 
 
 
 Na expressão 6.5 a resistividade deve ser dada para a temperatura de referência que, para a classe A 
de temperatura, é de 75 ºC. 
 A resistividade “ρ” do material corresponde, no sistema MKS, à resistência de um material com o 
comprimento de 1 metro e seção de 1 m², isto é, à resistência, em “Ohms-metro”, entre as faces opostas 
de um cubo de 1 m³. A unidade “Ohm-metro” é muito grande. Normalmente a resistividade é dada em 
“micro Ohm-metro” (μΩm) ou em “Ohms-milímetro ao quadrado por metro” (Ωmm²/m), isto é, a 
resistividade corresponde à resistência de um fio com um comprimento de um metro e seção de 1 mm². 
Os materiais condutores possuem resistividades diferentes. A prata é o condutor que apresenta a 
menor resistividade, portanto, é o metal que melhor conduz a eletricidade. 
A resistividade varia com a temperatura nos condutores metálicos, conforme se pode observar na fig. 
6.5. De 0ºC a 400 ºC, no cobre, o aumento da resistividade com a temperatura é praticamente linear. Nos 
condutores não metálicos, como o carvão, a resistividade diminui com a elevação da temperatura. 
A medida que a temperatura decresce, a resistividade dos materiais metálicos diminui ou a 
condutividade aumenta. Na temperatura de zero grau absoluto (-273ºC), ou muito próximo deste valor, os 
materiais tornam-se supercondutores, isto é, ficam com resistividade nula. Já foram feitas experiências 
com materiais cerâmicos que, em temperaturas muito baixas, mas ainda longe do zero absoluto, se 
tornaram supercondutores. 
 
ρο
 θºC
ρ
a
ρ2 
ρ1 
θ2 θ1− ΤºC 0º
b
c
de
ρ (θ)
f
Fig. 6.5: Variação da resistividade com a temperatura
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto (-TºC) é a temperatura que se obteria prolongando a faixa linear do gráfico até obter 
resistividade nula. Este ponto é fictício, no entanto, serve para se obter algumas simplificações na 
determinação da resistividade em função da temperatura. Assim, da semelhança dos triângulos (f,b,d) e 
(f,a,e) resulta a expressão 6.6: “fe = θ1 – (-T) = T+θ1” e, “fd = θ2 – (- T) = T+θ2”. 
Walter Ries 43 
 TRANSFORMADORES 
2 2
1 1
[6.6]T
T
ρ θ
ρ θ
+= +
 
 
 
 
Portanto, conhecida a resistividade a uma temperatura de referência, normalmente, de 20ºC, pode-se 
determinar a resistividade para qualquer temperatura, dentro da faixa linear. Para isto, naturalmente, deve-
se conhecer o ponto de temperatura “T” característico para cada tipo de material. 
 A função “ρ(θ) ” pode ser expressa por um polinômio, conforme mostra a expressão 6.7 e que se 
aproxima muito da expressão 6.8 na faixa linear de variação da resistividade. Nesta expressão, define-se 
uma constante “α” que representa a variação por unidade (pu) e por ºC da resistividade do material. A 
expressão 6.9 fornece a variação da resistividade tomando-se como referência a temperatura de 20ªC. 
( )
( )
2 3
0 1 2 3
1
0 1 0 0
0
20 20
................ [6.7]
1 1 [6.8]
1 20 [6.9]
ρ ρ α θ α θ α θαρ ρ α θ ρ θ ρ αθρ
ρ ρ α θ
= + + + +
⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + −⎡ ⎤⎣ ⎦
 
Normalmente, o que aparece nas tabelas técnicas, que dão os valores da resistividade dos materiais, é 
a resistividade a 20ºC e o coeficiente de variação da resistividade com a temperatura “α“, também a 20º, 
conforme mostra a tabela da fig. 6.6. 
 
Observa-se que alguns materiais, como o constantan e o níquel cromo possuem uma resistividade 
muito elevada e, portanto, estes materiais são apropriados para a construção de elementos aquecedores 
elétricos (estufas, chuveiros elétricos, etc.) O carvão possui uma resistividade muito elevada e foi o 
primeiro material utilizado na construção do filamento de lâmpadas incandescentes e, depois, substituído 
por tungstênio (wolfrâmio). 
 
 Material ρ20 (μΩm) α20 (1/ºC)
Alumínio 0,028 0,00403
Arame de aço 0,10 a 0,15 0,00400
Ouro 0,023 0,00450
Cobre 0,0172 0,00393
Prata 0,016 0,00410
Constantan 0,49 a 0,51 0,00003
Ni Cr.80 20 1,09 0,00010
Carvão 35 0.0005
Grafite p/eletrodo 7 a 8 0,00000
Fig. 6.6: Resistividade de alguns mateiais concudores
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igualando-se a expressão 6.6 com a expressão 6.9 e tomando-se 20ºC como temperatura de 
referência, resulta a igualdade 6.10 da qual se pode obter a temperatura fictícia “T” do material, dada pela 
expressão 6.11. Como “T” é uma constante para cada material e o coeficiente de variação da resistividade 
com a temperatura é uma função da temperatura inicial “θ1”. 
 
( )
1
20
20
20
1
1 20 [6.10]
20
1 20 [6.11]
1 [6.12]
T
T
T
T
θ
ρ θ α θρ
α
θα
+= = + −+
= −
= −
Walter Ries 44 
 TRANSFORMADORES 
 
 
O uso da expressão 6.6 para calcular a resistividade e, em última análise, a resistência de um 
condutor, quando a temperatura varia de “θ1” para “θ2”, é muito prática, pois não se tem necessidade de 
voltar sempre à temperatura de referência. No entanto, a aplicação da expressão 6.6 exige o conhecimento 
da temperatura “fictícia” “T” do material. Para o caso do cobre, aplicando a expressão 6.11, tem-se: 
 
 T = 1 / 0,00393 – 20 = 234,5, ou seja, “-234,5 ºC ” 
 
e, para o alumínio: 
 T = 1 / 0,00403 – 20 = 228,1 ou seja, “-228,1 ºC ” 
 
 A tabela da fig. 6.7 fornece, para o cobre eletrolítico recozido e o alumínio eletrolítico, as principais 
características necessárias para o calculo das perdas ôhmicas segundo a expressão 6.5. A resistividade do 
cobre eletrolítico recozido e a 20ºC é normalmente tomado como padrão de referência de condutividade. 
Convenciona-se, nestas condições, que a condutividade do cobre é de 100% (ou 100 IACS-International 
Annealed Copper Standard). Os demais materiais condutores, com exceção da prata, possuem 
condutividades inferiores a do cobre. O próprio condutor de cobre, quando trefilado, encrua e se torna 
duro passando a ter uma condutividade de somente 97,3% ou seja, uma resistividade de 1,0278 vezes 
maior do que o cobre recozido. 
 
Material Resistividade a 20ºC
Cobre
Aluminio
8.890
2.703
100
60,97
0,00393
0,00403
-234,5
-228,1
Temperatura T
do material em ºC
Peso Específico
Kgf / m³
Condutividade
% I.A.C.S ρ (ohms metro)
Coef. Temp. a 20ºC
α
81,7241 10−⋅
62, 8280 10−⋅
 
Fig. 6.7: Características elétricas do cobre eletrolítico recozido e do alumínio eletrolítico 
 
 Conhecida a resistividade do material condutor a 20º C, pode-se calcular a resistividade do cobre e do 
alumínio na temperatura de referência para a classe de material isolante utilizado. Assim, para a classe A 
de material isolante, em que a temperatura de referência é de 75ºC, resulta: 
 
Colocando na expressão 6.5 os valores das resistividades a 75ºC e usando os valores dos pesos 
 
O peso de material condutor de cada enrolamento é calculado através das seguintes grandezas: 
 kgf / m3 
N
8
75 20
8
75 20
234,5 75: 2,0967 10 [6.13]
234,5 20
228,1 75: 3, 4549 10 [6.14]
228,1 20
Para o cobre m
Para o alumínio m
ρ ρ
ρ ρ
−
−
+= = ⋅ Ω+
+= = ⋅ Ω+
 
 
específicos dados na tabela da fig. 6.7, podem-se determinar as perdas ôhmicas dos enrolamentos a partir 
da expressão 6.15 para o condutor de cobre e a expressão 6.16 para o condutor de alumínio. 
 
 ( )12 20 2,36 10 [6.15]CuW d P W−= ⋅ ⋅ ⋅
( )12 20 12,8 10 [6.16]AlW d P W−= ⋅ ⋅ ⋅ 
 
 
• D = diâmetro médio da bobina, em metros (ver fig. 6.8) 
• s = secção de uma espira, em m2 
• γc = peso específico do condutor em
• = número de espiras da bobina 
Walter Ries 45 
 TRANSFORMADORES 
 
O peso do condutor de uma bobina é dado pela expressão 6.17 e o peso do condutor de cobre de uma 
bi
 
 
álculo de máquinas sempre se deve simplificar e padronizar as expressões a fim de reduzir as 
oss
.2 – Perdas parasitas nos condutores 
Os condutores usados na construção dos enrolamentos possuem a secção circular ou retangular. A 
2
mesmo 
o
beceiras de duas bobinas de BT e AT de um 
rans
 
Fig. 6.8: Corte vertical da parte viva (núcleo e bobinas) e detalhe de uma cabeceira
DAT
DBT
AT
C
BT
NBT NAT
DBT
DAT
Culatra
C
ol
un
a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
bo na e do condutor de alumínio de uma bobina é dado, respectivamente, pelas expressões 6.18 e 6.19. 
 
 ( ) [6.17]C c fP D s N kg= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅π γ
( )
( )
27.929 [6.18]
8.492 [6.19]
Cu f
Al f
P D s N kg
P D s N kg
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
 
 
 
 
 
 No c
p ibilidades de erros. 
 
6
 
 
secção circular, normalmente, é usada até 8 mm de secção o que corresponde, aproximadamente, ao 
condutor de bitola 8 AWG. Para secções maiores são utilizados condutores de secção retangular e, 
freqüentemente, em forma de chapa fina em transformadores de distribuição de pequena potência. 
 A escolha da forma da secção do condutor depende muito das perdas parasitas produzidas no 
pel fluxo oriundo da própria corrente que por ele circula. 
 A fig. 6.9 mostra uma secção reta de um lado das ca
t formador, seja ele monofásico ou trifásico. Para se analisar os conceitos de cálculo e projeto é 
suficiente a representação feita nesta figura, pois, as cabeceiras inferiores são simétricas às superiores. 
Nos cortes das bobinas de BT e AT, vê-se a secção dos condutores singulares e, entre eles, o isolamento 
(em classe A, papel Kraft). As correntes de carga, primária e secundária, produzem um fluxo de dispersão 
como mostra a fig. 6.9. Como a permeabilidade magnética é muito maior no ferro (núcleo) do que no ar 
(ou óleo, papel, material condutor) ela pode ser considerada infinita no ferro, para uma primeira 
aproximação, o que leva a concluir que a superfície do núcleo é uma superfície equipotencial do campo 
magnético de dispersão. Assim sendo, as linhas de fluxo de dispersão devem entrar e sair, 
perpendicularmente, na superfície do núcleo. 
 
 
Walter Ries 46 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O fluxo de dispersão é produzido pela “fmm=NI” da bobina de baixa tensão e da bobina de alta 
ns
adial das bobinas e no 
ana
orém, nas cabeceiras 
 com altura menor do que 
al
 c = a1 + δ + a2
os, no entanto, para a maioria dos casos, é 
Culatra
te ão. Estas duas “fmm” são aproximadamente iguais e, portanto, a metade do fluxo de dispersão é 
produzida pela bobina de baixa tensão e a outra metade pela bobina de alta tensão. 
 Na parte de baixo da fig. 6.9 mostra-se como se distribui a “fmm” no sentido r
c l central entre a BT e a AT. A densidade de fluxo é nula na face interna da BT e cresce quaselinearmente a medida que vão se acrescentando os ampère-espiras da bobina de baixa tensão. Entre a BT 
e a AT os ampère-espiras são constantes e iguais a ”NI”. A partir da face interna da AT os ampère-espiras 
passam a decrescer linearmente até se anular quando se atinge a face externa da AT. 
 Na parte central das bobinas, no sentido axial, as linhas de fluxo são paralelas, p
elas se dispersam (franjamento) aumentando a secção “A” de passagem de todo o fluxo de dispersão do 
primário e do secundário. Isto significa que nas cabeceiras a relutância magnética “l/μ Α” é menor do 
que na parte central das bobinas. Ao longo de toda a altura “hg” da janela do núcleo a secção do fluxo 
total não é constante e dificulta bastante determinar a relutância ou a permeância deste trecho do circuito 
magnético que, praticamente constitui a relutância total uma vez que o retorno através do núcleo tem uma 
relutância praticamente nula devido à alta permeabilidade magnética do ferro. 
 A fig. 6.10 mostra um canal de fluxo equivalente, sem franjamento, porém
a tura da janela do núcleo, mas maior do que a altura das bobinas. Isto é, este canal deve ter a mesma 
relutância magnética da fig.6.9 em que, com a diminuição da altura e redução da secção nas zonas de 
franjamento, obtém-se um canal de secção constante, facilitando o cálculo da relutância. Através de 
estudos teóricos, Rogowski determinou uma relação entre a nova altura “hk” do canal com a altura “h” 
das bobinas. Disto resultou no coeficiente de Rogowski KR dado pela expressão 6.20, onde a dimensão 
radial do canal é dada por: 
 
 A expressão deduzida por Rogowski ainda tem mais term
suficiente a aproximação dada pela expressão 6.20, se “δ<c/2” e “c/h<2” ou ainda se “c/πh<0,3”. 
 
C
ol
un
a
C
ATBT
×
a
a
a1 a2δ
c
NI
o x
Fig. 6.9: Fluxo de dispersão real entre BT e AT
Culatra
C
ol
un
a
C
ATBT
×
h hk hg
a
a
a1 a2δ
c
NI
o x
Fig. 6.10: Fluxo de dispersão equivalente, de Rogowski
Walter Ries 47 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 Com esta nal de dispersão 
ag
 
perdas 
ara
Tudo acontece como se a resistência ôhmica do condutor tivesse aumentado e as perdas totais no 
condutor passam, então, a ser dadas pela expressão 6.22b, enquanto as perdas ôhmicas são dadas pela 
α
πh-
c
R
K
R
K
0 0 R
h c cK = 1- 1- ε 1- [6.20]
h πh πh
NI NIH = = K [6.21 ]
h h
NIB = μ H = μ K [6.21b]
h
NIq = [6.21 ]
h
a
c
⎛ ⎞≅ ≅⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
 
 
 
 simplificação a intensidade de campo “H” no comprimento “hk” do ca
do fluxo também passa a ser constante e dado pela expressão 6.21a. Também a indução magnética ao 
longo de todo o canal se torna constante e dado pela expressão 6.21b. A relação entre os ampère-espiras e 
a altura da bobina recebe a denominação de “carregamento elétrico da bobina” conforme expressão 6.21c. 
 Os condutores, representados com secção retangular, também são atravessados pelas linhas de fluxo 
m nético e, portanto, são geradas correntes parasitas nestes condutores, a semelhança do quanto foi visto 
nas chapas magnéticas do núcleo. A fig. 6.11 mostra a secção reta de uma bobina onde se observam as 
dimensões dos condutores, a altura “h” da bobina e sua dimensão radial “a”. No detalhe da fig. 6.12 
mostra-se o fluxo de dispersão “φ” atravessando o condutor, a corrente de carga “I” que circula pelo 
condutor e as correntes parasitas que se formam. O sentido das correntes parasitas é o de contrariar o 
fluxo que as gera. Estas correntes parasitas se compõem com a corrente de carga resultando uma 
distribuição não uniforme da corrente na secção do condutor. No caso da fig. 6.12 a densidade de corrente 
aumenta do lado direito da secção do condutor e diminui no lado esquerdo. Como as perdas ôhmicas 
aumentam com o quadrado da corrente esta distribuição não uniforme produz um aumento das perdas 
Joule. A este aumento das perdas dá-se o nome de perdas parasitas “Wp”. 
 β
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como se vê, as perdas Joule nos condutores são compostas pelas perdas ôhmicas “Wo” e as 
p sitas “Wp” (expressão 6.21). 
 
 
 
 
 
h
a
"n" condutores
"m" condutores
Fig. 6.11:Secção reta de uma bobina
correntes parasitas
×
×
×
φ
I corrente de caarga
××
Fig. 6.12: Detalhe de um condutor da bobina
2 2[6.22 ] [6.22 ] [6.23]
1 1 [6.24] 1 [6.25]
c o p c o cc
pc o c
p p
o o o cc cc
W W W a W RI b W R I
WW W W R Rk k
W W W R R
= + = =
−= = = − = − = +
Walter Ries 48 
 TRANSFORMADORES 
expr
p
perdas totais e a resistência medida em corrente contínua, 
nf
 uma distribuição triangular do fluxo atravessando os condutores, como 
 
 
ões acima todas as dimensões lineares são dadas em metro e a resistividade ρ em Ωm na 
temperatura de referência (75º C passa classe A de isolamento). 
 
6.13: Gráfic (ξ) e ψ1(ξ). 
am na 
expressão 6.26 para determinar a relação entre perdas Joule e perdas ôhmicas em função das dimensões, 
isp
essão 6,23. A resistência “Rcc” é aquela medida em corrente contínua e a resistência “R” é a 
equivalente das perdas totais no condutor. 
 Pode-se, pois, definir um coeficiente de perdas parasitas, “k ”, dado pela expressão 6.24 e obter a 
relação entre a resistência equivalente de 
co orme expressão 6.25. 
 A relação entre estas resistências, dada pela expressão 6.25 também foi estudada por Rogowski e, 
para o caso em que se tem
nos canais “a1” e “a2” da fig. 6.10, tem-se a expressão 6.26, em que o parâmetro “ξ” é dado pela 
expressão 6.27. As funções auxiliares ϕ(ξ) e ψ(ξ) são dadas pelas expressões 6.28 e 6.29, 
respectivamente. 
 2 1R n
3
( ) ( ) [6.26]
3
2 10 [6.27]
10
(2 ) (2 )( ) [6.28]
(2 ) s(2 )
( ) ( )( ) 2 [6.29]
( )
cc
R
R
m f K
h
senh sen
cosh co
senh sen
cosh( )+cos
ϕ ξ ψ ξ
αξ π β ρ
ξ ξϕ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ
 
 
 
 
 
 ψ ξ ξ ξ ξ
−
= +
⋅= ⋅ ⋅ ⋅⋅
+= ⋅ −
−= ⋅
−
 
 
 Nas express
 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,5 1 1,5 2
ξ
ϕ(ξ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. o das funções ϕ(ξ) e ψ(ξ), e das funções simplificadas ϕ1
 Na fig. 6.13 têm-se representadas, graficamente, as funções auxiliares ϕ(ξ) e ψ(ξ) que entr
d osição e características do condutor que determinam o parâmetro ξ através da expressão 6.27. 
Trabalhar com este sistema de expressões é bastante laborioso, motivo pelo qual se procura sempre 
chegar a equações mais simples. Assim, verifica-se nos projetos normais, que o parâmetro “ξ” sempre é 
menor do que 1(um). Conseqüentemente, podem-se substituir as funções ϕ(ξ) e ψ(ξ) por funções mais 
 
 ψ(ξ)
ϕ1(ξ)
ψ1(ξ)
Walter Ries 49 
 TRANSFORMADORES 
simples validas pra ξ ≤ 1. Chega-se, pois, às expressões 6.30 e 6.31 que também estão representadas no 
gráfico da fig.6.13 com linhas pontilhadas. 
 Substituindo as expressões 6.30 e 6.31 na expressão 6.26 obtém-se a expressão 6.32 cujo último 
rm
para um condutor retangular com dimensões “α” e “β”. Se o 
As perdas parasitas são dadas pela expressão 6.36 em que o coeficiente “kp” é dado pela expressão 
8 
se 
 
 
 Fig. 6.14: Valores de kp de cobre e alumínio com secções retangulares e circulares 
Mateiral Wo Secção
 Watts
Retangular
Cobre
Circular
Retangular
Alumínio
Circular
te o pode ser desprezado o que resulta na expressão 6.33 que é a expressão utilizada normalmente. O 
valor de “ξ” é dado pela expressão 6.27 
 Todas estas expressões são válidas 
condutor tem uma seção circular com diâmetro “dc”, a relação entre as perdas Jouletotais e perdas 
ôhmicas são dadas pela expressão 6.34 em que o valor de “ξ” é dado pela expressão 6.35. 
 
4( ) 1 [6.30]
45
1( ) [6.31]
3
11 [6.32]
9 45
1 1 [6.33]
9
1 1 [6.34]
15,25
2 10 [6.35]
10
cc
c
p
o cc
c
p
o cc
c
c R
R n
R
W R n k
W R
W R n k
W R
m d fd K
h
ϕ ξ ξ1
4
1
2
4 4
2
4
2
4
3
4
 
 ψ ξ ξ
ξ ξ
ξ
ξ
ξ π ρ
−
= +
=
≅ + −
= ≅ + = +
= ≅ + = +
⋅= ⋅ ⋅ ⋅⋅
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.37 para os condutores de secção retangular e pela expressão 6.38 para condutores de secção circular. 
2
4 42[6.36] [6.37] [6.38]
9 15,25p p o p p
nnW k W k kξ ξ= = =
Substituindo a expressão 6.27 na expressão 6.37 e substituindo a expressão 6.35 na expressão 6.3
obtêm os coeficientes de perdas parasitas, respectivamente, para condutores de secção retangular e 
condutores com secção circular, conforme está apresentado no quadro da fig. 6.14. 
 Perdas ôhmicas
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p
p
o
W
k
W
=
 
 
 
83, 4549 10−⋅
2
62,8 R
NIK f
h d
β⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
2
61, 4 cR
dNIK f
h d
⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
2
38,1 R
NIK f
h d
β⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
2
37, 2 cR
dNIK f
h d
⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
Walter Ries 50 
 TRANSFORMADORES 
 O produto de “m” condutores no sentido axial por “n” condutores no sentido radial resulta no 
m
c. 
ção “s” tem-se circulando pelo mesmo uma 
 αβ. 
 = π dc2 / 4. 
 dadas no quadro da fig. 6.14. 
o número de 
nd
 NcIc = NI 
e perdas parasitas da fig. 6.14 aparece sempre a 
“fmm
observadas, as perdas parasitas crescem com o quadrado da dimensão radial, 
”
 kp ≤ 0,20 
tas que aparecem no quadro da fig. 6.14 foram 
 número de ampère-espiras por metro de altura da bobina é denominado de 
 
 Se as alturas das bobinas prim rregamento elétrico pode ser 
repr
o carregamento elétrico da bobina de BT, junto ao núcleo. 
om
nú ero total de condutores na secção da bobina. Isto é: 
 mn = N
 Sendo “d” a densidade de corrente pelo condutor de sec
corrente “Ic” dada pelo produto da densidade pela secção do condutor, isto é: 
 Ic = sd. 
 Para o condutor de secção retangular se tem: 
 s = 
 Para o condutor de secção circular se tem: 
 s
 Fazendo todas estas substituições, resultam as expressões
 Uma espira pode ter um ou mais condutores em paralelo, no entanto o produto d
co utores existente na seção da bobina multiplicado pela corrente que circula em cada condutor é 
sempre igual ao número de espiras da bobina multiplicado pela corrente de carga que circula pelas 
espiras, isto é: 
 
Resulta, assim, que nas expressões do coeficiente d
” dada por “NI”. 
 Como podem ser 
“β para o condutor retangular e com o quadrado do diâmetro “dc” para o condutor com secção circular. 
Estas dimensões devem ser, portanto, mantidas tão pequenas quanto necessárias a fim de limitar as perdas 
parasitas a um valor desejado. Em geral, procurá-se manter as perdas parasitas a um valor abaixo de 20% 
das perdas ôhmicas, isto é: 
 
 Deve-se repisar que os coeficientes de perdas parasi
escritos para o caso em que se tem uma distribuição triangular do fluxo atravessando os condutores, 
como nos canais a1 e a2 da fig. 6.10. Como conseqüência, todos dos coeficientes de perdas parasitas da 
fig. 6.14 foram calculados para um caso particular de distribuição do fluxo de dispersão. No caso do canal 
δ da fig. 6.10 as expressões até aqui desenvolvidas não são mais válidas. Deve-se desenvolver, portanto, 
uma expressão para o coeficiente de perdas parasitas que seja válida para qualquer forma de distribuição 
do fluxo de dispersão. 
 Como foi visto, o
carregamento elétrico do transformador e designa-se pela letra “q”. 
 
[6.39]NIq =
h 
ária e secundária são iguais, o ca
esentado, graficamente, pela mesma curva de distribuição da “fmm” ou da indução “B” do fluxo de 
dispersão que é dado pela expressão 6.21b. 
 Na fig. 6.15 tem-se a representação d
C o na expressão do coeficiente de perdas parasitas aparece o carregamento elétrico ao quadrado e 
correspondendo ao valor máximo no canal, a generalização da expressão compreende em expressá-la em 
função do valor médio quadrático da função “q2(x)” dado pela expressão 6.40 quando a variação do 
carregamento elétrico cresce ou decresce em rampa em função da dimensão radial da bobina. Para o caso 
do canal central “δ ”entre as bobinas, o valor do carregamento médio quadrático é igual ao quadrado do 
valor máximo do carregamento que á constante na dimensão radial do canal (expressão 6.41). 
 
 
 
Walter Ries 51 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
ráticos do carregamento elétrico são calculados para cada um dos canais do 
ux
6. 
 
 
1
2
2 2 2
0
1
2
2 2
1 1 1( ) [6.40]
3 3
[6.41]
a NIq q x dx q
a h
NIq q
h
⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
 
x
q²
 q
 
 
 
 
 2q
 
 
a10 
 
 
 Os valores médios quad
fl o de dispersão em que se encontram condutores susceptíveis de produzirem perdas parasitas. No caso 
de um transformador com somente 2 enrolamentos, como na fig. 6.10, os valores médios quadráticos do 
carregamento elétrico “q = NI/h” dos canais “a1” e “a2” são iguais e dados pela expressão 6.40. 
 É normal que o transformador tenha 3 ou mais enrolamentos, como representado na fig. 6.1
 
C
AT 1BT AT 2 R
× ×
1 2 3 4 5 6 7 x
q1
q2
q3
q
C
ol
un
a
Culatra
Fig. 6.16: Transformador com 4 enrolamentos
Fig. 6.15: Carregamento elétrico da BT
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Walter Ries 52 
 TRANSFORMADORES 
 
 Na fig. 6.16 tem-se a “AT” dividida em duas bobinas com o mesmo número de espiras e um 
ção do carregamento está representada na parte de baixo da figura resultando 7 canais de 
 
As expressões 6.45 até 6.51 dão os valores do carregamento médio quadrático de cada canal. 
 
 
enrolamento de regulação que tanto pode ser adicionado à “AT” como pode ser subtraído. Nesta figura o 
enrolamento de regulação está sendo subtraído da “AT” conforme mostra o sentido das correntes nos 
enrolamentos. 
 A distribui
circulação do fluxo de dispersão total do transformador. Pode-se calcular o valor médio quadrático do 
carregamento para cada um dos canais de dispersão em função dos três carregamentos dados pelas 
expressões 6.42, 6.43 e 6.44 em função do número de espiras e correntes dos enrolamentos de BT e AT, 
considerando que a AT está dividida em duas bobinas, cada uma das quais com a metade do número de 
espiras da AT. 
 1 1
N I
1
1 1 2 2
2
1 1 2 2 2 2
3
[6.42]
[6.43]
2
[6.44]
2 2
q
h
N I N Iq
h h
N I N I N Iq
h h h
=
= −
= − −
 
 
 
 
 
( )
( )
2 21
1
2 2
1
2 2 2
1 2 1 2
2 2
2
2 2 2
2 3 2 3
2 2
3
2 2
3
1: [6.45]
3
2 : [6.46]
13: [6.47]
3
4 : [6.48]
15 : [6.49]
3
6 : [6.50]
17 : [6.51]
3
Canal q q
Canal q q
Canal q q q q q
Canal q q
Canal q q q q q
Canal q q
Canal q q
=
=
= + +
=
= + −
=
=Perdas ôhmicas Perdas parasitas
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 6.17: Resumo das expressões para o cálculo das perdas ôhmicas e das perdas parasitas
Mateiral Wo Secção Wp=kp×Wo
Watts Watts
Retangular
Cobre
Circular
Retangular
Alumínio
Circular
12 2
0 12,8 10 AlW d P
−= ⋅ ⋅ ⋅
12 2
0 2,36 10 CuW d P
−= ⋅ ⋅ ⋅ ( )26 2167 10 R CuK f P qβ−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( )26 2236,1 10 R AlK f P qβ−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( )26 2163, 4 10 R c CuK f d P q−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( )26 2230,5 10 R c AlK f d P q−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
27.929Cu fP D s N kg= ⋅ ⋅ ⋅
8.492Al fP D s N kg= ⋅ ⋅ ⋅
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Walter Ries 53 
 TRANSFORMADORES 
 A expressão 6.52 dá as perdas parasitas num condutor de cobre com secção retangular situado num 
canal com distribuição triangular do carregamento elétrico. Esta expressão resulta do produto do fator de 
perdas parasitas dadas na fig. 6.14 multiplicada pelas perdas ôhmicas dadas pela expressão 6.18. 
Substituindo-se o valor do carregamento elétrico máximo no canal pelo valor do carregamento médio 
quadrático resultam as expressões 6.53 e 6.54 para as perdas parasitas num condutor de cobre com secção 
retangular. A expressão 6.54 é agora uma expressão geral para qualquer tipo de distribuição do 
carregamento elétrico no sentido radial de um canal, em que o carregamento médio quadrático é dado por 
uma das expressões desenvolvidas para os 7 tipos de canais da fig. 6.16. Naturalmente só existirão perdas 
parasitas em canais que contenham condutores atravessados pelo fluxo de dispersão. Assim, na fig. 6.16, 
nos canais 2,4 e 6 não se tem condutores sendo atravessados pelo fluxo de dispersão e, portanto, não 
existem, aí, perdas parasitas. 
 
( )
2
12 2
2
2 12 2
26 2
62,8 2,36 10 [6.52]
62,8 3 2,36 10 [6.53]
167,1 10 [6.54]
p p o R Cu
p p o R Cu
p p o R Cu
NIW k W K f d P
h d
W k W K f q d P
d
W k W K f P q
β
β
β
−
−
−
⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 
 
 
 
 
 
 Fazendo as mesmas substituições para os condutores de secção circular e também para condutores de 
alumínio, resultam as expressões dadas no quadro da fig. 6.17. Note-se que em todas as expressões, as 
dimensões lineares são dadas em “metro”, o peso em “kgf” e a perdas em “Watt”. 
 Especial cuidado deve ser tomado no projeto de transformadores de grande potência quanto às perdas 
parasitas nos enrolamentos devidas ao franjamento do fluxo de dispersão nas cabeceiras das bobinas, 
conforme mostra a fig.6.9 e que é repetida na fig. 6.18 onde se inclui o caso em que as bobinas não 
possuem a mesma altura. 
 
Culatra
ΦT
ΦL
α
β
Culatra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observa-se que nas cabeceiras das bobinas o “fluxo disperso” possui duas componentes: uma axial 
ou longitudinal “ΦL” e outra radial ou transversal “ΦT”. A componente axial entra no condutor 
perpendicularmente à dimensão radial “β” produzindo perdas parasitas que são mantidas pequenas 
mediante escolha adequada do valor de “β” (1, 2, 3, ..........5 mm). A componente radial, no entanto, entra 
perpendicularmente à dimensão “α” do condutor, que, se for muito maior do que “β” produzirá perdas 
parasitas muito grandes nos condutores das cabeceiras das bobinas. Estas perdas, embora localizadas em 
pequena parte do enrolamento, podem ser bastante expressivas se não forem tomadas precauções no 
sentido de não exagerar no dimensionamento de “α”. Assim, a dimensão “α”, nestas zonas, deve ser 
C
ol
un
a
C
ATBT
×
a a
a a C
ol
un
a
C
ATBT
×
a
a
Fig. 6.18: Franjamento do fluxo nas cabeceiras com bobinas de mesma altura e com alturas diferentes
Walter Ries 54 
 TRANSFORMADORES 
reduzida a fim de evitar superaquecimento localizado nas cabeceiras. Quando as alturas das bobinas não 
são iguais, o franjamento do fluxo de dispersão nas cabeceiras é ainda mais pronunciado. Assim, deve-se 
evitar ao máximo o projeto de bobinas com diferentes alturas e limitar a dimensão de “α” a alguns 
milímetros (5 a 12 mm). 
 
6.3 – Perdas adicionais devidas ao fluxo de dispersão 
 O fluxo de dispersão produzido pela corrente de carga pode também produzir perdas parasitas em 
outras partes do transformador construídas com chapas ou perfis de ferro, tais como: prensas culatras, 
tirantes de prensagem das bobinas, paredes do tanque do transformador, etc.. 
 Nas cabeceiras das bobinas uma parte do fluxo de dispersão pode entrar no núcleo na direção 
perpendicular à largura das chapas do núcleo. Em transformadores de altíssimas potências pode-se ter um 
superaquecimento nas lâminas do núcleo localizadas nestas zonas em que o fluxo de dispersão entra no 
sentido perpendicular e a colocação de blindagens especiais torna-se necessário. Também podem ser 
usadas blindagens especiais junto às paredes do tanque para reduzir perdas adicionais e 
superaquecimentos localizados. 
 Estas perdas adicionais não podem ser calculadas com a facilidade desejada, e, normalmente, não 
representam mais do que 5% das perdas nos condutores. Sabe-se que estas perdas crescem quando a 
reatância de dispersão ou a energia armazenada no campo de dispersão aumenta. Alguns projetistas se 
utilizam desta relação para estabelecer, através de medições feitas em projetos executados, suas próprias 
fórmulas para avaliar as perdas adicionais devidas ao fluxo disperso. 
 
6.4 – Perdas por circulação de corrente 
 Quando diversos condutores são utilizados em paralelo a fim de manter a densidade de corrente, e 
assim as perdas Joule e as perdas parasitas dentro dos limites econômicos, podem surgir condições de 
circulação de corrente entre condutores se não forem feitas transposições. 
 
