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o programa fez.
Exerc´ıcio 5.4. (resolvido)
Usando que limx→0
sin(x)
x
= 1 e composic¸o˜es prove que:
lim
x→0
sin(k · x)
x
= k, ∀k ∈ R \ {0}.
e
lim
x→0
tan(j · x)
sin(k · x) =
j
k
, ∀k, j ∈ R \ {0}.
CAP´ıTULO 9
A derivada
1. Definic¸a˜o, primeiras propriedades e exemplos simples
A grandeza
f(x+ h)− f(x)
h
, h 6= 0
e´ conhecida como quociente incremental. Ela compara, atrave´s do quociente, o in-
cremento (aumento, variac¸a˜o) dos valores da func¸a˜o com o incremento (aumento,
variac¸a˜o) na entrada da func¸a˜o.
E e´ assim que pensamos no dia-a-dia: na˜o e´ muito informativo se dissermos quanto
aumentou o sala´rio de algue´m, de f(x) para f(x+h), se na˜o dissermos quanto tempo
h foi necessa´rio para o reajuste.
Tambe´m se dissermos que um carro passa de f(x) km/h para f(x+h) km/h e na˜o
dissermos em quanto tempo h o faz, na˜o teremos uma ide´ia da poteˆncia do motor. E
assim por diante, ha´ inu´meros exemplos de processos so´ sa˜o descritos corretamente
se usarmos quocientes incrementais.
Definic¸a˜o 1.1. A Derivada da func¸a˜o y = f(x) num ponto x de seu domı´nio e´ o
limite:
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
.
Denotamos1 esse limite por f ′(x).
Observac¸o˜es:
• Na˜o estamos dizendo que sempre exista f ′(x), ao contra´rio, e´ uma bela pro-
priedade para uma f ter derivada f ′(x). Quando dissermos apenas que f tem
Derivada (ou tambe´m, e´ Deriva´vel), estamos dizendo que ela tem Derivada
em cada ponto de seu domı´nio.
• apo´s a definic¸a˜o de derivada, podemos redefinir a reta tangente ao gra´fico
de y = f(x) no ponto (x, f(x)) como a reta que passa por esse ponto e tem
coeficiente angular f ′(x). Essa reta se determina assim: pondo
y − f(x)
x− x = f
′(x)
obtenho:
y = f ′(x) · x+ (f(x)− f ′(x)x).
1Essa notac¸a˜o lembra a de I. Newton, mas o outro criador do Ca´lculo, G. Leibniz usava a notac¸a˜o
d f
d x
(x), muito usada nos livros de Ca´lculo.
115
1. DEFINIC¸A˜O, PRIMEIRAS PROPRIEDADES E EXEMPLOS SIMPLES 116
Note o milagre que ha´ numa derivada: o denominador da frac¸a˜o tende a zero e
mesmo assim a frac¸a˜o tende a um nu´mero definido. Isso certamente esta´ ligado ao
fato de que o numerador tende a zero tambe´m, como vemos agora:
Teorema 1.1. Se existe o limite
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
,
enta˜o:
• limh→0 ( f(x+ h)− f(x) ) = 0
• limh→0 f(x+ h) = f(x).
• f e´ cont´ınua em x.
Demonstrac¸a˜o.
Prova de i):
Fixe um ponto x qualquer do domı´nio da f . Parto de que existe
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
.
Enta˜o adaptando a nossa notac¸a˜o2 a`quela do item 4) do Teorema 1.1, obtenho:
lim
h→0
( h · f(x+ h)− f(x)
h
) = 0.
Ou seja,
lim
h→0
( (f(x+ h)− f(x)) = 0.
Prova de ii):
Dizer que limh→0 ( (f(x + h) − f(x)) = 0 e´ exatamente o mesmo que dizer
limh→0 f(x+ h) = f(x).
Prova de iii): O iem ii) e´ a definic¸a˜o de continuidade da f em x. �
A rec´ıproca desse Teorema e´ falsa, como o mostra f(x) = |x| que, apesar de
cont´ınua em todo seu domı´nio, na˜o tem derivada no x = 0. De fato, ja´ vimos que:
lim
h↗0
|0 + h| − |0|
h
= −1, mas lim
h↘0
|0 + h| − |0|
h
= 1.
Existem func¸o˜es cont´ınuas bastante bizarras, sem derivada em nenhum ponto.
Tente imaginar (sem conseguir, e´ claro !) uma espe´cie de serrote com uma infinidade
de dentes, que entre dois dentes tem mais outro e assim por diante. Um exemplo e´
constru´ıdo no livro Calculus, de M. Spivak.
2Na notac¸a˜o do Teorema 1.1, x = 0, x = h, uma das func¸o˜es de h e´ f(x+h)−f(x)
h
e a outra e´ a
identidade g(h) = h
CAPI´TULO 9. A DERIVADA 117
2. Um A´rbitro que so´ avalia as inclinac¸o˜es
Comparando com a Sec¸a˜o 2 do Cap´ıtulo 8, conclu´ımos que a Derivada f ′(x) na
Definic¸a˜o 1.1 e´ o coeficiente angular da Tangente ao gra´fico de y = f(x) em (x, f(x)).
Se o valor da Derivada f ′(x) muda quando mede x isso significa que as inclinac¸o˜es
das tangentes variam ao longo do gra´fico.
Vamos dar 4 Exemplos dos mais simples.
