Medidas de tendência central

Prévia do material em texto

Medidas de tendência central: 
As medidas de tendência central são valores que, de certa forma, e de maneira condensada, trazem consigo informações contidas nos dados estatísticos – sejam eles, populacionais ou amostrais. Elas funcionam como uma espécie de “medidas-resumo”, pois nos passam a ideia, digamos, do comportamento geral das observações estudadas. Podemos dizer ainda que elas são como valores de referência, em torno dos quais, os outros se distribuem. Quando estão associadas aos dados populacionais, são chamadas de parâmetros; quando são calculadas a partir de amostras, são denominadas estatísticas. Essa diferença ocorre porque os parâmetros são valores constantes (fixos), pois são calculados a partir de todos os dados de certo conjunto, isto é, a população de interesse. Porém, se trabalhamos com amostras, as medidas estatísticas obtidas variarão de acordo com as observações que foram selecionadas. Por isso, elas não são valores fixos, pois dependem dos elementos da amostra particular que foi escolhida. 
Média Aritmética 
Média Aritmética, ou simplesmente média, é uma medida que funciona como o ponto de “equilíbrio” de um conjunto de dados, é representada pela letra grega μ (devemos ler “mi”), quando seu cálculo é feito a partir de todos os valores de uma população. Usaram-se dados amostrais para obtê-la, é referida como χ ̅ (lemos “Xis barra”). É a medida de tendência central mais popular (desde o início de nossa vida escolar, já nos habituamos com seu cálculo) e pelas suas propriedades matemáticas é bastante usada na Estatística Inferencial. 
- Há dois casos a serem considerados no cálculo da média. 
1º Caso – Quando tratamos com dados isolados ou não tabelados. 
Suponha que suas notas em uma seleção para um curso de aperfeiçoamento foram 5,6; 4,8; 8,0; 8,6; 6,8; 9,4. Então, se todas têm o mesmo peso, sua média será: 
Exemplo 1 
χ ̅ = (5,6+4,8+8,0+8,6+6,8+9,4)/6 = 43,2/6 = 7,2. 
Exemplo 2 
χ ̅ = (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)/10 = 55/10 = 5,5. 
Formalizando o que fizemos, definiremos a média da seguinte forma: 
Se χ1, χ2, ..., χη representam as η observações de uma amostra da variável X, então, sua média aritmética simples χ ̅ é definida como: 
χ ̅ = (χ1 + χ2+ ...+ χη)/η . 
Podemos escrever essa expressão de forma simplificada, utilizando a letra grega maiúscula sigma Σ, devemos ler “sigma”, que é a notação usada para somatório. Ou seja, 
∑_(i=1)^n▒χi 
Representa a soma de todos os valores assumidos pela variável X, desde χ1 até χη. Isso significa que o primeiro índice de χi é 1 e segue até o η, este se encontra na parte superior do Σ. Assim podemos a formula da média como: 
χ ̅= (∑_(i=1)^n▒χ i)/η 
2º Caso – Quando os dados estão organizados em uma tabela de frequências. 
Começaremos com um exemplo, no qual as observações estatísticas são tabeladas, porém não agrupadas em intervalos. 
Ex.3: Tabela 1 
Pontuação (χi) Nº de alunos (fi) 
(Frequência Observada) (χi) (fi) 
4 2 4.2 = 8 
5 8 5.8 = 40 
6 10 60 
7 15 105 
8 12 96 
9 7 63 
Total 54 372 
Vimos que para calcular a média aritmética de um conjunto devemos somar todos os valores deste e dividir o resultado dessa adição pelo número de observações/valores. 
Observe nessa tabela que a pontuação 4 (formalmente, temos, χ1 = 4 ) apareceu duas vezes ( f1 = 2). Assim, temos, χ1 f1 = 2 x 4 = 8 (isso é exibido na 3ª coluna). Em relação à pontuação 5 (ou seja, χ2 = 5 ) observamos 8 ocorrências (f2 = 8 ). Daí, de modo similar, obtemos χ2 f2 = 5 x 8 = 40 (confira na 3ª coluna). Dessa forma, sucessivamente, calculamos todos os produtos χi fi. Isso é necessário porque a soma desses produtos representa a soma de todos os valores da distribuição, sendo, assim, indispensável para obtermos a média. 