 
12
2 1
q
a1
C
C
ol
un
a
Culatra
C l t
12
Fig. 6.19: Espiras com 2 condutores isolados e em paralelo Fig. 6.20: Transposição dos condutores
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na fig. 6.19 está representada uma cabeceira de bobina em que as espiras são compostas por dois 
condutores em paralelo. Uma maneira de dispor as espiras é realizar o enrolamento em camadas. A fig. 
6.19 sugere que a bobina foi construída em 3 camadas com dois condutores em paralelo. Se as posições 1 
e 2 dos condutores permanecerem iguais em toda uma camada, os dois condutores não teriam o mesmo 
comprimento e, portanto não teriam a mesma resistência ôhmica e também não teriam como será visto no 
Walter Ries 55 
 TRANSFORMADORES 
capítulo 7, a mesma reatância de dispersão. Nos terminais da bobina os dois condutores, que estão 
isolados entre si ao longo de todo o enrolamento, são ligados eletricamente entre si. Nestas condições a 
tensão induzida na bobina fará circular correntes diferentes nos dois condutores o que equivale a dizer 
que existirá uma corrente circulante entre os dois condutores produzindo perdas adicionais. 
 A fig. 6.20 mostra como se pode, mediante transposições, fazer com que os dois condutores fiquem 
com o mesmo comprimento e passe a ocupar, o mesmo número de vezes, uma determinada posição no 
sentido radial de modo a serem atravessados pelo mesmo fluxo de dispersão. Uma única transposição por 
camada, no caso da fig. 6.19, seria suficiente para atingir este objetivo. No entanto, como nas cabeceiras 
das bobinas o fluxo de dispersão não permanece mais paralelo como na parte central, no mínimo uma 
transposição a mais em cada cabeceira é recomendável a fim de equilibrar as correntes nos dois 
condutores. 
 Um estudo mais detalhado sobre transposições será feito no capitulo 8, parágrafo 8.3. Deste modo, 
praticamente, são anuladas as perdas adicionais por circulação de corrente entre condutores em paralelo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Walter Ries 56TRNSFORMADORES 
7 - CÁLCULO DA REATÂNCIA DE DISPERSÃO. 
 No capítulo 6 foram estudadas a distribuição do fluxo de dispersão e a simplificação de Rogowski 
que elimina o franjamento nas cabeceiras das bobinas agregando um fator KR corrigindo a altura da janela 
do núcleo a fim de definir um circuito magnético geometricamente simples. Ao fluxo de dispersão 
corresponde uma Indutância L e, conseqüentemente, uma reatância XL de dispersão dada por XL = 
2πfL. 
 Dois são os processos que podem ser utilizados para o cálculo da indutância de dispersão: 
• Método do fluxo concatenado 
• Método da energia armazenada no campo magnético de dispersão. 
7.1 – Método do fluxo concatenado 
Este método é baseado nas expressões conhecidas e que são repetidas abaixo (expressões 7.1 e 7.2) 
 
2
[7.1]
[7.2]
N fluxo concatenadoL
I I corrente
L N
= = =
= ℘
λ φ
 
 
 
 A expressão 7.2 deve ser aplicada a cada um dos tubos de fluxo de dispersão representados pelos 
canais de dispersão d fig. 7.1. A soma de todas as indutâncias, relativas aos diversos canais, é a indutância 
de dispersão do transformador. 
 
ATBT ×
D2
D1
Dδ
h
hK
dx
N1
NX
a1 a2δ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 7.1: Fluxo de dispersão mostrando um tubo de fluxo elementar dx 
 
 A distribuição do fluxo de dispersão da fig. 7.1 mostra o gráfico do número de espiras ativas no 
sentido radial das bobinas. Na posição do tubo de fluxo elementar tem-se “Nx” espiras ativas da “BT”. A 
permeância deste canal elementar, situado no canal de largura ”a1” é dada pela expressão 7.3 em que “D1” 
é o diâmetro médio da bobina de “BT” e, por simplificação, todos os demais tubos de fluxo elementares 
deste canal terão o mesmo valor de diâmetro médio, porquanto “a1 << D1”. A altura dos canais é dada 
pela expressão 6.20 desenvolvida por Rogowski para enrolamentos com bobinas concêntricas. 
 
 
1 1 [7.3]o o
K K
dA D dxd
h h
⋅ ⋅ ⋅ ⋅℘= =μ μ π 
 
 
A indutância elementar correspondente ao tubo de fluxo elementar com largura dx da fig. 7.1 é dada 
pela expressão 7.4 em que o número de espiras ativas varia como indicado na expressão 7.5. 
 Integrando a expressão 7.4 entre os limites de zero a “a1” obtém-se a indutância correspondente ao 
canal de fluxo de disperso na bobina de “BT”, dada pela expressão 7.6. 
 
 
Walter Ries 57 
 TRNSFORMADORES 
 
 2
2 2 21 1 1
2
1
1
1
[7.4]
[7.5]
o o
x x
K K
x
D D NdL N d N dx x dx
h h a
NN x
a
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ℘= ⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅
μ π μ π
 
 
 
 
 
 
 
A expressão 7.7 dá a permeância do canal circular de largura “a1”, diâmetro médio “D1” e altura 
 
 hK = h / KR (expressão 6.20). 
 
 A expressão 7.8 dá o valor médio quadrático das espiras que atuam no canal “a1”. 
 
 
1 1
2
2 21 1 1
1 120 0
1
1 1
1
2 2
1 1
1 [7.6]
3
[7.7]
1 [7.8]
3
L Lo o
K K
o
K
D D aNL dL x dx N
h a h
D a
h
N N
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ = ⋅
⋅ ⋅ ⋅℘ =
=
∫ ∫μ π μ π
μ π
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Realizando o mesmo procedimento para os canais de largura “d” e “a2”, resultam as expressões 7.9 e 
7.10 respectivamente, para as indutâncias “Lδ” e ”L2”. 
 
2
1
22 2
2 1
[7.9]
1 [7.10]
3
o
K
o
K
DL N
h
D aL N
h
⋅ ⋅ ⋅= ⋅
⋅ ⋅ ⋅= ⋅
δ
δ
μ π δ
μ π
 
 
 
 
 
 
 
A indutância de dispersão total, referida ao lado do primário com “N1” espiras, é dada pela expressão 
7.11 que é a soma das expressões 7.6, 7.9 e 7.10. A reatância de dispersão será dada, portanto, pela 
expressão 7.12. 
 
2
1 1 2 2 1
1 1 [7.11]
3 3
2 [7.12]
o
K
L D a D D a N
h
X f L
⋅ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⋅ ⋅
δ
μ π δ
π
 
 
 
 
 
Para referir a indutância e, conseqüentemente também a reatância, ao secundário do transformador, 
basta substituir na expressão 7.11 o valor de “N1” pelo valor de “N2”. 
 Normalmente se calcula a reatância percentual pela expressão 7.13 em que a corrente “I “ e a tensão 
“E” podem ser, ou os valores nominais do primário ou do secundário. Um valor característico no projeto 
dos enrolamentos é o valor dos “volts por espira” dos enrolamentos, dado pela expressão 7.14. Também é 
uma grandeza característica dos enrolamentos o seu carregamento elétrico dado pela expressão 7.16. A 
altura do canal de dispersão “hK” pode ser substituída pela altura “h” das bobinas, dividida pelo fator de 
Rogowski K (expressão 7.15). 
 
% 100 [7.13] [7.14]
[7.15] [7.16]K
I X EX e
E N
h Nh q
K h
I
⋅= =
= =
 
 
 
 
 
 
Walter Ries 58 
 TRNSFORMADORES 
 
 O canal de dispersão do fluxo magnético é constituído pelas bobinas e óleo. A permeabilidade 
magnética destes materiais é a mesma do ar ou do vácuo, isto é: 
 
 4π.10-7 H/m 
 
 Pela combinação das expressões 7.11 a 7.16, obtém-se a expressão 7.17 para a reatância percentual 
do transformador com dois enrolamentos como mostra a fig.7.1. 
 
3
1 1 2 2
1 1% 2, 48 10 [7.17]
3 3
f NIX K D a D D a
e h δ
δ− ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
 
 
Para um maior número de enrolamentos deve-se somar a contribuição de todos os canais de dispersão 
na formação da indutância ou reatância de dispersão. 
 
7.2 – Método da energia armazenada no campo magnético de dispersão do fluxo 
 A energia armazenada num campo magnético de volume “V”, indução “B” e intensidade de campo 
“H” ela é dada pela expressão 7.18. 
 
1 [7.18]
2 V
W B H dV Joules= ⋅ ⋅∫ 
 
 Em função da indutância, esta energia também pode ser dada pela expressão conhecida 7.19 em que 
“i” é o valor instantâneo da corrente que produziu a intensidade de campo “H” e, por conseguinte, a 
indução “B = μH”. Quando a corrente instantânea é máxima a energia armazena também será máxima. Se 
a corrente for senoidal, o valor máximo da energia também pode ser dado em função da corrente eficaz 
como se observa na expressão 7.20. 
 
2 2
max
1 1[7.19] [7.20]
2 2
W L i W L I L I= ⋅ = ⋅ = ⋅ 2
 
 
 Conhecido o valor da energia armazenada no campo magnético do transformador, pode-se 
determinar pela expressão 7.20 o valor da indutância total e, conseqüentemente, o valor da reatância 
percentual, conforme expressões 7.21 e 7.22. 
 
 
 2
2[7.21] % 100 100 [7.22]W I X fL X W
I E E I
⋅= = = ⋅⋅
π
 
Com se vê, a reatância percentual é diretamente proporcional á energia armazenada no campo de 
dispersão. 
 Este método é de aplicação bastante simples principalmente quando as ligações ou a configuração 
interna do transformador são complexas. Um exemplo desta complexidade é o transformador regulador 
com 2 núcleos dentro do mesmo tanque, como mostra o circuito simplificado da fig. 7.2 em que se 
representa somente uma das fases com a “BT” ligada em delta e a “AT” em estrela. 
 Neste caso, calculam-se as energias armazenadas nos campos de dispersão dos transformadores “T1” 
e “T2”, cuja soma “W = W1 + W2” é levada à expressão 7.22 para se calcular a reatância percentual do 
conjunto. 
 
 
 
 
Walter Ries 59 
 TRNSFORMADORES 
 
 
 T1
Δ
T2
E1 E2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 7.2: Transformador regulador com transformador série. 
 
 
 A energia armazenada no campo de dispersão do fluxo é calculada pela expressão 7.18 em que se 
substitui a indução B dada pela expressão 7.23, e a intensidade de campo H dada pela expressão 7.24. 
 
 
max
0 [7.23] 2 2 [7.24]R R
K
NI NIB H H K q K
h h
= = = = ⋅μ 
 
 
 Resulta, assim, a expressão 7.25 que dá a energiaarmazenada em função do carregamento elétrico 
“q” da bobina e das dimensões dos canais de dispersão do fluxo. 
 
 
2 2
0 [7.25] [7.26]KV
D hW K q dV dV D h dx dx
K
⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =∫ πμ π 
 
 
 O volume elementar do canal de dispersão é dado pela expressão 7.26, sendo: 
• D = diâmetro médio do canal 
• h = a altura da bobina 
• K = o fator de Rogowski 
 A expressão 7.26 é aproximada mas admissível, pois, as dimensões radiais dos canis de dispersão são 
muito menores do que os diâmetros médios destes canais, isto é “a << D”. 
 Substituindo na expressão 7.25 o volume elementar dado pela expressão 7.26, resulta a expressão 
7.27. Introduzindo, ainda, o conceito de valor médio quadrático, dado pela expressão 7.28 e já analisado 
no estudo das perdas parasitas, resulta a expressão genérica 7.29 ou 7.30 para a energia armazenada em 
um canal de dispersão com dimensão radial “a”. 
2 2 2
0
2 7
0
1[7.27] [7.28]
[7.29] 39,5 10 [7.30]
a a
x xo o
W D h K q dx q q dx
a
W D a h K q W K Dha q−
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∫ ∫μ π
μ π 2
 
 Na expressão 7.30 as dimensões lineares são dadas em metros e o carregamento elétrico “q” da 
bobina em ampère-espiras por metro. 
 O procedimento a seguir é o de determinar, para cada canal, o valor médio quadrático do 
carregamento elétrico, em função da distribuição do fluxo de dispersão, como já foi visto no estudo das 
perdas parasitas nos enrolamentos. A fig. 7.3, praticamente repete a fig. 6.16. Também as expressões 7.31 
a 7.37 repetem as expressões 6.45 a 6.51 para o cálculo do valor médio quadrático de cada um dos 7 
canais. 
Walter Ries 60 
 TRNSFORMADORES 
 
 
D2 D4 D6
× ×
100 -60 -80 40
D1 D3 D5 D7
1 2 3 4 5 6 7
q1
q2
q3
q
a3a1 a2 a4 a5 a6 a7
h
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 7.3: Distribuição do fluxo de dispersão num transformador com 4 bobinas. 
 
O que se verifica é que se têm quatro expressões diferentes para os valores médios quadráticos dos 
carregamentos elétricos. Para a fig. 7.3, a distribuição do fluxo dos canais 1 e 7 são iguais, dos canais 2, 4 
e 6 são iguais e, os canais 3 e 5 se diferenciam apenas pelo sinal dos produtos dos dois carregamentos 
elétricos que entram na expressão do carregamento médio quadrático do canal. 
 
( )
( )
2 2
1
2 2
1
2 2 2
1 2 1 2
2 2
2
2 2 2
2 3 2 3
2 2
3
2 2
3
11: [7.31]
3
2 : [7.32]
13: [7.33]
3
4 : [7.34]
15 : [7.35]
3
6 : [7.36]
17 : [7.37]
3
Canal q q
Canal q q
Canal q q q q q
Canal q q
Canal q q q q q
Canal q q
Canal q q
=
=
= + +
=
= + −
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As vezes o projeto de isolamento pode ser beneficiado tendo bobinas com alturas diferentes, dentro 
de certos limites que não tragam outras conseqüências perniciosas para o projeto. Nestas condições se 
pode tomar o valor médio entre as alturas das bobinas para o cálculo do carregamento elétrico 
correspondente aos canais de dispersão entre duas bobinas. 
A fig. 7.3 é um exemplo de transformadores com mais do que dois enrolamentos. Em todos os casos, 
a soma dos ampere-espiras do primário deve ser igual à soma algébrica dos ampère-espiras dos demais 
enrolamentos. 
Aplicando-se a expressão 7.30 a cada um dos canis, obtém-se a energia total armazenada no campo 
magnético do fluxo de distorção. Levando o valor desta energia total do campo magnético à expressão 
7.22 determina-se a reatância percentual do transformador para uma determinada distribuição de fluxo 
nos diferentes canais. . 
Em relação ao fator de Rogowski, convém fazer algumas considerações adicionais. 
Walter Ries 61 
 TRNSFORMADORES 
De um modo geral os campos magnéticos como também os campos elétricos não estão confinados 
dentro de figuras geométricas simples definidas por equações matemáticas também simples e de fácil 
aplicação e solução sem o uso de computadores. Antes do advento do computador, principalmente o 
digitalizado, sempre se procurou adaptar as complexas formulações matemáticas dos campos a figuras 
geométricas mais simples através de conceitos de limites de aplicabilidade e de tolerâncias admissíveis. 
Normalmente a aplicação da Lei de Ampère para a determinação das intensidades de campo, em 
módulo e direção leva a uma função periódica que sugere a aplicação das séries, simples e duplas de 
Fourier que convergem rapidamente. Foi assim que Rogowski, no início do século passado, desenvolveu 
o que conhecemos como “coeficiente de Rogoswski – K”. Inicialmente este coeficiente foi desenvolvido 
para transformadores com bobinas intercaladas em “sandwich” como mostram as figuras 7.4 e 7.5. A fig. 
7.4 corresponde a um transformador tipo núcleo envolvente (shell type) e a fig. 7.5 corresponde a um 
transformador tipo núcleo envolvido (core type). As figuras mostram enrolamentos com somente três 
bobinas por simplicidade de desenho. Normalmente o número de bobinas intercaladas é bem maior. 
 
λ
BT
AT
×
×BT
× -100
+50
+50
q q
a2
a1δ 1
δ 2
a3
b b*
h
c
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 7.4: Transformador monofásico tipo núcleo envolvente com bobinas intercaladas. 
×
×
×
×
×
×
b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 7.5: Transformador monofásico tipo núcleo envolvido, com bobinas intercaladas. 
Neste caso os canais do fluxo de dispersão são radiais. A altura “h” das bobinas é a dimensão no 
sentido radial e a largura “a” das bobinas é a espessura no sentido axial Fazendo o diagrama de 
distribuição do fluxo no sentido axial como mostra o diagrama à direita da fig. 7.4, vê-se que ela tem a 
forma de uma onda com comprimento “λ”. Se o enrolamento for feito com um número maior de 
panquecas ou discos o diagrama de distribuição do fluxo de dispersão pode apresentar varias ondas de 
comprimento “λ”. A dimensão “b” é a distância entre a superfície interna das bobinas e a coluna central 
do núcleo, e, b* na fig. 7.4 é a distância entre a superfície externa das bobinas e a coluna lateral de retorno 
do fluxo mútuo. Portanto, estas distâncias são sempre na direção do fluxo de dispersão. 
Segundo A. Boyajian em sua colaboração com outros engenheiros da General Electric Co. na obra 
intitulada TRANSFORMER ENGINEERING, são citadas as expressões para o cálculo do fator de 
Rogowski. Assim, a expressão 7.38 é aplicável aos casos em que o efeito das partes de ferro que 
circundam as bobinas não influem substancialmente nas configurações dos campos. Quando se tem que 
levar em consideração o efeito da aproximação do núcleo às bobinas, aplica-se a expressão 7.39 para os 
enrolamentos em disco com núcleo envolvido e a expressão 7. 40 para os enrolamentos com núcleos 
Walter Ries 62 
 TRNSFORMADORES 
envolventes em que L=2h+2a é o perímetro médio das bobinas, L1=2a é a parte do perímetro que tem 
ferro próximo dos dois lados e L2=2h é o resto do perímetro da bobina. 
 
 2
1 1 [7.
2
h
K
hK
h h
−⎛ ⎞= ≅ − −⎜ ⎟⎝ ⎠
π
λλ επ 38] 
 
 
2 4 211 1 1 1 [7.39]
2 2
h b h
K
hK
h h
− − −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ≅ − − − ⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
π π π
λ λ λλ ε ε επ
 
 
 
( ) ( )
2
2 * 2 2 2 *4 2
2 1 1
1 1
2
11 1 1 [7.40]
2
h
K
b b h b bb h
hK
h h
L L L
L L L
−
− + +− − − −
⎛ ⎞= ≅ − − ×⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥− ⋅ − × + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
π
λ
π ππ π
λ λ λ λ
λ επ
ε ε ε ε
 
Praticamente não se constroem mais, hoje em dia, transformadores com bobinas de BT e AT em 
“sandwich”. A construção normalmente utilizada é de bobinas concêntricas como mostra a fig. 7.6 
Neste caso a distribuição dofluxo de dispersão também apresenta uma forma de onda com o 
comprimento igual à “λ.”. Neste caso a distância “b” das bobinas até o núcleo, no sentido do canal de 
dispersão, é a distância das cabeceiras das bobinas às culatras. Para bobinas concêntricas, normalmente o 
fator de Rogowski pode ser dado por uma expressão mais simples como mostra a equação 7.41 que é 
igual à expressão 6.20 vista no capitulo 6. 
 
x
D2 D4
×
50 -100 50
D1 D3 D5
c
b
q1
q2
a2a1 δ 1 δ 2 a3
λ
h hg
c
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Fi
 
 
 
g. 7.6: Transformador com primário (ou secundário) dividido em duas partes iguais. 
2
1 1 1 1 [7.
2 2
h
K
h c 41]
h h h h
−⎛ ⎞= ≅ − − ≅ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
π
λλ λεπ π πK
 
Walter Ries 63 
 TRNSFORMADORES 
Na expressão 7.41 o canal de dispersão do fluxo corresponde a uma meia onda. Quando se tem 
som e duas bobinas concêntricas a distribuição do fluxo de dispersão é representado por uma meia 
ond 
 
 fi almente 
apli transformadores com núcleo envolvido, seja com bobinas intercaladas como com bobinas 
conc cas. Normalmente te as expressões apresentadas são 
muito semelhantes. Para bobi h < 0,2” e a expressão 7.41 é 
ntos possui uma exclusão 
regulação de tensão, aparece uma componente transversal do fluxo de dispersão e que é 
 pela reatância transversal de dispersão. Se não forem tomadas medidas especiais estas 
sversal podem atingir valores elevados muito acima das 
le
ras e uma terceira bobina que, introduzida sobre a AT, reconstitui os 
mp
al e que 
corr
 
ent
a.
 
0,9
1,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A g. 7.7 mostra os valores do Coeficiente de Rogowski para as expressões 7.38 e 7.39 norm
cáveis em
êntri m-se “c/πh < 0,3” e os valores de “K” para
nas concêntricas tem-se sempre “c/π
perfeitamente aplicável. No entanto, em casos especiais, como no cálculo da energia no campo de 
dispersão transversal, as expressões 7.38 e 7.39 deverão ser utilizadas uma vez que, nestes casos, tem-se 
“c/πh >> 0,3” e os coeficientes “K” bem maiores do que os valores obtidos com a expressão simplificada 
7.41. A expressão 7.39 representada na fig. 7.7 corresponde a um determinado valor de “b” onde se pode 
observar a sua destacável influência no valor de “K” para valores “c/πh > 0,3” 
 
7.3 – Reatância de dispersão transversal 
 Quando as alturas das bobinas não são iguais, ou quando um dos enrolame
devido à 
responsável
reatâncias correspondentes ao fluxo tran
to râncias admitidas no cálculo da impedância percentual do transformador. O fluxo transversal aumenta 
também as perdas parasitas nos condutores retangulares em que a dimensão axial é bem maior do que a 
dimensão radial. Em transformadores de grande porte evitam-se ao máximo as exclusões e a diferença 
entre alturas das bobinas são mantidas a um mínimo necessário para igualar os campos elétricos nas 
cabeceiras das bobinas. São normais valores de exclusões máximas de 10% num só ponto de uma bobina 
ou de 20% em dois pontos. 
 O método que se aplica para este cálculo é o de O. STEPHAN e que está representado na fig 7.8 para 
o caso de bobinas com alturas diferentes, desde que estas diferenças não ultrapassem de 10%. 
Como se observa, substitui-se a disposição original das bobinas com alturas diferentes, pela soma de 
duas bobinas com as mesmas altu
a ère-espiras originais. Temos assim, na fig. 7.8 que A = B + C. Na fig. 7.8 B os AE`s da AT são 
distribuídos uniformemente em toda a altura h1 e assim se obtém somente fluxo de dispersão axi
esponde à reatância de dispersão axial XI.. 
Nas extremidades da AT foram, assim, adicionadas (NI)* ampère-espiras, dados pela expressão 7.42, 
que foram retiradas da parte central da bobina. 
 
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
K
- -
c cc 11- 1 1- ε 1-ε
h 2
−πh πh⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟π ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
c-ε
2πb
πh
cc1- 1
h
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟π ⎝ ⎠
-ε
1 c h− π
c hπ
Fig. 7. 7: Coeficienes de Rogowski 
1 2( )* h hNINI [7.42]
2h
−=
Walter Ries 64 
 TRNSFORMADORES 
 
 
 
 
 bobina da fig.7.8 C é colocada sobre a bobina de AT da fig. 7.7 B e, assim, reconstitui a bobina de 
AT da fig. 7.7 A. 
a bobina da fig. 7.8 C só existe fluxo transversal cuja distribuição está representada na fig. 7.8 D, 
dado pela expressão 7.43 que é igual nos 4 canais de dispersão do fluxo 
 elétrico produz a reatância de dispersão transversal X . 
 
da pela expressão 
7.44 ersal 
adial), são ortogonais, a reatância mútua é nula, resultando, portanto a expressão 7.45. 
 
 
a nos campos de 
disp 7.22 
m que W é energia total armazenada . 
o cálculo da energia armazenada pelo fluxo de dispersão transversal, aplica-se, portanto a mesma 
expressão 7.30 com a necessária interpretação das dimensões dos canais. Para o fluxo transversal da fig. 
7.8C
ção das alturas “h1” e “h2” das bobinas de BT e de AT, conforme 
mos
duz o fluxo transversal é dado pela expressão 7.43 e o carregamento 
elétr édi
 
eja, 
pela
(NI)* (NI)*
 
 
 
 
 
 
 
 
A
N
sendo o carregamento elétrico 
transversal. Este carregamento II
 
 
De um modo geral, dois fluxos colineares produzem uma reatância de dispersão da
 em que ωM = XM é a reatância mútua. Como no caso da fig. 7.8 os dois fluxos, axial e transv
(r
 
 
Aplicando-se o processo de cálculo da reatância total utilizando a energia acumulad
ersão do transformador, a reatância total será sempre determinada pela aplicação da expressão 
e
 N
 a bobina de AT se comporta como bobinas em “sandwich” de um transformador tipo núcleo 
envolvido, como mostra a fig. 7.5. Assim, a altura dos canais è dada pela espessura “a2” da bobina de AT; 
as larguras dos canais são dadas em fun
tram as expressões 7.46 e 7.47. 
 
 
 
O carregamento elétrico que pro
ico m o quadrático, igual para todos os canais do fluxo transversal, é dado pela expressão 7.48. 
 
 
 
Nestas condições, o fator de Rogowski deve ser calculado com um número maior de termos, ou s
 expressão 7.39 que é a mesma recomendada para enrolamentos em “sandwish” da fig. 7.5. 
( )
2
[7.43]q
a
= *NI
( )2 [7.44]I IIX X X M= + ∓ ω
% % % [7.45]I IIX X X= +
1 2 2
1 4 2 3[7.46] [7.47]2 2
h h h−= = = =δ δ δ δ
2 21 [7.48]
3
q q=
a2b a2
×= +
=
BT
×
AT
NINI
h2h1
A
×
×
×
NI
(NI)*
NI-2(NI)*
B C
(NI)*
q = a2
D+
φ δ 1Τ
Τ
2(NI)* δη 
δ 3
δ 4
(NI)*
φ
Fig. 7.7: Método de O. Stephan para o cálculo da reatância de dispersão do fluxo transversal
Walter Ries 65 
 TRNSFORMADORES 
Para calcular a energia armazenada no campo transversal aplicando a expressão 7.30, deve-se 
considerar que D continua sendo o diâmetro médio da bobina de AT; h deve ser substituído pela largura a2 
da A o valor de a deve ser substituído pelas larguras de cada um dos canais transversais (h até h ) da 
fig. 
lta para a 
ener
m na 
fig. 7.9. m 
trans ormador. 
 Fig. 7.9: Fluxo transversal no caso de uma exclusão central. 
ormalmente uma exclusão para ajuste de tensão não ultrapassa 10% do número de expiras da 
bobi a. Se a exclusão deve ser maior, é recomendável dividi-la em duas partes como mostra a fig. 7.10. 
 Fig. 7.10: Exclusão para re em dois pontos da bobina 
 princípio de O. Stephan parece, numa primeira visão, bastante preciso como disposição físicaequi alente à original. No entanto, ao colocar sobre a bobina de AT os resíduos de ampere-espiras que 
atua a da diferença de 
distâ ao núcleo é bem 
×
T; 1 2
7.7A. O carregamento quadrático médio dos canis é dado pela expressão 7.48 que é igual para todos 
os canais que têm a mesma forma triangular. Substituindo estes valores na expressão 7.30 resu
gia armazenada no campo de fluxo transversal da fig. 7.7, a expressão 7.49, em que o fator de 
Rogowski é dado pela expressão 7.50. 
 
 
 
 
( )
2 2
1 1 1
24
2
11 1 [7.50]
2
ab
h
− −⎡ ⎤⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
ππ
ε ε ε
7 2 2
2 0 2 1
2
139,5 10 [7.49]
3t
a
h h
W K Da q D K a q h
h
−
−
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Σ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⎛ π
δ μ π
11 1
2
K
a
= − −⎜⎜π 
 
U outro caso em que normalmente aparece um pronunciado fluxo transversal está representado 
Neste caso, trata-se de uma exclusão produzida pelas espiras de regulação de tensão de u
f
 
(NI)*a2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 gulação distribuída 
 
O
v
vam na BT para produzir o fluxo transversal nos deparamos com o problem
ncias “b” nas duas situações. Quando estes resíduos estão na BT a distância “b”
b a2
×
×
NI
NI/2-(NI)*
NI/2-(NI)*
2(NI)*
×
B
= +
NI/2
×
=
BT
×
NI/2NI
AT
h h1
A C+
φΤ
φΤ
2(NI)*
(NI)*
(NI)*
q = a2
D
BT AT
×
NI
h
×
×
Walter Ries 66 
 TRNSFORMADORES 
menor do que quando situados sobre a AT e isto altera em muito o valor do coeficiente de Rogowski e 
port
a fig. 7.11 a expressão 7.39 
ou 7.50 ou confor = 1500 mm e b = 
30 m , a espessura da AT “a = 100 mm” e a distância dela ao núcleo é b = 230 mm , tem-se um valor de 
c/πh = 2,387, portanto mui do valor de K do fluxo axial do 
trans ormador. O fator K teria, para os resíduos de AE´s da BT, um valor K = 02917 e para os resíduos da 
AT 
e t” 
(0/1 da altura da bobina, a AT ficará com uma altura de “(1-x)h” como se observa na fig. 7.12 (A). Na 
fig. .12 (B) as duas bobinas têm a mesma altura, mas com NI(1-x) ampére-espiras cada uma. Na fig. 
7.12 ) têm-se os ampére-espiras residuais nas posições originais e que produzem o campo transversal 
com ma distribuição dos ampére-espiras residuais conforme diagrama no lado direito da fig. 7.12. Sendo 
“l k”
primento “l k” é determinada através do coeficiente de Rogowski “K” e da 
altu bi nida de 
bobi a no sentido do fluxo transversal e, portanto não existe um coeficiente de Rogowski aplicável 
segu do o procedimento anterior e não existe também o conceito de “carregamento elétrico (q)”. Este 
novo procedimento nasceu com a preocupação de se conseguir uma precisão maior na determinação do 
campo transversal principalmente quando se calculam os esforços eletromecânicos que agem nas bobinas, 
Fig. 7.11: Planilha para cálculo de K
anto a dimensão radial do tubo de fluxo transversal. 
 
 
 
 
b h 2πb/c c c/πh K
30 100 0,2513 750 2,387 0,2917
230 100 1,9268 750 2,387 0,2034
 
 
N tem-se uma pequena planilha para o cálculo do coeficiente K segundo
me se mostra na fig. 7.7. Referindo-se ao caso da fig. 7.8, se na BT h1
m 2
to fora das relações normais para o cálculo
f
 um valor K=0,2034. Considerando que os resíduos da BT são percentualmente pequenos, o valor de 
K deve estar mais próximo de 0,203 para o exemplo dado. 
Uma outra maneira, de trabalhar os resíduos das exclusões, está apresentada na fig. 7.12, conforme 
exposto no livro de “Rudolf Küchler – Die Transformatoren”. Nesta figura deixam-se os resíduos para o 
cálculo da reatância do campo transversal nas posições de origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S “h” é a altura da bobina de BT, e o encurtamento da AT é “xh”, sendo “x ” dado em “per uni
) 
7
 (C
 u
 o comprimento do tubo de fluxo do campo transversal, o diagrama também representa a distribuição 
da intensidade “H” de campo e da indução B do campo transversal cujos valores máximos são dados 
pelas expressões 7.51 e 7.52. 
 
 
 
 Segundo Rogowski o com
ra da bo na no sentido do campo magnético. Na fig. 7.12 (C) não existe uma altura defi
n
n
max
0
k k
x/2 NI x/2 NIH = = 2 [7.51] B = μ H [7.52]
l l
⋅ ⋅
Fig. 7.12: Cálculo da reatância do campo transversal 
xh/2
xh/2BT
×
NINI
AT
(1
-x
)hh
a2a1 δ
N
I(
1-
x)
b
×
N
I(
1-
x)
c
=A B C+
η 1
η 2
η 3
η 4
(NI)x/2
φ t
φ t
×
(NI)x/2
(NI)x
(NI)x/2
Dm
Walter Ries 67 
 TRNSFORMADORES 
espe
nais de largura “δ” é triangular, o valor dos 
ampére-espiras médio quadrático é igual a 1/3 do valor dos ampére-espiras máximo ao quadrado. Para um 
canal com largura “δ” a energia arm o 7.52 e 
a en gia total, pela expressão 7.53 sendo “h = Σδ”. 
 expressão 7.53 f uma 
distribuição do cam 2”. 
Gen izando a expressão para um numero “n” de meias-ondas chega-se à expressão 7.54 em que no 
num rador aparece somente o “per unit” total das exclusões sendo o fator “n2” transferido ao denominar. 
 v
cificamente devido ao fluxo transversal. Estes esforços são proporcionais ao quadrado dos ampére-
espiras residuais e inversamente proporcionais ao comprimento equivalente do tubo de fluxo transversal. 
Em casos de um curto-circuito, principalmente assimétrico, as correntes podem chegar a valores de pico 
da ordem de 25 a 100 vezes o valor eficaz da corrente nominal do transformador. São, portanto esforços 
enormes que se desenvolvem e que podem destruir mecanicamente os bobinados. A precisão de calculo 
do comprimento do tubo de fluxo equivalente é neste caso mais crítico do que para o cálculo das 
reatâncias de dispersão. Küchler cita dois autores, Bllig e Knaack que nas décadas de 1940 e 1950 se 
preocuparam em encontrar uma expressão para determinar o comprimento “l k” com maior precisão. Esta 
expressão ainda baseada em estudos de Rogowski leva também em consideração que o volume do campo 
transversal é determinado utilizando o diâmetro médio “Dm” dos enrolamentos, conforme mostra a fig. 
7.12 (C). A expressão 7.51 mostra o dimensionamento da altura “l k” proposta em que “n” é o número de 
meias-ondas que aparecem no diagrama da distribuição dos ampére-espiras ao longo da altura “h” da 
bobina de BT. Para o caso da fig. 7.12 tem-se “n = 2” 
 
 
 
Como a distribuição dos ampére-espiras em todos os ca
k
h c= + + b [7.51]
n π 2
l ⋅
azenada no campo magnético transversal é dada pela expressã
er
 
 
 
 
( )
( )2t 0 m
k
W = μ π D NIx/2 [7.53]
l 3
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2
0 m
k
1W = μ π D NIx/2 [7.52]
l 3
h 1
δ⋅ ⋅ ⋅ ⋅δ
 
 
A oi escrita para o caso da fig. 7.12 com duas exclusões simétricas o que causa
po transversal com dois meio comprimentos de onda e, portanto com “n =
eral
e
 
 
 
 
( ) ( )2 2
0 m 0 m2
2
xNI xNIhW = μ π D μ π D [7.54]
h c3 n 3 n + n + b
t
k
h
l
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞⎜ ⎟2⎝ ⎠π
 
.O alor de “lk” para n = 1 é dado pela expressão 7.55. 
k
h cl = + + b [7.55]
π 2
Walter Ries 68 
 TRANSFORMADORES 
8 – CONSTRUÇÃO 
Pretende-se dar, neste capítulo, algumas noções fundamentais sobre a construção de 
transformadores sem entrar em muitos detalhes que somente o convívio numa fábrica destes 
equipamentos poderá mostrar e justificar os diversos aspectos construtivos. Cada fabricante tem algumas 
características construtivas próprias, mas em essência, os princípios são todos iguais. Às vezes aparecem 
patentes de construção para certas partes ou componentes do transformador e o uso destes inventos estão 
sujeitas as obtenções de uma licença, com ou sem royalty, até a expiração do prazo de validade da 
patente. 
Este capítulo vaitratar somente sobre o que se denomina de A Parte Viva do transformador, isto é: 
• O núcleo e elementos de montagem 
• As bobinas 
• O isolamento 
 
8.1 = Núcleo e elementos de montagem 
Já foi apresentado, no capítulo 3, parágrafo 3.2, a disposição geométrica de núcleos e bobinas. Por 
núcleo e elementos de montagem entende-se todo o circuito magnético do transformador e seus 
elementos de fixação e montagem, ou seja; 
• O núcleo, propriamente dito ou circuito magnético 
• As armaduras ou pressa-culatras 
• As prensa-colunas 
• Os tirantes 
• As sapatas 
 
8.1.1 - Dimensionamento das chapas do núcleo 
A secção do núcleo pode ser quadrada, retangular, cruciforme ou aproximadamente circular (em 
degraus), como mostra a fig. 8.1 
 
l1l2l3l4
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 8.1: Secção de núcleo em degraus 
 
O problema fundamental consiste em inscrever, num círculo, uma secção escalonada, de área 
máxima para um dado número de degraus. A escolha do número de degraus para um determinado 
diâmetro do núcleo é um compromisso entre custo de fabricação e vantagens advindas de um maior 
Walter Ries 69 
 TRANSFORMADORES 
coeficiente de utilização da secção teórica circular. É normal que o número de degraus aumente com o 
diâmetro teórico do núcleo. 
O quadro da fig. 8.2 mostra uma relação aproximada entre o diâmetro do núcleo e o número de 
degraus normalmente em uso. 
 
