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do seno parece ser −1. Ademais, as inclinac¸o˜es do gra´fico do seno
vinham ficando mais negativas desde pi
2
e a partir de θ = pi va˜o ficando menos
negativas.
• em θ = 3pi
2
≈ 4.7 o cosseno se anula, passando de negativo a positivo e em
θ = 3pi
2
o seno tem seu mı´nimo.
• por u´ltimo, onde o cosseno e´ positivo (negativo) o seno e´ crescente (decres-
cente).
Todas essas observac¸o˜es sa˜o coerentes com o que aprendemos no final da Parte 1
e de fato:
Afirmac¸a˜o 1.1.
sin′(θ) = cos(θ), ∀θ ∈ R.
Demonstrac¸a˜o.
Comec¸o com a definic¸a˜o de derivada em algum θ0 fixado e uso depois a formula
de seno de uma soma:
sin′(θ0) = lim
θ→0
sin(θ0 + θ)− sin(θ0)
θ
=
= lim
θ→0
sin(θ0) cos(θ) + cos(θ0) sin(θ)− sin(θ0)
θ
.
Para poder continuar, agora vou usar o limite provado na Sec¸a˜o 3 do Cap´ıtulo 8:
lim
θ→0
sin(θ)
θ
= 1
e, ademais, um outro limite fundamental:
lim
θ→0
cos(θ)− 1
θ
= 0,
cuja prova omito, mas que e´ no mesmo estilo.
Enta˜o as propriedades de limites de somas e produtos permitem que re-escreva o
de acima como:
sin′(θ0) = lim
θ→0
[sin(θ0) · (cos(θ)− 1)
θ
+ cos(θ0) · sin(θ)
θ
] =
= sin(θ0) · lim
θ→0
(cos(θ)− 1)
θ
+ cos(θ0) · lim
θ→0
sin(θ)
θ
=
= sin(θ0) · 0 + cos(θ0) · 1 = cos(θ0),
como quer´ıamos. �
Um complemento:
A Figura a seguir exibe os gra´ficos de
f1(θ) =
sin(θ)
θ
, para θ 6= 0 e f1(0) := 1
CAPI´TULO 12. DERIVADAS DE SENO E COSSENO E AS LEIS DE HOOKE163
e de
f2(θ) =
cos(θ)− 1
θ
, para θ 6= 0 e f2(0) := 0
(note que defino separadamente os valores para θ = 0, para que as func¸o˜es resultantes
sejam cont´ınuas).
0,8
0
0,4
2
-0,4
x
31-1 0-2-3
Figura: O gra´ficos de y = f1(θ) (vermelho) e y = f2(θ)
(verde) para θ ∈ [−pi, pi].
A vinganc¸a do cosseno ! Seu filho (sua derivada) e´ o oposto do malvado avoˆ, o
seno:
Afirmac¸a˜o 1.2.
cos′(θ) = − sin(θ), ∀θ ∈ R.
Demonstrac¸a˜o. Seguindo as mesmas etapas da prova anterior, obtemos:
cos′(θ0) = lim
θ→0
cos(θ0 + θ)− cos(θ0)
θ
=
= lim
θ→0
cos(θ0) cos(θ)− sin(θ0) sin(θ)− cos(θ0)
θ
=
= cos(θ0) · lim
θ→0
(cos(θ)− 1)
θ
− sin(θ0) · lim
θ→0
sin(θ)
θ
=
= cos(θ0) · 0− sin(θ0) · 1 = − sin(θ0).
como quer´ıamos. �
2. Leis de Hooke com e sem atrito
A lei de Hooke diz que a forc¸a que um objeto1 sofre quando se estica uma mola
presa a ele e´ do tipo
F = −kf(x)
1Os objetos inicialmente sera˜o tratados como pontos, o que e´ uma enorme simplificac¸a˜o da
realidade. Na Sec¸a˜o 5 do Cap´ıtulo 23 falaremos de centro de gravidade de objetos que na˜o sa˜o
pontos
2. LEIS DE HOOKE COM E SEM ATRITO 164
onde k > 0 e´ uma constante e f(x) e´ a posic¸a˜o do objeto (veja a Figura a seguir). O
sinal negativo significa que a forc¸a e´ no sentido oposto do deslocamento. Se ignora o
atrito entre o objeto e a superf´ıcie nessa formulac¸a˜o da lei.