Portanto, nesse caso, para essa amostra a pontuação média, χ ̅ é dada por: 
χ ̅ = (4 x 2+5 x 8+6 x 10+7 x 15+8 x 12+9 x 7)/(2+8+10+15+12+7) = 372/54 
Logo χ ̅ = 6,89 pontos ou, arredondando, temos χ ̅ = 6,9 pontos. 
Para facilitar o cálculo da média, criamos, nessa tabela, uma coluna na qual registramos o produto de cada um dos valores assumidos pela variável X por suas respectivas frequências. Quando somarmos esses produtos χi fi, o total representa a soma de todos os valores da distribuição (nesse exemplo, o resultado foi 372). A média (χ ̅) será obtida dividindo-se esse total pelo número de observações da amostra, η, ou seja, pelo somatório das frequências, 
∑_(i=1)^n▒fi 
Formalizando esse processo de cálculo da média, quando os dados estão tabelados, mas não agrupados, teremos: 
Sejam χ1, χ2, ..., χη valores assumidos pela variável X e f1, f2, ..., fη suas respectivas frequências. Nesse caso, a média χ ̅ é dada por: 
χ ̅ = (χ1 f1+ χ2 f2+ … χη fη )/( f1+ f2+ … + fη) 
De forma mais simplificada, podemos escrever: 
χ ̅ = (∑_(χ=1)^n▒〖xi fi〗)/(∑_(i=1)^n▒fi)••, sendo ∑_(i=1)^n▒〖fi=n〗 
Ex.4: Tabela 2 
Notas (médias) Nº de alunos (fi) Ponto médio xi xi fi 
3 - 4 2 3,5 7,0 
4 - 5 3 4,5 13,5 
5 - 6 7 5,5 38,5 
6 - 7 8 6,5 52,0 
7 - 8 14 7,5 105,0 
8 - 9 12 8,5 102,0 
9 - 10 8 9,5 76,0 
Total 54 394,0 
Assim, nesse exemplo, teremos: 
χ ̅ = (∑_(χ=1)^n▒〖xi fi〗)/(∑_(i=1)^n▒fi) = (3,5 x 2+4,5 x 3+5,5 x 7+6,5 x 8+7,5 x 14+8,5 x 12+9,5 x 8)/(2+3+7+ 8+14+12+8) = 394/54 = 7,30. 
Daí: χ ̅ =394/54 = 7,30. 
Mediana (Μd) 
Mediana (Μd) é definida como o valor que ocupa a posição central em um conjunto de dados ordenados. Consequentemente, ela tem a propriedade de dividir um conjunto de observações em duas partes iguais quanto ao número de seus elementos: o número de dados que são menores ou iguais à mediana é o mesmo que o número de dados que são maiores ou iguais a ela. Dessa maneira, afirmamos que 50% das observações que compõem um conjunto qualquer de dados estatísticos são menores ou iguais à observação correspondente à sua mediana, e, consequentemente os 50% restantes, são observações maiores ou iguais a essa medida. Ao contrário da média, a mediana não é influenciada por valores extremos, visto que ela é uma medida essencialmente vinculada à posição que ocupa no conjunto ordenado. Assim, se algum valor for demasiado grande ou pequeno – valores extremos –, estes não afetarão o cálculo da mediana, já que não alterarão a ordem. Por exemplo, sejam os conjuntos A e B: A = { 1, 2, 1000 } e B = { 1, 2, 10 }. Em ambos, a mediana é 2, ou seja, ao se trocar o 10 por 1000, ela não sofreu alteração. Por isso, quando trabalhamos com observações que apresentam valores extremos, optamos por usar a mediana ao invés da média, pois ela representará melhor dados que têm essa característica. 
Para encontrar a mediana em um conjunto qualquer de dados estatísticos, precisamos conhecer a posição que ela ocupa em relação aos η elementos ordenados desse conjunto. 
Para tal, devemos considerar duas situações para as quais adotaremos distintos procedimentos: 
1º Caso – Quando os dados se apresentam isolados ou então quando estão tabelados, porém não agrupados em intervalos de classes. 