 
<50 50 70 100 140 200 300 400 >500
 Diâmetro mm a a a a a a a
70 100 140 200 300 400 550
 Nº de degraus 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 
 
 
 
 Fig. 8.2: Número de degraus em função do diâmetro 
 
A secção com dois degraus é a secção quadrada e, com dois degraus, é a secção cruciforme. 
O caso de inscrever uma secção maximizada, com 3 degraus, em um círculo, é dado na fig. 8.3. 
 
A1 A2 A3 D
α
β=45º
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 8.3: Núcleo com 3 degraus. 
 
A área da secção é dada por: 
 ( ) ( ) 21 2 2 3 2 1 2 3 1 3 2 2 32 2 [8.1]+ − + − = ⋅ + − ⋅A A A A A A A A A A A A AA = ⋅
Ademais, têm-se as seguintes relações: 
 
3 2 12[8.2] [8.3] [8.4]
2
sen sen cosa
D D D
α β= = = =A A A 
 
Dividindo a expressão 8.1 pelo diâmetro ao quadrado (D2) e introduzindo as expressões 8.2, 8.3 e 
8.4, tem-se: 
 
2 2 0,5 2 [8.5]cosa× sen senD
α α= + −A
 
 
Walter Ries 70 
 TRANSFORMADORES 
Derivando a expressão 8.5 em relação a α e igualando a zero, determina-se o valor máximo de 
A / D2. 
 
2
2
0,
4cos 2 cos 2 0 :
cos 0,906 :
0,425
2 2
Ad
D 2cos a - 2sen a - 2sen a portanto :
d
e
ou
sen
α
α α
α
α
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = =
− − =
=
=
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
1 2 3
2
0,906 0,707 0,424
0,668
D D D
Ae
D
= =
=
A A A = 
 
 
Observando-se que D2 é a área do quadrado circunscrito, a relação A/ D2 representa um coeficiente 
de utilização em relação ao quadrado circunscrito. Em relação a ares do circulo de diâmetro D, o 
coeficiente de utilização é dado pela expressão 8.6. 
2
4 0,8503 [8.6]u
Ak
Dπ= =
 
 
Procedendo-se de momo análogo para um maior número de degraus, tem-se os valores do quadro 
apresentado na fig. 8.4. 
 
 
1 0,707 0,500 0,6366
2 0,850 0,526 0,618 0,7869
3 0,906 0,707 0,424 0,668 0,8505
4 0,934 0,796 0,605 0,358 0,696 0,8862
5 0,950 0,846 0,707 0,534 0,313 0,713 0,9078
6 0,959 0,875 0,768 0,640 0,483 0,281 0,725 0,9231
7 0,967 0,898 0,812 0,707 0,584 0,436 0,255 0,734 0,9346
8 0,974 0,914 0,841 0,755 0,654 0,554 0,404 0,234 0,740 0,9422
9 0,077 0,929 0,867 0,798 0,707 0,608 0,498 0,370 0,214 0,745 0,9486
10 0,979 0,938 0,884 0,823 0,748 0,662 0,578 0,468 0,346 0,204 0,749 0,9537
4A / πD²L8 / D L9 / D L10 / D A / D²L4 / D L5 / D L6 / D L7 / DDegraus L1 / D L2 / D L3 / D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 8.4: Dimensões do núcleo em função do número de degraus. 
Com o auxílio deste quadro, conhecido o diâmetro do núcleo e o número de degraus, determinam-se 
as larguras dos degraus e as espessuras dos pacotes do núcleo, com o que se pode determinar o número 
de lâminas de cada pacote. 
É prática comum, numa fábrica de transformadores, criar secções normalizadas de modo a reduzir a 
um mínimo o número de larguras de chapas e assim contribuir para a redução dos custos de produção e 
do estoque de chapas para núcleos. 
Walter Ries 71 
 TRANSFORMADORES 
Hoje em dia são usadas, quase com exclusividade, as chapas de ferro-silício de grão orientado na 
construção de núcleos de transformadores de potências elevadas. Estas chapas, primeiramente fabricadas 
pela ARMCO, tomam a designação de M-3, M-4, M-5, M-6 ou M-7 de conformidade com as normas 
AISI. Possuem um isolamento inorgânico de 2 a 3 mícron e que suporta tratamentos térmicos a 800-
900ºC sem se danificar. Estas chapas são fornecidas em bobinas de 2 ou mais toneladas e larguras de 
0,785 m. As chapas em bobinas são, inicialmente, cortadas no sentido longitudinal nas larguras 
necessárias para construir os diversos pacotes do núcleo. Conforme a composição do núcleo a ser 
construído, realiza-se, então, o corte transversal nos comprimentos necessários. 
O núcleo é formado pelas colunas e culatras, conforme mostram as figuras 8.5 e 8.6 em que as 
chapas são cortadas, transversalmente, a 90º. As figuras mostram duas camadas consecutivas do pacote 
para evitar que os pequenos entreferros fiquem coincidentes na montagem. 
 
11
2
2
H
i
2
2
1 1
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 8.5: Núcleo de um transformador monofásico tipo núcleo envolvido. 
 
2 2
1
1
1
3
i i
22
1
1
1
3
H
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 8.6: Núcleo de um transformador trifásico tipo núcleo envolvido 
 
As dimensões que definem o núcleo são: 
• A secção Afe e o numero de degraus. 
• A altura da janela H 
• O intereixo i 
Normalmente as secções das colunas e culatras são iguais. No entanto, com o intuito de diminuir as 
perdas no núcleo, as culatras podem ter uma secção de 10 a 15% maior do que as colunas. 
Os núcleos são montados com as lâminas dispostas de modo a diminuir, tanto quanto possível, os 
efeitos danosos dos entreferros nas junções. Os entreferros aumentam a corrente de magnetização. As 
chapas de grão orientado utilizadas na fabricação de transformadores de potência possuem espessuras de 
0,25, 0,30, 0,35 mm. Estas chapas podem ser montadas, como mostram as figuras 8.5 e 8.6, em camadas 
sucessivas colocadas de modo que os entreferros fiquem localizados em posições diferentes. Cada 
camada pode se constituir de 2 ou 3 lâminas a fim de diminuir os custos do empacotamento. Assim 
Walter Ries 72 
 TRANSFORMADORES 
procedendo, os entreferros nas juntas ficam parcialmente eliminados, apresentando-se como mostra a 
figura 8.7 em que 50% das chapas terão uma maior indução e, conseqüentemente, apresentarão maiores 
perdas magnéticas nestas zonas. 
 entreferro
 
 
 
 
 
 
Fig. 8.7: Disposição dos entreferros em núcleos montados como mostram as figuras 8.5 e 8.6 
 
Observa-se nas figuras 8.5 e 8.6 que, se a chapa é de grão orientado, o fluxo nos cantos não 
percorrerá todas as chapas no sentido da orientação dos grãos. Isto resulta em maiores correntes 
magnetizantes e maiores perdas magnéticas nos cantos. Pode-se evitar este inconveniente cortando as 
chapas a 45º nos cantos eprovendo um pequeno trespassamento nas juntas como mostra as figuras 8.8 e 
8.9, respectivamente para núcleos monofásicos e núcleos trifásicos. 
 
2
2
11
2
2
1 1
2
2
1 1+ =
 
 
 
 
 
 Fig. 8.8: Núcleo monofásico com entreferros a 45º 
 
 
 
 
 
 
 
 
H
i
1 2
3 4
4 3
1
 Fig. 8.9: Núcleo trifásico com entreferros a 45º 
 
Um trespassamento de 10 a 15 mm é suficiente na maior parte dos casos, quer para evitar o efeito de 
um entreferro quer para proporcionar boa rigidez mecânica quando o núcleo está prensado. 
A fig. 8.10 mostra um canto de um núcleo com chapas cortadas a 45º e trespassamento de ε mm. Na 
fig. 8.11 tem-se os diversos tipos de chapas para a construção de um núcleo trifásico conforme fig. 8.9. 
Como o núcleo é escalonado as dimensões B, C e l são diferentes para os diferentes degraus. 
Walter Ries 73 
 TRANSFORMADORES 
Walter Ries 74 
osição
O quadro da fig. 8.12 dá as dimensões B e C em função da altura H da janela, do intereixo i, do 
trespassamento e, da largura l da chapa para o degrau considerado e da largura l1 da chapa mais longa 
que é a do primeiro degrau. 
 
ε
2 ε
4
C
B
3
B
C
A 1
B
C
2
C
B
A
 
 
 
 
 
 
 Fig. 8.10: Canto de um núcleo Fig. 8.11: Tipos de chapas para a construção do núcleo 
 
1
e
2
3
4
TIPO DE CULATRA
P
 
 
 
 
1
2
B H
C B
= + +
= −
A A
A
12
2
B H
C B
= +
= −
A
A
2
B i
C B
 
 ε= + +
= −
A
A 2
B i
C B
= ε+ +
= −
A
A
B i
C B
 
 ε= −
= − A
B i
C B
= −ε
 = − A
 
 Fig. 8.12: Dimensões das chapas do núcleo 
 
Na figura 8.12aparecem 2 tipos de culatras: a) escalonada circular, como as colunas; b) escalonada 
mas com a face, superior da culatra superior e face inferior da culatra inferior, plana. O tipo b) de culatra 
é , por vezes, utilizado em transformadores de distribuição não apresentando vantagens ou desvantagens 
substanciais em relação ao tipo a). 
O corte a 45º das chapas pode ser feito com tesoura-guilhotina. Neste caso, permanecem, nos cantos 
dos núcleos, as pontas de chapa derivadas do trespassamento ε. Quando se corta a chapa por meio de 
estampos, estas pontas podem ser eliminadas. Também quando se utiliza o corte com estampos podem 
ser feitos outros tipos de cortes que resultam: 1. numa diminuição maior das zonas com chapa em que a 
orientação dos grãos fica a 90º da orientação do fluxo; 2. numa menor influência dos pequenos 
entreferros nas junções das chapas. 
A fig. 8.13 apresenta dois tipos de corte de chapas com estampos para núcleos de transformadores 
trifásicos. Este tipo de corte tem custos adicionais mas são compensados pela diminuição das perdas e 
corrente de magnetização em transformadores de elevadas potências. 
 
 
 
 TRANSFORMADORES 
 
 
2
2
41 1
3
3
2
2
41 1
3
3
 
 
 
 
 
 Fig. 8.13: Núcleos trifásicos com cortes mediante estampos. 
 
8.1.2 - Pressão de empacotamento e fator de empilhamento 
Para manter o núcleo rígido e evitar vibrações, a pressão de empacotamento, através das prensa-
culatras e prensa-colunas deve ser de 4 a 5 kgf / cm2. 
O fator de empilhamento é a relação entre a secção efetiva de ferro do núcleo e a secção geométrica. 
É praticamente impossível evitar pequenos vazios entre as chapas, além do fato de existir um isolamento 
de alguns microns na superfície das mesmas. 
O fator de empilhamento ke é, pois, menor do que 1 (um) e depende do tipo de isolamento usado 
entre as chapas, conforme dado no quadro da fig. 8.14 para algumas espessuras e isolamento de chapas. 
 
Isolamento Papel Verniz Silicônico
Espessura
chapa mm
Fator de 0,88 0,86 0,85 0,90 0,89 0,88
empilham. a a a a a a 0,97 0,96 0,95
e 0,91 0,89 0,88 0,93 0,92 0,90
0,50 0,40 0,35 0,50 0,40 0,35 0,35 0,30 0,28
k
 
 
 
 
 Fig. 8.14: Valores do fator de empilhamento de chapas para núcleo 
 
8.1.3 – Planilha para cálculo de núcleos 
Com as informações dadas nas figuras 8.2, 8.4, 8.10, 8.11, 8.12 e 8.14 pode-se determinar todas as 
dimensões de um núcleo de transformador. 
É normal que o fabricante de transformadores tenha já padronizado os núcleos com maior utilização 
de modo a diminuir custos e prazos de entrega. 
A planilha da fig. 8.15 mostra exemplos de valores a serem padronizados. A partir do diâmetro 
circunscrito ao núcleo pode-se determinar muitos elementos de cálculo do transformador, tais como, 
secção efetiva do núcleo dada pela expressão 8.7, peso por centímetro de núcleo sabendo que o peso 
específico da chapa de ferro-silício de grão orientado é de 7,65 kgf por cm3 , peso da zona de transição 
dada pela expressão 8.8 para o caso de um núcleo construído conforme fig.8.9 em função da secção 
efetiva, da largura da chapa mais larga do núcleo e do trespassamento ε. 
( )
2
2
1 1
[8.7]
4
4 [
fe u e
fe fe fe
DA k k
Peso da zona de transição A A
π
ε ε γ
= ⋅ ⋅
⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ − ⋅⎣ ⎦A A
 
 
8.8] 
 
 
Walter Ries 75 
 TRANSFORMADORES 
Para o cálculo da corrente de excitação e das perdas no núcleo necessita-se conhecer, 
separadamente, os pesos de chapa do núcleo que tem seus grãos orientados segundo o fluxo e os pesos 
das zonas de transição. Para o caso do núcleo trifásico da figura 8.9 o peso das zonas de transição 
corresponde à metade do peso de cada uma das juntas da coluna central do núcleo, mais a metade do 
peso das 4 zonas de trespassamento das chapas nos 4 cantos do núcleo. 
Em função do diâmetro do núcleo se estabelece o diâmetro mínimo que deve ter a bobina colocada 
imediatamente sobre o núcleo. Este diâmetro mínimo é determinado muitas vezes mais em função das 
tolerâncias de fabricação do que do isolamento necessário. O isolamento necessário deve, pois, ser 
acrescentado para determinar o diâmetro interno da bobina. 
 
 γ 7,65 g/cm³ ε 10 mm
Diâmetro Nº Coefic. Coefic. Secção Peso Peso
do de de de efetiva por cm zona
Núcleo degraus Utiliz. empilham. coluna transiç.
mm ku ke cm² kg/cm kg
100 5 0,950 0,9078 0,96 68,4 0,52 6,8
200 6 0,959 0,9231 0,96 278,4 2,13 48,8
300 7 0,967 0,9346 0,96 634,2 4,85 159,3
400 8 0,974 0,9422 0,96 1136,6 8,70 372,4
500 9 0,977 0,9486 0,95 1769,4 13,54 713,9
600 10 0,979 0,9537 0,95 2561,6 19,60 1227,7
1
D
A
feA
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 8.15: Planilha para o cálculo de elementos do núcleo 
 
8.1.4 – Etapas de construção do núcleo 
A construção de núcleo obedece às seguintes etapas; 
• Corte longitudinal das chapas 
• Corte transversal das chapas 
• Cortes por estampagem e furação da chapa quando necessário 
• Recozimento e isolamento das chapas quando necessário 
• Preparação dos acessórios 
• Montagem 
• Prensagem 
• Ensaio do núcleo. 
 
Corte longitudinal 
Em linhas de grande produção esta operação é realizada em máquinas providas de lâminas em 
disco que cortam a chapa, na largura necessária, a partir das bobinas que provêm das linhas de laminação 
dos fabricantes de chapas de ferro silício. É realizado um programa de corte que prevê o melhor 
aproveitamento da largura das bobinas. Em núcleos com secção escalonada, tem-se necessidade de 
diversas larguras de chapas e, portanto, o plano de corte longitudinal poderá prever o corte simultâneo de 
um arranjo de larguras de modo a evitar, tanto quanto possível, sobras de material. 
O corte da chapa deve resultar com um mínimo de rebarba o que é conseguido com o ajuste 
adequado nas navalhasde corte. Em chapas de grão orientado com isolamento silicônico a rebarba não 
Walter Ries 76 
 TRANSFORMADORES 
deve exceder a duas vezes a espessura do isolamento. Os excessos de rebarba devem ser eliminados a 
fim de evitar curto-circuito entre chapas adjacentes, aumentando as perdas. A rebarba deve ser eliminada 
sem chanfrar a chapa. Quando se realiza um recozimento da chapa a rebarba pode parcialmente se 
eliminada. 
Corte transversal 
O corte transversal pode ser em ângulo reto ou a 45º e é realizado com guilhotina ou estampo. Em 
linhas de grande produção o corte transversal é automatizado. Também neste corte, deve-se ter especial 
cuidado com a rebarba mediante o ajuste adequado das navalhas ou estampos. 
Furação 
Hoje em dia tem-se procurado eliminar toda a furação das chapas do núcleo, por se tratar de um 
operação dispendiosa e por estrangular o fluxo na zona dos furos aumentando as perdas e corrente de 
magnetização. 
A furação das chapas tem duas finalidades: a) dar passagem aos parafusos de prensagem das 
culatras ou colunas; b) prover um canal de óleo através do núcleo a fim de melhorar a sua refrigeração. 
A prensagem das colunas, hoje em dia, é feita exclusivamente com cintas de fibra de vidro e a 
prensagem das culatras, na zona situada entre duas colunas, também já está sendo realizada por meio de 
cintas de fibra de fibra de vidro providas de esticadores. 
Recozimento e isolamento 
As operações de corte e estampagem, bem como a forma original da chapa em bobinas, cria no 
material, tensões internas que desorientam parcialmente os grãos e aumentam as perdas e a corrente de 
magnetização. A recondução do material ao seu estado primitivo é conseguida através do recozimento da 
chapa em atmosfera inerte e a uma temperatura de 780 a 840ºC. O recozimento pode ser feito em forno 
de campânula ou em forno contínuo. Em linhas de alta produção são usados, preferentemente, os fornos 
contínuos nos quais as chapas passam singularmente, isto é, não empilhas, o que resulta numa 
uniformidade maior de temperatura de recozimento. Os fornos contínuos, normalmente, são aquecidos 
eletricamente com 3 a 4 zonas de temperatura e uma zona de resfriamento controlado na saída. No 
recozimento da chapa, uma boa parte da rebarba do corte é eliminada por oxidação. 
Em núcleos de transformadores de altíssimas potências, isto é, núcleos com diâmetros maiores do 
que 600 mm, é de bom alvitre melhorar o isolamento superficial das chapas mediante a aplicação de 
verniz em uma das faces. A polimerização deste verniz adicional é realizada em um segundo forno com 
menor temperatura (máxima de 200 ºC). 
Preparação dos acessórios e prensagem 
Os acessórios do núcleo compreendem: 
• As armaduras ou prensa-culatras, superior e inferior. 
• Os tirantes de prensagem das culatras 
• Os tirantes de prensagem vertical 
• Sapatas e travessas 
• Calços e isolamentos 
 
A fig. 8.16 mostra um núcleo monofásico com seus acessórios, para um transformador de 
distribuição. 
As prensa-culatras podem ser de aço perfilado, como mostra a fig. 8.16, ou de madeira ou de 
construção mista com madeira e aço. Em transformadores de potências elevadas, usam-se prensa-
culatras construídas com chapa formando perfis reforçados a fim de proporcionar um aperto uniforme 
das culatras. 
Walter Ries 77 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sapatas
Núcleo
Prensa-culatra superior
Prensa-culatra inferior
TravessaCalços
Isolamento
Tirante verticalTirante prensa culatra
Travessa
Isolamento
 Fig. 8.16: Núcleo e acessórios de um transformador de distribuição monofásico 
Na fig. 8.17 vê-se um núcleo trifásico para transformadores de distribuição. Observa-se que entre as 
prensa-culatras e as culatras do núcleo é colocado um isolamento de 2 a 3 mm de papelão, nos 
transformadores de distribuição, e de 5 a 8 mm nos transformadores de força. Vê-se, também, que a 
prensagem das culatras é feita por 4 tirantes horizontais. Para a colocação dos 2 tirantes centrais as 
chapas das culatras podem ser furadas e os tirantes serem convenientemente isolados a fim de não curto-
circuitarem as chapas do núcleo, como mostra a fig. 8.18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sapatas
Núcleo
Isolamento
Travessa
Prensa-culatra inferior
Prensa-culatra superior
Tirante prensa culatra
Isolamento
Calços
Tirante vertical
 Fig. 8.17: Núcleo e acessórios de um transformador trifásico de distribuição 
 
Walter Ries 78 
 TRANSFORMADORES 
 
 
Isolamento
Prensa Culatra de 
Madeira
Isolamento
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 8.18: Isolamento dos tirantes de prensagem das culatras (duas modalidades de execução) 
 
As colunas eram, no passado, também prensadas por tirantes como mostra a fig.8.18. Hoje em dia a 
prensagem é feita por meio de cintas de fibra de vidro coladas com cola silicônica. Alguns materiais 
usados como cintas têm a propriedade de se contraírem quando polimerizados em estufa proporcionando 
uma boa prensagem das colunas. A fig. 8.19 mostra a disposição das cintas ao longo de uma coluna do 
núcleo e nas culatras e, a fig. 8.20 mostra um corte do núcleo cintado. As longarinas de material isolante 
são colocadas com a finalidade de evitar que cinta seja danificada pelos cantos dos degraus do núcleo. 
 
 
Cinta de fibra de vidro
Longarinas de madeira
ou material isolante
equivalente
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 8.19: Colunas cintadas Fig. 8.20: Secção do núcleo cintado 
 
Montagem 
Os núcleos são montados sobre um plano horizontal nivelado. São usadas guias de montagem para a 
colocação certa das chapas, evitando-se, ao máximo, os entreferros que são sempre origem de maiores 
correntes e perdas de excitação. 
Após montadas todas as chapas, o núcleo é prensado e somente então é colocado em pé para receber 
a cintagem das colunas cuja cola é polimerizada em estufa a 200ºC. 
Walter Ries 79 
 TRANSFORMADORES 
Para fins de refrigeração do núcleo em transformadores de alta potência e diâmetros de núcleo 
maiores do que 600 mm, usam-se canais de óleo entre pacotes do núcleo, conforme mostra a fig. 821. Os 
separadores utilizados são longarinas de material isolante ou amagnético capaz de suportar os esforços 
de prensagem do núcleo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 8.21: Canal de refrigeração entre pacotes do núcleo 
 
Para reforçar o isolamento entre as lâminas de núcleos de grande secção , é normal a colocação de 
um reforço de isolamento colocando folhas de papelão isolante de 0,3 mm de espessura a cada 15 ou 20 
mm de pacote de lâminas. Deste modo, caso ocorram curtos-circuitos entre lâminas, devidos as sobre-
tensões transitórias, eles ficam interrompidos nas zonas isoladas com papelão. 
Os canais de refrigeração e as folhas de papelão entre pacotes fazem com que diminua o coeficiente 
de empilhamento das chapas do núcleo. Na planilha da fig. 8.15 não foram levados em consideração 
eventuais isolamentos adicionais entre lâminas do núcleo, nem tampouco, canais de refrigeração. 
Os diversos pacotes isolados entre si por estas lâminas de papelão devem ser aterrados em um 
determinado ponto por meio de lâminas de cobre ou manganina. Outrossim, todo o sistema de 
prensagem das culatras é isolado do núcleo através de espaçadores isolantes, como mostra a fig. 8.22. 
 
Espaçador isolante
Material isolante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 8.22: Isolamento entre núcleo e prensa-culatrasA ligação elétrica do sistema de prensagem ao núcleo é feita em um só ponto. Os passantes do 
núcleo e os tirantes de prensagem são também isolados a fim de evitar correntes que poderiam se 
Walter Ries 80 
 TRANSFORMADORES 
originar no caso em o sistema de prensagem com seus tirantes formassem uma espira em curto-circuito 
em relação ao fluxo de dispersão das cabeceiras das bobinas. 
Ensaio do núcleo 
Com o núcleo completamente montado e prensado, enrolam-se algumas espiras provisórias sobre as 
colunas e se aplica uma tensão que produza a indução nominal de operação do núcleo. Verificam-se, 
assim, as perdas, a corrente de excitação percentual e eventuais zonas de aquecimento irregular. 
 
8.1.5 – Núcleos para transformadores pequenos 
Em transformadores pequenos de distribuição são muito usados os núcleos enrolados, conforme 
figuras 8.23 e 8.24, que exigem máquinas especiais, tanto para enrolar os núcleos como para enrolar as 
bobinas nas colunas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 8.23: Núcleo enrolado, 
 envolvido e monofásico 
Fig. 8.24: Núcleo enrolado, tipo 
 envolvente, monofásico 
 
 
Para pequenos transformadores usados em rádio, televisões, etc., são usadas o núcleo estampado 
composto de um estampo “E” e de um estampo “I” montado alternativamente de modo que as lâminas 
“I” e “E” fiquem colocadas, metades de um lado e metade do outro. Estes núcleos são normalmente 
padronizados conforme mostra a fig. 8.25. 
 
2,5 h
h / 2
h / 2
h / 2
h / 2
h 
h / 2
h / 2
2h
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 8.25: Núcleo estampado padronizado Fig. 8.26: Núcleo estampado num só peça. 
Na fig. 8.26 tem-se um outro tipo de núcleo estampado com a parte central cortada em um dos lados 
de modo a permitir a sua introdução nas bobinas dos enrolamentos. 
 
Walter Ries 81 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
8.2 – BOBINAS 
Pelas suas características elétricas, mecânicas e custo, as bobinas se constituem na parte mais 
importante do projeto de um transformador. Eletricamente elas devem possuir as características de 
isolamento de sua classe de tensão e temperatura de operação compatível com sua classe de temperatura. 
Mecanicamente, as bobinas estão sujeitas aos altíssimos esforços derivados das forças eletromagnéticas 
durante os curtos-circuitos no sistema elétrico do qual o transformador faz parte. Além do mais, uma 
parcela muito significativa do custo do transformador está concentrada nos enrolamentos. 
 
8.2.1 – Tipos de bobonas 
Fundamentalmente existem dois tipos de bobinas: 
1. Bobina helicoidal ou em camadas 
2. Bobina em discos. 
Quanto à disposição das bobinas, elas podem ser: 
1. Concêntricas 
2. Intercaladas: em discos ou em panquecas 
A escolha do tipo de bobina deve levar em consideração diversos fatores, tais como: 
1. A distribuição da tensão ao longo do enrolamento 
2. As perdas adicionais 
3. A rigidez mecânica para suportar curtos-circuitos 
4. A disposição geométrica para facilitar a construção e as ligações 
5. O custo de fabricação. 
A fig. 8.27 mostra uma camada de uma bobina helicoidal, e a fig. 8.28 mostra uma bobina em disco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 8.27: Bobina helicoidal Fig. 8.28: Bobina em disco 
 
 
 
Nos enrolamentos concêntricos as bobinas, primária e secundária, são montadas concêntricamente, 
como mostra a fig. 8.29. Esta disposição é usada na grande maioria dos transformadores de distribuição e 
de transmissão. Os enrolamentos intercalados são constituídos por bobinas montadas umas sobre as outras, 
no sentido axial, intercalando-se bobinas primárias e secundárias, como mostra a fig. 8.30. 
 
Walter Ries 82 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
AT BT
× ×
BT AT AT
BT
×
×
BT
AT
AT
BT
×
×
BT
AT
×BT
 
 
 
 
 Fig. 8.29: Bobinas concêntricas Fig. 8.30: Bobinas intercaladas 
 
8.2.2 – O Condutor 
A secção do condutor dos enrolamentos pode ser redonda ou retangular. Usa-se, normalmente, a 
forma circular até a secção de 8 mm2, acima da qual é usada a forma retangular comum ou diversos 
condutores em paralelo. O condutor da secção retangular deve sempre ser disposto de modo a reduzir as 
perdas parasitas, isto é, com a menor dimensão no sentido perpendicular ao fluxo de dispersão. Até o 
limite de, aproximadamente, 100 mm2 de secção, as bobinas podem ser construídas com um só condutor. 
Acima deste limite, são usados condutores em paralelo, quer por facilidade mecânica de execução da 
bobina, quer para manter as perdas parasitas dentro dos limites aceitáveis (máximo de 20% das perdas 
ôhmicas). 
Outrossim, condutores retangulares com dimensões, no sentido axial, muito elevadas poderão dar 
lugar a excessivas perdas parasitas nas cabeceiras das bobinas onde o fluxo de dispersão se torna, em 
parte, transversal, atravessando o condutor no sentido radial como mostra a fig. 8.31. Para as cabeceiras é, 
exatamente a altura α do condutor que entra na expressão das perdas parasitas no lugar da dimensão β, 
sendo pois fácil concluir sobre o ser efeito danoso nas perdas parasitas. É, portanto, normal limitar as 
dimensões do condutor retangular aos valores. 
 β = 6 mm e α = 18 mm 
Para secções maiores é necessário o uso de condutores em paralelo. Todas estas diretrizes dimensionais 
dos condutores dependem, naturalmente, do projeto específico onde pode ser necessário utilizar 
dimensões α e β menores. 
 
 
 
 
 
Culatra
 
 
 
 
 
 
Fig. 8.31: Franjamento do fluxo disperso Fig. 8.32: Transposição cíclica (Hobart) 
C
ol
un
a
C
ATBT
×
a
a
a
a
(a)
1
2 3
4 4
1 2
3 3
4 1
2 2
3 4
1
12
3
(4)
(3)
(1)
2(4)
cilindro bobinador
(b)
Walter Ries 83 
 TRANSFORMADORES 
Com o uso de condutores em paralelo surge o problema da necessidade de se fazer transposições 
entre eles. Todos os condutores em paralelo devem ter, depois de feita uma bobina, o mesmo 
comprimento e devem ocupar, relativamente ao fluxo disperso todas as posições, no sentido radial, em 
igual número de vezes. Com isto, garante-se que todos os condutores em paralelo tenham a mesma 
resistência ôhmica e a mesma reatância de dispersão. Deste modo a corrente que circula pelas espiras da 
bobina se distribui igualmente entre os condutores em paralelo.. 
Para se obter tal resultado, torna-se necessário fazer transposições dos condutores em paralelo, como 
se observa na Fig. 8.32, onde uma espira tem 4 condutores em paralelo e são necessárias 3 transposições 
para que cada um dos 4 condutores ocupe, o mesmo número de vezes, as diversas posições no sentido 
radial, como pode ser visto na Fig. 8.32 (a). A falta de transposições ou um número incompleto de 
transposições necessárias em condutores em paralelo te como conseqüência um aumento das perdas no 
condutor por correntes circulantes. Existem muitas maneiras de se fazer transposições, sendo a mais 
usada, a transposição cíclica, ou de Hobart, que mostra a Fig. 8.32: em (a), como ficam os condutores 
bobinados numa camada sobre o cilindro bobinador; em (b), uma vista lateral da bobina detalhando uma 
transposição cíclica entre os 4 condutores que estão numerados de 1 a 4 e os números entre parênteses 
correspondem aos condutores que se encontram por baixo. 
Nos enrolamentos em disco é comum a realização de transposições dos condutores em paralelo 
sempre que se passa de um disco para outro, como mostra a Fig. 8.33. 
 
cilindro bobinador
2
1
1
2
1
2
2
1
2
11
2
1
2
2
1 
1
12
2
2
1
 
 
 
 
 
Fig. 8.33: Bobina em discos com 2 condutores em paralelo com transposições. 
 
Os condutores de secção circular são, em geral, isolados com uma ou duas camadas de esmalte, ou 
ainda, com papel Kraft ou fio de seda. Os condutores retangulares são, geralmente, isolados com tiras de 
papel Kraft (papel de pura celulosa). A espessura do isolamento depende das solicitações dielétricas nos 
enrolamentos para altas tensões. Para bobinas de baixa tensão, menor de 1.000 Volts, o fator determinante, 
para dimensionar a espessura do isolamento, é a resistência mecânica à abrasão. 
As solicitações dielétricas não são somente aquelas de operação normal, mas, sobretudo aquelas que 
se originam das sobretensões nos transformadores, quer em operação, quer nos ensaios de laboratório que 
simulam as possíveis ocorrências em operação. 
O transformador em operação está sujeito a dois tipos de sobretensões: 
• Sobretensões transitórias de chaveamento do sistema e de descargas atmosféricas; 
• Sobretensões de curtos-circuitos no sistema, de perdas de carga do sistema, etc. 
Para se reproduzir estas sobretensões, fazem-se, em laboratório, os seguintes ensaios nos 
transformadores: 
1. Ensaio de impulso de onda longa que simula as sobretensões de chaveamento do sistema; 
2. Ensaio de impulso normal de onda plena e de onda cortada, que simula as sobretensões devidas 
às descargas atmosféricas; 
3. Ensaios de tensão induzida e aplicada que simulam as sobretensões dinâmicas do sistema. 
A norma brasileira NBR 5356 da ABNT especifica os níveis de tensão para cada um dos ensaios 
acima em função do nível de tensão do projeto do transformador. Deste modo, tanto os condutores, 
como as demais partes sob tensão do transformador, devem ser isoladas de modo a suportarem as 
solicitações decorrentes dos ensaios mencionados. 
Walter Ries 84 
 TRANSFORMADORES 
A tabela da Fig. 8.34 fornece uma orientação para o isolamento dos condutores de uma bobina, de 
acordo com o nível de tensão de operação do transformador. 
 
 
 Nível de Tensão Nível de isolamento Isolamento bilateral
kV (NI) kV Do condutor mm
15 110 0,5
25 150 0,6
34,5 200 0,7
46 250 0,8
69 350 0,9
92 450 1
138 650 1,5
161 750 1,8
230 950 2,1
345 1.175 2,7
440 1.425 3,2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 8.34: Isolamento dos condutores em função do nível de tensão 
 
O material mais utilizado para o condutor é o cobre eletrolítico, com 99,9% de pureza, 
correspondente à graduação de 100% IACS, produzido por laminação e trefilação ou por extrusão. Após a 
trefilação o condutor deve ser recozido de modo a tingir uma dureza máxima de 46 Brinell. O condutor 
deve ser liso, sem carepa e limpo por decapagem. Quando o condutor for de secção retangular deve 
apresentar os seus cantos arredondados a fim de diminuir os gradientes de potencial e evitar o corte do 
material isolante (ver Fig. 8.35). Para condutores com β < 1,8 mm o perfil pode se apresentar como na 
Fig. 8.36. 
 
