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(x, y) um polinoˆmio em duas varia´veis.2
Suponha que exista (x, y) com F (x, y) = 03
Se ∂F (x,y)
∂y
6= 0 quando avaliada em (x, y), enta˜o para x, y em (possivelmente pe-
quenos) intervalos abertos centrados em x, y:
• a curva F (x, y) = 0 e´ um gra´fico do tipo y = y(x) e
• y′(x) = −
∂F (x,y)
∂x
∂F (x,y)
∂y
.
Se ∂F (x,y)
∂x
6= 0 quando avaliada em (x, y), enta˜o para x, y em (possivelmente pe-
quenos) intervalos abertos centrados em x, y::
• a curva F (x, y) = 0 e´ um gra´fico do tipo x = x(y) e
• x′(y) = −
∂F (x,y)
∂y
∂F (x,y)
∂x
.
Esse Teorema tem va´rios detalhes, que se veˆem melhor nos Exemplos.
Exemplo 2.1. No c´ırculo F (x, y) = x2+y2−r2 = 0 temos ∂F (x,y)
∂y
= 2y 6= 0 se y 6= 0.
Nesse caso:
y′(x) = −
∂F (x,y)
∂x
∂F (x,y)
∂y
= − 2x
2y(x)
,
como vimos antes.
Mas se P no c´ırculo tem y = 0 enta˜o P = (−r, 0) ou P = (r, 0) e nesse caso
∂F (x,y)
∂x
= 2x 6= 0. Enta˜o e´ preciso usar func¸o˜es x = x(y) para descrever o c´ırculo
como gra´fico.
O Teorema 2.1 tem sutilezas que ficam evidentes no Exemplo a seguir:
2ha´ verso˜es mais gerais desse enunciado, onde F e´ muito geral, sujeito apenas a certas exigeˆncias
de derivabilidade
3Na˜o queremos ter conjuntos vazios como F (x, y) = x2 + y2 + 3 = 0.
2. TEOREMA DA FUNC¸A˜O IMPLI´CITA 210
Exemplo 2.2. Voltando ao exemplo que analisamos acima,
F (x, y) = x2y2 − 3y2 + y4 − 8y + 2y3 − 4 = 0
temos
∂F (x, y)
∂x
= 2xy2,
que se anula em P = (0, 2), mas temos
∂F (x, y)
∂y
= x22 y − 6 y + 4 y3 − 8 + 6 y2
que na˜o se anula em P = (0, 2). Logo ha´ um gra´fico y = y(x) em torno de (0, 2) e ja´
calculamos y′(0) = 0 acima.
Ate´ agora na˜o comentei o fato de que P = (0,−1) tambe´m satisfaz:
x2y2 − 3y2 + y4 − 8y + 2y3 − 4 = 0.
Isso e´ interessante pois diz que para o mesmo valor x = 0 ha´ dois valores y que
satisfazem F (x, y) = 0 !
Ou seja que e´ so´ num pequeno entorno de (0, 2) que pode ser descrito como gra´fico
de y = y(x) , mas na˜o todo o conjunto F (x, y) = 0.
Por outro lado, em (0,−1) tanto ∂F (x,y)
∂x
= 2xy2 quanto
∂F (x, y)
∂y
= x22 y − 6 y + 4 y3 − 8 + 6 y2
se anulam !
Nessa caso o Teorema 2.1 na˜o tem nada a dizer ! Ele na˜o pode garantir nenhum
tipo de gra´fico local y = y(x) ou x = x(y).
Ainda bem que o Teorema se calou nessa caso, pois em (0,−1) a curva F (x, y) = 0
tem uma espe´cie de lac¸o, que na˜o se deixa descrever nem como gra´fico de y = y(x)
nem como gra´fico de x = x(y).