Em tais circunstâncias, estamos diante de dados discretos, ou pelo menos, tratados como tal, e, para encontrar a mediana, precisamos primeiramente construir o rol. Em seguida, devemos calcular o elemento mediano (ΕΜd). O que é isso? É a posição que a mediana ocupa no conjunto ordenado. Para obtê-la, é indispensável verificar se η (o número de observações do conjunto de dados) é par ou ímpar, pois, dependendo dessa informação, procederemos de maneira distinta. 
Veremos cada caso: 
Se η for impar 
Quando n é ímpar haverá apenas um valor central no conjunto ordenado, cuja posição é calculada pela fórmula: 
ΕΜd = (n+1)/2 
A mediana que representamos por Md será exatamente o valor que está nessa posição, considerando-se os n valores ordenados. 
Escrevemos assim: Μd = (n+1)/2 
Essa expressão nos diz que a mediana é o valor x que se encontra na posição ((n+1)/2). Desse modo, para encontrá-la, deveremos apenas localizar a observação que, na série ordenada, ocupa essa posição. Não há, portanto, nenhum cálculo a mais a ser feito. 
Acompanhe agora os seguintesexemplos: 
Exemplo 5 - Para dados isolados 
Suponha que estivéssemos interessados em calcular a mediana em relação ao resultado de um teste objetivo de conhecimentos gerais, cujas pontuações foram: 5, 8, 6, 3, 7, 5, 9. Começamos ordenando os valores. Eis o rol: 3, 5, 5, 6, 7, 8, 9. 
Em seguida, calculamos a posição da mediana neste conjunto, ou seja, o elemento mediano ( (ΕMd) . Nesse caso, η=7 (há sete observações portanto η é ímpar); então teremos: 
ΕMd = (n+1)/2 = (7+1)/2= 4. 
Atenção: esse número 4 não é a mediana, ele significa que a pontuação mediana desse grupo de alunos será exatamente o 4º elemento no conjunto de dados ordenados, isto é: 
1º, 2º, 3º, 4º 
3 , 5 , 5 , 6, 7, 8, 9 
↓ 
Md 
Concluímos então que nesse conjunto, a mediana será: Md = 6. Observe, ainda, que esse valor divide o conjunto, de modo que há tantos valores menores (ou iguais) quanto maiores (ou iguais) do que ele. 
Exemplo 6 - Veremos agora como obter a mediana para dados tabelados, não agrupados em intervalos de classe. 
Vamos encontrar a idade mediana dos 75 alunos que a Tabela, logo a seguir, exibe. 
Tabela 3 
Idades (xi) Nº de alunos (fi) F ↓ 
10 5 5 
11 15 20 
12 20 40 
13 14 54 
14 18 72 
15 3 75 
Total 75 
Temos um conjunto com as idades de 75 crianças (η = 75, logo, η é ímpar). OBS.: A variável idade é contínua. Porém, ela está sendo tratada como discreta, supondo-se que houve muitas repetições nos valores relacionados. O procedimento para calcular o elemento mediano (a posição da mediana) é o mesmo utilizado no exemplo 1. No entanto, como os dados estão tabelados, localizamos a mediana por meio das frequências acumuladas (3ª coluna dessa tabela), uma vez que, ao acumularmos as frequências, estamos ordenando os dados. 
Para η = 75 (η ímpar), o elemento mediano é: 
ΕMd = (n+1)/2 = (75+1)/2= 78. 
Esse resultado significa que, nessa série, a idade que ocupa a 38ª posição é a mediana. Como localizamos o 38º valor? Analise a coluna das frequências acumuladas “abaixo de” F↓. Você observará que a menor idade “10 anos" se repetiu 5 vezes, logo, o valor 10 ocupou da 1ªaté a 5ª posição nessa série (F↓= 5); além disso, 11 anos se repetiu 15 vezes, dado que se encontra do 6º ao 20º lugar (F↓= 20); o número de alunos com 12 anos foi 20 e sua freqüência acumulada( F↓) foi = 40 , significando que essa idade aparece desde a 21ª até a 40ª colocação. Portanto, a mediana, o valor que se encontra na 38ª posição é 12 anos. Escrevemos Md = 12 anos. 