α
β
α
βr 
 
Fig. 8.35: Condutor retangular Fig. 8.36: Condutor retangular com β < 1,8 mm 
 
A tabela da fig. 8.37 fornece os raios de curvatura dos cantos e a redução da secção do condutor. 
α mm β mm 0,7 a 1,00 1,1 a 1,5 1,6 a 1,,8 1,9 a 3,1 3,3 a 4 2 4,3 a 5,7 5,8 a 6,4
r 0,3 0,4 0,4 0,8 1,2 -
red. mm² 0,15 0,08 0,14 0,14 0,55 1,24 -
r 0,8 0,8 1,2 1,6
red. mm² 0,15 0,35 0,65 0,55 0,55 1,24 2,2
* Para a Fig. 8.36
2,6 a 4,8
4,8 a 19,0
 
 Fig. 8.37: Raio de curvatura dos cantos e a redução da secção do condutor. 
Também pode ser usado condutor de alumínio eletrolítico. No entanto devem-se analisar custos finais 
de fabricação utilizando condutores de cobre ou de alumínio. Embora o alumínio tenha um custo por kgf 
menor, a sua resistividade é maior exigindo maiores secções dos condutores. 
 
 
 
Walter Ries 85 
 TRANSFORMADORES 
8.2.3 – Construção das bobinas 
As bobinas são construídas sobre formas cilíndricas que, por meio de um dispositivo especial, podem 
se expandir ou contrair ajustando-se diâmetro interno da bobina. As máquinas de bobinar podem ser 
horizontais ou verticais. 
Uma bobina poder ser DIREITA ou ESQUERDA dependendo do sentido do enrolamento da mesma. 
Nas figuras 8.38 e 8.39 vê-se como se apresentam estas definições. 
 
 
 
 
 
 Fig. 8.38: Bobina DIREITA Fig. 8.39: Bobina ESQUERDA 
 
Iniciando a bobina do lado esquerdo de uma bobinadeira horizontal, a bobina que se obtém será 
DIREITA, isto é, com sentido horário. Iniciando do lado direito da bobinadeira horizontal, a bobina será 
ESQUERDA, ou seja, com sentido anti-horário. Uma bobina com diversas camadas possui, 
alternadamente, camada DIREITA e ESQUEDA. Virando-se uma bobina, ela não muda o seu sentido de 
enrolamento. 
Normalmente as bobinas são enroladas sobre um cilindro isolante que lhe serve de base. Estes 
cilindros podem ser de papelão prensado, de pura celulose tipo presspan ou Weidmann (suíço)l, ou de 
fenolite que é constituído por papel Kraft com resina fenólica. 
Nas figuras 8.40 a 8.49 vêm-se diferentes maneiras de construir bobinas helicoidais e em disco. Nas 
figuras 8.40, 8.41 e 8.42, têm-se bobinas helicoidais com 1 (um) condutor ou com mais condutores em 
paralelo, normalmente usadas nos enrolamentos de baixa tensão de transformadores de distribuição nos 
quais se tem correntes elevadas e em pequeno numero de espiras. Na Fig. 8.43 tem-se uma bobina 
helicoidal em camadas que pode ser usada na alta e baixa tensão de transformadores de força e 
distribuição. São as bobinas mais simples que existem mas encontram limitações no isolamento entre 
camadas e na refrigeração. 
A Fig. 8.44 mostra um enrolamento em panquecas muito usado na alta tensão de transformadores de 
distribuição. Pode-se considerar este enrolamento como um tipo misto entre o helicoidal e o disco. 
Na Fig. 8.45 tem-se uma bobina helicoidal, com uma camada, mas com espiras intercaladas. Vê-se 
que o condutor (1) forma 4 espiras, distribuídas ao longo de toda a altura da bobina, e depois, liga-se com 
o condutor (2) que também forma 4 espiras ao longo da bobina. O condutor (2), por sua vez, liga-se ao (3) 
e este ao (4), todos eles formando 4 espiras ao longo da bobina. Das ligações dos condutores (1) ao (2), (2) 
ao (3) e (3) ao (4) tiram-se derivações que vão a um comutador de tensão. Este tipo de bobina é muito 
usado em bobina de regulação de tensão em transformadores de força com comutadores de tensão sob 
carga. Para cada uma das derivações, tem-se uma distribuição uniforme do carregamento elétrico de 
corrente ao longo da altura da bobina e o princípio de simetria das bobinas fica assegurado. 
As figuras 8.46, 8.47 e 8.48 apresentam bobinas em disco. O enrolamento em disco simples é pouco 
usado, pois exige a passagem do condutor entre 2 discos contíguos a fim de ligar a espira superior de um 
com a espira inferior do outro disco. Esta passagem dificulta o isolamento das bobinas. 
A bobina de disco duplo contínuo é largamente usada para a construção de enrolamentos de baixa e 
alta tensão até 69 kV. O disco duplo exige que se construa, alternadamente, um disco normal e um disco 
inverso. O disco normal inicia em baixo e o disco inverso inicia em cima. O disco que inicia na parte 
inferior é facilmente construído. No entanto, o disco imediato, chamado disco inverso, é construído como 
mostra a Fig. 8.50. Após feito um disco normal, constrói-se ao lado, com o auxilio de uma cunha 
semicircular um segundo disco, como mostra a Fig. 8.50, fase (a). Da espira 9 à 10 a passagem é feita 
com o auxílio da cunha. Este segundo disco é, depois, afrouxado e é feita, então uma inversão das espiras, 
conforme mostraa fase (b). Quando a inversão é completada, retira-se a cunha e traz-se o segundo disco 
para junto do primeiro, como mostra a fase (c). O aperto do disco inverso é feito tracionando a espira 
inferior e batendo levemente em cima e na lateral do disco, com um martelo de material plástico. 
Walter Ries 86 
 TRANSFORMADORES 
 
1
2
3
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 8.42: Bobina helicoidal
c/ 1 camada e 3 condutores 
em paralelo, um sobre o outro
 Fig. 8.41: Bobina helicoidal
c/ 1 camada e 2 condutores 
em paralelo, lado a lado
Fig. 8.40: Bobina helicoidal
 c/ 1 camada e 1 condutor
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
 
 
Fig. 8.43: Bobina helicoidal
em camadas, fio retangular
e fio redondo 
Fig. 8.44: Bobina helicoidal
em panquecas
Fig. 8.45: Bobina helicoidal
com espiras inercaladas 
 
1
2
0
1
20
 
 
 
 
 
 
Fig. 8.48: Bobina em disco 
duplo contínuo com 2
condutores em paralelo
 Fig. 8.46: Bobina em disco 
simples
Fig. 8.47: Bobina em disco 
duplo contínuo 
 
2
161
3
6
89
10
12
13
14
15
5
11
4
7 
 
 
 Fig. 8.49: Bobina em disco continuo entrelaçado (interleaved)
 
Walter Ries 87 
 TRANSFORMADORES 
 
(a)
9
2
3
4
5
6
7
8
1
11
16
15
14
13
12
10
(b)
9
2
3
4
5
6
7
8
1
11
16
15
14
13
12
10
(c)
9
2
3
4
5
6
7
8
1
11
16
15
14
13
12
10
Fig. 8.50: Fases da construção
 de um disco inverso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O disco duplo é empregado, igualmente, com condutores em paralelo, como mostra a Fig. 8.48. Na 
passagem de um disco para outro é feita uma transposição dos condutores com a finalidade de fazer com 
que todos os condutores paralelos tenham a mesma impedância, conforme já visto na fig. 8.33. 
Na Fig. 8.49 é apresentado o enrolamento em disco contínuo entrelaçado ou “interleaved”, 
especialmente usado nas altas e altíssimas tensões de transformadores de força. O entrelaçamento das 
espiras traz como resultado uma melhor distribuição das sobretensões de impulso ao longo do 
enrolamento e, portanto, a bobina passa a suportar melhor as solicitações dielétricas em operação. 
As bobinas helicoidais em camadas, feitas com condutor retangular, podem ser construídas sem o 
cilindro isolante de base. Entre as camadas deve haver um isolamento que suporte as tensões de ensaio 
correspondente a duas camadas. Nas bobinas em camadas, com fio de secção circular, normalmente é 
usado um cilindro isolante de base, como ocorre nos transformadores de distribuição com este tipo de 
enrolamento. As bobinas em panqueca, conforme Fig. 8.44, podem ser feitas sem cilindro de base, pois, 
normalmente, elas são enfaixadas com tiras de papel Kraft ou impregnadas em verniz isolante para 
proporcionar uma boa rigidez mecânica. Estas panquecas não possuem mais do que 30 a 40 mm de altura 
axial e 20 a 30 mm de espessura radial. O isolamento entre camadas é feito com papel Kraft de 0,06 a 
0,12 mm de espessura. 
A Fig. 8.51 mostra um corte de bobinas em camadas, BT e AT, de um transformador de distribuição 
e a Fig. 8.52 mostra um corte de bobinas de AT em panquecas. 
As bobinas em panqueca são mais bem refrigeradas pelo óleo que pode também circular nos 
intervalos entre as panquecas separadas por espaçadores vazados conforme mostram os detalhes. As 
bobinas são prensadas contra as culatras através de calços vazados ou maciços isolantes. Longarinas 
espaçadoras separam as bobinas entre si e do núcleo, deixando sempre canais para circulação do óleo 
refrigerante. 
Observando-se as figuras 8.51 e 8.52, a partir do núcleo, no sentido radial, tem-se: 
a) Cilindro isolante da BT contra o núcleo constituído de papelão prensado, tipo presspan, com 2 a 3 mm 
de espessura. 
b) Canal de refrigeração da BT contra o núcleo, com um mínimo de 5 mm de largura, mantido através de 
longarinas axiais, chamadas de estecas, construídas de madeira ou presspan. 
c) Bobina de BT com os isolamentos de cabeceira constituídos de um calço compacto em anel e um 
calço vazado para permitir a circulação do óleo de refrigeração. 
d) Canais de refrigeração e isolamento entre BR e AT. Estes canais estão separados por um cilindro 
isolante de presspan, de 2 a 3 mm de espessura. A largura mínima dos canais de circulação de óleo 
deve ser de 5 mm a fim de permitir a circulação do óleo por efeito termo-sifão sem perda de carga 
excessiva por atrito viscoso. A circulação do óleo por efeito termo-sifão é denominada de circulação 
natural, pois pode existir, também, a circulação forçada do óleo utilizada em transformadores de 
potência elevada. 
Walter Ries 88 
 TRANSFORMADORES 
e) Cilindro isolante, de 1 a 1,5 mm de espessura, da AT, somente no caso da Fig. 8.51. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Papelão de compensaçãoCalços vazados
Longarinas espaçadoras
e canais de circulação de
óleo
10 a 15
 mm
Detalhe das cabeceiras das bobinas
Cilindro
isolante
a1 a2δ
Fig. 8.51: Transformador de distribuição com bobinas de BT e AT em camadas
Espaçador
Calços vazados
Anel de prensagem
Tipos de espaçadores vazados
Fig. 8.52: Transformador de distribuição com bobinas de BT em camadas e AT em panquecas
f) Enrolamento da AT, em camadas ou em panquecas. No enrolamento em camadas o isolamento entre 
as mesmas pode ser gradativo, isto é, menor do lado em que se passa de uma a outra camada e maior 
no lado oposto, onde a diferença de potencial entre espiras das duas camadas é maior. Na Fig. 8.51 
foram desenhadas somente duas graduações de espessura de isolamento, mas, de acordo com as 
necessidades podem ser feitos vários degraus de espessura por camada. 
Walter Ries 89 
 TRANSFORMADORES 
Na bobina de AT em camadas o isolamento das é formado pelo isolamento entre camadas, que 
sobressai do enrolamento a fim de criar um caminho superficial maior entre as camadas, e pelos 
calços de prensagem da bobina. Entre o isolamento, que sobressai do enrolamento, são colocadas 
tiras de papelão presspan, com espessuras iguais ao diâmetro do fio condutor, coladas com verniz 
isolante de modo a tornar toa a cabeceira bastante compacta. 
As bobinas em panqueca devem receber um isolamento maior nas panquecas de cabeceira. Estas 
panquecas são isoladas com papel Kraft crepado até atingir uma espessura de 0,5 a 2,0 mm, 
dependendo da classe de tensão do transformador que, normalmente é de 15 a 34,5 kV. 
Os espaçadores vazados entre panquecas normalmente possuem uma espessura de 8 a 10 mm, 
provendo o isolamento necessário entre as panquecas e o canal de passagem de óleo para refrigeração. 
Normalmente a tensão de trabalho, por panqueca, não ultrapassa de 2,5 kV e a tensão por camada, 
das bobinas em camadas, é no máximo de 3 kV. 
 
As bobinas em disco são construídas sobre um cilindro isolante de papelão prensado ou fenolite, que 
lhes servem de base. 
Sobre o cilindro isolante são colocadas as estecas , ou também chamadas de longarinas, de madeira 
ou de papelão presspan, conforme mostra a Fig. 8.53. 
 30 a 40
mm
Espaçadores
Disco com espaçadores Esteca
10 a 20
mm
Canal de óleo
Cilindro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 8.53: Bobina em disco
As estecas possuem uma parte mais larga que se encaixa nos espaçadores. Sobre a estecas são 
enrolados os discos separados pelos espaçadores também construídos de papelão prensado. O encaixe dos 
espaçadores nas estecas evita que os mesmos possam sair de sua posição normal se,eventualmente, 
houver u afrouxamento entre os discos. Os espaçadores podem ter já o encaixa para as estecas que vão 
formas o espaçamento para o próximo canal de óleo no sentido radial, como mostra o disco com 
espaçadores da fig. 8.53. Se o espaçador for da última bobina este encaixe não é mais necessário 
conforme mostra a figura à direita dos detalhes dos espaçadores. 
A distância entre as estecas é função das dimensões do condutor. No entanto, para que seja possível a 
realização das transposições entre condutores em paralelo e, para permitir a passem dos condutores de um 
disco para o outro, a distância entre as estecas não deve ser menor do que 6 vezes a largura do condutor. 
Distâncias muito grandes entre estecas podem deformar o disco, motivo pelo qual elas não devem ser 
superioras a cerca de 10 vezes a largura do condutor. 
A Fig. 8.53 mostra a secção reta de uma bobina em disco e a Fig. 8.54 dá uma vista lateral das 
transposições de uma bobina em disco duplo. 
Os canais radiais entre discos separados pelos espaçadores têm a dupla função, de isolamento entre 
discos e de permitir a passagem de óleo refrigerante. A dimensão axial destes canais varia de 3 a 6 mm, 
quer devido à tensão de trabalho entre discos, quer devido à necessidade de refrigeração. 
Walter Ries 90 
 TRANSFORMADORES 
A passagem do condutor de um para outro disco é feita, em geral, um pouco antes de completar o 
número inteiro de voltas, a fim de evitar um radial maior do que o nominal neste ponto. 
Quando se têm condutores em paralelo, faz-se uma transposição dos mesmos sempre que se inicia 
um novo disco, conforme se observa na fig. 8.55. Estas transposições são feitas em diversos setores a fim 
de facilitar a execução sem danificar o isolamento do condutor. Nas dobras do condutor, para as 
transposições, o isolamento sempre deve ser reforçado, quer aumentando as camadas de papel Kraft sobre 
o condutor, quer colocando um tira de papelão de 0,5 mm de espessura, por baixo do condutor dobrado 
 
1
12
22
1
Seto Este
Espaçador 
Disco
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 8.54: Vista das transposições
de uma bobina em disco duplo 
Fig. 8.55: Transposições entre 
condutores em paralelo 
 
 
 
8.2.4 – Tratamento das bobinas, encolunamento e montagem 
Os diversos enrolamentos do transformador, primário, secundário, terciário, regulação, etc. são 
construídos separadamente. Devido à umidade absorvida pelo material isolante, as bobinas devem ser 
tratadas em estufa antes de montadas sobre o núcleo. Este tratamento se realiza em temperaturas de 90 a 
100ºC e durante 24 a 36 horas. Quando em tratamento de secagem, as bobinas devem estar prensadas 
entre duas placas de ferro, sendo preferível que a tensão de prensagem permaneça ativa a medida que a 
bobina vai perdendo umidade. Isto é conseguido se a prensagem é realizada por meio de tirantes com 
molas ou se for pneumática ou hidráulica. É durante a fase de secagem da bobina que se ajusta a altura da 
mesma introduzindo ou retirando espaçadores entre as espiras ou discos do enrolamento. 
Após a secagem, segue-se a operação de encolunamento, isto e, a colocação das bobinas, 
concentricamente, com estecas e cilindros isolantes. Nos transformadores de distribuição costuma-se 
montar a bobina de BT sobre o núcleo e depois a bobina de AT sobre a B. Nos transformadoras de força, 
no entanto, a montagem das bobinas de BT AT, regulação, etc., é, normalmente realizada antes de colocar 
todo o conjunto sobre o núcleo. Esta montagem é sempre realizada com as bobinas, estecas e cilindros 
isolantes convenientemente secos. Uma vez encolunadas as bobinas, umas sobre as outras de modo 
concêntrico, elas são montadas nos núcleos que, para esta operação, estão com as culatras superiores 
desmontadas. Após a montagem sobre os núcleos, as culatras superiores são novamente recolocadas 
juntamente com as prensas-culatra e todos os elementos de prensagem. 
Dependendo do grau de umidade do ambiente, o papel e o papelão isolante, bem como a madeira, 
podem absorver água até 10% de seu peso. Ambientes muito úmidos são, pois, desaconselháveis para 
operações de bobinagem e encolunamento de bobinas de transformadores, principalmente quando se trata 
de transformadores para altíssimas tensões que possuem grande quantidade de material isolante. 
A prensagem das bobinas montadas sobre os núcleos pode ser realizada de diversas maneiras: 
a. por meio de parafusos de prensagem fixados nas abas das prensas-culatra, conforme mostra a Fig. 
8.56; 
b. por meio de molas-prato, semelhante ao item anterior, porém, adicionando-se molas; 
Walter Ries 91 
 TRANSFORMADORES 
c. por meio de calços após a prensagem por meio de macacos hidráulicos, conforme mostra a Fig. 8.57. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BTAT
Calços
Anel de prensagem
AT BT
Fig. 8.57: Prensagem por calços após
pré-prensagem por macacos 
hidráulicos
Fig. 8.57: Prensagem por calços após
pré-prensagem por macacos 
hidráulicos
 
 
 
Walter Ries 92 
 TRANSFORMADORES 
9 – O ISOLAMENTO DO TRANSFORMADOR 
9.1 – Introdução 
Materiais isolantes sólidos, líquidos e gasosos são utilizados no isolamento de transformadores nas 
seguintes partes: 
• Entre espiras de uma bobina 
• Entre bobinas de uma fase 
• Entre bobinas de fases diferentes 
• Entre bobinas e as colunas e culatras 
• Nas buchas de passagem dos terminais das bobinas. 
Os transformadores, quanto ao isolamento utilizado, podem ser do tipo seco ou imerso em líquido 
isolante. Para tensões baixas, até o nível de 34,5 kV podem ser construídos transformadores secos em que 
os principais dielétricos utilizados são as resinas naturais e sintéticas, fibra de vidro, mica, porcelana, 
resinas epoxílicas, o ar, certos gases isolante (SF6), etc. Nos transformadores imersos em líquido isolante, 
são utilizados os materiais na base de celulose como papel Kraft de alta resistência mecânica, papel 
crepado, estruturas com papel laminado como o papelão presspahn, o “transformerboard”, madeira 
tratada, etc. e como líquido isolante o óleo mineral para transformadores e também alguns óleos 
sintéticos. 
A operação dos transformadores sob tensões sempre maiores torna o isolamento um dos pontos 
mais críticos do projeto e o principal tópico para pesquisas e desenvolvimento de novos materiais e 
estruturas isolantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na fig. 9.1 podem-se ver as linhas de fluxo do campo elétrico entre as bobinas de alta e baixa 
tensão de uma fase e entre as bobinas de alta tensão entre fases diferentes. As densidades de fluxo sempre 
são maiores nas cabeceiras das bobinas e, portanto, nestes pontos as intensidades de campo elétrico ou 
gradiente de potencial são maiores. Na fig. 9.2, observam-se as linhas que representam um corte dos 
planos equipotenciais do campo elétrico entre as bobinas de alta e baixa tensão Nos pontos de maior 
intensidade de campo os planos estão mais próximos. O desenho destas curvas permite fazer uma 
avaliação dos gradientes de potencial (kV/cm) nos diversos pontos do campo e assim verificar se estes 
gradientes se encontram abaixo dos valores de ruptura do isolamento. 
Diferente dos materiais metálicos, os materiais isolantes, sejam sólidos, líquido ou gasoso têm um 
comportamento muito irregular e de difícil avaliação sob o ponto de vista elétrico. Os materiais sólidos e 
líquidos estão sujeitos a uma rápida deterioração sob determinadas condições tanto elétricas quanto 
mecânicas. 
O tempo de vida útil do transformador depende essencialmente das solicitações a que os 
isolamentos estão submetidos durante a operação. Nos transformadores imersos em óleo o isolamento é 
95%
90%
80%
70%
60%50%
40%
30%
20%
10%
ATBT
100 %0 %
Fig. 9.1: Linhas de fluxo entre AT e BT e entre H1 e H2 Fig. 9.2: Planos equipotencias entre AT e BT
Walter Ries 93 
 TRANSFORMADORES 
Classe Designação Materiais representativos
ºC
90 O Algodão, sêda e papel não tratados e não impregnados em óleo
105 A Algodão, seda e pape, impregnados, tratados com verniz ou 
imersos em óleo
130 B Mica, asbesto, fibra de vidro e materiais inorgânicos similares,
com substâncias aglutinantes adequadas à classe de temperatura.
155 F Mica, asbesto, fibra de vidro com substâncias aglutinantes
adequadas à classe de temperatura.
180 H Mica, asbesto, fibra de vidro aglutinados com silicone e outras
subtâncias adequadas à classe de temperatura.
>180 C Materiais formados inteiramente por mica, porcelana, viddro, 
quartzo e materiais orgânicos semelhantes.
basicamente constituído por produtos compostos por celulose especialmente tratada. Os elementos 
básicos da celulose são o carbono, o hidrogênio e o oxigênio, ligados numa configuração de núcleos 
benzênicos formando grandes moléculas. Uma expressão química básica pode ser dada por (C6H10O5)n 
em que n é o grau de polimerização das moléculas de celulose, variando este de 1000 a 5000. Trata-se, 
portanto de moléculas muito pesadas, da ordem de algumas centenas de milhares de gramas por mol. A 
degeneração do isolamento consiste na degradação do grau de polimerização produzindo, 
fundamentalmente CO e CO2 e deixando o isolamento em forma de camadas cristalizadas e friáveis 
(quebradiças). O valor da tensão de ruptura do isolamento pouco altera com o seu envelhecimento até o 
instante em que ele se quebra ou de destrói pela degradação do grau de polimerização. Nestas condições o 
isolamento está no fim de sua vida útil. Um dos fatores que mais aceleram a degradação da celulose é a 
temperatura. Quanto maior é a temperatura de operação do transformador mais rápida será a degradação. 
Pesquisas realizadas demonstram que os isolantes a base da celulose têm o seu tempo de vida reduzido à 
metade para cada 8 a 10 °C de acréscimo da temperatura de operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com relação à temperatura limite de operação a fim de atingir um tempo de vida útil econômico, os 
materiais isolantes são classificados em Classes de Isolamento. Segundo a ABNT, o quadro da figura 9.3 
mostra as temperaturas padrões de operação para os diversos materiais isolantes normalmente utilizados 
na construção de máquinas e equipamentos elétricos. 
Os materiais isolantes são também chamados de dielétricos. Um dielétrico é um meio no qual se 
pode manter um campo eletrostático constante sem dispêndio apreciável de energia elétrica. O termo 
dielétrico é utilizado quando um material isolante é usado para separar dois condutores entre os quais 
existe uma diferença de potencial ou tensão V. 
9.2 – Características dos dielétricos 
9.2.1 – Rigidez dielétrica 
As propriedades dos dielétricos podem ser interpretadas utilizando os conhecimentos da mecânica 
quântica através das bandas de energia dos elétrons que giram em torno do núcleo da matéria. Para 
arrancar um elétron da banda de valência, ultima órbita de elétrons do átomo, é necessária uma 
determinada energia. Nos materiais condutores, já existem, no estado natural do material, elétrons livres, 
isto é, que já estão na banda de condução. Sob a ação de um campo elétrico, estes elétrons são deslocados 
formando a corrente elétrica no condutor. Nos semicondutores não existem elétrons livres, portanto, na 
banda de condução e é necessária relativamente pouca energia para transferir elétrons da banda de 
valência para a banda de condução. Já para os dielétricos é necessária muita energia para transferir 
elétrons da banda de valência para a banda de condução. 
Um campo elétrico muito intenso aplicado a um dielétrico pode fornecer a energia necessária para 
que elétrons emigrem da banda de valência para a banda de condução provocando a ruptura do material 
isolante através de uma descarga elétrica. O modo de como se realiza a geração desta energia capaz de 
transformar um material dielétrico em um material condutor, constitui a base para a compreensão das 
características elétricas dos dielétricos. 
Nos átomos ou moléculas de dielétricos não polares o centro das cargas positivas dos núcleos 
coincide com o centro das cargas negativas que circulam em torno dos núcleos conforme mostra a fig. 9.3 
(b). Os átomos e muitas moléculas possuem esta propriedade. Nesta figura se representa a nuvem de 
Fig. 9.3: Classes de isolamento dos materiais isolantes
Walter Ries 94 
 TRANSFORMADORES 
elétrons por um circulo concêntrico ao núcleo. Assim, o centro de carga negativa de todos os elétrons 
coincide com o centro da carga positiva, do núcleo no caso de um átomo ou dos núcleos no caso de uma 
molécula. Quando o centro das cargas positivas dos núcleos de uma molécula não coincide com o centro 
das cargas negativas dos elétrons, o dielétrico já é formado por dipolos elétricos permanentes cujos 
momentos estão distribuídos em todas as direções. Estes são os dielétricos polares como representado na 
fig. 9.4 (a). Como exemplo de um dielétrico polar tem-se a molécula de água. 
 Um dielétrico não polar quando submetido a um campo elétrico se polariza, conforme mostra a fig. 
9.4 (c), porque o campo elétrico tende a separar os centros de carga positiva e negativa dos átomos ou 
moléculas. Os dielétricos polares tendem a se orientar no sentido do campo elétrico aplicado. Como as 
moléculas estão em constante agitação térmica resulta que o grau de alinhamento dos dipolos depende da 
intensidade do campo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Num dielétrico perfeito, sem impurezas, não existem elétrons livres e a ação do campo elétrico se 
restringe em acelerar elétrons situados na banda de valência sem o aparecimento de alguma corrente 
elétrica por condução. A resistência de isolamento deste dielétrico é infinita. A energia cinética resultante 
da aceleração dos elétrons é limitada pela colisão dos mesmos. O espaço médio entre colisões é muito 
pequeno e assim a energia cinética transferida aos elétrons é pequena. Somente altíssimas intensidades de 
campo poderão romper os dipolos do dielétrico e assim entregar suficiente energia aos elétrons de modo a 
passá-los para a banda de condução iniciando o rompimento ou perfuração localizada mediante fusão, 
queima ou vaporização do dielétrico. O que caracteriza a intensidade de campo de ruptura do dielétrico é 
sua capacidade em fornecer energia cinética suficiente para elevar a energia de elétrons da banda de 
valência e assim coloca-los na banda de energia de condução. A fusão, a queima ou a vaporização é uma 
conseqüência da energia térmica produzida pelas colisões dos elétrons da zona de condução. Esta energia 
térmica também poderá ser transferida em parte a elétrons da banda de valência de modo a acelerar a 
avalanche de elétrons que se transferem para a banda de condução. No entanto, a influência da energia 
térmica externa transferida ao dielétrico é relativamente pequena. A intensidade de campo de ruptura do 
dielétrico denomina-se rigidez dielétrica do material e é dada em V/m, kV/cm ou kV/mm. 
Os dielétricos nunca são perfeitos e sempre contêm impurezas. Isto tanto é verdade que os dielétricos 
sempre possuem um valor finito muito alto de resistência elétrica, denominada de resistência de 
isolamento o que denota a existência de elétrons livres ou matéria ionizada na zona de condução. Na 
prática a resistividade de alguns dielétricos é tão grande que se definem como “infinitas”, porque sob 
tensões de teste relativamente baixas não se verificam correntes elétricas mesuráveis. O ar, por exemplo, 
tem uma resistência de isolamento praticamente infinita nas condições normais de temperatura e pressão epara intensidades de campo relativamente pequenas. As impurezas podem, portanto acelerar o processo 
de ruptura do dielétrico reduzindo a rigidez dielétrica do material isolante. Se as intensidades de campo 
são menores que a rigidez dielétrica do material elas agem sobre os elétrons livres resultando uma 
corrente elétrica muito pequena que produz perdas sem prejudicar a propriedade de isolante do material, 
desde que estas perdas sejam dissipadas dentro dos limites de temperatura de operação segura do 
dielétrico (ver Fig. 9.3). 
Os dielétricos gasosos e líquidos (óleo isolante), após a descarga disruptiva e com o desaparecimento 
do campo elétrico, normalmente regeneram os seus poderes isolantes, porém com perda de rigidez 
dielétrica, pois as descargas podem produzir transformações químicas e modificar e alterar as 
características dielétricas. Nos materiais isolantes sólidos, embora suportem maiores gradientes de 
potencial até ocorrer a descarga elétrica, os danos resultantes são permanentes, pois o material se 
carboniza. A carbonização do material é uma conseqüência da descarga elétrica e não uma causa que 
poderia ser originada pela passagem de uma corrente elétrica por condução através da resistência de 
isolamento do material, produzindo perdas com aquecimento (perdas joule). No entanto, o aumento da 
a) Dielétrico polar b) Dielétrico não polar c) Dielétrico polarizado
Fig. 9.4: Polarização dos dielétricos submetidos a um campo elétrico
Walter Ries 95 
 TRANSFORMADORES 
temperatura, normalmente reduz a rigidez dielétrica do material, isto é, a descarga disruptiva se realiza 
com intensidades ou gradientes de campo elétrico menores. 
O valor da rigidez dielétrica de um isolante, sólido, líquido ou gasoso, varia muito com a forma dos 
eletrodos entre os quais o material é colocado para teste. O valor verdadeiro ou intrínseco da rigidez 
dielétrica é de difícil medição, pois exige um campo absolutamente uniforme, ausência completa de todas 
as descargas no meio ambiente e aquecimento devido às perdas dielétricas desprezível. Valores da ordem 
de 5.000 kV/cm foram encontrados como valor da rigidez dielétrica intrínseca de um bom isolante. Os 
valores obtidos com o uso de eletrodos padronizados em forma de esferas ou discos atingem valores 
muito menores e são estes que se utilizam para o dimensionamento dos isolamentos de equipamentos 
elétricos. O tempo usado para o teste da rigidez dielétrica com freqüências baixas, 50 a 400 Hz, é 
normalizado em: instantâneo e de 1 minuto. Com o denominado tempo instantâneo levanta-se a tensão, 
de modo uniforme e relativamente rápido, até a ruptura do dielétrico. No tempo denominado de um 
minuto, inicia-se o teste com uma tensão igual a 40% da tensão de ruptura instantânea mantendo este 
valor por um minuto e depois aumentando a tensão em saltos de 10%, com repouso de um minuto em 
cada salto, até a ruptura do material. Este é o procedimento recomendado pela A.S.T.M. Normalmente 
não são grandes as diferenças da rigidez dielétrica instantânea e de 1 minuto. 
Além do perfil dos eletrodos, a rigidez dielétrica dos materiais isolantes é afetada também por 
diversos fatores: espessura do material, tempo de aplicação da tensão, freqüência e temperatura, 
composição química e textura (fibrosa, laminada, prensada, etc.), umidade contida e, nos gases, pressão 
atmosférica ou densidade. Assim sendo, podem-se imaginar quão divergente podem ser os valores da 
rigidez dielétrica medidos sob diferentes condições. Quando se realizam ensaios de materiais para definir 
as suas características, torna-se impositiva a existência de padrões de ensaio que são especificados pelas 
diferentes normas, nacionais ou internacionais, tais como: ABNT (Associação Brasileira de Normas 
Técnicas), ASTM (American Society for Testing Materials), CEI (Comission Electrotechique 
Internationale – ou IEC International Electro technical Commission), etc. 
9.2.2 – Constante dielétrica 
A lei de Gauss para o campo elétrico é uma das quatro equações de Maxwell do eletromagnetismo. 
Ela é tão importante que merece ser relembrado o seu enunciado. 
 