F
Se tomamos a forc¸a F como sendo o produto de massa m pela acelerac¸a˜o f ′′(x)
enta˜o a lei de Hooke e´ da forma
mf ′′(x) = −k · f(x).
A seguir, na Afirmac¸a˜o 2.1, para simplificar e dispensar a derivada da composta
(que na˜o vimos ainda), ponho k = 1.
Afirmac¸a˜o 2.1.
i): As func¸o˜es f(x) = a · cos(x) + b sin(x) sa˜o perio´dicas de per´ıodo 2pi, teˆm
f(0) = a e f ′(0) = b e satifazem
f ′′(x) = −f(x), ∀x ∈ R.
ii): Ademais a · cos(x) + b sin(x) ≡ A · cos(x− q), onde
A =
√
a2 + b2 e cos(q) =
a√
a2 + b2
.
A Afirmac¸a˜o 2.1 sera´ reforc¸ada na Sec¸a˜o 8 do Cap´ıtulo 39, onde se mostrara´, entre
outras coisas, que as func¸o˜es f(x) = a ·cos(k ·x)+b sin(k ·x) sa˜o as u´nicas a satisfazer:
f ′′(x) = −k · f(x), k ∈ R.
Demonstrac¸a˜o. (da Afirmac¸a˜o 2.1)
De i):
Como o seno e o cosseno teˆm per´ıodo 2pi essas func¸o˜es tambe´m teˆm esse per´ıodo.
Pela derivada da soma e de seno e cosseno, obtemos
f ′′(x) = (f ′(x))′ = (a(− sin(x)) + b cos(x))′ =
= −a cos(x)− b sin(x) = −f(x).
Ademais, f(0) = acos(0) = a e f ′(0) = b cos(0) = b.
De ii):
Note para o que segue que, se cos(q) = a√
a2+b2
, enta˜o
sin(q) =
b√
a2 + b2
.
Temos enta˜o
A · cos(x− q) = A · [cos(x) · cos(−q)− sin(x) · sin(−q) =
CAPI´TULO 12. DERIVADAS DE SENO E COSSENO E AS LEIS DE HOOKE165
= A · [cos(x) · cos(q) + sin(x) · sin(q)] =
=
√
a2 + b2 · a√
a2 + b2
· cos(x) +
√
a2 + b2 · b√
a2 + b2
· sin(x) =
= a · cos(x) + b · sin(x),
�
Na figura a seguir note que na˜o so´ a posic¸a˜o f(0) e´ relevante, mas que tambe´m a
inclinac¸a˜o f ′(0) determina o tipo de oscilac¸a˜o que havera´.
-2
2
1
-1
0
x
6210 4 53
Figura: Gra´ficos de y = a sin(θ) + b cos(θ) para alguns a, b e θ ∈ [0, 2pi].
Claro que na realidade f´ısica sempre ha´ algum atrito entre o objeto e a superf´ıcie
e sabemos que com o tempo o objeto pa´ra. Uma lei de Hooke mais realista levaria
em conta o atrito que surge com o deslocamento do objeto, ou seja, dependente da
velocidade f ′(x) do objeto e seria do tipo
f ′′(x) = −f(x)− kf ′(x).
Na Figura a seguir ponho uma func¸a˜o satisfazendo f ′′(x) = −f(x) ao lado de uma
func¸a˜o satisfazendo f ′′(x) = −f(x)−0.1·f ′(x). Uma func¸a˜o deste u´ltimo tipo envolve
senos e cossenos e a func¸a˜o exponencial, que veremos mais adiante.