Se η for par 
Nesse caso, haverá dois valores centrais, os quais se encontram nas posições: 
n/2 e n/2 + 1 
A mediana em tais situações é definida como a média aritmética desses dois valores centrais. Portanto, quando n é par, devemos calcular essas duas posições e depois encontrar na série ordenada, os dados a elas correspondentes, isto é, 
χ n/2 e χ n/2 + 1 ; 
Com esses dois valores, calculamos a média e obtemos a mediana: 
Μd = (χ n/2 + χ n/2 + 1 )/2 
Para um melhor entendimento, acompanhe os exemplos a seguir: 
Exemplo 7. 
Suponha a mesma situação do exemplo 1, acrescentando mais um dado: 5, 8, 6, 3, 7, 5, 9, 10. Portanto, agora temos um número par de observações (n = 8), logo, teremos dois elementos centrais nesse conjunto. 
Como antes, primeiro ordenamos os dados: 
3, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10 
Depois, calculamos as duas posições centrais. Teremos então: 
n/2 = 8/2 = 4 e n/2 + 1 = 8/2 + 1= 5. 
Para tanto, precisamos localizar o 4º e o 5º elemento. Nesse conjunto ordenado, a posição 4 corresponde ao valor 6 e em relação ao 5º elemento encontramos o valor 7.Conhecendo esses dois valores centrais, finalmente, calculamos a pontuação mediana: 
Μd = (χ4 + χ5 )/2 = (6+7)/2 = 6,5 pontos. 
2º Caso – Dados tabelados agrupados em intervalos de classes. 
Para este caso, não importa se n é par ou ímpar, pois estamos considerando a variável estudada como sendo contínua. Nessa condição, a distribuição terá um único valor central que será a mediana, cuja posição é dada por ΕMd = n/2 (lembre-se de que η = ∑_(i=1)^n▒fi). 
Após calcular esse elemento mediano (ΕMd), podemos, então, localizar na tabela, através das frequências acumuladas (F ↓) , a classe na qual se encontra a referida medida de tendência central. Esse procedimento é fundamental para o cálculo da mediana, pois é exatamente essa classe (intervalo) que devemos ter como referência para obter as informações numéricas necessárias, usadas na fórmula da mediana, que tem a seguinte expressão: 
Md=li + ((ΕMd+Fant))/fMd . h 
O que significam essas notações? Preste bem atenção: 
li é o limite inferior dessa classe; 
Fant é a frequência acumulada anterior a esse intervalo; 
fMd é a frequência simples dessa classe; 
h é a amplitude desse intervalo. 
Conhecendo todos esses valores e ainda sabendo quanto vale o ΕMd, já calculado, podemos finalmente encontrar a mediana. 
A seguir, com o exemplo 5, mostraremos o que acabamos de expor e calcularemos a mediana, para esses casos. 
Exemplo 8 
Considere os dados da Tabela, apresentada a seguir. 
Tabela 4 - Distribuição das médias de Matemática 
Idades (xi) Nº de alunos (fi) F↓ 
3 – 4 2 2 
4 - 5 3 5 
5 – 6 7 12 
6 – 7 
8 
20 
7 – 8 14 34 
8 – 9 12 46 
9 - 10 8 54 
Total 54 
Para determinar a nota mediana desses alunos, devemos inicialmente, de modo análogo ao que fizemos antes, encontrar a posição dessa medida, isto é, calcular o ΕMd. 
Teremos que ΕMd = n/2•, independentemente de η ser par ou ímpar. Portanto, encontramos: 
ΕMd = 54/2 = 27. (Não esqueça, η é o tamanho da amostra, logo η = ∑▒fi). 