-12
0
2
0 28, 8541878 10
[9.1]
[9.2]
D da E da Q
Coulomb
Newton metro
ε
ε ×
× = × =
=
×
∫ ∫G GG Gv v
Q da Dα
n
 
 
 
 
 Fig. 9.5: Lei de Gauss para o campo elétrico
 
A figura 9.5 mostra uma superfície fechada envolvendo uma carga elétrica Q sendo o meio ambiente 
constituído por ar ou vácuo. A lei de Gauss diz que a integral de superfície do produto escalar do 
deslocamento D pela superfície elementar da de uma superfície que envolve uma carga elétrica Q é igual 
ao valor desta carga dada em Coulomb. A expressão 9.1 sintetiza a lei de Gauss, sabendo-se que a 
intensidade de campo E é dada pelo deslocamento D dividido pela permissividade ε do meio, sendo que 
para o vácuo o valor é dado pela expressão 9.2. 
• E – é a intensidade de campo num ponto qualquer, medida em Newton/Coulomb ou em volts/metro. 
Também leva o nome de gradiente de potencial do campo. A intensidade de campo é uma grandeza 
vetorial que é tangente às linhas de força do campo e é perpendicular às superfícies equipotenciais. 
• D – é o deslocamento do campo elétrico medido em Coulomb/m². Associando-se uma linha de fluxo 
do campo para cada Coulomb de carga elétrica o deslocamento também tem o nome de densidade de 
linhas de fluxo do campo. Também é uma grandeza vetorial perpendicular às superfícies 
equipotenciais. 
• εο − é a permissividade do vácuo ou ar sendo este o meio ambiente considerado na expressão 9.1. O 
valor de e0 é dado pela expressão 9.2. 
• Q - é o valor de uma carga elétrica, concentrada ou espalhada no interior de uma superfície genérica 
que á circunda. Q é uma grandeza escalar e medida em Coulomb. 
Walter Ries 96 
 TRANSFORMADORES 
A fig. 9.6 mostra uma estrutura de dielétrico muito simples, constituída por ar entre duas placas 
metálicas paralelas entre as quais é tem-se uma tensão V fornecida por uma fonte de tensão. 
As cargas positivas e negativas se distribuem uniformemente sobre as placas, respectivamente 
ligadas aos pólos positivo e negativo da fonte. Designa-se por σ a densidade de carga por metro quadrado 
sobre as placas. 
Se a altura e largura da superfície das placas são muito maiores do que a distância entre elas, o 
campo pode ser considerado uniforme. A densidade de fluxo a mesma em todos os pontos entre as placas 
e o mesmo ocorrendo com a intensidade de campo. Somente nas extremidades tem-se uma pequena zona 
com dispersão das linhas de fluxo. Pode-se aplicar, portanto, a lei de Gauss para a superfície que envolve 
uma carga elétrica igual a σ Coulomb/m². Obtém-se, assim, a expressão 9.3 para o deslocamento D, a 
expressão 9.4 para a intensidade de campo E, a expressão 9.5 para a carga Q e a expressão 9.6 para a 
capacitância C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A fig. 9.7 mostra um dielétrico sólido colocado entre as placas condutoras entre as quais está 
aplicada uma tensão V. A polarização do dielétrico deixa o lado esquerdo com cargas induzidas negativas 
com uma densidade σi coul/m². O mesmo ocorre com o lado direito do dielétrico onde são induzidas 
cargas positivas com a mesma densidade σi coul/m². A densidade de cargas elétricas nas faces dos 
eletrodos igual a σ coul/m², valor este maior do que σi. Aplicando a lei de Gauss para a superfície 
pontilha que engloba as cagas elétricas σ e σi , para uma área de 1 m2 de superfície dos eletrodos, tem-se 
a expressão 9.7. A expressão 9.8 mostra que a intensidade de campo no dielétrico tem duas componentes, 
uma produzida pelas cargas elétricas no eletrodo e outra produzida pelas cargas elétricas induzidas no 
dielétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
σ
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
--
-
-
-
DE
V
- + 
Área=a b =Ad 
0
0
0
/ ² [9.3]
/ [
[9.5]
( ) [9.6]
E D Coul m
VE V m
d
Q A Coul
Q AC Farad F
V d
ε σ
σ
ε
σ
ε
= =
= =
=
= =
9.4]
Fig. 9.6: Dielétrico de ar entre duas placas condutoras
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
V
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
-
-
-
-
-
( )
0
0 0
0 0 000
0
[9.7]
[9.8]
[9.9]
[9.10]
1
1 [9.11]
i
i
i
r
r
E
E
E
E DE
ε σ σ
σ σ
ε ε
σ η
σ η σ σ σ
ηε ε ε ε ε εεε
ηε ε
= −
= −
=
= − = = = =
+
= +
 Dielétrico polarizado
Detalhe.
σ σ i E
D
/ ² [9.12]
/ [9.13]
[9.14]
( ) [9.15]
D E Coul m
VE V m
d
Q A Coul
Q AC Farad F
V d
ε σ
σ
ε
σ
ε
= =
= =
=
= =Fig. 9.7: Dielétrico sólido
Walter Ries 97 
 TRANSFORMADORES 
 
Se as dimensões, altura e largura das faces dos eletrodos são muito maiores do que a distância entre 
eles pode-se dizer que o campo no dielétrico é praticamente uniforme e a intensidade de campo ou 
gradiente de potencial é igual em todos os pontos do material isolante. 
A densidade de carga induzida no dielétrico é proporcional à intensidade de campo no isolante, 
conforme se pode ver pela expressão 9.9. A constante de proporcionalidade η (eta) denomina-se de 
susceptibilidade do dielétrico. Para o ar ou vácuo a susceptibilidade é nula, pois não são induzidas 
cargas elétricas, e, para os demais dielétricos é maior do que zero. Substituindo, na expressão 9.0, o valor 
da densidade de carga induzida dada pela expressão 9.9, pode-se determinar o valor da intensidade de 
campo pela expressão 9.10 em que o denominador se reduz a uma permissividade e maior do que a 
permissividade do vácuo ou ar. A permissividade relativa do dielétrico em relação à do ar é dada pela 
expressão 9.11. Normalmente a literatura chama a permissividade relativa de constante dielétrica do 
material sendo então a constante dielétrica do ar igual a 1 (um). 
Como no exemplo da fig. 9.6, também para um dielétrico sólido o deslocamento D é dado pelo 
produto a intensidade de campo e a permissividade (absoluta) do meio, conforme expressão 9.12. Pela 
expressão 9.13 pode-se ver que para uma mesma carga elétrica nos eletrodos a intensidade de campo é 
menor quando a permissividade do meio é maior. Porém, se a tensão aplicada permanecer constante 
também a intensidade de campo permanecerá constante quando se introduz um dielétrico entre os 
eletrodos. Neste caso, o dielétrico tem a propriedade de aumentar a capacidade de carga do capacitor que 
se forma com esta estrutura e a capacitância C aumenta segundo as expressões 9.14 e 9.15. Este aumento 
corresponde à relação entre as permissividades do dielétrico e do vácuo que é a permissividade relativa ou 
constante dielétrica do isolante. 
Na fig. 9.8 tem-se um dielétrico sólido e um dielétrico de ar entre duas placas planas condutoras entre 
as quais está aplicada uma tensão V. A densidade de carga elétrica nas placas é uniforme e igual a 
σ Coul/m². O gradiente de potencial Es no dielétrico sólido é dado pela expressão 9.16 e o gradiente de 
potencial Ea no dielétrico de ar pela expressão 9.17 . Resulta, assim, a expressão 9.18. 
A tensão V aplicada é igual à soma dos gradientes nos dois dielétricos e é dada pela expressão 9.19. 
Da expressão 9.19 optem-se a expressão 9.20 que dá o valor da queda de tensão na camada de ar. 
Como a constante dielétrica dos sólidos é muito maior do que a do ar resulta que a maior parte da tensão 
aplicada entre as placas está aplicada na camada de ar. Se esta camada de ar for muito fina em 
comparação ao dielétrico sólido, aparecerão elevados gradientes de potencial no ar que poderá provocar a 
sua ionização provocando descargas parciais com formação de ozônio e ácido nítrico, pois além de 
oxigênio e nitrogênio as bolhas de ar sempre têm vestígio de água. O ozônio e o ácido nítrico destroem, 
com o tempo, o isolante sólido até a sua ruptura (perfuração). Isto mostra o efeito pernicioso que resulta 
quando isolamentos sólidos ou mesmo líquidos têm pequenas bolhas de ar em seu meio. Nestes casos, a 
ruptura do dielétrico sob a ação de campos intensos terá início nestas bolhas de ar. 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d
δ
ε ε0 
V
Fig. 9.8: Efeito da espessura do dielétrico de ar 
d
0
0
[9.16]
[9.17]
[9.18]
s
a
a
r
s
E
E
E
E
σ
ε
σ
ε
ε εε
=
=
= =
Walter Ries 98 
 TRANSFORMADORES 
 
 ( ) 1 11 1 [9.19]
[9.20]
11
s a a a a
r r
a
r
V E E d E d E E d
VE
d
δ δ δ δε ε
δ ε
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − = − − = − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
= ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
 
 
 
Na fig. 9.9 pode-se ver como se distribui a tensão aplicada entre duas placas condutoras planas entre 
as quais existe um isolamento composto por 3 camadas de dielétricos diferentes . A expressão 9.21 dá a 
expressão da tensão aplicada entre as placas condutoras sendo D o deslocamento que é constante. A 
expressão 9.22 dá o valor do deslocamento D em função dos valores conhecidos do sistema. As 
expressões 9.23 a 9.25 dão os valores dos gradientes de potencial nos diferentes dielétricos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V
ε1 ε2 ε3
31 2
1 1 2 2 1 3
1 2 3
31 2
1 2 3
1
1
2
2
2
3
[9.21]
[9.22]
[9.23]
[9.24]
[9.25]
aa aV E a E a E a D
VD
aa a
DE
DE
DE
ε ε ε
ε ε ε
ε
ε
ε
⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
=
=
=
a
Na fig. 9.10 tem-se um dielétrico, com constante dielétrica e, colocado entre dois cilindros 
condutores. O cilindro interno tem um raio externo igual a r1 e o cilindro externo tem um raio interno 
igual a r2. A densidade de carga elétrica na superfície externa do cilindro interno é σ. 
Aplicando-se a lei de Gauss a uma superfície cilíndrica de raio x, obtém-se a expressão 9.26 em que 
o segundo termo é a carga elétrica por metro de comprimento do cilindro interno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 a a2 3
Fig. 9.8: Isolamento formado por 3 materiais com constantes dielétricas diferentes
ε
r1
x
r2
Emax
Emin
r1 r2
ε1
ε2
r3
EminEmax
Fig. 9.10: Dielétrico entre cilíndros 
condutores concêntricos
Fig. 9.11: 2 Dielétricos entre cilíndros 
condutores concêntricos
Walter Ries 99 
 TRANSFORMADORES 
 
 
1
1
2 2 [9.26]
[9.27]
x
x
D x r
rD
x
π σ π
σ
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
= 
 
Da expressão 9.26 obtém-se o valor do deslocamento num ponto qualquer do dielétrico, conforme 
mostra a expressão 9.27. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A expressão 9.28 dá o valor da tensão aplicada entre os cilindros, pois o valor do gradiente elétrico 
num ponto do dielétrico com constante dielétrica ε é dado pela expressão 9.10. A expressão 9.29 fornece 
o valor do gradiente de potencial em função da variável x. A expressão 9.30 fornece o valor do gradiente 
máximo que se verifica na superfície do cilindro interno, isto é, para x = r1 e a expressão 9.31 dá o valor 
do gradiente mínimo que se verifica na superfície interna do cilindro externo, isto é, para x = r2. 
2 2 2
1 1 1
1 1 2
1
1
2
1
max
2
1
1
min
2
2
1
1 ln [9.28]
1 [9.29]
ln
[9.30]
ln
[9.31]
ln
r r r
x xr r r
x
x
r r rdxV E dx D dx
x r
D r VE rx x
r
VE rr
r
VE rr
r
σ σ
ε ε ε
σ
ε ε
= = = =
= = =
=
=
∫ ∫ ∫
Na Fig. 9.11 têm-se dois dielétricos com constantes dielétricas e espessuras diferentes colocados 
entre dois cilindros metálicos concêntricos. A tensão aplicada é a soma das quedas de tensão nas duas 
camadas dedielétricos e é dada pela expressão 9.32. Resultam, assim, as expressões 9.33 e 9.34 para as 
quedas de tensão nos respectivos dielétricos. 
 
3 31 2 1 2
1 2 1 1
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1ln ln ln ln [9.32]r rr r r rV V V r r
r r r r
σ σ σ σε ε ε ε
⎛ ⎞= + = + = + = Σ⎜ ⎟⎝ ⎠
Σ
2
1
1 1
3
2
2 2
1 ln [9.33]
1 ln [9.34]
rVV
r
rVV
r
ε
ε
= Σ
= Σ
 
 
 
 
 
 
 
Os gradientes de potencial, máximo e mínimo, em cada dielétrico são dados pelas expressões 9.35 a 
9.38. 
 
1max 1min
1 1 1 2
2max 2min
2 2 2 3
[9.35] [9.36]
[9.37] [9.38]
V VE E
r r
V VE E
r r
ε ε
ε ε
= =Σ Σ
= =Σ Σ
 
 
 
 
Comparando as expressões 9.36 e 9.37 pode-se ver que se ε1 = ε2, isto é, os dielétricos são iguais, os 
valores máximos e mínimos dos gradientes de potencial são os mesmos verificados pelas expressões 9.30 
e 9.31. Porém, se ε1 < ε2 então E2max > E1min e se obtém uma distribuição mais uniforme da tensão através 
Walter Ries 100 
 TRANSFORMADORES 
dos dielétricos. Esta é uma aplicação muito importante no projeto do isolamento de buchas passantes para 
tensões elevadas. 
 
 
9.2.3 – Perdas dielétricas 
Quando de aplica uma tensão alternativa senoidal, a cada meio ciclo a polarização do material é 
invertida formando um laço de histerese de polarização. Surgem assim perdas por histerese do dielétrico 
que somadas às perdas por condução, resultam nas perdas dielétricas do isolante. 
A fig. 9.12 mostra um corpo de prova de um material isolante colocado entre duas placas paralelas 
condutoras em forma de discos, entre as quais se aplica uma tensão V alternada de freqüência f. Esta é 
uma estrutura simples de um capacitor com capacitância C dada pela expressão 9.15. A corrente 
capacitiva que seria uma corrente formada pelo deslocamento de elétrons entre as placas, está adiantada 
de 90° em relação à tensão V conforme mostra a fig. 9.13. Como existem perdas por corrente de 
condução e perdas por histerese dos dipolos, tem-se também uma corrente de perdas em fase com a 
tensão V. A corrente total, portanto, está em avanço de (90-δ) graus em relação à tensão. 
 
ε
V~
V
d
 
Ic I
Ip
δ
V
ϕ
 
 
 
 
 
 
 Fig. 9.12: Ensaio de um corpo de 
prova
Fig. 9.13: Diagrama fasorial da
 tensão e corrente 
 
 
2
[9.39]
[9.40]
c
c
c
VI C V
X
p VI sen VI tg V C tg
ω
δ δ ω δ
= = ⋅ ⋅
= ⋅ = = ⋅ ⋅
 
 
 
 
 
A expressão 9.39 dá o valor da corrente capacitiva e a expressão 9.40 dá as perdas no dielétrico. 
Como estas perdas são muito pequenas o ângulo δ também é pequeno e se denomina ângulo de perdas 
do dielétrico. Como os valores de δ são muito pequenos pode-se escrever : costg senδ δ= = ϕ 
Nos transformadores a temperatura de operação dos materiais isolantes depende fundamentalmente 
das perdas nos condutores das bobinas e das perdas nos núcleos. As perdas dielétricas são desprezíveis. 
Nos capacitores as perdas dielétricas são as responsáveis pela temperatura de operação dos dielétricos 
utilizados. 
No quadro da fig. 9.14 os valores da rigidez dielétrica são dados em kV eficazes por cm e os valores 
da constante dielétrica correspondem à permissividade relativa do material. 
 
 
 
 
Walter Ries 101 
 TRANSFORMADORES 
 
Material Rigidez Constante taδ / 10³ Temperatura Espessuras Classe 
dielétrica Dielétrica "εr" ºC normais de de
kV/c m 40ºC 90ºC 40ºC 90ºC Tempor. Perman. emprêglo (mm) isolamento
Ar 21 1 1 xxx xxx xxx xxx xxx xxx
Óleo p/transf. 60....200 2 2,3 2 5 110 95 xxx A
Mica 500....1000 5 8 0,2 1,5 600 600 0,01.....0,1 C 
Micanite 350 3,5 3,5 20 100 180 130 0,3.......1,5 B
Mica-papel 200.....250 3 6 20 80 150 130 0,2.......0,5 B
Mica-seda 200.....250 3 6 20 80 150 130 0,3........0,5 B
Asbesto 50 xxx xxx xxx xxx 300 130 0,08 C 
Fibra de vidro 200.....300 3 6 0,8 1 400 130 0,02......2,5 C
Porcelana 340.....380 5 6,5 20 80 xxx xxx xxx C
Madeira de lei 30.......50 xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx A
Papel em óleo 200.....400 4 5 <15 <15 110 95 0,03......0,1 A
Presspan em óleo 150.....250 4 4 <10 <50 110 95 0,2.......3,0 A
Papelão para transf. >200 5 7 <15 <15 110 95 >0,2 A
Felnolite 200.....400 4,5 5 100 100 110 95 >0,5 A
Silicones 250.....500 7,5 7,5 60 60 260 xxx 0,04.....0,5 H
 
Fig. 9.14: Principais características de alguns dielétricos utilizados em isolamentos
 
Os valores dados na fig. 9.14 são referenciais, pois as propriedades elétricas dos materiais isolantes 
variam, com a forma dos eletrodos utilizados para os testes, com a espessura do material, com o tempo 
de aplicação da tensão e da freqüência, com a temperatura, e dependem ademais dos contaminantes e 
tratamento dos materiais. 
Nos ensaios dielétricos dos líquidos e gases, os eletrodos estão mergulhados nestes dielétricos. Nos 
ensaios de materiais isolantes sólidos os eletrodos e o dielétrico estarão sempre envoltos por um gás ou 
por um líquido isolante. Neste tipo de estrutura ocorrem propriedades interfaciais dos dielétricos. Por 
exemplo, na estrutura da fig. 12 existem dois tipos de condução de corrente elétrica: a volumétrica e a 
superficial. Também a descarga elétrica pode ser volumétrica ou superficial. A medição da resistência de 
isolamento no corpo de prova da figura 12, pela lei de Ohm, dá como resultado o valor das resistências 
volumétrica e superficial em paralelo. 
 
V
G G
+
-
1 2
Eletrodos de Hg.
Anel de Hg.
Dielétrico de prova.
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 9.15: Corpo de prova de um dilétrico e eletrodos para medir a resistência de isolamento 
A fig. 15 mostra um desenho de um dispositivo para medir resistências superficial e volumétrica de 
isolamento. Na posição 1 o Galvanômetro mede a corrente volumétrica, pois o anel de Hg, neste caso 
funciona como anel de guarda desviando as correntes superficiais. Na posição 2 o galvanômetro mede a 
corrente superficial , o anel de Hg funciona como eletrodo e o eletrodo de Hg dentro do corpo de prova 
funciona como anel de guarda. Desenhos convenientes de corpo de prova e eletrodos permitem assim 
determinar, separadamente, pela lei de Ohm, as resistências e resistividades volumétrica e superficial dos 
materiais isolantes. 
Para obter o valor da tensão de ruptura volumétrica do material é necessário que a distância 
superficial entre os eletrodos seja grande suficiente para que não haja descargas superficiais antes de 
romper a espessura do material isolante. 
Os dielétricos líquidos e gasosos utilizados no isolamento entre condutores metálicos se ionizam 
quando o gradiente de potencial, no ponto de maior intensidade de campo, atinge o valor da tensão 
Walter Ries 102 
 TRANSFORMADORES 
disruptiva (rigidez dielétrica). Esta ionização de certa forma aumenta o raio de curvatura do condutor no 
ponto de maior intensidade de campo e se expande até atingir novamente a tensão disruptiva do meio. No 
ar este fenômeno se denomina de efeito coroa que pode ser observado às vezes nas linhas de transmissão 
que operam com altas tensões. Este efeito coroa se realiza com descargas parciais que podem ser 
detectadas eletricamente como correntes muito pequenas. O efeito coroa também pode ser visto, pois são 
emitidas ondas luminosas. 
 
d
a 
 
 
 
 Fig. 9.16: Efeito coroa nas linhas de transmissão
A fig. 16 ilustra o efeito coroa nos condutores de uma linha de transmissão. A nuvem ionizada ao 
redor do condutor aumenta o raio do mesmo e a camada ionizada por descargas parciais se estabiliza 
quando o campo atinge a rigidez dielétrica do meio. O efeito coroa introduz perdas adicionais que podem 
ser calculadas através de fórmulas empíricas (ver Introdução à Técnica das Altas Tensões de M. 
Wellauer). O efeito coroa naslinhas de transmissão é evitado dimensionando o diâmetro dos condutores, 
independentemente da corrente. 
Um outro fenômeno que ocorre em certas estruturas de isolamento é o faiscamento ou descargas 
superficiais que são causadas pela evolução do efeito coroa entre condutores, separados por isolamentos 
sólidos mas envoltos por gases ou líquidos isolantes. É o caso dos suportes cerâmicos de linhas de 
transmissão onde, iniciado o efeito coroa poderão surgir descargas superficiais na superfície da porcelana 
causadas pelas características deste dielétrico ou pela sujeira, umidade, etc.depositada na superfície. 
Estes dois fenômenos podem ocorrer também nos transformadores em pontos com elevada 
concentração das linhas de força do campo elétrico. Crescendo a tensão aplicada entre as bobinas e terra 
(massa) ou a tensão induzida nos enrolamentos, poderá aparecerá em primeiro lugar o inicio do efeito 
coroa denunciado pelas descargas parciais, e em seguida, num nível mais alto de tensão, as descargas 
superficiais e finalmente a ruptura completa do isolamento naquele ponto. 
 O efeito coroa e as descargas superficiais produzem efeitos mais danosos nos isolamentos sólidos 
mergulhados em óleo do que nos expostos ao ar. As descargas parciais, efeito coroa, com atuação 
prolongada destroem materiais sólidos principalmente os orgânicos a base de celulose e também os 
esmaltes. As descargas superficiais destroem materiais orgânicos após poucos segundos. 
Os transformadores em operação nos sistemas elétricos estão sempre sujeitos às sobre tensões 
oriundas de diversas fontes que serão analisadas com mais detalhes nos parágrafos seguintes. Para 
garantir a integridade dos isolamentos os transformadores são, após montados em fábrica, submetidos a 
ensaios de alta tensão denominados de ensaios dielétricos, tensões estas que são muito maiores do que as 
tensões de operação. Nas tensões de operação não devem aparecer descargas parciais oriundas do efeito 
coroa. Nas tensões de ensaios dielétricos não devem aparecer descargas superficiais também chamadas de 
descargas deslizantes. No ensaio de descargas parciais verifica-se em que valor de tensão elas iniciam se 
o este valor de tensão for menor do que as tensões dos ensaios dielétricos. 
9.2.4 – Variação da rigidez dielétrica do ar com a espessura, pressão e temperatura. 
Segundo a lei de Paschen a tensão disruptiva do ar sob temperatura constante é uma função somente 
do produto da pressão p e da espessura d da camada de ar, segundo mostra genericamente a expressão 
9.41 e conforme se observa no gráfico da fig. 9.14 para uma temperatura de 20 °C, segundo Schumann. 
Porém, para um produto pd constante a tensão disruptiva diminui quando a temperatura cresce como 
mostra a expressão genérica 9.41a, sendo T a temperatura absoluta. Obs.: *1 Torr = 1 mm Hg = 
1,01324*1000/760 = 1,333224 mbar 
 
( ) [9.41] [9,41 ]d d pdV f pd V f aT
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
O gráfico da fig. 9.17, mostra a função dada pela expressão 9.41. Pode-se dizer, também, que esta 
função representa a variação da tensão disruptiva do ar em função da pressão para uma espessura fixa de 
Walter Ries 103 
 TRANSFORMADORES 
ar de 1 cm. Ou ainda, a curva pode representar a rigidez dielétrica do ar, dada em V/cm em função da 
pressão dada em Torr, sendo que 1 Torr é a pressão correspondente a 1 mm de coluna de mercúrio e 1 at 
= 760 Torr. 
 
Vd
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 9.17: Tensão disruptiva para campo elétrico uniforme no ar em função de "pd"
- Gráfifo reproduzido do livro "Técnica das Altas Tensões" de
M. Wellauer, Edit. USP 1973
 
 Esta curva passa por um mínimo de 327 volts para pd = 0,57 Torr cm. Isto significa que nenhuma 
camada de ar pode ser rompida com uma tensão menor do que 327 volts. Neste gráfico a tensão 
corresponde a um valor de CC ou o valor máximo de CA. Mantendo uma distancia constante entre os 
eletrodos, por exemplo, de 1 cm, a medida que aumenta o grau de vácuo ou diminui a pressão, a tensão de 
ruptura vai diminuindo porque a rarefação de moléculas de ar vai permitir as necessárias acelerações dos 
elétrons para as colisões com menores intensidades de campo. No entanto, quando a rarefação de 
moléculas aumenta mais ainda, as probabilidades de colisões irão diminuir e então maiores intensidades 
de campo serão necessárias. Para um grau de vácuo da ordem de 10-12 Torr as tensões de ruptura do 
dielétrico são tão grandes que o dielétrico se aproxima do isolante perfeito. Sob vácuo absoluto o 
isolamento entre eletrodos seria perfeito, independente do afastamento. Graus de vácuo desta ordem são 
utilizados na construção de disjuntores a vácuo. 
Quando a distância entre os eletrodos é muito pequena e a pressão é alta, por exemplo, de 760 Torr 
ou 1 at, a intensidade de campo, para produzir a necessária aceleração dos elétrons em distâncias tão 
curtas, cresce a medida que a espessura de ar diminui, conforme pode ser visto na fig. 9.15. Nesta figura 
as curvas correspondem às intensidades de campo em kV eficazes por mm em função dos afastamentos 
dos eletrodos nas condições normais de pressão e temperatura (pressão de uma atmosfera com 
temperatura de 20 °C). 
 Para uma pressão de 1 at = 760 mmHg e um valor pd = 0,57 Torr cm tem-se uma espessura de ar de 
0,57/760 = 0,00075 cm ou d = 0,0075 mm que seria rompida com 327 volts, o que corresponde a uma 
rigidez dielétrica de 327/0,0075 = 43.600 V/mm ou 30,8 kV/mm eficazes. Na pressão atmosférica de 760 
Torr a tensão de ruptura, para um afastamento de 1 cm é de 30.000 volts o que resulta numa rigidez 
dielétrica de 21,2 kV/cm eficazes, ou 2,12 kV/ mm que é o valor que aparece na fig. 9.18 a direita. Para 
afastamentos maiores do que 10 mm este valor permanece praticamente constante. A fig. 9.18 a esquerda 
mostra a rigidez dielétrica para camadas de ar muito finas. Para camadas de ar menores do que 0,5 mm o 
crescimento da rigidez dielétrica é muito rápido. 
 
 
 
 
Walter Ries 104 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 9.18: Rigide dielétrica do ar, sob temperatura e pressões normais, em kV eficazes por mm, em função da distância.
- Gráfifo reproduzido do livro "Técnica das Altas Tensões" de
M. Wellauer, Edit. USP 1973
 
Foi visto pela expressão 9.18, que quando se tem um isolamento constituído por camadas de material 
sólido e de ar, o gradiente de potencial no ar é igual ao gradiente de potencial no sólido multiplicado pela 
constante dielétrica (relativa) do material sólido que é muito maior do que a do ar (igual a 1). No entanto, 
quando as camadas de ar são muito finas têm a propriedade de suportarem gradientes de potencial 
maiores. Isto faz com que os efeitos perniciosos de pequenas bolhas de ar no interior de materiais sólidos 
sejam atenuados. 
Com o aumento da temperatura diminui a rigidez dielétrica dos isolantes gasosos e líquidos segundo 
uma função como se mostra na expressão (9.41a) em que T é a temperatura absoluta (°K). Estas 
variações em temperaturas normais de operação de transformadores são pequenas. 
 
9.2.5 – Variação da rigidez dielétrica com a espessura em materiais sólidos e líquidos 
Como foi dito no item 9.2.1, os eletrodos usados para o teste de materiais sólidos ou líquidos têm a 
forma de esfera ou disco. Portanto, o campo elétrico aplicado ao dielétrico não é uniforme. Nestas 
condições, a rigidez dielétrica dos isolantes não é constante quando varia a espessura do material, ou seja, 
a tensão disruptiva não cresce proporcionalmente com a espessura. A tensão disruptiva em função da 
espessura é uma função dada pela expressão 9.42 e a rigidez dielétrica e uma função dada pela expressão 
9.43, em que C é uma constante que depende do tipo do material, a é a espessura ou afastamentodos 
eletrodos e n é um expoente com valor entre 0,5 e 1,0, em geral em torno de 0,67, tanto para os materiais 
sólidos como também para o óleo de transformador. Para o valor n = 0,67, o expoente da expressão 9.43 é 
negativo o que significa que a rigidez dielétrica diminui com o aumento da espessura. 
Deste modo, pode-se avaliar a rigidez dielétrica do isolante para uma determinada espessura através 
da expressão 9.43, conhecendo os valores de ensaio de uma amostra em que são conhecidos os valores da 
rigidez dielétrica Ed e da espessura a. 
 1[9.42] [9.43]n nd dV C a E C a
−= ⋅ = ⋅
 
Convém lembrar que os valores da constante C e do expoente n foram determinados através de 
muitas medições e que, para serem coerentes devem ser feitas sempre com o mesmo tipo e dimensões de 
eletrodos. 
 
Walter Ries 105 
 TRANSFORMADORES 
9.2.5.1 – Óleo para transformador 
A norma ASTM especifica que para o teste de óleo de transformadores são utilizados eletrodos em 
forma de disco, com 25,4 mm de diâmetro, com cantos vivos e afastados de 2,54 mm. Nestas condições 
os ensaios de óleos de transformadores resultam em tensões disruptivas entre 25 a 35 kV. No entanto, se 
for suficientemente tratado para retirar totalmente a umidade, os valores de teste poderão subir a 50 kV. A 
norma brasileira ABNT NVR 5356 especifica, segundo método de ensaio da NBR 6869, uma tensão de 
ruptura mínima de 30 kV. Isto significa que se pode calcular a constante C da expressão 9.42, para 
n=0,67 o que resulta C = 16,1. Substituindo o valor de C na expressão 9.43 pode-se avaliar a rigidez 
dielétrica para outras espessuras de óleo ou afastamento dos eletrodos. A fig. 9.19 fornece a curva de 
variação da rigidez dielétrica do óleo em função do afastamento dos eletrodos admitindo C = 16,1 e n-1 = 
-0,33. 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 5 10 15 20 25 30 35 40
a mm
kV
/m
m
0,3316,1rE a
−= ⋅
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 9.19: Rigidez dielétrica do óleo para transformador em função do afastamento dos eletrodos
 
Como se pode observar, a rigidez dielétrica do óleo aumenta rapidamente para pequenos valores do 
afastamento a entre os eletrodos. 
A umidade no óleo para transformador, bem como excesso de gases dissolvidos, reduz a sua rigidez 
dielétrica. Um limite de aceitação de tensão de ruptura, antes de ser necessária uma regeneração ou 
tratamento do óleo, deve ser especificada como medida de segurança de operação do transformador. A 
tensão de ruptura de 22 kV é considerada como aceitável por ocasião de uma ação de manutenção 
preditiva, podendo, em alguns casos, que dependem do nível de tensão de operação do transformador, 
chegar ao valor de 17 kV. No entanto, em transformadores ensaiados nos laboratórios de fabricantes de 
transformadores, deve prevalecer a tensão de ruptura de 30 kV como valor mínimo, segundo a NBR 
6869. 
9.2.5.2 – Dielétricos sólidos 
Assim como foi feito para o óleo de transformador também se pode determinar uma expressão que 
mostra como varia a rigidez dielétrica do material isolante sólido em função da espessura ou do 
afastamento a entre os eletrodos normalizados para o ensaio. 
Portanto, sabendo-se que para o presspan impregnado com óleo convenientemente tratado tem-se 
uma tensão de ruptura de 48 kV eficazes para um afastamento de 2,54 mm entre os eletrodos, pode-se 
determinar a constante C para n=0,67 da expressão 9.41. Isto resulta em C = 25,7. Para o papel crepado e 
papel Kraft liso em camadas, com “overlapping” de 50% e impregnado em óleo de transformador tratado, 
a tensão disruptiva para a = 2,54 mm é de 33 kV e o valor de C = 17,7 para n=0,67. 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10 15 20 25 30 35 40
a mm
kV
/m
m 0,3325,7rE a
−= ⋅
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 5 10 15 20 25 30 35 40
a mm
kV
/m
m 0,3317,7rE a
−= ⋅
Fig. 9.21: Rigidez dielétrica do papel crepadoFig. 9.20: Rigidez dielétrica do presspahn em óleo
Walter Ries 106 
 TRANSFORMADORES 
 
Os gráficos das figuras 9.20 e 9.21 dão os valores da rigidez dielétrica dos dois materiais sólidos 
mais empregados no isolamento de transformadores. Estes valores são orientativos e válidos para 
eletrodos de disco com 25,4 mm de diâmetro e afastados de 2,54 mm. Se outros eletrodos forem usados, 
os valores de rigidez dielétrica são diferentes, mas variando com a espessura conforme as expressões 9.42 
e 9.43, como mostra a literatura existente (Characteristics of Insulations – V.M. Mointsinger-Chapter XV 
Transformer Engeneering –John Wiley & Sons New York 1951). 
 
9.2.6 – Variação da rigidez dielétrica com a temperatura nos materiais sólidos 
O aumento da temperatura diminui a rigidez dielétrica dos materiais sólidos. Para os materiais a base 
de celulose e que são os mais empregados no isolamento de transformadores com a parte viva mergulhada 
em óleo a rigidez dielétrica medida a 25 °C diminui, aproximadamente, numa razão de 0,25 % por grau 
de aumento de temperatura do material. 
 
9.2.7 – Variação da tensão disruptiva e da rigidez dielétrica com o tempo 
A energia para passar elétrons da banda de valência para a banda de condução se realiza pela 
aceleração de elétrons que colidem com outros átomos ou moléculas do material. Este é um processo que 
depende do tempo. Para intensidades de campo muito fortes o tempo para atingir a energia necessária 
para desenvolver a ruptura do dielétrico e menor. Pode-se entender muito bem que para tempos muito 
pequenos o decréscimo da rigidez dielétrica seja mais rápido do que para tempos maiores e que o 
processo atinja um valor de intensidade de campo para o qual o material não mais se rompa por uma 
descarga disruptiva. Na prática, somente uma série de ensaios em materiais isolantes pode fornecer uma 
orientação do comportamento dos mesmos com o tempo de aplicação do campo elétrico. É isto que se 
encontra na literatura sobre o assunto e as expressões destas funções são empíricas, mas são muito úteis 
para que se tenha uma idéia sobre a influência do tempo de aplicação do campo elétrico. O estudo 
temporal deste fenômeno depende também de como varia a tensão aplicada para produzir o campo 
elétrico. Os estudos foram realizados para dois tipos de variação das tensões, ou seja, para tensões 
alternativas senoidais com freqüências industriais de 28 a 400 Hz e com tensões impulsivas como 
ocorrem com as descargas atmosféricas (raios). 
 
9.2.7.1 – Rigidez dielétrica com tensões alternativas senoidais 
 Definições utilizadas neste estudo: 
• V – tensão de ruptura do dielétrico. 
• V1 - tensão de ruptura do dielétrico no ensaio de 1 minuto. 
• V0 - tensão de ruptura para um tempo infinito. Isto significa que com esta tensão, no limite 
crítico de ruptura, o dielétrico nunca se rompe. 
• R – relação entre a tensão de ruptura para um tempo qualquer e a tensão de ruptura para um 
tempo de 1 minuto (ensaio normalizado). Isto é: R = V / V1. 
• a – relação entre a tensão de ruptura para um tempo infinito e a tensão de ruptura para 1 
minuto. Isto é: a = V0 / V1. 
 Para uma faixa de freqüência de 25 Hertz a 420 Hertz a função empírica que é proposta está indicada 
na expressão 9.44 e definida pela curva da fig. 9.22. A expressão 9.44 mostra que para t = ∞ a relação R é 
igual ao valor de a e este valor pode ser uma constante para cada material ou uma família de materiais. 
Quanto ao expoente n foi determinado o valor de 0,25 para a maioria dos dielétricos. A curva da fig. 9.22 
foi traçada para n = 0,,25 e a = 0,675 que corresponde ao papelão para transformador imerso em óleo e a 
75°C de temperatura. Já para o papel Kraft, também largamente utilizado no isolamento de 
transformadores imersos em óleo, o valorde a = 0,85. Como foi definido, o valor de a indica em per unit 
o valor da tensão limite de ruptura que o material suporta num tempo infinito. Portanto, a partir do ensaio 
do isolante para um tempo de 1 minuto, pode-se avaliar a rigidez dielétrica do material para um tempo 
infinito. 
 