A Figura a seguir da´ uma ide´ia da curva, que na˜o por acaso se chama concho´ide:
y
1
2
x
0
40 2-2
-2
-1
-4
CAPI´TULO 15. DERIVADAS DE FUNC¸O˜ES IMPLI´CITAS 211
Figura: Em (0, 2) vemos um pequeno gra´fico horizontal y = y(x). Mas
em (0,−1) forma-se um lac¸o.
Exemplo 2.3. O caso de
x3 + xy2 − 3x
2
2
− y2 = 0
expo˜e outra sutileza do Teorema 2.1.
Note que essa curva tem sobre o eixo dos x exatamente dois pontos: (0, 0) e (0, 3
2
).
Em (0, 3
2
) temos (como o leitor pode verificar)
∂F (x, y)
∂y
= 0,
∂F (x, y)
∂x
=
9
4
e o Teorema 2.1 diz que a curva F (x, y) = 0 se representa localmente como gra´fico
x = x(y). Ademais calcula x′(3
2
) como
x′(
3
2
) = − 0
(9
4
)
= 0,
ou seja que o gra´fico e´ vertical.
Mas em (0, 0) temos
∂F (x, y)
∂y
=
∂F (x, y)
∂x
= 0.
De fato esse ponto e´ completamente isolado do resto da curva ! Ou seja, na˜o pode
ser visto como gra´fico de uma func¸a˜o cujo domı´nio e´ um intervalo aberto em torno de
x = 0.
Na Figura a seguir o Maple na˜o enxerga o (0, 0) na curva !
2
0
-2
x
1,51,41,31,21,1
y
3
1
-1
-3
3. RETA TANGENTE DE CURVA E PLANO TANGENTE DE SUPERFI´CIE212
3. Reta tangente de curva e plano tangente de superf´ıcie
O Teorema 2.1 nos diz que, se uma curva F (x, y) = 0 e´ localmente, em torno de
(x, y), da forma y = y(x) enta˜o
y′(x) = −
∂F
∂x
(x, y)
∂F
∂y
(x, y)
.
A reta tangente em (x, y) ao pedac¸o de gra´fico y = y(x) foi definida na Sec¸a˜o 2 do
Cap´ıtulo 8 como:
y = y′(x) + (y − y′(x) · x),
ou seja,
y = −
∂F
∂x
∂F
∂y
· x+ (y −
∂F
∂x
∂F
∂y
· x).
Multiplicando por ∂F
∂y
(x, y) e simplificando obtemos:
∂F
∂x
(x, y) · (x− x) + ∂F
∂y
(x, y) · (y − y) = 0,
por isso defino:
Definic¸a˜o 3.1. Seja F (x, y) = 0 curva contendo o ponto (x, y) para o qual ∂F
∂x
(x, y) 6=
0 ou ∂F
∂y
(x, y) 6= 0. Enta˜o sua reta tangente em (x, y) e´ definida por:
∂F
∂x
(x, y) · (x− x) + ∂F
∂y
(x, y) · (y − y) = 0,
Podemos dar uma definic¸a˜o ana´loga quando ao inve´s de uma curva no plano (x, y)
tivermos uma superf´ıcie no espac¸o (x, y, z), dada em forma impl´ıcita pela equac¸a˜o
F (x, y, z) = 0:
Definic¸a˜o 3.2.
Seja F (x, y, z) = 0 contendo o ponto (x, y, z).
Se ∂F
∂x
(x, y, z)) 6= 0 ou ∂F
∂y
(x, y, z) 6= 0 ou ∂F
∂y
(x, y, z) 6= 0, enta˜o seu plano tangente
em (x, y, z) e´ definido por:
∂F
∂x
(x, y, z) · (x− x) + ∂F
∂y
(x, y, z) · (y − y) + ∂F
∂z
(x, y, z) · (z − z) = 0.
Exemplos:
• por essa definic¸a˜o a esfera de raio 1 dada por x2 + y2 + z2 − 1 = 0 tem em
(0, 0, 1) o plano tangente
∂F
∂z
(0, 0, 1) · (z − 1) = 2 · (z − 1) = 0,
que e´ o mesmo que o plano horizontal z = 1 no espac¸o (x, y, z).