0,5
1
0
-1
-0,5
x
353025150 10 205
Figura: Func¸o˜es satisfazendo a lei de Hooke
sem atrito (vermelho) e com atrito (verde).
3. EXERCI´CIOS 166
E se o atrito for maior, por exemplo, em f ′′(x) = −f(x)− 0.3 · f ′(x), enta˜o nesse
caso o objeto vai parar bem mais ra´pido, como na Figura a seguir:
1
0
0,5
-0,5
-1
x
0 355 3010 15 2520
Figura: Func¸o˜es satisfazendo a lei de Hooke
sem atrito (vermelho) e com muito atrito (verde).
Resolveremos explicitamente a equac¸a˜o diferencial:
f ′′(x)− f(x)− kf ′(x)
na Sec¸a˜o 2 do Cap´ıtulo 40.
3. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 3.1. Determine se o ponto (0, 0) e´ ma´ximo/mı´nimo ou inflexa˜o de f,
sabendo que f ′(x) = sen5(x) · cos(x).
CAP´ıTULO 13
Derivada do produto, induc¸a˜o e a derivada de xn, n ∈ Z.
Ja´ vimos que a derivada de f(x) = 1 = x0 e´ f ′(x) = 0, que a de f(x) = x = x1 e´
f ′(x) = 1 = 1x0, que a de f(x) = x2 e´ f ′(x) = 2x1 e ate´ mesmo que a de f(x) = x4 e´
f ′(x) = 4x3.
Ou seja, nos sentimos motivados a conjecturar que ∀n ∈ N, f(x) = xn tem
f ′(x) = nxn−1.
Como podemos provar isso, se na˜o podemos percorrer todos os Naturais ? Isso se
faz atrave´s do princ´ıpio de induc¸a˜o matema´tica.
1. Princ´ıpio de induc¸a˜o matema´tica
Em geral a palavra induc¸a˜o e´ usada nas cieˆncias experimentais para referir ao
processo pelo qual algue´m tenta concluir apo´s um certo nu´mero de evideˆncias que
certo fenoˆmeno valera´ sempre (ou qual a probabilidade disso ocorrer).
Ja´ em matema´tica o significado e´ o seguinte: quando queremos provar uma certa
propriedade para todo n ∈ N, o que fazemos e´:
• prova´-la para n = 1,
• supoˆ-la va´lida ate´ n− 1 e
• prova´-la para o pro´ximo natural, ou seja, para n.
(A etapa em que supomos a propriedade va´lida ate´ n − 1 e´ chamada de hipo´tese de
induc¸a˜o).
Se conseguimos fazer essa u´ltima etapa, a propriedade vale para todo n ∈ N.
A validade deste princ´ıpio esta´ ligada a` pro´pria natureza (axiomas) dos nu´meros
Naturais.
Vejamos treˆs exemplos, que ale´m de bonitos em si mesmos, sera˜o u´teis mais adiante
no Cap´ıtulo 21:
Afirmac¸a˜o 1.1. ∀n ∈ N:
i) 1 + 2 + . . .+ (n− 1) + n = (n+1)·n
2
.
ii) (1 + 2 + . . .+ (n− 1) + n)2 = 13 + 23 + . . .+ (n− 1)3 + n3.
iii) 12 + 22 + . . .+ n2 = n(n+1)(2n+1)
6
Demonstrac¸a˜o.
Prova de i): Para n = 1 a fo´rmula diz simplesmente 1 = 2·1
2
o que e´ o´bvio.
A hipo´tese de induc¸a˜o e´
1 + 2 + . . .+ (n− 1) = ((n− 1) + 1) · (n− 1)
2
=
n(n− 1)
2
.
167
1. PRINCI´PIO DE INDUC¸A˜O MATEMA´TICA 168
De agora em diante temos que fazer algo para mostrar quanto vale 1 + 2+ . . .+ (n−
1) + n. Ora