Walter Ries 107 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
0 1 2 3 4 5 t (minutos)
V/V1
6
Papelão para transformador em óleo a 75ºC a = 0,675
Papelão para transformador em óleo a 25°C a = 0,50
Papel Kraft em óleo a = 0,85
 n = 0,25
1 [9, 44]⎛ − ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠n
aR a
t
1 [9, 45]⎛ − ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠N n
K aR a
f t
Fig. 922: Curva R= f(t) para a = 0,685, n = 0,25 e f = 60 Hz 
 Como a rigidez dielétrica também varia com a freqüência, a expressão 9.44 tem ainda um fator 
de correção para a freqüência dada pela expressão 9.45, em que K = 1,75 e N = 0,137 para os principais 
materiais isolantes utilizados em transformadores. Assim, a expressão da relação entre uma tensão 
disruptiva V durante um tempo qualquer e a tensão disruptiva para 1 minuto e para uma freqüência f , 
será dada pela expressão 9.45. Observa-se que para a f = 60 Hertz o fator de correção devido à 
freqüência, para K = 1,75 e N = 0,137, é igual a 1 (um). 
 
9.2.7.2 – Rigidez dielétrica com tensão de impulso 
Uma tensão de impulso é uma tensão que simula as sobre tensões que se originam pela queda de 
raios na rede de um sistema elétrico. O teste de tensão de impulso é aplicado normalmente nos ensaios de 
transformadores que operam com tensões iguais ou acima de 7,2 kV. Uma tensão de impulso é definida, 
fundamentalmente, por três grandezas: O valor de pico ou máximo da tensão; o tempo de subida para 
atingir o valor de pico; o tempo de descida, a partir do início de crescimento da tensão, para atingir o 
valor de 50% do valor de pico ou de crista. 
 
 
 
 
 
 0 Tc μs
110%
Ts t50 μs0 μs1,2 μs
t
100%
50%
1. Onda plena 2. Onda cortada
 
Fig. 9.23: Tensão de impulso normalizado pela ABNT
 
A fig. 9.23.1 mostra a tensão de impulso normalizada pela ABNT, sendo de 1,2 μs o tempo de subida 
até o valor de crista e 50 μs o tempo de decréscimo até o valor de 50% do valor de crista. Esta tensão de 
impulso é designada por impulso de 1,2/50. A fig. 9.23.2 mostra a tensão de impulso de onda cortada, em 
que o tempo de corte deve se situar entre 2 a 6 μs e a amplitude máxima é igual a 110% do valor de crista 
da onda plena. A tensão de impulso de onda cortada simula a descarga de pára-raios ou de centelhadores 
de proteção às sobre tensões oriundas de quedas de raios em redes do sistema elétrico. 
As tensões de impulso de onda plena devem ser livres de oscilações e podem ter polaridade positiva 
ou negativa. Como a tensão de impulso cresce muito rapidamente, as descargas disruptivas dos dielétricos 
se realizam verdadeiramente pela energia derivada da aceleração e colisões dos elétrons ou íons que 
provocam a avalanche de elétrons livres no material. Nos ensaios com tensões alternadas em freqüências 
industriais, efeitos secundários como o aquecimento resultante das perdas dielétricas pode favorecer a 
ruptura. 
Como sugere a fig. 9.18, para tensões de muito curta duração os dielétricos têm uma rigidez 
dielétrica muito maior do que a correspondente a 1 minuto em corrente alternada. Quanto mais rápido for 
o crescimento da tensão maior será a tensão de ruptura do material, conforme se pode observar na figura 
Walter Ries 108 
 TRANSFORMADORES 
9.24. As curvas desta figura são válidas para descargas em gases ou descargas superficiais em isoladores 
envoltos por ar. 
 
tempo em sμTs0 Td
Vr (impulso)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 9.24: Curva "volt-tempo" obtida com centelhador de hastes no ar
 
Na fig. 9.24 estão desenhadas 5 tensões de impulso que atingem o seu valor máximo com o mesmo 
tempo de subida Ts. Para o impulso 1 a descarga disruptiva ocorre num tempo de descarga Td muito 
maior do que Ts. Para o impulso 2, que cresceu mais rápido, a descarga disruptiva ocorre num tempo 
maior do que o tempo de subida mas menor do que o tempo de descarga do impulso 1. No impulso 4 o 
tempo de descarga coincide com o tempo de subida e no impulso 5, com crescimento muito rápido, a 
descarga disruptiva ocorre antes de atingir a crista, portanto, num tempo Ts menor do que Td. Juntando os 
pontos em que se realizam as descargas disruptivas pode-se traçar a curva K que representa a curva “volt-
tempo” do dielétrico que no caso é o ar. Isto é o que acontece também nos ensaios de isoladores ou 
buchas onde as descargas podem ser internas ou externas (superficiais). Se a descarga ocorre no ramo 
ascendente da tensão impulsiva como o impulso 5 da fig. 9.24, diz-se que se trata de uma descarga na 
frente da onda. Quando a descarga ocorre no ramo descendente, fala-se em uma descarga na cauda. 
Como já foi dito, a rigidez dielétrica dos materiais depende muito da forma dos eletrodos utilizados. 
Especificamente para o ar são utilizados diversos tipos de eletrodos denominados de centelhadores. 
Assim, têm-se os centelhadores de hastes (fig. 9.25.1) os centelhadores de haste-placa (fig. 9.25.2) os 
centelhadores de esferas (fig. 9.25.3) e outros. À distância δ entre os eletrodos se denominada também de 
distância espinterométrica. O centelhador de esferas, devido a uma distribuição mais uniforme do campo 
é usado como instrumento de medição em altíssimas tensões e toma o nome de espinterômetro de esferas. 
Como a tensão de ruptura é função da distância espinterométrica, os centelhadores podem também ser 
utilizado como proteção contra sobre tensões. 
 
 
 δ
 
 
Influência das condições atmosféricas na tensão disruptiva 
Pela adição ou subtração de um elétron uma molécula de gás se torna ionizada. Existem agentes 
ionizantes naturais e não naturais. Como agente natural pode-se enumerar: emanações radioativas, 
radiação ultravioleta de a luz solar, elétrons emitidos pelo Sol, raios cósmicos, etc. Como agentes não 
naturais, citam-se: raios X, raios catódicos, radiações ultravioletas, emanações radioativas em geral. 
A atmosfera terrestre é ionizada e esta ionização varia segundo as circunstâncias: 
• é maior num céu limpo e seco do que numa atmosfera úmida e carregada de poeiras; 
• é maior na estação quente do que na estação fria; 
• é maior de dia do que de noite; 
• cresce com a altitude e parece alcançar seu máximo a cerca de 50 km, correspondente, mais 
ou menos, à região onde se produzem, nos pólos, as auroras boreais. 
δ δ 321
Fig. 9.25: Tipos de centelhadores
Walter Ries 109 
 TRANSFORMADORES 
 
Nas regiões inferiores da atmosfera, com tempo bom, 1 cm3 de ar contém cerca de 800 íons positivos 
e apenas cerca de 680 íons negativos, pois a Terra é carregada negativamente repelindo, portanto, os íons 
negativas e atraindo os íons positivos na vizinhança do solo (estimam que isto equivale a uma corrente de 
1.500 A em toda a superfície terrestre). A carga negativa do solo provém das chuvas originadas de nuvens 
em que os núcleos de condensação foram provocados por íons negativos, os mais ativos. 
 
+
-
δ
V(+)
-
+
δ
V(-)
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 9.26: Espinterômetro de esferas para medida de tensões elevadas
 
As conclusões que se obtém para a medida de altas tensões por meio do espinterômetro de esferas e 
para o estudo da descarga elétrica em isoladores em geral são as seguintes: 
a) para uma mesma distância espinterométrica a descarga se realiza com tensão maior quando a 
esferaaterrada é o pólo positivo, pois a Terra tem um potencial negativo (fig. 9.26); 
b) para uma dada distância espinterométrica a tensão de descarga: diminui com a altitude em que a 
ionização é mais intensa devido a menor densidade do ar; diminui com a temperatura, pois o ar 
torna-se menos denso havendo maior ionização; aumenta com o grau de umidade, pois há menor 
ionização devido ao maior amortecimento das partículas ionizantes. 
A tensão de descarga superficial em isoladores, no entanto, diminui quando aumenta a umidade do 
ar, pois a poeira superficial em presença da água gera íons que facilitam a condução elétrica superficial. 
A determinação da distância espinterométrica para uma determinada tensão de descarga no ar 
depende, pois, da densidade do ar que aumenta com pressão atmosférica H (em mmHg) e diminui com a 
temperatura t (em graus C), de acordo com a expressão 9.46. 
 
273 25 0, 392 [9.46]
273 760 273
+= ⋅ =
+ +
H Hd
t t
 
 
Para t = 25 °C e H = 760 mmHg a densidade do ar é 1(um) 
 
Tensão disruptiva de 50% para tensão impulsiva 
Como a tensão disruptiva de impulso é mais ou menos um tanto randômico, define-se como tensão 
disruptiva de impulso ao valor de pico que provoca a descarga em 50% das 6 ou 10 vezes que se aplica a 
mesma tensão. Portanto, é este o valor da tensão de descarga ao impulso normalizada e que é 
determinada em laboratório. Cada um dos pontos da curva K da fig. 9.16 corresponde à tensão impulsiva 
de 50%. 
 
Para os materiais isolantes sólidos e o óleo a curva característica de descarga impulsiva tem um 
aspecto muito diferente da do ar, conforme mostra a fig. 9.27. Distinguem-se três regiões nas curvas 
características de impulso de papelão isolante impregnado em óleo, e óleo, no intervalo de 0, 1 μs e 108 
μs. 
Na região A de 0,1 a cerca de 3 μs, para papelão impregnado em óleo, e de 0,1 a cerca de 10 μs para 
o óleo, a rigidez dielétrica cai ràpidamente com o tempo para a ruptura do dielétrico. 
Walter Ries 110 
 TRANSFORMADORES 
Na região B de 3 μs à cerca de 104 μs para o papelão, ou de 10 à cerca de 103 μs para o óleo, a 
rigidez dielétrica é praticamente constante. 
Na região C > 104 μs para o papelão ou > 103 μs para o óleo, a rigidez dielétrica decresce 
rapidamente, depois mais lentamente para finalmente se tornar constante. 
 
( )
( )
r
r
V impulso
V 1 minuto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 9.27: Curvas características de regidez dielétrica sob impulso para
 papelão impregnado com óleo e para o óleo de transformador.
P: papelão; O: óleo. (segundo Montsinger)
 
 
Em boa parte da região A a ruptura do dielétrico ocorre antes do impulso atingir o valor de crista é 
como se a intensidade de campo é tão elevada a ponto de romper os dipolos e liberar muito ràpidamente 
uma avalanche de elétrons. Na zona B o processo parece se desenvolver mais pelos choque de elétrons ou 
íons e assim desenvolver a energia necessária para vencer o salto entre a banda de valência para a banda 
de condução.Na zona C já se verificam as conseqüências do aquecimento devido às perdas dielétricas que 
se desenvolve com tempos maiores. 
Os valores da descarga disruptiva na fig. 9.27 são as relações entre a tensão disruptiva (valor de 
crista) com tensão de impulso e a tensão disruptiva (valor de crista), com tensão alternativa em freqüência 
industrial para 1 minuto. Esta relação leva o nome de relação de impulso. Em estruturas com óleo esta 
relação está em torno de 2 conforme se observa na fig. 9.27. 
Normalmente a descarga disruptiva em materiais sólidos ocorre muito próxima do valor de crista ao 
passo que no óleo e no ar, ocorre após o valor de crista, portanto já na cauda do impulso. Isto ocorre 
porque no óleo e no ar, antes da descarga tem-se uma fase de ionização, com descargas parciais e 
descargas superficiais nos dielétricos sólidos envoltos pelo óleo ou ar. Portanto em estruturas isolantes 
com sólidos e óleo, como os transformadores imersos em óleo, a duração da cauda do impulso é muito 
importante. 
A forma dos eletrodos que são as partes vivas do equipamento elétrico que devem ser isoladas 
desempenha uma função muito importante no projeto do isolamento. Isto de deve ao fato de que as 
densidades das linhas de força do campo elétrico nunca são uniformes e dependem muito das formas 
geométricas das partes vivas. O estudo e a determinação da distribuição do campo elétrico constituem um 
capítulo muito importante para o projeto do isolamento de equipamentos elétricos, conforme mostram as 
figuras 9.1 e 9.2. 
Bibliografia. 
[1] M. Wellauer. Introdução à Técnica das Altas Tensões. Edit. Da USP – 1973 
[2] Robert M. Rose, Lawrence A. Shepard and John Wulff. The Structure and Properties of Materials 
(Vol IV) John Wiley – 1965. 
[3] V. M. Montsinger – Transformer Engineering – GE Series – John Wiley & sons – 1951 
[4] René Laurent. Materiales Electrotécnicos Modernos. Gustavo Gili - 1952 
Walter Ries 111 
 TRANSFORMADORES 
 
9.3 – Transitórios nos sistemas elétricos 
O quadro da fig. 9.28 sintetiza as causas e os efeitos produzidos pelos transitórios do sistema elétrico 
no qual está operando o transformador. 
Sob o ponto de vista do isolamento dos transformadores devem ser analisadas as causas que originam 
as sobre tensões no sistema elétrico. Sob o ponto de vista mecânico e térmico da construção dos 
enrolamentos devem ser analisadas as causas que originam as sobre correntes. 
De um modo geral sobre tensão é toda a tensão acima do valor nominal dos sistemas com suas 
tolerâncias de projeto. As sobre tensões podem ocorrer durante os chaveamentos, com ou sem curto-
circuito entre fases ou entre fases e terra e durante as descargas atmosféricas (raios) que descarregam 
correntes muito elevadas entre as linhas e terra gerando tensões muito altas em forma de impulsos que se 
transladam a uma velocidade próxima à da luz. 
 
 Transitórios
Tipos Causas Efeitos
Chaveamentos Esforços mecânicos
Sobre correntes e sobreaquecimentos
Curto-circuitos nos enrolamentos
 Descargas atmosfé- Ruptura do isolamento
Sobre tensões ricas interno ou
Chaveamentos externo
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 9.28: Causas e efeitos dos transitórios que atingem os transformadores em operação 
 
É importante a compreensão da origem e das amplitudes das sobre tensões, para entender a 
necessidade de testar os transformadores nos laboratório nas fábricas com as tensões normalizadas. 
 
9.3.1 – Sobre tensão de chaveamento de um curto-circuito 
 A fig. 9.29 apresenta um unifilar equivalente a um circuito trifásico em que v é a tensão fornecida 
pela fonte de tensão ideal, R e L são os parâmetros do sistema visto do ponto de ligação do capacitor de 
compensação de reativos C. 
Quando os contatos do disjuntor iniciam a abertura haverá corrente em forma de arco entre os contatos 
até que a energia armazenada no campo magnético da carga se anule, pois esta energia não persiste sem que 
haja uma corrente elétrica. Portanto, a interrupção só se realiza quando, praticamente a corrente de curto 
passa por zero. Um pouco antes da interrupção a corrente icc estava praticamente em atraso de 90º em 
relação à tensão V da fonte, pois o circuito era basicamente indutivo (XL>>R) durante o curto-circuito. No 
instante em que a corrente de curto-circuito passa por zero, o capacitor está sem tensão e a energia 
armazenada no campo magnético da indutância L também é nula. 
 Vc
R
˜
L
C
Icc
V
 
 
 
 Fig. 9.29: Abertura de um curto-circuito contra terra. 
 
Após a abertura do curto-circuito, se inicia uma troca de energia entre o campo magnético da 
indutância L e o campo elétrico da capacitância C, com uma freqüência que é a natural do sistema,ou seja, 
Walter Ries 112 
 TRANSFORMADORES 
governada pelos parâmetros L e C, conforme expressão 9.50 e amortecida pelo parâmetro R. A tensão da 
fonte para t = 0 é máxima positiva e é representada por Vm cos (ωt). A equação que rege o comportamento 
do circuito é dada, pois, pela expressão 9.47 e, a intensidade de corrente i é dada pela expressão 9.48 que 
substituída na expressão 9.47 resulta na equação diferencial 9.49. 
 
cos [9.47] [9.48]+ + = = cc m
di dvL Ri v V t i C
dt dt
ω
 
 
 
2
02
1cos [9.49] [9.50]+ + = =c c m
d v R di v V t
dt L dt LC LC
ω ω
 
A melhor maneira de se analisar qualitativamente a resposta deste circuito a uma excitação v = Vmcos 
(ωt) é analisar antes a resposta do circuito a uma excitação v = Vmu-1 (t), isto é, em forma de salto como 
mostra a fig. 9.30. 
No instante t = 0 a indutância vai se opor ao crescimento da corrente apresentando um tensão induzida 
igual e oposta à tensão salto aplicada e o capacitor está descarregado, portanto com tensão zero. Na 
hipótese de ser a resistência R muito pequena, praticamente igual a zero, em qualquer tempo a soma das 
tensões na indutância e na capacitância deverão igualar a tensão salto aplicada. À medida que cresce a 
corrente, a sua razão de crescimento diminui e a tensão induzida em L também diminui, porém aumenta a 
carga em C e, por conseguinte, a sua tensão. Quando a razão de variação da corrente for nula, a corrente 
passa por um valor máximo e a tensão induzida em L é nula. Neste instante a tensão no capacitor se iguala 
à tensão salto de excitação. A partir deste instante, a corrente continua circulando no mesmo sentido, porém 
começa a decrescer numa razão crescente o que origina uma tensão induzida em L com polaridade 
contrária à excitação. Embora a corrente esteja diminuindo o capacitor continua a se carregar e a aumentar 
a sua tensão, isto é, a tensão nele passa a ficar maior do que tensão salto de excitação. Quando a corrente se 
anula a tensão em L é nula e a tensão em C passa a ser duas vezes a tensão salto de excitação. Depois, se 
inicia todo um processo em sentido contrário aparecendo no capacitor uma tensão alternativa como mostra 
a fig. 9.31. A pulsação desta tensão é dada pela expressão 9.50. 
 Vc
R L
C
Icc
( )m -1V tμ
 
 
 
 
Fig. 9.30: Circuito alimentado por uma função salto 
 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
( )m -1V tμVc
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Vc ( )m -1V tμ
 
 
Fig. 9.31: Resposta do circuito alimentado por uma Fig. 9.32: Resposta do circuito alimentado por uma 
função salto e para R>0ção salto e para R = 0fun
 
 
Walter Ries 113 
 TRANSFORMADORES 
 
 
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270
Vc
R
~
L
C
Icc
V
Vc
Icc
Fig. 9.33: Resposta do circuito alimentado por uma função 
v=Vm cos(ωt) e para R>0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A fig. 9.32 mostra a ação de amortecimento das oscilações produzida pela resistência R > 0. A 
resistência R e a indutância L formam uma constante de tempo T = L/R que vai governar a razão de 
amortecimento das oscilações na freqüência natural do sistema. 
A fig. 9.33 mostra a tensão no capacitor quando se substitui a excitação salto por uma excitação de 
tensão alternativa cossenoidal em que a tensão passa pelo valor máximo no instante t = 0 em que o 
disjuntor abriu o curto-circuito e a corrente é nula. Momentos antes do instante t = 0 a corrente de curto-
circuito estava atrasada de 90º em relação à tensão de excitação. As oscilações na freqüência natural, 
amortecidas, ficam montadas sobre a cossenoide da tensão de excitação. 
A solução da expressão 9.49, considerando que o normalmente se tem nos sistemas constantes de 
tempo que levam a um hipoarmotecimento das oscilações, é dada pela expressão 9.51 que está representada 
na figura 9.33. Normalmente, para as constantes de tempo dos sistemas, as oscilações persistem por um 
tempo maior do que o representado, podendo a atingir vários ciclos. Para constantes de tempo maiores a 
sobre-tensão de chaveamento do curto-circuito pode atingir valores muito próximos de duas vezes a tensão 
máxima da tensão de excitação na freqüência industrial (50 ou 60 Hz). 
 
1
2
0cos cos [9.51]
−
= − ⋅
t
T
c m mv V t V tω ω ε 
 
9.3.2 – Disjuntor desligando um transformador sem carga 
Sob o ponto de vista de parâmetros o transformador em vazio pode ser representado por parâmetros 
concentrados, como na fig. 9.34, ou parâmetros distribuídos, como na fig. 9.35. 
Na fig. 9.24 a capacitância Ce representa a capacitância equivalente de entrada, isto é, entre as bobinas 
e massa; L0 representa a indutância do transformador em vazio. Na fig. 9.35 L é a indutância dos 
enrolamentos por unidade de comprimento do enrolamento; C é a capacitância contra massa por unidade de 
comprimento do enrolamento; K é a capacitância entre espiras por unidade de comprimento do 
enrolamento. 
K
K
KL C
L
L
C
C
C
CK
KL
L
 
 
 
 
LoCe 
 
 
Fig. 9.34:Transformador em vazio como 
parâmetros concentrados
Fig. 9.35:Transformador em vazio como 
parâmetros distribuidos 
Walter Ries 114 
 TRANSFORMADORES 
 
 
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
-60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210
i
v
voR
~
L
Cev Lo
Vo
Fig. 9.36: Chaveamento de um transformador em vazio
 
 
 
 
 
 
 
 
Na fig. 9.36 observa-se o circuito representativo de um chaveamento de um transformador em vazio 
representado por seus parâmetros concentrados. As correntes na indutância Lo e no capacitor Ce estão em 
oposição de fases sendo que a diferença entre elas é que passa pelo disjuntor. Normalmente a corrente pela 
indutância é muito maior do que a corrente pelo capacitor e a fonte de alimentação do sistema a corrente 
resultante é indutiva. Tanto a corrente indutiva como a corrente capacitiva é relativamente pequena em 
comparação com as correntes de carga do sistema. Como foi visto, quando são abertos os contatos do 
disjuntor e, se o valor da corrente não estiver passando por zero, forma-se um arco entre os contatos até a 
corrente passar por zero, extinguindo-se o arco e o circuito está desconectado. No entanto, os arcos 
elétricos não se mantêm para correntes muito pequenas, abaixo de alguns amperes e existe, portanto a 
possibilidade de o circuito ser aberto antes que a corrente passe por zero. Se as correntes são muito 
pequenas, como é o caso do transformador em vazio, a interrupção pode se realizar num ponto distante da 
passagem da corrente por zero. Se isto ocorrer o circuito será interrompido quando existir uma corrente I0 
pela indutância Lo o que significa que o seu campo magnético estará com uma energia armazenada dada 
pela expressão 9.52. Esta energia irá oscilar entre o campo magnético de Lo e o campo elétrico de Ce. 
Quando a energia do campo magnético for transferida para o campo elétrico ela também poderá ser 
expressa pela expressão 9.53. Igualando estas duas expressões, obtém-se o valor máximo da tensão que irá 
se desenvolver no capacitor em função da corrente de interrupção I0 e dos parâmetros do transformador 
conforme expressão 9.54. Esta troca da energia entre os campos magnético e elétrico se realiza na 
freqüência natural do sistema dada pela expressão 9.55. 
 
2 2
0 0
0
0 0 0
0
[9.52] [9.53]
1[9.54] [9.55]
= =
= =
m e
e e
WLI W CV
LV I
C L
ω
 
 
 C
 
Devido às perdas no ferro do transformador a tensão será amortecida exponencialmente e pode ser 
expressa pela equação 9.56 em que a constante de tempo é a relação entre a indutância L0 e a resistência 
equivalente das perdas no ferro, ou seja, T = L0/R. 
 1
0 2
0 0 0 [9.56]
−
= ⋅
t
T
e
Lv I sen t
C
ω ε 
 
O valor máximo da tensão oscilante depende somente da relação entre os parâmetros L0 e Ce e do valor 
da corrente na indutância no momento da interrupção podendo atingir valores muito maiores do que a 
tensão de operação do transformador. As indutâncias de magnetização dos transformadores variam de 
dezenas a centenas de H e as capacidade de entrada variam de 2.000 a 10.000 ou mais pF. Resultam, assim, 
freqüências naturais de oscilação da ordem de 400 a mais de 2.000 Hz. Devidas às perdas no ferro, as 
oscilação são rapidamente amortecidas. 
Se a abertura do disjuntor ocorrer exatamente quando a corrente passa por zero, a tensão da fonte está 
no valor máximo e o capacitor Ce está também com esta tensão, sendo nula a corrente na indutância. Nestas 
condições, após a abertura, a indutância e a capacitância vão trocar uma energia máxima igual a CeV2 em 
Walter Ries 115 
 TRANSFORMADORES 
que V é a tensão máxima da rede de alimentação. Também existirão oscilações com amortecimento, porém 
a tensão máxima não ultrapassa a tensão máxima da rede. 
 
9.3.3 – Transformador atingido por uma onda de impulso 
As tensões impulsivas que atingem um transformador através das linhas de transmissão podem ter sua 
origem em descargas atmosféricas ou de manobras (chaveamentos). As tensões impulsivas que se originam 
por descargas atmosféricas e que podem ser cortadas pela descarga de pára-raios ou pela ruptura de algum 
ponto do isolamento têm a forma da figura 9.15. As ondas impulsivas de manobra são ondas com tempo de 
frente de onda mais lento, da ordem de 100 μs e tempos de cauda até a primeira passagem por zero, de 
aproximadamente 1.000 μs. 
Para efeito de análise pode-se considerar uma tensão salto aplicada no extremo de entrada da uma linha 
de transmissão que alimenta um transformador, conforme esquematizado na figura 9.37. 
V
t
Zo ZT (transformador)
it
1( ) ( )v t Vu t−=
V
2V
t0
1
0 50
 
 
 
 
 
Fig. 9.37: Transformador sendo atingido por uma onda de sobre-tensão
 
Nesta figura, ZT é a impedância em vazio do transformador, Z0 é a impedância característica da linha 
de transmissão que é dada pela expressão 9.57. 
 
0 0[9.57] [9.58]
+= = =
+
Z R j L L
 Z ZY G j C C
ω
ω
 
Desprezando as perdas na linha de transmissão a impedância característica será dada pela expressão 
9.58, em que: L é a indutância por unidade de comprimento da linha; C é a capacitância distribuída por 
unidade de comprimento da linha. Na expressão 9.57: R é a resistência por unidade de comprimento da 
linha; G é a condutância entre a linha e terra por unidade de comprimento da linha. A impedância 
característica dada pela expressão 9.58 é independente da freqüência e se comporta, portanto como um 
resistor. Realmente, se o produto RC e L/C tem a dimensão de “tempo”, a raiz quadrada de L/C tem a 
dimensão de uma “resistência”. 
Em cada ponto da linha deve-se ter sempre 
 
0 [9.59]=
v Z
i 
 
Se no extremo de carga da linha for ligada uma impedância igual a Z0, neste extremo ficará satisfeita a 
condição da expressão 9.59 e a onda não se refletirá. No entanto, se no extremo de carga for ligada uma 
impedância Zt diferente de Z0 então no extremo da carga deve-se ter 
 
[9.60]=t t
t
v Z
i 
 
e na linha, no extremo de carga, tem-se a condição dada pela expresso 9.59. Estas duas condições somente 
serão simultaneamente satisfeitas se for considerada a reflexão da onda no extremo de carga da linha de 
modo que, para a onda incidente de tensão v+ e corrente i+ tem-se. 
 
0 [9.61]
+
+ =
v Z
i 
 
Walter Ries 116 
 TRANSFORMADORES 
e, para a onda refletida com tensão v – e corrente i – tem-se 
 
0 [9.62]
−
−− =
v Z
i
 
 
A impedância terminal será, pois, dada por 
 
0
0 0 0
[9.63]
, : [9.64]
/ /
+ −
+ −
+ − −
+ − +
+ = =−
+ −= = =− +
t
t
t
t
t
t
v v vZ
i i i
v v v Z ZZ donde k
v Z v Z v Z Z
 
 
Ou, 
 
sendo k o coeficiente de reflexão. Ou ainda: 
 
 
0 0
2 2 2
+ −
+
+ +
+ = = = =
+ + +
t t t t
t
t t t
v v Z v Z Zdonde v v v
v Z Z v Z Z Z Z0
[9.65]
 
 
Normalmente a impedância característica de uma linha de transmissão está em torno de 500 ohms e a 
impedância do transformador em vazio é muito maior do que a impedância característica da linha (Zt>>Z0). 
Da expressão 9.65 se conclui que nas buchas do transformador pode aparecer uma tensão duas vezes 
maior do que a tensão de impulso que se translada pela linha. 
A impedância do transformador em vazio é representada pela indutância L0 em paralelo com a 
capacitância Ce como mostra a fig. 9.34. No instante em que a onda de impulso atinge o transformador, a 
indutância opera como um circuito aberto e a capacitância como um curto-circuito. Conseqüentemente, o 
crescimento da tensão se verifica como mostra a fig. 9.38, isto é, segundo uma expressão dada, 
aproximadamente, pela equação 9.66 e figura 9.37. 
Para uma capacitância de entrada no transformador de 2.000 pF e uma impedância de linha de 500 
ohms tem-se uma constante de tempo de subida da tensão Ts = ZoCe = 500 x 2.000 x 10-12 = 1 micro 
segundo, pois a impedância característica da linha tem a dimensão de uma resistência. 
 
02 1 [9.66]
−⎛ ⎞⎟⎜ ⎟′ ⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
e
t
Z C
tv V ε 
 
0
1
0 50Ts
2V
t ms
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 9.38 Crescimento da tensão com transformador em vazio
 
Se o transformador está sob carga o circuito equivalente é dado pela fig. 9.39. A frente de onda é 
comandada pela expressão 9.66, porém a cauda é comandada pela constante de tempo dada pela expressão 
9.67, resultando uma cauda dada pela expressão 9.68. Colocando a exponencial da expressão 9.68 no lugar 
do “1” da expressão 9.66, resulta uma onda de impulso aplicada ao transformador conforme mostra a fig. 
Walter Ries 117 
 TRANSFORMADORES 
9.41 e a expressão 9.69, em que Tc tem um valor de algumas centenas de micro segundos. Portanto, uma 
onda de choque retangular se transforma numa onda de subida muito rápida e com uma cauda 
relativamente longa. A amplitude máxima está compreendida entre V e 2V, dependendo das características 
do sistema (linha de transmissão e transformador com sua respectiva carga). Se Tc é muito grande como 
ocorre com o transformador em vazio tem-se uma subida da tensão como na figura 9.38; se Ts é muito 
grande quando a capacitância de entrada e elevada e, sendo Tc pequeno como é o caso do transformador 
sob carga, então a subida da tensão se aproxima mais da figura 9.40. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.3.4 – Onda de impulso normalizada 
As ondas de sobre-tensões que incidem nos transformadores por efeito de descargas atmosféricas 
variam em grande escala no que se refere ao tempo de subida e tempo de cauda, bem como no que diz 
respeito à amplitude. Os transformadores são protegidos contra estas sobre tensões por meio de 
descarregadores ou pára-raios calibrados de modo a manterem a segurança operacional dos equipamentos 
elétricos do sistema. 
Nos ensaios de fábrica dos transformadores é prevista a aplicação de uma onda de sobre tensão 
denominadade tensão de impulso a fim de verificar se o isolamento está bem dimensionado para este tipo 
de solicitação do dielétrico. 
A forma desta onda de impulso, conforme fig. 9.42, está definida pelo: 
• Tempo virtual de subida ou tempo de frente da onda (tf); 
• Tempo de meio valor da tensão de impulso ou tempo de cauda da onda (tc); 
• Tempo de corte da onda (tcr). 
Ld
0
1
0 50Tc
2V
Lc
Rc
CargaZo
Fig. 9.39: Transformador sob carga Fig. 9.40: Constante de tempo de cauda do transformador sob carga
[9.67] 2 [9.68]
−+ ′′= = c
t
Td c
c t
c
L LT v V
R
ε
2 2 2 [9.
− − − −⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= − = − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
c s c s
t t t t
T T T T
vv V V Vε ε ε ε 69]
0
1
0 50
2V
Ts Tc
V
Vmax
Fig. 9.41: Tensão de impulso aplicada ao transformador sob carga
Walter Ries 118 
 TRANSFORMADORES 
 
 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 50
Δt´
Δt´´ tf =2Δt´´
ANSI
 tf = 1,25Δt´
ABNT
μs
tc=50 ABNT
tc=40 ANSI
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 9.42: Onda de impulso normalizada para o ensaio de transformadores
 
Normalmente é difícil identificar o início da onda de impulso registrada como também é difícil 
identificar o valor de crista. Para determinar o tempo de frente da onda a norma ABNT multiplica, o 
intervalo de tempo de subida entre 10% e 90% da onda de impulso, por 1,25. A ANSI toma o intervalo de 
tempo entre 30 e 90% e multiplica por 2. O tempo de cauda corresponde ao tempo em que a tensão cai a 50 
% do valor de crista. 
A onda cortada, conforme mostra a fig. 9.23, tem um valor de crista 10% maior do que a onda plena 
especificada em norma e é cortada, segundo a ABNT, após 2 a 6 μs do inicio da onda. 
Segundo a ABNT o tempo de frente de onda é de tf =1,2 μs e o tempo de cauda tc = 50 μs. 
Segundo a ABNT o ensaio de impulso deve ser feito aplicando em todos os terminais de linha dos 
enrolamentos sob ensaio impulsos de tensão na seguinte ordem: 
1. Um impulso pleno normalizado com o valor reduzido (cerca de 50 % do valor especificado em 
norma); 
2. Um impulso pleno normalizado com o valor especificado; 
3. Um ou mais impulsos cortados com o valor reduzido; 
4. Dois impulsos cortados com o valor especificado; 
5. Dois impulsos plenos normalizados com o valor especificado. 
O impulso pleno normalizado com valor reduzido (1) serve para comparação com os impulsos plenos 
normalizados com o valor especificado (2) ou (3). Os impulsos cortados com valor reduzido (3) servem 
para comparação com os impulsos cortados com o valor especificado (4). Os impulsos plenos normalizados 
com o valor especificado (5) servem para aumentar eventuais danos causados pelas aplicações (2) e (4), 
tornando-os mais patentes ao exame dos oscilogramas. 
Nos ensaios que simulam as sobre tensões oriundas de chaveamentos ou curtos-circuitos no sistema, as 
ondas possuem maiores tempos de frente e de cauda. O impulso de manobra deve ter: 
a) Tempo até a crista de, pelo menos, 100 μs; 
b) Tempo acima de 90% do valor especificado em norma de, pelo menos, 200 μs: 
c) Tempo total até a primeira passagem pelo zero de, pelo menos, 1.000 μs. 
Estes ensaios são também chamados de ensaios de impulso de onda longa. 
 
 
 
Walter Ries 119 
 TRANSFORMADORES 
9.3.5 – Distribuição da tensão de impulso ao longo dos enrolamentos 
Com relação à onda de impulso de tensão que incide no transformador, ele se comporta, internamente, 
como uma linha de transmissão conforme pode ser observado na fig. 9.43, desprezando as resistências 
equivalentes às perdas e imaginando um enrolamento em disco contínuo ou de uma só camada. 
 
 
K
K
C
C
K
a) b)
K
ii dx
∂+ ∂ x
ii dx
x
∂+ ∂
i
Ki
CdxCdx Cdx
Ldx Ldx Ldx
K
dx
K
dx
v
+
−
dx
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 9.43: Elemento de um enrolamento de disco contínuo
 
K pode representar a capacitância entre discos ou entre espiras e C é a capacitância contra massa de um 
disco ou de uma espira. 
Nesta figura tem-se um elemento dx de um enrolamento, de camada simples, em que C, K e L são os 
parâmetros por unidade de comprimento do enrolamento. 
 