Como os dados estão distribuídos por intervalos, esse resultado nos informa que a mediana é o valor que, nessa distribuição, está situado no 27º lugar. Com essa indispensável informação, procuramos localizar a classe em que está à mediana (a que contém a mediana) por intermédio das frequências acumuladas (F↓). Analisando a terceira coluna dessa tabela, descobrimos que a mediana está no intervalo 7 - 8. Como chegamos a essa conclusão? Porque, de acordo com as frequências acumuladas, há 20 alunos com notas abaixo de 7, ou seja, o vigésimo valor está no intervalo ( 6 – 7) e depois vêm os 14 elementos da classe 7 - 8 
que ocupam, portanto, as posições seguintes; isto é, desde a 21ª até a 34ª posição. Logo, a 27ª (que é a da mediana) faz parte do intervalo de 7 – 8. 
Agora que já sabemos desse fato (o intervalo onde está a mediana), voltamos à Tabela e, em relação a esse intervalo, encontramos os valores: 
li = 7, limite inferior dessa classe 7 – 8 (onde está a mediana); 
Fant = 20, frequência acumulada da classe 6 – 7 (essa é a classe anterior à que contém a mediana); 
fMd = 14, frequência simples do intervalo 7 – 8; 
h = 1, tamanho do intervalo de classe. 
Substituindo todos esses valores, e também aquele referente ao ΕMd, na fórmula (3), teremos que a nota mediana em Matemática na amostra das turmas da manhã é: 
Md = 7 + ((27-20))/14. 1 = 7,5 
Concluímos, portanto, que metade da turma (50%) obteve uma média igual ou inferior a 7,5 e o restante (os outros 50%) apresentou nota igual ou superior a 7,5 pontos. 
Moda (Μo) 
Por definição, a moda de um conjunto de dados é o valor que aparece mais vezes, ou seja, é aquele que apresenta a maior frequência observada. Há situações nas quais ela não é única, pois pode acontecer de se ter, em uma série estatística, duas ou mais observações que tenham se destacado de forma idêntica, isto é, que tenham ocorrido com a mesma frequência máxima. Então, conforme o caso, teremos distribuições bimodais (duas modas), trimodais ou multimodais. Também é possível acontecer que todos os elementos tenham apresentado exatamente o mesmo número de ocorrências. Isso significa que não há moda, pois nenhum dado se destacou; o conjunto é, então, chamado a modal. 
Dentre as três medidas de tendência central, a moda é a única que pode ser usada quando as variáveis são qualitativas nominais (vimos isto na aula 2, lembra?). Por exemplo, se distribuíssemos os alunos da amostra da turma da manhã (doexemplo que estamos trabalhando) por sexo e obtivéssemos que 70% são meninas, poderíamos dizer que a moda é o sexo feminino, pois essa categoria apresentou a maior frequência. 
Da mesma forma que a mediana e a média, para se obter a moda, devemos considerar dois casos que a seguir especificamos. 
1º Caso – Dados isolados não tabelados ou tabelados, porém não agrupados em intervalos de classes. 
Nesses casos, a moda é obtida apenas por uma simples inspeção em relação às repetições dos valores. No caso das tabelas, observaremos as frequências absolutas simples (fi). Procuramos, então, qual (is) o(s) valor (es) que apresenta(m) o maior número ocorrências (repetições). Este(s) valor (es) é (são) denominado(s) moda. 
Exemplo 9 
Vamos considerar os seguintes conjuntos e verificar se em cada um existe moda especificando o seu valor: 
A = {2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9} 
B = {1, 3, 4, 5, 7, 8} 
C = {2, 2, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 9} 
D = {2, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7} 
Observe que em A, o dado que mais se repetiu foi 7 (ele apareceu mais vezes). Assim, 7 é a moda. Escrevemos Μo = 7. 
Em B e em D, nenhum valor se destacou, pois em cada um deles seus respectivos elementos se apresentaram com a mesma freqüência (em B, todos têm apenas uma ocorrência e em D, todos se repetem duas vezes). Logo, B e D não têm moda; são chamados de amodais. 
Em C, há dois valores que apareceram com a (mesma) maior frequência: o 2 e o 5 (cada um deles se repetiu 4 vezes). Portanto, o conjunto é bimodal com modas: Μo = 2 e. 