Imagine uma competic¸a˜o de surf em que 4 participantes realizam manobras de-
scritas por quatro gra´ficos diferentes: y = f1(x) ≡ 1 (constante), y = f2(x) = x,
y = f3(x) = x
2 e y = f4(x) = x
3. Imagine tambe´m que um certo A´rbitro da com-
petic¸a˜o tem a tarefa exclusiva de so´ medir e avaliar as inclinac¸o˜es das pranchas em
cada instante x, sem se interessar em medir as alturas atingidas pelos participantes.
Quem controla as alturas quem controla e´ outro A´rbitro (e por sinal, nesses exemplos
ta˜o simples e´ fa´cil saber onde cada func¸a˜o tem valores positivos, zero ou negativos).
Ou seja, que o A´rbitro que so´ mede as inclinac¸o˜es calcula as Derivadas e apresenta
o gra´fico de cada Derivada. A seguir, o resultado para cada um dos 4 concorrentes:
1): f1(x) = 1:
f ′1(x) = lim
h→0
1− 1
h
= lim
h→0
0 = 0.
1
0,6
x
0,8
1
0,4
0-1
0
0,5
0,2
-0,5
Figura: y = f1(x) ≡ 1 em vermelho e f ′1(x) ≡ 0 em verde.
2): f2(x) = x:
f ′2(x) = lim
h→0
(x+ h)− x
h
= lim
h→0
1 = 1.
1
0
x
0,5
1-1
-1
-0,5 0,5
-0,5
0
Figura: y = f2(x) = x em vermelho e f
′
2(x) ≡ 1 em verde.
2. UM A´RBITRO QUE SO´ AVALIA AS INCLINAC¸O˜ES 118
3): Para f3(x) = x
2, f ′3(x) = 2x: ja´ fizemos essa conta na Sec¸a˜o 3 do Cap´ıtulo 8,
onde vimos a equac¸a˜o da tangente a esse gra´fico.
2
0
x
1
1-1
-2
-0,5 0,5
-1
0
Figura: y = f3(x) = x
2 em vermelho e f ′3(x) = 2x em verde.
4): f4(x) = x
3:
f ′4(x) = lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
= lim
h→0
x3 + 3x2 h+ 3xh2 + h3 − x3
h
=
= lim
h→0
h · (3x2 + 3xh+ h2)
h
== lim
h→0
(3x2 + 3xh + h2) = 3x2,
pois o polinoˆmio em h de grau ≤ 2 dado por 3x2 +3xh+ h2 e´ uma func¸a˜o cont´ınua !
3
1
x
2
1-1
-1
-0,5 0,5
0
0
Figura: y = f4(x) = x
3 em vermelho e f ′4(x) = 3x
2 em verde.
Para confeccionarmos um gra´fico interessante mais adiante, sera´ u´til se calculamos
a` ma˜o a derivada de:
5) f5(x) = x
4:
f ′4(x) = lim
h→0
(x+ h)4 − x3
h
= lim
h→0
x4 + 4x3 h+ 6x2 h2 + 4xh3 + h4 − x4
h
=
= lim
h→0
h · (4x3 + 6x2 h+ 4xh2 + h3)
h
= lim
h→0
(4x3 + 6x2 h + 4xh2 + h3) = 4x3,
CAPI´TULO 9. A DERIVADA 119
pois o polinoˆmio em h de grau ≤ 3 dado por 4x3 + 6x2 h + 4xh2 + h3 e´ uma func¸a˜o
cont´ınua !
4
0
2
-2
x
10,50-1-0,5
-4
Figura: y = f5(x) = x
4 em vermelho e f ′5(x) = 4x
3 em verde.
3. Derivadas da soma e da diferenc¸a
A Afirmac¸a˜o a seguir torna bem mais ra´pido a determinac¸a˜o da derivada :
Afirmac¸a˜o 3.1. Sejam f(x) e g(x) func¸o˜es deriva´veis em x. Sejam a, b ∈ R. Enta˜o
a func¸a˜o a · f(x) + b · g(x) e´ deriva´vel em x e sua derivada e´:
( a · f(x) + b · g(x) )′ = a · f ′(x) + b · g′(x).
Demonstrac¸a˜o.
Temos pelas definic¸o˜es de derivadas e propriedades de limites (Teorema 1.1 do
Cap´ıtulo 5 ):
a · f ′(x) + b · g′(x) :=
= a · lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
+ b · lim
h→0
g(x+ h)− g(x)
h
=
= lim
h→0
a · f(x+ h)− f(x)
h
+ lim
h→0
b · g(x+ h)− g(x)
h
=
= lim
h→0
[a · f(x+ h)− f(x)
h
+ b · g(x+ h)− g(x)
h
] =
= lim
h→0
a · (f(x+ h)− f(x)) + b · (g(x+ h)− g(x))
h
=:
=: ( a · f(x) + b · g(x) )′.
�
4. PROBLEMA DA PUTNAM COMPETITION, N. 68, 1993 120
4. Problema da Putnam Competition, n. 68, 1993
Convido o leitor a tentar resolver o problema a seguir sozinho e so´ depois de
bastante trabalho individual ler a resposta que eu apresento.
Problema:
Encontre todos os valores de α ∈ R para os quais as curvas
Cα : y = α · x2 + α · x+ 1
24
e Dα : x = α · y2 + α · y + 1
24
tem algum ponto de tangeˆncia.
Soluc¸a˜o:
Primeiro noto que as poss´ıveis intersecc¸o˜es Cα∩Dα sa˜o pontos cujas coordenadas
x satisfazem a equac¸a˜o:
E : x = α · (α · x2 + α · x+ 1
24
) + α · (α · x2 + α · x+ 1
24
) +
1
24
,