 : ;
:
v é a tensão de entrada do elemento dx de linha
vv dx é a tensão de saída do elemento de linha
x
∂+ ∂
 
 
Podem-se escrever as equações diferenciais parciais dadas pelas expressões 9.70, 9.71 e 9.72. 
 
 
 
 ( ) 2
[9.70] [9.71] [9.72]
∂ +∂ ∂ ∂ ∂− = − = − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ∂
K
K
i iv i v vL C i K
x t x t t x
Como interessa, fundamentalmente, a distribuição das tensões ao longo do enrolamento, deve-se 
eliminar as variáveis i e iK das expressões 9.70 a 9.72. 
 
2 2
2
2 2 2
2
2 2 4
2 2
[9.70] : [9.73]
[9.71] : [9.74]
[9.72] : [9.75]
∂ ∂ ∂− =∂ ∂ ∂ ⋅ ∂
∂ ∂ ∂ ∂− − =∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂
∂ ∂ ∂− =∂ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ ⋅ ∂
K
K
v iL
x x x t
i i vC
t x t x t t
i vK
x t x t t x
 
 
 
 
 
 
Substituindo a expressão 9.75 na expressão 9.74 e esta na expressão 9.73 obtém-se a expressão 9.76. 
 
2 2 4
2 2 2 2 0 [
∂ ∂ ∂− + =∂ ∂ ∂ ⋅ ∂
v v vLC LK
x t t x
 9.76]
 
Walter Ries 120 
 TRANSFORMADORES 
A equação diferencial de onda dada pela expressão 9.76 rege o comportamento da distribuição das 
tensões ao longo do enrolamento de transformador quando atingido por uma onda de impulso. Como não se 
tem elementos resistivos, que foram desprezados, as ondas não são amortecidas. 
A expressão matemática de uma onda transladante, não amortecida, é dada pela expressão 9.77. 
 
cos [9.77]
⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜= ±⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
xv V t
s
ω 
 
Na expressão 9.77, ω = 2π/T = 2πf é a pulsação temporal, ou seja, o número de ciclos em 2π 
segundos, sendo T o período em segundos de cada ciclo e f a freqüência ou número de ciclos por segundo; s 
= λf é a velocidade de propagação da onda transladante em m/s, sendo λ o comprimento de onda e f a 
freqüência. Pode- se, pois escrever a expressão 9.78 em β = 2π / λ = número de comprimentos de onda em 
2π metros = pulsação espacial (constante de fase). 
 
( )2cos cos cos [9.78]
⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜= ± = ± = ±⎢ ⎥ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
xv V t V t x V t x
s
πω ω ω βλ 
 
A velocidade de propagação da onda é dada, portanto, pela expressão 9.79. 
 
[9.79]⎡ ⎤= = = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
frequencia temporal número de ciclos por segundo m
frequencia espacial número de ciclos por segundo s
ω
β s
 
Sob notação complexa a expressão 9.79 é dada pela expressão 9.80, em que V e V* são complexos 
conjugados com módulo V. Os dois termos do segundo membro são 2 fasores girantes, um girando no 
sentido contrário do outro, conforme figura 9.44. 
 
 
( ) ( ) ( )
*
cos s [9.80]
2 2
± − ±⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜= ± = ± = +⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
j t x j t xx V Vv V t Vco t x
s
ω β ω βω ω β ε ε
 
 
2
V
2
V
xβ
xβ
ω
ω
( )cosV tω β±
Im
Re
 
x
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 9.44: Fasores ou vetores girantes 
A onda transladante ao atingir um ponto com impedância diferente de sua impedância característica 
se refletem com um coeficiente de reflexão k dado pela expressão 9.64. Se Zt = 0 ou Zt = infinito (curto-
circuito ou circuito aberto) a reflexão é total. Com a reflexão têm-se na linha ondas estacionárias sendo o 
ponto de reflexão considerado como uma fonte de ondas transladantes em sentido oposto. 
Uma onda estacionária é dada pela expressão 9.81 e, como se pode observar, é o resultado de duas 
ondas transladantes em sentidos opostos (observar o sinal de β = constante de fase). 
 
( ) ( ) ( ) [9.81]V V 
 
v x,t =Vcoswt×cos x = cos wt - x + cos wt+ x
2 2
β β β
Walter Ries 121 
 TRANSFORMADORES 
 
As expressões 9.77, 9.78, 9.80 e 9.81 devem, pois, satisfazer a equação diferencial dada pela expressão 
9.76. 
Uma das soluçõescomplementares da expressão 9.76 pode ser a expressão 9.82, que substituída na 
expressão 9.76 resulta a expressão 9.83. Desta expressão derivam as expressões 9.84, 9.85 e 9.86. 
 
 ( )
( )
[9.82]
[9.83]
[9.84]
[9.85]
[9.86]
j wt+bx
2 2 2 2
2
2K
C
v =Ve
- - = 0
= ±w
1- w
w 1s = =
1+
β ω ω β
βω
β β
β
β β
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎜⎝ ⎠
∓
2
2
LC LK
1= =
K 1 KLC 1 + LC +C C
LC
LK
LC
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vê-se pela expressão 9.85 que para cada valor da freqüência temporal correspondem dois valores 
conjugados para a freqüência espacial β (ver expressão 9.81). Na expressão 9.84 se β tende a infinito ω se 
aproxima do valor dado pela expressão 9.87 que se denomina de valor crítico. Este valor é a maior 
freqüência temporal em que a bobina unitária (LK) pode oscilar livremente, sendo, portanto a sua 
freqüência natural. 
 
[9.87]cr
1w = w =∞ LK 
 
A velocidade de propagação da onda é dada pela expressão 9.86 que, para K = 0 se reduz às expressão 
9.88, que é a velocidade de propagação para uma linha normal LC. 
 
[9.88]1s =
LC 
 
A expressão 9.86 diz ainda que a velocidade de propagação no enrolamento é função da freqüência 
espacial β e, quanto menor for o comprimento de onda espacial, maior será a freqüência espacial β = 2π/λ e 
menor será a velocidade de propagação. 
A solução geral da equação diferencial dada pela expressão 9.76 é a soma de todas as oscilações livres 
dada pela expressão 9.89 em que βn e ωn sempre satisfazem a expressão 9.84 e an e bn são constantes a 
determinar. 
 
 ( ) ( ) ]n njb x -jb x jwtn n
1
v x,t a e b e e∑= +
n=
∞ [9.89
 
 
9.3.5.1 – Distribuição inicial das tensões para uma excitação salto unitário u-1(t). 
Para o instante = 0 as indutâncias da fig. 9.33 se comportam como um circuito aberto. Deste modo a 
linha fica reduzida à fig. 9.45. 
Walter Ries 122 
 TRANSFORMADORES 
 
 
Cdx Cdx
K
K
ii dxx
∂+ ∂
Cdxov
+
−
dx
/K dx /K dx /K dx
A Bi i 
 
 
 
 
 Fig. 9.45: Distribuição inicial das tensões em enrolamentos
 
A queda de tensão entre os pontos A e B é dada pela expressão 9.90, sendo a corrente iK dada pela 
expressão 9.91 e a variação da corrente ik com o comprimento dx é dada pela expressão 9.91. 
 0
2
0
0
[9.90]
[9.91]
[9.92]
AB
o
K
K
vv dx
x
v vKi dx K
dx t x x t
i vdx Cdx
x t
∂= ∂
⎡ ⎤∂ ∂∂= =⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
∂ ∂− =∂ ∂
 
 
 
 
Derivando a expressão 9.90 em relação a x e substituindo na expressão 9.92 e depois integrando em 
relação ao tempo (t), resulta a expressão 9.93 que é a equação diferencial do circuito da fig. 9.35. 
 
2 2
20 0
0 02 2 0 [9.93]
v vC v v
x K x
β∂ ∂+ = + =∂ ∂ 
 
O valor de β pode ser obtido da expressão 9.85 para L = infinito. 
 
9.3.5.1.A – Enrolamento com um extremo aterrado 
A fig. 9.46 apresenta um enrolamento com um extremo aterrado, sendo A o comprimento da bobina. 
Para o instante inicial, isto é, t = 0, a distribuição da tensão impulso unitário ao longo da bobina é regida 
pela expressão 9.93. 
A solução da equação diferencial 9.93 é do tipo dado na expressão 9.94. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
t( )1 tμ− K
K
KL C
L
L
C
C
C
CK
KL
L
( )
( )
( )
0
0
0
[9.94]
0 :
0; 0, 0 1 : 1
; , 0 0 : 0
x xv x A B
Condições de contôrno para t
x v portanto A B
x v portanto A B
β β
β β
ε ε
ε ε
−
−
= +
=
= = = +
= = = +A AA A
 Fig. 9.46: Enrolamento com um extremo aterrado
Com as condições de contorno para o instante t = 0 é possível determinar as constantes A e B que 
substituídas na expressão 9.94 resulta na expressão 9.95 que dá a distribuição da tensão ao longo do 
enrolamento para o instante t = 0. 
 
Walter Ries 123 
 TRANSFORMADORES 
 ( ) ( ) ( )[ ]
[ ]0
[9.95]
x x senh x
v
senh
β β
β β
βε ε
ε ε β
− − −
−
−−= =−
A A
A A
A
A 
 
Chamando de Ks a capacidade total série e de Cg a capacidade total contra massa resultam as 
expressões 9.96 e 9.97, respectivamente. A raiz quadrada da relação entre a capacidade total contra massa e 
a capacidade total série da origem a uma nova constante α dada pela expressão 9.98. Introduzindo esta 
nova constante na expressão 9.95, resulta a expressão 9.99. 
 
 
 
[ . ]
[ . ]
[ . ]
9 96
9 97
9 98βα
=
=
= ==
A
A
A A
g
g
s
KKs
C C
C C
K K
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
 x / l 
%
α = 0α = 1
α = 3
α = 5α = 10
ii
 
 
( )
[ ]
1 1
0
1
( ) [9.99]
x xxsenh
v x
senh
α α
α α
α ε ε
α ε ε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜− − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−
⎡ ⎤−⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎣ ⎦= = −
A AA
Fig. 9.47: Distribuição inicial de vo(x) para bobina com 
um lado aterrado.
 
 
 
A fig. 9.47 representa a expressão 9.99 para diversos valores de α. Para α = 0 tem-se a expressão 9.100 
e o gradiente máximo da tensão para x = 0 em função de α é dado pela expressão 9.101. 
 
( )
( )
( )
0
0
max 0
1 [9.100]
coth [9.101]
para x
xv x
dv
dx
α α
α α
α α ε εα ε ε
−
−
=
= −
⎡ ⎤ += =⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦
A
A A
 
 
 
 
Como para a > 3 se tem cotgh (a) ≅ 1 o gradiente máximo da tensão inicial para α > 3 é dado pela 
expressão 9.102. 
 
0
max( 3)
[9.102]
para
dv
dx α
α
≥
⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ A 
 
Para os enrolamentos em disco contínuo pode-se considerar: 
• K igual à capacidade série entre 2 discos contíguo; 
• C igual à capacidade contra massa de um disco; 
• N igual ao número de discos da bobina. 
Neste caso pode-se escrever a expressão 9.103. 
Walter Ries 124 
 TRANSFORMADORES 
 
[9.103]g
s
CC NCN N KK K
N
α β= = = = 
 
 
Para valores de α ≥ 3 a diferença de potencial entre dois discos da cabeceira da bobina é dada pela 
expressão 9.104 e, para uma tensão de impulso Vi pela expressão 9.105. 
 
0 [9.104]1
0 [9.105]1
20
1
i i
v x
xv V x V
sendo x para disco contínuo duplo
N
α
α α
Δ = Δ
ΔΔ = ⋅ = ⋅Δ
Δ =
A
A
 
 
 
 
9.3.5.1.B – Enrolamento com um extremo impulsionado e outro livre (fig.38) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
K
K
KL C
L
L
C
C
C
CK
KL
L
( )1 tμ−
A
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
 x / l 
%
α = 0
α = 1
α = 3
α = 5α = 10
Fig. 9.48: Enrolamento com um extremo 
impulsionado e o outro livre
Fig. 9.49 Distribuição inicial de vo(x) para bobina com um 
extremo livre 
 
A fig. 9.48 mostra um enrolamento com o extremo livre e a fig. 9.49 mostra a distribuição da tensão 
inicial, isto é, para t = 0 para diversos valores de α segundo a expressão 9.106 que é a solução da expressão 
9.93 para as condições de contorno abaixo. 
 ( )
( )0 0
: 0 0, 0 1
0 .
x
Condições de contorno para x tem se v
dvpara x tem se pois v cte
dx =
= − =
⎡ ⎤= − = =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ A
A A
 
 
 
 
 
( )[ ]
[ ]
( )
[ ]
1 1
0
cos 1cos
( ) [9.106]
cos cos
x xxhh x
v x
h h
α α
α α
αβ ε ε
β α ε ε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜− − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−
⎡ ⎤−⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦= = =
+
A AA A
A
 
9.3..5.1.C – Capacitância efetiva de entrada do transformador (Ce) 
A capacitância efetiva de entrada é aquela que substitui como parâmetro concentrado, as capacitâncias 
C e K distribuídas, no instante inicial. A corrente capacitiva de entrada no transformador é a do primeiro 
capacitor K/dx no qual se tem uma queda de tensão dada pelaexpressão 9.107. Portanto, a corrente iK para 
x = 0 é dada pela expressão 9.108. 
 
Walter Ries 125 
 TRANSFORMADORES 
 
 0
0
2
0 0
, 0
[9.107]
[9.108]K x
vdv dx
x
v vKi dx K
dx t x x t=
∂= ∂
⎡ ⎤∂ ∂∂= =⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
 
 
 
Para a capacitância equivalente a corrente iK é dada pela expressão 9.109 de onde se obtém a 
capacitância equivalente através das expressões 9.110, 9.111 e 9.112. 
 
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
0
0
0
0
[9.109]
coth [9.110]
coth coth [9.111]
coth 3 [9.112]
K e
x
e
x
e
g
e s s g
vi C
t
vC K k
x
C K KC
C
C K KC para
α α
β α α
α α
=
=
∂= ∂
∂= =∂
= =
= ≅ ≥
A
A A
 
 
 
 
 
 
 
9.3.5.2 – Distribuição final da tensão de impulso no enrolamento 
A distribuição final da tensão em um enrolamento impulsionado com uma tensão salto unitário é 
obtida da expressão diferencial 9.76 anulando todos os temos em que aparecem as derivadas da tensão em 
relação ao tempo. Tem-se assim, a expressão 9.113 cuja solução é do tipo da equação da expressão 9.114. 
 2
2 0 [9.113] [9.114]f
v v Ax B
x
∂ = = +∂ 
 
1. Para o caso do enrolamento aterrado, têm-se as condições de contorno das expressões 9.115, das 
quais resulta a expressão 9.116 para a distribuição final da tensão ao longo do enrolamento do 
transformador que coincide com a reta para α = 0 da fig. 9.37. 
 
 
 
 
0, (0) 1
, ( ) 0 [9.115] 1 [9.116]f
x v
vx v v
= =
= = = −A A A
2. Para o caso do enrolamento não aterrado, têm-se as condições de contorno das expressões 9.117, das 
quais resulta a expressão 9.118 para a distribuição final da tensão ao longo do enrolamento que coincide 
com a reta para α = 0 da fig. 9.39. 
 
 
0, (0) 1
, ( ) 1 [9.117] 1 [9.118]f
x v
x v v
= =
= = =A A
 
9.3.5.3 – Distribuição transitória da tensão de impulso no enrolamento 
Nas figuras 9.50 e 9.51 vêm-se o que ocorre ao longo do enrolamento quando a onda de impulso se 
propaga com o tempo. 
A solução total da equação diferencial 9.76 é a soma da solução transitória e a solução permanente. 
Falando em “excitação e resposta” pode-se afirmar que a resposta v(x,t) é a soma da resposta transitória 
vt(x.t) e a resposta permanente vf(x,t), segundo a expressão 9.119. 
 ( ) ( ) ( ), , , [9.119]t fv x t v x t v x t= +
 
Walter Ries 126 
 TRANSFORMADORES 
 
 
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x / l 
%
t=40 μs Envolvente
t=30 μs
t=0 t=5 t=10 t=15
 
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x / l 
%
Envolvente
t=0 μs t=5
t=10
t=15
t=40 μs
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 9.50: Distribuição transitória da tensão 
para bobina com um lado aterrado.
Fig. 9.51: Distribuição transitória da tensão 
para bobina não aterrada. 
A resposta permanente é dada pelas expressões 9.116 e 9.118, respectivamente para o caso de 
enrolamento aterrado e não aterrado. A transição entre a distribuição inicial e a distribuição final da tensão 
ao longo do enrolamento se realiza por oscilações no tempo e no espaço. Esta transição dá a resposta 
transitória representada por uma soma de ondas estacionárias harmônicas de freqüência temporal ωn e 
espacial βn, que satisfazem a expressão 9.84 ou 9.85. 
A expressão 9.89 é a solução geral da equação 9.76 satisfazendo tanto para as ondas transladantes 
quanto para as ondas estacionárias. No campo real a resposta transitória é representada pela expressão 
9.120, considerando que são ondas estacionárias formadas ao longo do enrolamento refletindo-se no 
extremo aterrado, ou extremo livre, conforme for o caso considerado. As constantes an e bn são dadas pelas 
expressões 9.121 e 9.122. 
 ( ) ( )
( )
( )
1
[9.120]
[9.121]
[9.122]
t n n n
n
n t0
n t0
v x,t = a cos x+b sen x cosw t
2a = v x,o cosbx dx
2b = v x,o senbx dx
β β
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
∑
∫
∫
∞
A
A
A
A
 
 
 
 
 
 
9.3.5.3.A – Enrolamento com extremo aterrado 
Como a distribuição de tensão inicial (v0) e a distribuição final (vf) para x = 0 são iguais a 1 (um) todos 
os harmônicos transitórios deverão ser nulos para x = 0 em qualquer instante. Isto implica em dizer que a 
distribuição transitória da tensão (vt) para x = 0 e para x = l também devera ser nula. Como conseqüências, 
só existem harmônicas senoidais e an = 0. Neste caso, o comprimento do enrolamento deve corresponder a 
um meio comprimento de onda espacial para a fundamental n = 1, isto é l = λ1/2. Como conseqüência o 
valor da freqüência espacial é β1 = 2π/λ1 = π/l e βn = n π/l, para n = 1, 2, 3, .....A função 9.120 se reduz à 
expressão 9.123 
 ( )
1
[9.123]
2t n nn
nv x,t = b sen x cosw tπ
=
⋅∑∞ 
 
Nesta expressão ωn é dada pela expressão124 e, para n = 1 pela expressão 9.125. 
Walter Ries 127 
 TRANSFORMADORES 
 
 
[9.124]
[9.125
2
2
1 2
2
1 1
1
1 ]
n
n
K KLC LC
C n C
KLC
C
ω
β π
ω
π
= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎟ ⎟+ +⎜ ⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
A
A
 
 
 
 
 
 
 
A resposta total, dada antes pela expressão 9.119, é agora dada pela expressão 9.126 e a resposta 
transitória para o instante t = 0 é dada pela expressão 9.127. 
 
 
( )
( )
( )[ ]
[ ]
1
1
, 1 cos [9.126]
, 0 1 [9.127]
[9.128]
n n
n
t n
n
x nv x t b sen x t
senh xn xv x b sen x
senh
Csendo
K
π ω
βπ
β
β
=
=
⎛ ⎞⎟⎜= − + ⋅⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
− ⎛ ⎞⎟⎜= = − − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=
∑
∑
A A
A
A A A
∞
∞
 
 
 
 
 
 
A partir da expressão 9.122 pode-se determinar o valor da constante bn através da expressão 9.129 e a 
solução geral será dada pela expressão 9.130. 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )[ ]
[ ] ( )
( )
( )
( )
2 2
2 220
2 2
2 22
1
2 21 [9.129]
2, 1 cos [9.130]
1,2, 3, 4.........
n
n
n
senh x x nb sen x dx
senh n n
nsen xxv x t t
n n
em que n
1β π β
β π π β
π
β ωπ π β=
⎡ ⎤− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜= − − = −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − − ⎡ ⎤+⎣ ⎦
=
∫
∑
A
A A A A
A∞
A A
A
A
A A
 
Observa-se pela expressão 9.129 que as amplitudes das harmônicas decrescem rapidamente como 
aumento de n. 
A Fig. 9.52 mostra as harmônicas transitórias para n = 1,2, e 3 no instante t = 0. Como as harmônicas 
são estacionárias de freqüência temporal ω1,2.....n para t > 0 , pode-se ter a resposta geral v(x,t) acima do 
eixo representada pela resposta final vf(x,t), conforme mostra a fig. 9.40. Os valores máximos da solução 
geral v(x,t) formam uma envolvente que mostra que a tensão máxima que se desenvolve num ponto x pode 
ser bem maior do que a tensão inicial para x = 0. Tudo ocorre como se a reta vf(x,t) fosse um eixo de 
oscilação e, a envolvente fosse simétrica à tensão inicial v0(x,0) em relação a este eixo. Num enrolamento 
real as oscilações são sempre amortecidas pela resistência equivalente das perdas. A envolvente, portanto, 
não atinge os valores simétricos da função v0(x,0) em relação ao eixo vf(x,t). Além do mais, as ondas de 
impulso não são retangulares. O tempo de frente da onda de impulso está em torno de 1 μs e o tempo de 
cauda, para uma queda de 50% da tensão máxima, está em torno de 40 a 50 μs. Nestas condições, a 
envolvente atinge a valores menores do que os teóricos. 
O valor máximo do impulso, num ponto x determinado do enrolamento, é, portanto de difícil 
determinação. Observando-se a fig. 9.52, pode-se admitir que PA = AB e assim determinar com segurança 
o valor da máxima tensão que atinge o impulso no enrolamento. 
 
 
Walter Ries 128TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.5.3.5.B – Enrolamento com o extremo não aterrado 
As condições de contorno, neste caso, são dadas pelas expressões 9.131 e 9.132. 
 
 
 
Da condição 9.131 se conclui que a constante an também neste caso é nula. Da condição 9.132 conclui-
se que dentro do comprimento l somente pode-se ter um número inteiro de quartos de comprimento de 
onda espacial. Assim, para a fundamental (n = 1) deve-se ter 
 
 
 
 
 
 
Como a resposta final vf(x,t)=1 (expressão 9.118), a resposta geral é dada pela expressão 9.133, sendo 
a resposta transitória para t = 0 dada pela expressão 9.134 
 
 
 
n=1
n=2
n=3
0 60 120 180
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x / l
%
i
i
i
v máx
A
B ( )0 ,0v x
( ),fv x t0/1
envolvente
P
x
( )1 ,0tv x
( ) ( ) ( )0 , 0 ,0 ,0t fv x v x v x= +
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x / l 
%
Envolvente
( ),fv x t
( )0 ,0v x
n=1
n=2
n=3
0 30 60 90
( )
1
, 0tv x
Fig. 9.53: Transitórios para t=0 de bobina 
não aterrada.
Fig. 9.52: Transitórios para t=0
( ) [9.131] [9.132]tt
x=l
dvv 0,t = 0 =
dx
0
4
2
2= e
ne
πβ
πβ β
1=
= =
1
λ
λ
π
2
A
A A
1
1
portanto,
n
Walter Ries 129 
 TRANSFORMADORES 
 
 ( )
( )
( )[ ]
[ ]
1
, 1 cos [9.133]
cosh
,0 1 [9.134]
cosh
n n
n
t
nv x t b sen x t
x
v x
π ω
β
β
=
= + ⋅
−
= −
∑ A
A
A
∞
 
 
 
 
A constante bn é determinada pela expressão 9.135 e a solução geral é dada pela expressão 9.136. 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
20 2
2
2
21
42 1,0 cos [9.135]
2
4 2, 1 cos [9.136]
n t n
n
n
nb v x sen x t
n
nsen x
v x t t
n
βπ ω ππ β
π
β ωππ β=
⎛ ⎞⎟⎜= ⋅ = −⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
+
= −
+
∫
∑
A
A
∞
A A
A A A
A A
A
 
A fig. 9.53 mostra as harmônicas n = 1, 2, e 3 e a envolvente para o caso do enrolamento com extremo 
não aterrado. Pode-se observar que, teoricamente, o extremo livre pode ficar com uma tensão de impulso 
duas vezes maior do que o terminal impulsionado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Walter Ries 130 
 TRANSFORMADORES 
 
ANEXO A: Calculo das capacitâncias distribuídas de um enrolamento 
 
A.1: Formulário de referência 
A.1.a – Capacitância entre duas placas (planos) paralelas 
 
Fig. A.1: Placas paralelas com dielétricos diferentes
ε1 ε2 ε3
a3a1 a2
A
 
 
 
2
[ .1]
i
i i
i
i
0,0885×AC F Aa
e
A área das placas em cm
a espessura das camadas do dielétrico em cm
e = constante dielétrica relativa dos dielétricos
μ=
=
=
∑ 
 
 
 
 
 
A.1.b – Capacitância em cilindros concêntricos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ε1ε2
ε3
r3
r1
r2
r4
1
1
2 [ .2]
1 ln
" "
" 1"
i
i i i
i
i
0,0885× lC F A
r
r
l comprimento axial dos cilindros em cm
r = raio interno do dielétrico "i" em cm
r = raio externo do dielétrico i ou interno
do dielétrico i
π μ
ε
+
+
= ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
=
+
∑
 Fig. A.2: Cilindros concêntricos com dielétricos diferentes
 
A.2 – Capacitância contra massa (Cg) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d2
di+1
di
C
C
b
N
secções
 
 
 
cilindros isolantes e canais de óleo
d1
Fig. A.3: Capacitância contra massa (Cg), bobina em discos.
1
1
2 [ .3]
1 ln
( )
( )
g
i
i i i
i
i
i
0,0885× NbC pF
d
d
N número de secções (discos)
b altura axial do cobre de um disco cm
d = diâmetro interno de um cilindro isolante
com cosntanate dielétric "e" cm
d = diâmetro externo de um cili
π
ε
+
+
= ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
=
=
∑
( )]i
ndro isolante
com cosntanate dielétric "e" cm
A
Walter Ries 131 
 TRANSFORMADORES 
A capacitância Cg é formada de duas parcelas: a) capacitância entre a superfície interna dos discos 
contra massa ( ou BT se os discos do enrolamento pertencerem à AT); b) capacitância das cabeceiras da 
bobina contra massa que é desprezível em comparação com a primeira. 
Para calcular a capacitância entre a superfície interna dos discos contra massa pode-se aplicar a 
expressão A.2 substituindo convenientemente os termos pelas dimensões da FIG.A.3 o que resulta na 
expressão A.3. 
A.3 – Capacitância série. 
Também nos enrolamentos em disco a capacitância série se divide em duas partes: 
a) Capacitância entre discos (ou secções) K1 
b) Capacitância entre espiras de uma secção K2. 
Esta capacitância será diferente conforme se trata de um enrolamento em disco contínuo normal ou em 
disco contínuo entrelaçado. 
Disco contínuo normal – FIG.A.4 
a) Capacitância entre discos: K1 
Entre espiras pertencentes a dois discos adjacentes a diferença de potencial não é constante ao longo da 
altura radial a dos discos. Portanto o efeito capacitivo varia para cada par de espiras entre discos. 
 
 
 
 
 
dx
1K 1K
Na
x
m espiras por disco
dc
Fig. A.4: Disco duplo contínuo 
O que se deseja determinar é a capacitância K1 equivalente que, sob uma tensão igual à tensão máxima 
entre discos, armazene a mesma energia no campo elétrico armazenada pela capacitância c entre discos que 
têm uma variação linear de tensão entre pares de espiras no sentido radial dos discos. 
A capacitância elementar entre pares de espiras pertencentes a dois discos contíguos é dada pela 
expressão A.4, a uma distância x de um extremo dos discos. Sendo v a tensão entre espiras de um disco, a 
tensão entre os pares de espiras contíguas de dois discos situados a uma distância radial x é dada pela 
expressão A.5 em que m é o número de espiras no comprimento radial a de um disco. 
 2[ .4] [ .5]x
c mvdc dx A V x A
a a
= =
 
A energia elementar armazenada entre discos para o comprimento elementar dx é dada pela expressão 
A.6 que integrando para todo o comprimento a resulta a expressão A.7 que dá a energia armazenada total 
entre dois discos. 
 
 
 
2 2
2 2 21
2
0
1 2 2 4[ .6] [ .7]
2 6
a
s s
c mv c mvdW dx x A W x dx m v c A
a a a a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= = =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫
Igualando esta energia à energia armazenada pela capacitância equivalente K1, conforme expressão 
A.8, resulta o valor da capacitância equivalente dada pela expressão A.9 para o caso de discos contínuos 
duplos. 
 
 
( ) 2 221 1
1 4 4[ .8] [ .9] [ .10]
2 6 3
K mv m v c A K c A K c A= = 1 =
Para o caso de discos contínuos simples as capacitâncias c e K1 são iguais, expressão A.10. 
Para discos contínuos duplos a energia armazenada nas N-1 capacitâncias K1 em série é dada pela 
expressão A.11, donde resulta a capacitância série total equivalente dada pela expressão A.12. 
Walter Ries 132 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
( ) ( )22 2 1 1 2
4 1 4 11 [ .11]
6 2 3s s
Nm v c N K mvN A K c A
N
−− = = [ .12]
 
 
Na expressão A.12 a capacitância c é dada pela expressão A.13, em que: 
A = área total de um disco contra outro (cm2) 
A1 = área ocupada pelos espaçadores entre discos (cm2) 
δ1.= canal entre dois discos (cm) 
ε1 = constante dielétrica relativa dos espaçadores 
δi = espessuras de isolamento entre dois discos nas zonas não ocupadas pelos espaçadores (cm) 
εi = constantes dielétricas dos materiais isolantes entre 2 discos nas zonas não ocupadas por 
espaçadores 
 
( )11
1
1
, 08850,0885[ .13]
i
i i
o A AAc pFδ δ
ε ε
⋅ −⋅= +
∑
 A
 
 
No caso em que os espaçamentos entre discos não são iguais, tem-se a expressão A.14 em que se tem 
N1 discos com capacitância c1, N2 discos com capacitância c2.........etc. As capacitâncias particulares são 
calculas pela expressão A.13. 
 
 ( ) ( )1 1 1 2 22
4 1 1 ........ [ .14]
3s
K c N c N A
N
⎡ ⎤= − + − +⎣ ⎦ 
 
b) Capacitância entre espiras de uma secção ou disco 
Normalmente esta capacitância é desprezível. No entanto, pode-se calcula-la aplicando a expressão 
A.1 chamando de c´ a capacitância entre duas espiras situadas no diâmetro médio do disco. Resulta, assim, 
a expressão A.15 em que: 
b = altura axial do condutor (cm) 
δ = bi-espessura do isolamento entre dois condutores (cm) 
ε = constante dielétrica do isolamento do condutor 
dm = diâmetro médio do disco (cm) 
 
 0,0885´ [md bc pFπδ
ε
⋅ ⋅ ⋅= .15]A
 
 
Como existem (m-1) capacitâncias por disco em série e sendo N o número total de discos, resulta a 
expressão A.16 para a capacitância total entre espiras. 
 
 
 
( )2
´ [ .16] [ .17]
1s s
cK pF A K K K pF A
m N
= = +− 1s 2s
Walter Ries 133 
 TRANSFORMADORES 
A capacitância série total será, portanto, dada pela expressão A.17, em que K1s é dada pela expressão 
A.12 e K2s pela expressão A.16. 
Para o caso de um disco contínuo com espiras entrelaçadas (interleaved), a capacitância série K2s é 
dada pela expressão A.18. 
 