Exemplo 10 
Retornaremos agora à Tabela 5, apresentada nesta aula. Qual a pontuação modal dos alunos? Para responder a essa pergunta, basta apenas você examinar a coluna das frequências absolutas simples, fi e verificar qual foi a maior delas. Observe que a frequência máxima observada (fi) foi 15. Esse valor (15) não é a moda, ele apenas indica que a moda é igual a 7,0 (Μo = 7,0). Isso quer dizer que a nota 7,0 foi a que mais ocorreu no conjunto de dados, ou seja, foi a mais repetida entre as notas obtidas pelos alunos no teste objetivo de Matemática. 
2º Caso – Dados tabelados agrupados em intervalos de classes. 
Nesse caso, tem sentido falar em: 
Classe Modal – É aquela que apresenta a maior frequência em uma distribuição. 
Moda Bruta (ΜOB) – É definida como o ponto médio da classe modal. Essa é a maneira mais simples para se encontrar a moda e, em geral, nos dá um valor aproximado dela. 
Moda calculada pelo método de Czuber – Esse método considera, além da frequência simples da classe modal (fMo) as frequências dos intervalos adjacentes ao modal (anterior e posterior). A fórmula proposta por Czuber para obter a moda é: 
ΜO = li + (Δ1/(Δ1+ Δ2 )). h 
O símbolo Δ é a letra grega chamada delta. Temos aí Δ1 (lemos: “delta um”) e Δ2 (“delta dois”). Vamos ver o que eles significam, nessa equação? 
Tomando-se o intervalo que contém a moda, como referência, temos: 
li é o limite inferior dessa classe; 
Δ1 é a diferença entre a frequência simples desse intervalo fMo e a frequência simples do intervalo anterior à da classe modal fant. Isto é Δ1 = fMo - fant 
Δ2 é a diferença entre a frequência simples da classe modal e a frequência simples do intervalo posterior à da classe modal fpost. Ou seja: (Δ2 = fMo - fpost); 
h é o tamanho desse intervalo. 
Vamos encontrar a moda pelos dois métodos, bruta e Czuber, a partir dos dados da Tabela 4. Ela exibe as notas de Matemática. Para ambos os métodos, o primeiro passo é identificar a classe modal. Não esqueça que a classe modal é aquela na qual está registrada a maior frequência simples. Faça agora uma inspeção na coluna dessas frequências e verifique qual é a máxima. Confira: o resultado foi 14, você concorda? Concluímos que a classe modal é 7 – 8, pois esse intervalo apresenta essa maior ocorrência. Tomando-o como referência, temos todos os elementos necessários para obtermos a moda pelos dois processos, ou seja, 
Moda Bruta (o método mais simples) é o ponto médio (xi) da classe 7 – 8. 
Temos que: li = 7 (limite inferior) e Li = 8 (limite superior). Logo, o ponto médio desse intervalo será: 
χ5 = (7+8)/2 = 7,5 
Consequentemente, a MOB = 7,5 pontos; 
Moda por Czuber (o mais elaborado) 
Sabendo que 7 – 8 é o intervalo modal (de referência), então, o anterior é 6 – 7 e o posterior é 8 – 9 . Consultando a tabela, temos as frequências de cada uma dessas classes, as quais são: 
fMo = 14; fant = 8; fpost = 12. 
Daí, 
Δ1 = 14 – 8 = 6 (Δ1 = fMo - fant) 
Δ2 = 14 – 12 = 2 (Δ2 = fMo - fpost) 
li = 7 limite inferior da classe 7 – 8; 
h = 1 é o tamanho do intervalo. 
Aplicando-se a fórmula, temos que a moda nessa amostra é: 
ΜO = li + (Δ1/(Δ1+ Δ2 )). h 
ΜO = 7 + (6/(6+ 2 )). 1 = 7,75. 
Teoricamente, a interpretação que damos é que 7,75 foi a nota que mais se repetiu nessa amostra. 
MEDIDAS DE DISPERSÃO: 
Desvio Médio Absoluto 
Desvio Médio Absoluto para dados não agrupados 
É a média aritmética dos valores absolutos dos desvios tomados em relação a uma das seguintes medidas de tendência central: média ou mediana. Símbolo = DM. 