CAPI´TULO 15. DERIVADAS DE FUNC¸O˜ES IMPLI´CITAS 213
• a equac¸a˜o z2 − x2 − y2 = 0 define uma superf´ıcie conhecida como cone de
duas folhas. No ponto (0, 0, 0):
∂F
∂x
=
∂F
∂y
=
∂F
∂x
= 0,
e nele portanto na˜o esta´ definido um plano tangente. Por isso esse ponto e´
especial ou singular.
4. Tangentes, pontos racionais de cu´bicas e co´digos secretos
Consideremos uma cu´bica em forma impl´ıcita, ou seja, uma curva dada por:
y2 − x3 − b x− a = 0, a, b ∈ R,
ou equivalentemente:
y2 = x3 + b x+ a a, b ∈ R.
Quando se trabalha com computadores, o melhor dos mundos e´ lidar com nu´meros
Racionais. E duas questo˜es muito importantes e atuais, que esta˜o relacionadas com
a aplicac¸a˜o da matema´tica a` criptografia, sa˜o:
Questa˜o 1: Seja a curva dada por
y2 = x3 + b x+ a a, b ∈ Q.
Quem sa˜o ou quantos sa˜o os pontos P = (x, y) da curva que teˆm ambas coordenadas
Racionais ?
Questa˜o 2: Dado um ponto P dessa curva com coordenadas Racionais, como
produzir outros pontos dela que tambe´m tenham coordenadas Racionais ?
Usaremos a notac¸a˜o P = (x, y) ∈ Q×Q para dizer que ambas as coordenadas sa˜o
Racionais.
A seguinte Afirmac¸a˜o e´ um me´todo para atacar a segunda questa˜o:
Afirmac¸a˜o 4.1. (Me´todo das secantes e das tangentes)
Considere uma cu´bica com coeficientes Racionais da forma
F (x, y) = y2 − x3 − b x− a a, b ∈ Q.
• i) sejam P1 = (x1, y1) ∈ Q × Q e P2 = (x2, y2) ∈ Q × Q de F (x, y) = 0,
distintos. Se a reta que os liga na˜o e´ vertical enta˜o ela intersecta a cu´bica
em P3 = (x3, y3) ∈ Q×Q.
• ii) Suponha que ∂F
∂y
= 2y na˜o se anula em P = (x, y) ∈ Q×Q. Enta˜o a reta
tangente a F (x, y) em P intersecta a cu´bica num ponto Q que tambe´m tem
coordenadas Racionais.
Demonstrac¸a˜o.
De i):
4. TANGENTES, PONTOS RACIONAIS DE CU´BICAS E CO´DIGOS
SECRETOS 214
A reta ligando P1 e P2 e´:
y = (
y
2
− y
1
x2 − x1
) · x+ x2y1 − x1y2
x2 − x1
=
= A · x+ b,
ou seja, tem coeficientes angular A e linear B Racionais.
Queremos resolver a equac¸a˜o
(Ax+B)2 − x3 − b x− a = 0,
mas
(Ax+B)2 − x3 − b x− a = (x− x1) · (x− x2) · q(x),
onde o grau do polinoˆmio q(x) e´ 3− 2 = 1.
Mas, como se viu na prova do Teorema 7.1 do Cap´ıtulo 6 e na Digressa˜o que se
seguiu, os coeficientes de q(x) sa˜o Racionais.
Logo a terceira soluc¸a˜o e´ a ra´ız de
p(x) =
p1
q1
· x+ p2
q2
= 0
e portanto produz um ponto P3 da cu´bica com coordenadas Racionais.
De ii):
Pelo Teorema 2.1, F (x, y) localmente em torno de P e´ um gra´fico de y = y(x),
com
y′(x) = −
∂F
∂x
∂F
∂y
= −−3x
2 − b
2y