2
2 1´ [
2
m NK c pF A
N
− −= ⋅2s .18] 
 
Constantes dielétricas usuais: 
Óleo________________________________ ε = 2,3 
Papel Kraft impregnado em óleo _________ ε = 3,2 
Papelão endurecido impregnado em óleo ___ ε = 4,5 
 
Observações: 
1. Com as expressões acima podem ser calculadas as capacitâncias série e paralelo dos 
enrolamentos e, conseqüentemente os fatores a para o cálculo dos gradientes de potencial nas 
cabeceiras pela aplicação da tensão de impulso normalizada. 
2. Para os enrolamentos helicoidais em camadas podem ser usadas as expressões A.2 e A.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Walter Ries 134 
 TRANSFORMADORES 
 
9.4 – Critérios de dimensionamento e formas construtivas 
O dimensionamento do isolamento é feito em função da intensidade de campo que se verifica entre 
espiras, entre bobinas, entre bobinas e colunas/culatras, entre bobinas e caixa e entre ligações e massa em 
geral. Alguns destes campos elétricos são mais ou menos uniformes e, portanto de fácil avaliação. No 
entanto, os pontos críticos são aqueles em que o campo não é uniforme como ocorre nas cabeceiras das 
bobinas. As figuras 9.1 e 9.2 mostram as linhas de campo elétrico e superfícies equipotenciais entre 
bobinas e cabeceiras das bobinas contra massa. De um modo geral os campos elétricos se concentram nos 
cantos das cabeceiras das bobinas e é nestes pontos onde se tem a maior intensidade. Determinar a 
configuração das linhas de campo e das superfícies equipotenciais que permitem determinar as 
intensidades de campo, em kV/mm, nos diferentes pontos, é um trabalho que exige técnicas bastante 
elaboradas, quer de laboratório através de modelos que possibilitam traçar as linhas, de campo e 
superfícies equipotenciais, quer usando ferramentas mais modernas como é o método de elementos finitos 
já com programas prontos para o uso de projetistas. Já nos pontos onde o campo é mais ou menos 
uniforme, como entre bobinas e bobinas e núcleo, é possível determinar os gradientes de potencial 
utilizando os procedimentos de cálculo dados no parágrafo 9.2.2. 
No parágrafo 9.3 foram analisados os transitórios de sobre tensão a que estão sujeitos os 
transformadores. Chaveamentos e curtos-circuitos no sistema elétrico podem causar sobre tensões de duas 
a três vezes o valor da tensão de pico nominal. Os impulsos oriundos de descargas atmosféricas podem 
produzir sobre tensões ainda maiores, porém de muito curta duração. A distribuição das sobre tensões de 
impulso nas bobinas do transformador podem produzir gradientes de potencial muito diferentes ao longo 
da bobina e, com ondas estacionárias, sobre tensões maiores do que a tensão de impulso nos terminais, 
em determinadas partes dos enrolamentos, conforme se observa nas figuras 9.52 e 9.53. Levando em 
conta estes aspetos é que as normas de ensaios dielétricos de transformadores estabeleceram as tensões e 
suas durações para os testes que devem se realizar em fábrica. As normas brasileiras NBR 5356 da ABNT 
estabelecem, em função da tensão máxima do equipamento, os níveis de tensão de impulso e de tensão 
aplicada e induzida em freqüência industrial. Assim, por exemplo, para uma tensão máxima de 242 kV, a 
tensão de impulso de onda plena pode atingir o valor de 950 kV, com impulso de onda cortada de 1.045 
kV e tensão suportável nominal à freqüência industrial, durante 1 minuto, tensão aplicada e tensão 
induzida, de 395 kV eficazes. 
 i i i i
i i i
G 3~
Ho H1 H2 H3
X1 X2 X3
G 1~
Caixa
i i i i
i i i
Xo
H1 H2 H3
X1 X2 X3
ii
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 9.54: Ligações para o ensaio
de tensão aplicada
Fig. 9.55: Ligações para o ensaio
de tensão induzida 
 
A fig. 9.54 mostra as ligações para o ensaio de tensão aplicada na AT (buchas H0, H1, H2 e H3) de um 
transformador com a AT em triângulo e a BT em estrela. A fig. 9.55 mostra as ligações para o ensaio de 
tensão induzida para um transformador com a AT em estrela e a BT em triângulo. Como a tensão 
induzida é cerca de 2 vezes a tensão nominal, a freqüência do gerador trifásico de ensaio deverá ser de 
duas vezes a freqüência nominal de operação do transformador a fim de manter a corrente de excitação 
nos limites da corrente de excitação nominal do transformador. 
Não obstante a aplicação de ensaios dielétricos os transformadores devem ainda estar protegidos por 
pára-raios a fim de limitar os valores das sobre tensões, impulsivas e de chaveamentos que são freqüentes 
nos sistemas elétricos. 
Walter Ries 135 
 TRANSFORMADORES 
Os materiais isolantes normalmente utilizados no isolamento de transformadores de força imersos em 
óleo, como já foram dito, são produtos com base na celulose, como os papéis Kraft e crepado, o papelão 
endurecido denominado de presspahn, “transformerboard”, a madeira, etc. Todos estes materiais são 
impregnáveis com óleo de transformador de modo a ocupar todos os vazios. Isto é conseguido por 
ocasião do tratamento de secagem do transformador dentro da caixa hermeticamente fechada e sob vácuo. 
Após a secagem todo o material isolante é impregnado com óleo mantendo-se o vácuo até completar o 
volume de óleo do transformador. Isto garante que seja eliminado o ar e a umidade que existe no material 
isolante. O material isolante assim impregnado se comporta como um isolamento sólido com boas 
características dielétricas. O papelão prensado, endurecido, ou “transformerboard”, pode ser trabalhado 
de modo a produzir uma série de componentes do isolamento, como cilindros isolantes, anéis franjados, 
espaçadores, longarinas, calços, etc. A tabela da fig. 9.14 fornece as características dielétricas dos 
materiais utilizados em transformadores. 
No parágrafo 9.2 também foi analisada a variação da rigidez dielétrica dos isolantes em função da 
espessura, da pressão, da temperatura e do tempo e que vem auxiliar na escolha da estrutura do 
isolamento e do material isolante. A pureza dos materiais e a eliminação de contaminantes são de 
fundamental importância para que se tenha uma menor dispersão das propriedades isolantes. Todos estes 
fatores devem orientar o projetista para a adoção dos valores a serem adotados para os gradientes de 
potencial no projeto do isolamento. 
Os gradientes de potencial adotados noprojeto devem corresponder aos valores que se verificam 
durante os ensaios dielétricos do transformador. Normalmente são considerados os valores das tensões de 
ensaios de tensão aplicada e de tensão induzida que, de um modo geral são duas vezes maior do que a 
tensão nominal de operação. Se o isolamento satisfaz a esta condição, ele também irá satisfazer às 
condições das tensões de ensaio impulsivas normalizadas, pois, como foi visto os dielétricos normalmente 
têm a capacidade de suportar valores de duas a duas e meia vezes o valor de crista das tensões em 
freqüência industrial devido à curta duração do impulso de tensão. No entanto, nas cabeceiras das bobinas 
e para tensões de impulso, têm-se algumas particularidades que serão analisadas mais adiante. 
 Os valores adotados para os gradientes de potencial no projeto podem ser muito variáveis, pois 
dependem de uma série de fatores como a qualidade dos materiais isolantes, as condições de fabricação 
das estruturas de isolamento, os custos envolvidos e a segurança admitida. Neste ponto a experiência dos 
fabricantes de transformadores, bem como de qualquer equipamento elétrico, é de fundamental 
importância. Também deve ser levado em conta que a rigidez dielétrica dos isolantes sólidos diminui 
com o tempo a cerca de 70% do valor da rigidez dielétrica de 1 minuto, conforme expressões 9.44 e 9.45 
e fig. 9.22. Os valores dos gradientes de campo admitidos no projeto do isolamento, dados na tabela de 
fig. 9.56 são, pois orientativos. 
 
 MATERIAL kV / mm
Óleo para transformador 7,0
Papel Kraft impregnado em óleo 7 a 10
Papelão prensado, especial, impregnado com óleo 10 a 15
Fenolite em óleo 10 a 15
 
 
 
Fig. 9.56: Valores orientativos para gradientes de potencial de projeto 
Um aspecto importante a considerar é de que, muitas vezes o dielétrico deve prover também outras 
funções, diferentes da função isolante. É o caso, por exemplo, do óleo para transformador que além de 
isolante também é um ótimo veículo de refrigeração dos enrolamentos e do núcleo. Outro exemplo são os 
calços de cabeceira das bobinas que devem ter suficiente resistência mecânica para suportarem os 
esforços oriundos das correntes de curto-circuito no sistema elétrico. 
Os diversos tipos construtivos de bobina visam sempre dois aspectos: minimizar o isolamento 
necessário e otimizar a refrigeração dos enrolamentos. Otimizar o isolamento traz como conseqüência a 
diminuição das dimensões das bobinas e do peso geral do transformador, portanto, menores custos. 
 
9.4.1 – Isolamento entre espiras, entre camadas e entre discos. 
As tensões entre espiras de um enrolamento podem variar de alguns volts, para transformadores de 
força de pequena potência, até 200 ou mais volts para grandes transformadores. Portanto, sob este ponto 
de vista o isolamento entre espiras pode ser conseguido com espessuras muito finas de dielétricos sólidos. 
Walter Ries 136 
 TRANSFORMADORES 
Normalmente é usado o papel Kraft impregnado em óleo nos transformadores de potência e, em 
transformadores de distribuição pequenos o isolamento entre espiras pode ser o verniz isolante. O 
condutor com secção retangular é isolado com tiras de papel Kraft, com trespassamento (sobre posição 
parcial), em várias camadas até atingir a espessura necessária. A tabela da fig. 8.34 fornece uma 
orientação da espessura do isolamento “bilateral” para condutores retangulares, isto é, correspondente ao 
isolamento entre duas espiras adjacentes, em função do nível de tensão de operação. Uma espessura 
mínima de 0,5 mm constitui, inclusive, uma exigência sob o ponto de vista mecânico para garantir uma 
continuidade do isolamento durante a confecção da bobina. 
No capítulo 8 foi analisado o aspecto construtivo de bobinas que, basicamente são helicoidais, com 
uma ou varias camadas e em disco que pode ser disco simples, disco duplo ou disco duplo com espiras 
intercaladas. Para cada tipo de bobina deve ser calculada a tensão entre espiras e entre camadas ou entre 
discos para definir o isolamento necessário. A fig. 8.51 ilustra a construção e isolamento de bobinas de 
um transformador de distribuição, de baixa tensão (13,8 ou 23 kV) com condutores de secção circular e 
isolamento com verniz. O isolamento entre camadas é escalonado, pois depende da tensão entre camadas. 
A fig. 8.52 é outro exemplo de construção de bobinas de um transformador de distribuição com a AT 
construída em “panquecas”. Observam-se também os separadores vazados que, além de isolarem as 
panquecas permite a circulação de óleo para a necessária refrigeração dos enrolamentos. 
 Nas bobinas em uma camada ou em disco contínuo a distribuição da tensão impulsiva ao longo do 
enrolamento não é uniforme, conforme visto no parágrafo 9.3.5.1. O enrolamento em disco contínuo tem 
um valor de α elevado que pode chegar a ser igual a 10 e, conforme fig. 9.39 e expressão 9.137, os 
gradientes de tensão no inicio do enrolamento são muito elevados o que exige um reforço no isolamento 
dos primeiro discos. 
 
[9.137]g
s
CC NCN N KK K
N
α β= = = = 
 
Para uma bobina em disco contínuo duplo a diferença de potencial entre dois discos da cabeceira é 
dada pelas expressões 9.104 e 9.105 para valores de α > 3. Assim, para um enrolamento com 140 discos e 
uma tensão de impulso de onda plena de 950 kV, com α = 10, ter-se-ia, entre os dois primeiros discos da 
cabeceira, uma diferença de potencial de: 
 2 210 950 136
140i
v V k
N
αΔ = = ⋅ ⋅ ≅ V
 
 Este seria, naturalmente, um gradiente que não se poderia admitir pois deformaria por demais a 
estrutura do isolamento. Se a distribuição fosse uniforme esta diferença de potencial seria de 13,6 kV. 
Para tensões mais elevadas o ideal seria ter um enrolamento com α = 0, isto é, com capacidade contra 
massa igual a zero. Para se conseguir este resultado com bobinas em disco contínuo, pode ser utilizada 
uma blindagem condutora ao redor da bobina e ligada ao terminal de entrada de modo a produzir uma 
capacidade distribuída, entre a bobina e a blindagem, igual à capacidade distribuída entre a bobina e 
massa. Deste modo as correntes capacitivas paralelas se compensam e a corrente nos elementos indutivos 
do enrolamento não sofre mais variações em função destas correntes capacitivas. A fig. 9.57 esquematiza 
o uso deste tipo de blindagem. Isto torna o enrolamento anti-ressonante e com uma distribuição uniforme 
da tensão impulsiva. 
 
A
t( )1 tμ−
K
K
KL C
L
L
C
C
C
CK
KL
L
C
C
C
C
C
Blindagem
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 9.57: Enrolamento com um extremo aterrado e com blindagem 
Walter Ries 137 
 TRANSFORMADORES 
Eram artifícios desta ordem que se usavam em tensões acima de 69 kV, há 50 ou mais anos, e que 
caiu em desuso com a introdução da bobina com espiras intercaladas (interleaved) como mostra a fig. 
8.49 e que está reproduzida na fig. 9.58. 
Neste tipo de enrolamento, que permaneceu patenteado por muitos anos, a capacitância serie K é 
muito aumentada de modo a reduzir o valor de α a valores abaixo de 3. Assim, embora não se tenha um 
enrolamento totalmente anti-ressonante, a distribuição da tensão impulsiva ao longo da bobina é 
suficientemente uniforme eliminando a necessidade de uma blindagem adicional. Não obstante, é usual 
um reforço no isolamento entre os primeiros discos da cabeceira impulsionada da bobina. 
δοδpδp
. 
 
 
 
 
 
 
2
161
3
6
89
10
12
13
14
15
5
11
4
7
 
Fig. 9.59 Isolamento entre discosFig. 9.58: Bobina em disco continuo com espiras 
intercaladas (interleaved) 
 
 
Um outro tipo de enrolamento que era usado para tensões elevadas era o enrolamento em diversas 
camadas, pois tem uma capacitância série K maior, entre camadas, o que reduz o valor da constante α. No 
entanto, problemas de isolamentonas cabeceiras e problemas de refrigeração tornaram o uso deste tipo de 
enrolamento antieconômico. 
Entre os discos deve sempre ficar um canal de circulação de óleo cuja função primordial é a de 
refrigeração. As figuras 8.53 e 8.54 mostram este tipo de construção. Para assegurar a largura do canal de 
óleo são utilizados os espaçadores. O canal de óleo não pode ser muito estreito para se ter uma boa 
circulação de óleo por efeito termo sifão sem uma elevada perda de carga que venha a prejudicar esta 
circulação. Portanto, o isolamento entre discos é constituído por dois isolamentos sólidos de largura δp e 
um isolamento com largura δo do óleo, conforme pode ser observado na fig. 9.59. A tabela da fig. 8.34 
fornece uma orientação do isolamento bilateral dos condutores em função do nível de tensão dos 
enrolamentos. 
 
9.4.2 – Isolamento entre bobinas e entre bobinas e massa 
Em transformadores para tensões elevadas o isolamento clássico entre bobinas é constituído por óleo 
e barreiras de isolamento sólido constituído por cilindros de papelão endurecido, ou fenolite, com 
espessuras mínimas de 2 mm, por motivos mecânicos. Por sua vez, os canais de óleo formados entre as 
bobinas e cilindros isolantes devem ter uma largura conveniente para permitir a circulação do óleo sem 
perdas de carga por atrito excessivo para o que é necessário um canal de no mínimo 5 a 6 mm. Junto às 
bobinas, no entanto, os canais de óleo devem ser mais largos, com um mínimo de 10 a 15 mm, pois a 
função refrigerante do óleo não pode ser prejudicada. Nos enrolamentos em camadas, quando a dimensão 
radial for grande, a bobina é dividida em duas ou mais partes através de canais de óleo para refrigeração 
que também devem ter uma espessura conveniente para não produzirem perdas de carga excessivas. Nas 
bobinas em discos, como já visto, deixam-se canais de óleo entre os mesmos, também com a finalidade 
primordial de refrigeração. 
Conforme visto na estrutura isolante em camadas com isolantes de diferentes constantes dielétricas 
os gradientes de potencial são maiores nos isolantes com menor constante dielétrica. Para o óleo de 
transformador a constante dielétrica é da ordem de 2 a 2,3 e para o papelão prensado e papel Kraft 
impregnados em óleo varia de 4 a 5. Portanto, é a rigidez dielétrica do óleo que orienta o isolamento. 
Como é o gradiente de potencial do campo elétrico no óleo que orienta o isolamento, poder-se-ia 
pensar que o isolamento pudesse ser feito utilizando somente óleo entre os enrolamentos. Ou ainda, para 
que não se tivesse o óleo como elemento limitante do gradiente de potencial, pode-se pensar em utilizar 
somente material sólido impregnado em óleo que tem ótimas características isolantes em termos de 
rigidez dielétrica como é caso de camadas de papel Kraft impregnadas em óleo. Camadas sólidas e de 
Walter Ries 138 
 TRANSFORMADORES 
óleo muito finas têm alta rigidez dielétrica, como foi visto no parágrafo 9.2. A solução com isolamento 
sólido, no entanto, esbarra no problema da refrigeração dos enrolamentos e, se for criado um único canal 
de óleo com esta finalidade cria-se a limitação do gradiente no óleo. Para entender o motivo de não ser 
usado somente óleo deve-se examinar o problema das impurezas no óleo. Estas impurezas são: a 
umidade, o material fibroso e produtos da borra que surgem e que aumentam com o tempo no óleo. O 
papel Kraft e o papelão endurecido são altamente higroscópicos. Num ambiente com 50 a 75 % de 
umidade relativa estes materiais absorvem cerca de 6 a 12 % do seu peso em água. Na secagem destes 
materiais durante o tratamento a que se submete o transformador após montado, o processo exige, 
normalmente, muito tempo e ainda com auxílio de processos específicos como é o caso do sistema de 
secagem com vapor de querosene, em temperaturas adequadas e sob vácuo. Assim mesmo, a secagem 
encontra o seu limite quando a umidade residual no isolante se encontra num estado de equilíbrio com a 
atmosfera ambiente. Este ambiente pode ser o ambiente de secagem ou o óleo do transformador que 
também tem capacidade de absorver umidade, porem, com uma capacidade muito menor do que o 
material isolante. Em outras palavras, no estado de equilíbrio entre o papel e o óleo, este tem 100 a 150 
vezes menos água. Isto explica porque é ineficiente tentar a retirada da umidade do isolamento sólido 
tratando o óleo do transformador. 
O material fibroso que pode surgir no óleo provém do isolamento sólido e com a mesma propriedade 
higroscópica. Sob a ação do campo elétrico o material fibroso com sua umidade tende a se alinhar 
proporcionando uma ionização no óleo e descargas parciais sob um gradiente de potencial menor. As 
barreiras criadas com cilindros isolantes têm a capacidade de interromper estes alinhamentos e garantir o 
isolamento. Nos pontos de contato das estecas com os cilindros situam-se os pontos onde pode se iniciar a 
ionização do óleo com descargas parciais que podem se desenvolver em descargas superficiais. As 
superfícies dos isolantes operam de modo semelhante ao material fibroso no óleo dando origem a valores 
de rigidez dielétrica menores. Por isso, a altura dos cilindros deve ser maior do que a altura das bobinas 
para oferecer um caminho mais longo às descargas superficiais conforme mostra a fig. 9.60. 
Normalmente são projetadas distancias superficiais maiores, 5 a 10 vezes a espessura do isolamento 
sólido. 
 
BT AT
Es
te
ca
C
ili
nd
ro
 is
ol
an
te
Es
te
ca
Trajetória da descarga
superficial
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 9.60: Trajetória de uma descarga superficial na cabeceira
 
O cálculo dos gradientes de potencial nos diversos cilindros isolantes e no óleo, entre as bobinas, é 
realizado com a aplicação das expressões 9.32 a 9.38. Como as espessuras são muito menores do que os 
diâmetros dos cilindros os gradientes também podem ser calculados, considerando as barreiras em óleo 
como sendo placas paralelas, utilizando as expressões 9.28 a 9.31. Em qualquer ponto do óleo e do 
material isolante sólido o gradiente de potencial deve ser menor do que o gradiente de segurança 
considerado para o projeto. Ainda como segurança, é recomendável considerar que a soma dos 
isolamentos sólidos devem suportar sozinhos, sem a contribuição dos canais de óleo, a diferença de 
potencial de ensaio entre AT e BT. Isto determina a espessura de material sólido necessário, em forma de 
cilindros concêntricos, entre AT e BT. As espessuras dos cilindros variam e 2 a 7 ou 8 mm e os canais de 
óleo devem ter uma espessura conciliável com a necessidade de circulação do óleo sem perda de carga 
excessiva. O óleo aquecido pelas perdas nos enrolamentos e no núcleo circula por efeito termo sifão 
levando o calor aos radiadores onde é transferido ao meio externo refrigerante, o ar ou a água em 
Walter Ries 139 
 TRANSFORMADORES 
trocadores de calor. Em casos de necessidade esta circulação do óleo pode ser auxiliada por meio de 
bombas. 
São características adicionais desejáveis do óleo para transformadores: ser resistente às descargas 
parciais sem se decompor formando gases, ter boas características de refrigeração, ter baixa viscosidade, 
ter uma temperatura de solidificação tão baixa quanto possível e ter baixa tendência de formar borra em 
operação. 
Nas figuras 9.51 e 9.52 podem-se ver os princípios básicos construtivos dos isolamentos entre 
bobinas e cabeceiras das mesmas. Na fig. 9.51 pode-se identificar através das linhas equipotenciais, 3 
zonas distintas: 
a) a zona entre as bobinas de alta e baixa tensão correspondendo a altura dos enrolamentos; 
b) a zona entre as cabeceiras das bobinas e culatras, correspondendo à espessura radial das 
bobinas; 
c) a zona entre os cantos da bobina. Na zona (a) as linhas equipotenciaissão eqüidistantes 
indicando um campo uniforme. 
Na zona (b) as linhas equipotenciais são mais afastadas indicando intensidades de campo menores, 
porém não constantes. Na zona (c) as linhas equipotenciais são menos distantes nos cantos onde as 
intensidades de campo são maiores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5
21 1
Calço 
95%
90%
ATBT
100 %0 %
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
5 - Anel flangeado
6
1 324 11
8
5
7
Culatra
C
ol
un
a
2
 
 
Fig. 9.61 Componentes fundamentais para o isolamento
 entre bobinas
Fig. 9.62: Isolamento entre bobinas e isolamento
das cabeceiras das bobinas 
Nestas figuras podem-se identificar diversas partes. 1: canais de óleo onde também se encontram as 
longarinas que distanciam os cilindros entre si ou das bobinas; 2: cilindros isolantes; 3: bobina de AT; 4: 
bobina de BT; 5: anel franjado; 6: calços nas cabeceiras e que criam, também, canais para a circulação de 
óleo; 7: anéis equipotenciais ( ver detalhe); 8: discos vazados de isolamento. 
Para tensões superiores a 34,5 kV normalmente são usados anéis equipotenciais ou também 
chamados de anéis estáticos colocados nas cabeceiras das bobinas para conformar o campo elétrico nos 
cantos. A fig. 9.53 mostra um anel colocado sobre uma das bobinas. 
O anel equipotencial pode ser fabricado com uma fita metálica muito fina enrolada sobre um núcleo 
de material isolante. O anel, no entanto, não pode formar uma espira fechada o que se evita através de um 
pequeno trespassamento das extremidades com isolamento no meio. Como o anel é atravessado pelo 
fluxo de dispersão nas cabeceiras, a fita metálica deve ser muito fina e o material da fita deve possuir alta 
resistividade, como, por exemplo, a manganina, para não introduzir perdas ôhmicas parasitas excessivas. 
Os raios de curvatura das bordas deste anel variam com a tensão de ensaio dos enrolamentos. 
Walter Ries 140 
 TRANSFORMADORES 
Normalmente as bordas superiores têm um raio de curvatura que varia de 14 a 25 mm para tensões de 
prova, em freqüência industrial, de 140 a 395 kV. O anel é fortemente isolado com tiras de papel Kraft e 
a tira metálica é ligada eletricamente à primeira espira da cabeceira da bobina de onde também sai o 
terminal que vai à bucha de saída da fase. 
Nos anéis equipotenciais a curvatura do perfil uniformiza o campo magnético nas cabeceiras de 
modo a se manter um gradiente de potencial aproximadamente igual ao gradiente na parte central do 
canal de dispersão do fluxo entre bobinas. Deste modo se otimiza o isolamento geral. 
 
,, ,, ,, ,,
 
 
 
 
 Fig. 9.63: Anel equipotencial ou anel estático,
metalizado ou em fita metálica 
O problema de conformar o campo elétrico de modo a se ter um gradiente compatível com os 
gradientes de campo utilizados no projeto, se estende por muito outros pontos do transformador. Como 
um campo elétrico forma-se entre dois eletrodos a conformação de campo deve se estender às formas 
geométricas dos dois eletrodos. Assim, para tensões muito elevadas, a conformação do campo nas 
cabeceiras das bobinas se estende também aos cantos vivos das culatras, superior e inferior, as quais 
também devem receber uma blindagem de conformação. 
Para evitar descargas superficiais nas cabeceiras são usados os anéis franjados. Estes anéis são 
moldados com o mesmo material isolante usado na construção dos cilindros isolantes entre bobinas, 
porém mais não tão endurecido. Os anéis flangeados também aumentam as distâncias para as descargas 
superficiais. 
Na fig. 9.54 vê-se uma cabeceira dos enrolamentos de um transformador com 10% de regulação na 
AT. A bobina de regulação é montada externamente ao enrolamento principal da AT sendo ligada em 
série com a mesma no lado de aterramento. Na bobina de regulação muda-se o número de espiras em 
saltos determinados pelo projeto de modo a adaptar a AT à tensão de linha ou manter a tensão secundária 
praticamente constante sob variações da tensão de linha aplicada à AT. 
 
 
,, ,,0%
,, ,,100%
ATBT RAT
10%
10%
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 9.64: Transformador com regulação de 10% na AT ligada
em estrela com neutro aterrado. 
 
Na fig. 9.54 mostra-se a estrutura básica de isolamento que se usa entre bobina e entre bobinas e 
massa (colunas e culatras ou jugos). Entre os anéis flangeados nas cabeceiras são colocados calços e anéis 
vazados com a função básica de distanciamento e isolamento (detalhes não mostrados no na figura). 
Walter Ries 141 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 9.65: Corte transversal de uma fase de um transformador com regulação na AT: 1. culatra 
superior; 2. coluna do núcleo; 3. estecas; 4. cilindro isolnte da BT; 5. BT; 6. espaçadores entre 
discos; 7. cilindro isolante entre BT e AT; 8. AT; 9. bobina de regulação da AT.
 
 
A fig. 9.55 mostra o corte transversal de uma fase de um transformador com regulação na AT 
conforme fig. 9.54. Neste desenho estão representados todos os componentes do isolamento entre bobinas 
e núcleo. 
9.4.3 – Isolamento entre fases 
Entre fases vizinhas deve haver um isolamento compatível com a tensão de prova induzida. O 
isolamento é constituído por diafragmas de papelão de 4 a 6 mm de espessura, de modo que resulte um 
gradiente médio de 14 a 15 kV/mm ou o valor de segurança que for considerado no projeto. Cuidado 
especial deve ser tomado para as descargas superficiais. As alturas e larguras destes diafragmas podem 
ser dimensionadas para manter as distancias de descargas superficiais dentro do limite da rigidez 
dielétrica superficial adotada no projeto. 
9.4.4 – Isolamento entre enrolamento externo e a caixa do transformador 
Para tensões de operação até 69 kV o isolamento é constituído apenas pelo óleo isolante considerando 
um gradiente de potencial de segurança menor para o óleo sob tensão de ensaio, como, por exemplo, de 1 
a 1,5 kV/mm considerando as possíveis impurezas no óleo conforme visto. Para tensões acima de 69 kV 
(tensão de prova de 140 kV), colocam-se camisas isolantes externas às bobinas que também irão auxiliar 
no isolamento entre fases vizinhas. Normalmente é muito variável a distância entre a parte ativa e a caixa 
do transformador devido a fatores mecânicos construtivos, como a estrutura suporte para as ligações 
externas das bobinas, a existência de comutadores, sob carga ou em vazio, etc. Nas ligações entre 
bobinas, entre bobinas e comutador e nas ligações às buchas de AT e BT, ocorrem muitas configurações 
geométricas de eletrodos para as quais a determinação dos gradientes de potencial pode necessitar uma 
formulação matemática ou experimental mais elaborada. 
 
 
 
 
 
Walter Ries 142 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 9.66: Fotografia da parte viva montada e fora da 
caixa de um transformador trifásico 
 
 
 
A fig. 9.66 mostra como se apresenta a parte viva do transformador com suas ligações externas. 
Também se pode observar as camisas isolantes externas das fases e os diafragmas de papelão entre fases. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Walter Ries 143 
 TRANSFORMDORES 
10 – DIMENSIONAMENO DOS TRANSFORMADORES DE POTÊNCIA 
10.1 – Relações econômicas 
O dimensionamento do transformador é normalmente obtido através de considerações econômicas 
sobre o ferro-silício utilizado na construção do núcleo e o cobre ou alumínio para a construção dos 
enrolamentos. 
Os parâmetros específicos que envolvem o dimensionamento econômico de um transformador são: 
d = densidade de correntenos enrolamentos (em A/mm2) 
B = indução magnética no núcleo ( em Tesla-T ou Wb/m2) 
cc = custo do quilo do condutor, cobre ou alumínio 
cfe = custo do quilo do ferro-silício 
Fc = fator de carga (ou de máximo rendimento) do transformador. 
Para as demais grandezas usa-se a seguinte simbologia: 
Wc = perdas nos enrolamentos de cobre ou alumínio (watts) 
Wfe = perdas no ferro-silício do núcleo (w) 
Pc = peso do condutor dos enrolamentos (kgf) 
Pfe = peso do ferro-silício do núcleo (kgf) 
wc = perdas por kgf do condutor (w/kgf) 
wfe = perdas por kgf de ferro-silício (w/kgf) 
q = carregamento elétrico dos enrolamentos (NI/h em AE/cm) 
ka = coeficiente de perdas adicionais = R/Rcc -1= Wc/Wo-1 (expressão 6.24 cap. 6) 
 
As perdas no condutor e no ferro são dadas pelas expressões 10.1 e 10.2. 
 
( ) 22, 36 1 [10.1]
[10.2]
cu cu cu a cu
fe fe fe
W w P k d P
W w P
= ⋅ = + ⋅
= ⋅
 
 
Conhecido o fator de carga Fc, o transformador trabalhará com rendimento máximo quando se 
verifica a condição dada pela expressão 10.3 o que resulta na expressão 10.4. 
 
( )
2
2[10.3] [10.4]
fe fe fe fe
c c
cu cu cu
W W w P
F F
W W d P
⋅
= = = ⋅a2, 36 1 + k
 
 
Em termos dimensionais da parte ativa do transformador (núcleo e enrolamentos), o transformador 
terá o seu custo minimizado quando o custo de ferro-silício do núcleo for igual ao custo e cobre dos 
enrolamentos. Isto pode ser expresso pelas equações 10.5 e 10 6. 
 
[10.5] [10.6]fe cucu cu fe fe
cu fe
P cP c P c
P c
⋅ = ⋅ = 
 
Levando a relação 10.6 para a expressão 10.4 resultam as expressões 10.7 e 10.8. 
 
 
 ( ) ( )
1[10.7] [10.8]fe fecu cuc
fe c fe
w wc cF d
c F c
= ⋅ = ⋅⋅ 2 a a2, 36 d 1 + k 2, 36 1 + k
 
 
Walter Ries 144 
 TRANSFORMDORES 
As perdas específicas no ferro do núcleo (wfe) são obtidas em função da indução (B) através de 
gráficos levantados para o material utilizado (ver fig. 5.6 e 5.7). As induções de trabalho variam de 1,4 a 
1,75 T (Tesla) para a chapa siliciosa de grão orientado. O coeficiente de perdas adicionais (ka) varia, 
normalmente, de 0,05 a 0,20. Com os valores de (B) e (ka) arbitrados nos limites acima, e, conhecidos os 
valores de (Fc), (ccu) e (cfe), determina-se pela expressão 10.8 um valor orientativo da densidade de 
corrente a ser utilizada no dimensionamento das secções dos condutores das bobinas primária e 
secundárias do transformador. Esta densidade, no entanto, não deve ultrapassar o valor de 3,5 A/mm2 sob 
pena de se ter necessidade de providenciar uma melhor refrigeração dos enrolamentos o que encarece o 
custo do transformador. Como valor de partida pode-se arbitrar um coeficiente de perdas adicionais de 
0,12 (ka = 0,12, ou 1+ka = 1,12) que introduzido na expressão 10.8 fornece a densidade de corrente 
econômica pelos critérios definidos. 
10.2 – Cálculo da seção do núcleo 
A determinação da seção do núcleo de um transformador é baseada no “princípio de Arnold” que diz: 
para cada tipo de transformador é constante a relação entre o comprimento da espira média dos 
enrolamentos e o comprimento da linha média do núcleo. 
 Simbologia: 
A = seção do núcleo de ferro-silício (cm2) 
a = seção do condutor (mm2) 
γcu = peso específico do cobre (g/cm3) 
γfe = peso específico do ferro-silício (g/cm3) 
lcu = comprimento da espira média dos enrolamentos (m) 
lfe = comprimento da linha média do núcleo (m) 
 
 O comprimento da espira média é determinado dividindo o comprimento total do condutor dos 
enrolamentos (primário, secundário, terciário, etc.) pelo número total de espiras (do primário, secundário, 
terciário, etc.). No transformador trifásico, lcu = 3 vezes o comprimento médio das espiras de uma fase. 
O comprimento da linha média do núcleo é dado pela soma das linhas médias de todas as colunas e 
culatras, conforme os exemplos das figuras 10.1 e 10.2. 
 
Hc
i i
Fig. 10.2: núcleo monofásico
l fe = 2i + 2Hc
Fig. 10.1: núcleo trifásico
l fe = 4i + 3Hc
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A f.e.m. induzida (V) num enrolamento com N espiras sobre um núcleo de seção A (cm2), com 
indução máxima B (T) e com freqüência f (Hz) é dada pela expressão 10.1. 
 
 [10.9]-4E = 4,44 10 BAfN volts⋅
 
Tomando como referência um transformador trifásico, tipo núcleo envolvido, fig. 10.1, com 2 
enrolamentos, tem-se: 
Walter Ries 145 
 TRANSFORMDORES 
• Potência S, conforme expressão 10.10; 
• Peso do ferro-silício Pfe, conforme expressão 10.11; 
• Peso do cobre Pcu, conforme expressão 10.12. 
 
7
1
3
13, 32 10 [10.10]
10 [10.11]
2 10 [10.12]
-7
fe fe fe f
cu cu cu f
S = 3 4,44 10 BAfNI BAfNad kVA
P A l kg
P N l a kg
γ
γ
−
−
−
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 
 
 
 
Observação: Se as densidades dos enrolamentos primário e secundário são iguais, então se tem: 
 
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2 2 2
N a d N a d ou
N a N a Na de onde se conclui que
N a N a Na
=
= =
+ =
 
 
 
Da combinação da expressão 10.6 com as expressões 10.11 e 10.12 resultam as expressões 10.13 e 
10.14. 
 
[10.13]
[10.14]
fecu cu cu
fe cu fe fe
fe fe fe
cu cu cu
cP 2N a l
P c A l
c lANa
2 c l
γ
γ
γ
γ
⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
-2
2
10
10
 
 
 
 
Substituindo a expr. 10.14 na expr. 10.10 resulta a expressão da potência aparente dada pela 
expressão 10.15 de onde se pode obter a seção líquida do núcleo dada pela expressão 10.16. 
 
5 2
4
4 2
4
6 66 10 [10.15]
1 5 10 [10.16]
fe fe fe
cu cu c
fe fe fekVA
cu cu c
c l
S , B f d A kVA
c l
c lSA , cm
Bfd c l
− γ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅γ
γ⋅ ⋅ ⋅γ
 
 
 
 
 
Por uma série de levantamentos realizados em transformadores trifásicos tipo núcleo com dois 
enrolamentos obteve-se a expressão 10.17 que substituída na expressão 10.16 resulta na expressão 10.18, 
quando se usa condutor de cobre, e na expressão 10.19, quando se utiliza condutor de alumínio, tomando 
os seguintes valores para os pesos específicos: 
 
3
3
3
7 65
8 89
2 70
fe
cu
Al
, g / cm
, g / cm
, g / cm
γ =
γ =
γ =
 
 
 
 
3
3
111 [10.18]
61 [10.19]
kVA cu
fe
kVA Al
fe
S cA cm
Bfd c
S cA cm
Bfd c
= ⋅
= ⋅
 
 
 
 
Walter Ries 146 
 TRANSFORMDORES 
 
Para os demais tipos de transformadores com 3 ou mais enrolamentos, determinam-se a potência 
dimensional equivalente a do transformador trifásico e entra-se com este valor nas expressões 10.18 ou 
10.19. 
 
Simbologia: 
• S1 = potência do enrolamento primário 
• S2 = potência do enrolamento secundário 
• S3 = potência do enrolamento terciário 
• BT = tensão do enrolamento de baixa tensão 
• AT = tensão do enrolamento de alta tensão 
 
Potências dimensionais “S” equivalentes: 
 
( )
:
:
:
:
1 2
1 2 3
k
i
i
1 2
Transformador trifásico a 2 enrolamentos S S S
1Transformador trifásico a 3 enrolamentos S S S S
2
1Transformador trifásico a k enrolamentos S S
2
3 3Transformador monofasico a 2 enrolamentos S S S
2 2
Transformado
= =
= + +
=
= =
∑
( ):
:
. :
. :
1 2 3
k
i
i
1
1 3
3r monofasico a 3 enrolamentos S S S S
4
3Transformador monofasico a k enrolamentos S S
4
BTAutotransf trifasico a 2 enrolamentos S S 1
AT
BT 1Autotransf trifasico com terciário S S 1 S
AT 2
Au
= + +
=
⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜= − +⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∑
. : 1 3
3 BT 1totransf monofasico com terciário S S 1 S
2 AT 2
⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥= − +⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Potência dimensional de um autotransformador 
 
•
•
N1