Fórmula: para a Média: DM = (∑▒〖|χ1- (χ|) ̅ 〗)/n Fórmula: para a Mediana: DM = (∑▒〖|χ1- Md| 〗)/n 
As barras verticais indicam que são tomados os valores absolutos dos desvios. 
Exemplo: Calcular o desvio médio do conjunto de números {- 4 , - 3 , - 2 , 3 , 5 } 
χ ̅ = - 0,2 e Md = - 2 
Tabela auxiliar para cálculo do desvio médio 
xi xi - χ ̅ |xi - χ ̅| xi - Md |xi – Md | 
- 4 (- 4) – (-0,2) = - 3,8 3,8 (- 4) – (- 2) = - 2 2 
-3 (- 3) – (-0,2) = - 2,8 2,8 (- 3) – (- 2) = - 1 1 
-2 (- 2) – (-0,2) = - 1,8 1,8 (- 2) – (- 2) = 0 0 
3 3 – (-0,2) = 3,2 3,2 3 – (- 2) = 5 5 
5 5 – (-0,2) = 5,2 5,2 5 – (- 2) = 7 7 
∑ = 16,8 ∑ = 15 
Pela Média: Dm = 16,8 / 5 =3,36 Pela Mediana: Dm = 15 / 5 =3 
Desvio médio para Dados Agrupados 
Se os valores vierem dispostos em uma tabela de frequências, agrupados ou não em classes, serão usadas as seguintes fórmulas: 
Cálculo pela média: Dm = (∑▒〖|χ1-( χ) ̅ |*fi 〗)/(∑fi) 
Cálculo pela mediana: Dm = (∑▒〖|χ1-Md|*fi 〗)/(∑fi) 
Exemplo de cálculo pela média: 
xi fi xi .fi 
χ ̅ xi - χ ̅ |xi - χ ̅| |xi - χ ̅|. fi 
3 2 6 4,7 - 1,7 1,7 3,4 
4 2 8 4,7 - 0,7 0,7 0,4 
5 3 15 4,7 0,3 0,3 1,9 
6 3 18 4,7 1,3 1,3 3,9 
∑ = 10 47 ∑ = 9,6 
Dm = 9,6 / 10 = 0,96 
Exemplo de cálculo pela mediana: 
xi fi Md xi-Md |xi-Md| |xi-Md|. fi 
3 2 5 -2 2 4 
4 2 5 -1 1 2 
5 3 5 0 0 0 
6 3 5 1 1 1 
∑ = 10 ∑ = 7 
Dm = 7 / 10 = 0,70 
Obs.: Apesar de o desvio médio expressar aceitavelmente a dispersão de uma amostra, não é tão frequentemente empregado como o desvio-padrão. O desvio médio despreza o fato de alguns desvios serem negativos e outros positivos, pois essa medida os trata como se fossem todos positivos. Todavia será preferido o uso do desvio médio em lugar do desvio-padrão, quando esse for indevidamente influenciado pelos desvios extremos. 
Desvio padrão 
O desvio padrão é uma medida de dispersão usada com a média. Mede a variabilidade dos valores à volta da média. O valor mínimo do desvio padrão é 0 indicando que não há variabilidade, ou seja, que todos os valores são iguais à média. 
A fórmula de cálculo do desvio padrão para os valores χ1, χ 2, χ 3,…, χn de uma amostra é a seguinte: 
Por convenção, usa-se a letra grega s (sigma) para o desvio padrão da população e s para o desvio padrão da amostra. 
Exemplo 1: Consideremos os seguintes dados: 
Nome Idade 
Paula 22 
Manuel 24 
Carla 26 
Maria 23 
João 21 
Gonçalo 22 
Pedro 20 
Cristina 24 
Sofia 28 
Susana 30 
A média das idades é: 
(22+24+26+23+21+22+20+24+28+30) /10 = 24 anos. 
O desvio padrão é: 
Exemplo 2. Sete homens foram pesados, e os resultados em kg foram: 
57.0, 62.9, 63.5, 64.1, 66.1, 67.1, 73.6. 
A média é 454.3/7 = 64.9 kg. 
A variância é (29635.05 – 454.32/7)/6 = 25.16 kg2 
E o desvio padrão é √(25.16) = 5.02 kg