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FÍSICA MODERNA
Aula 2: 
Radiação Térmica
O Docente Regente: Prof. Doutor Rogério Uthui
Um dos maiores problemas da Física Clássica e o aparecimento da 
teoria quântica: propriedades quânticas no processo de emissão da 
radiação electromagnética
Tema 1: Radiação Térmica
1.1. Radiação térmica e luminescência;
1.2. Lei de Kirchoff;
1.3. Densidade de energia da radiação;
1.4. Leis de Stefan-Boltzmann e de Wien;
1.5. Fórmula de Rayleigh-Jeans;
1.6. Introdução de conceitos de quantização: 
fórmula de Planck para a radiação do 
corpo negro.
2Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
Radiação térmica e luminescência (i)
§ A emissão de ondas electromagnéticas pelos corpos (radiação) 
pode ser realizada através da transformação de diferentes formas 
de energia. 
§ A forma mais comum é a radiação térmica que consiste na emissão 
de ondas electromagnéticas a expensas da energia interna dos 
corpos. 
§ Todos os restantes tipos de radiação, excitada por qualquer outro 
tipo de energia diferente da energia interna (térmica) chamam-se 
luminescência.
§ Podemos ter a quimiluminescência excitada por reacções 
químicas, a electroluminescência, causada pela descarga eléctrica 
em gases rarefeitos, a catodoluminescência, que ocorre quando 
corpos sólidos são bombardeados por electrões energéticos . A 
fotoluminescência é a emissão de luz induzida pela absorção de 
radiação electromagnética pelos corpos.
3Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
Radiação térmica e luminescência (ii)
§ Circundemos um corpo irradiante com uma superfície idealmente 
reflectora e evacuemos o ar dentro do volume delimitado pela 
superfície. A radiação que se reflecte na superfície será em parte ou 
completamente absorvida pelo corpo conduzindo a uma 
permanente troca de energia entre o corpo irradiante e a radiação. 
§ Se a distribuição de energia entre o corpo e a radiação ficar 
constante para todos os comprimentos de onda, então o sistema 
corpo-radiação terá atingido o equilíbrio.
§ A experiência mostra que o único tipo de radiação que pode 
atingir a situação de equilíbrio com o corpo é a radiação 
térmica. Essa capacidade de a radiação térmica atingir o equilíbrio 
com o corpo deve-se ao facto de a sua intensidade crescer com o 
aumento da temperatura.
4Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
Radiação térmica e luminescência (iii)
§ Para determinar experimentalmente o espectro da radiação térmica 
é necessário assegurar que até ao dispositivo de medição chegue 
apenas a radiação que sai do corpo e não a reflectida. Para isso 
basta que a fonte de energia seja capaz de absorver toda a 
energia que nela incide do exterior;
§ A um corpo que satisfaz a esta propriedade dá-se o nome de corpo 
negro. Toda a energia que emite o corpo negro é exclusivamente 
própria energia radiada (não reflectida);
§ Experimentalmente usa-se como fonte de energia radiante um forno 
devidamente isolado e mantido a temperatura constante, no qual é 
feito um pequeno orifício através do qual a radiação sai para o 
exterior.
5Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
Radiação térmica e luminescência (iv)
§ O estudo experimental da radiação mostra que:
• O espectro da radiação emitida depende da temperatura do corpo e 
não depende da natureza da sua superfície.
• Para uma dada temperatura T, o espectro da radiação emitida é um 
espectro contínuo, do tipo indicado na figura, em que Wλ é a 
energia irradiada por unidade de superfície do corpo, por unidade 
de tempo. O índice λ – significa que a densidade da radiação refere-
se ao comprimento de onda (c.d.o.) λ apenas.
• A Wλ, dá-se o nome de poder emissivo do corpo para o c.d.o. λ. 
Também se pode usar o poder emissivo para uma dada frequência 
Wω, tendo em conta a ligação que existe entre o c.d.o. λ e a 
frequência ω:
6Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
ωπλ /2 c= ωπ
λωω
πλ d
c
dcd
2
2 2
2 −=−=
e 
Radiação térmica e luminescência (v)
7Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
e 
Radiação térmica e luminescência (vi)
8Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
e 
Radiação térmica e luminescência (vii)
§ O poder emissivo total também chamado de luminosidade W e 
representa a energia total libertada por unidade de superfície do 
corpo na unidade determinada para a escala do c.d.o. λ ou da 
frequência ω. é dado por:
• É claro, que devido à relação entre dλ e dω pode-se escrever: 
9Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
e 
ωπ
λωω
πωλ ωλωλ dcwd
cwdwdw
2
2 2
2 ===
λλλ dwdW =
Lei de Kirchoff (i)
10Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
e 
Kirchhoff formulou as leis dos nós e das malhas na 
análise de circuitos elétricos (Leis de Kirchhoff) em 
1845, quando ainda era um estudante. Propôs a lei 
da emissão de radiação térmica em 1859. Em 1854
transferiu-se para a Universidade de Heidelberg, 
onde colaborou em trabalhos sobre espectroscopia
com Robert Bunsen, descobrindo juntamente com 
este os elementos césio e rubídio em 1861, 
estudando a composição química do Sol através do 
seu espectro.
Posteriormente propôs as três leis que descrevem a 
emissão de luz por objectos incandescentes:
1. Um objecto sólido aquecido produz luz com espectro contínuo. 
2. Um gás tênue produz luz com linhas espectrais em comprimentos de onda discretos 
que dependem da composição química do gás. 
3. Um objecto sólido a alta temperatura rodeado de um gás tênue a temperaturas 
inferiores produz luz num espectro contínuo com vazios em comprimentos de onda 
discretos cujas posições dependem da composição química do gás. 
1824 - 1887
Lei de Kirchoff (ii)
§ Suponhamos que sobre uma superfície elementar de um corpo, 
incide um fluxo de energia radiativa dΦω devido a ondas 
electromagnéticas cujas frequências estão no intervalo dω. Uma 
parte deste fluxo dΦ´ω será absorvida pelo corpo. A unidade 
adimensional
chama-se poder de absorção do corpo. Das considerações de 
equilíbrio, segue que, para vários corpos em situação de equilíbrio 
térmico, a razão entre o poder emissivo e o poder de absorção de 
cada um deles é igual, ou seja:
11Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
e 
ω
ω
ω Φ
Φ=
d
da T
/
....
321
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
T
T
T
T
T
T
a
w
a
w
a
w
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Lei de Kirchoff (iii)
• Esta é a lei de Kirchoff que se enuncia da seguinte maneira: a 
razão entre o poder emissivo e o poder de absorção não 
depende da natureza do corpo. Para todos os corpos ela é a 
mesma função universal da frequência (comprimento de onda) e 
da temperatura:
• Na descrição teórica dos espectros de radiação térmica dos corpos, é 
mais prático usar a função f(ω,T) enquanto que experimentalmente é 
mais prático determinar a função φ(λ,T). Estas duas funções estão 
ligadas pela seguinte relação:
12Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
e 
),( Tf
a
w
T
T ω
ω
ω =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
),(
2
),(2),(
2
2 Tc
TcTf λφπ
λλφω
πω ==
Lei de Stefan – Boltzmann e Lei de Wien (i)
A explicação teórica das leis de radiação do corpo negro teve um 
grande significado na história da Física. Ela conduziu ao conceito de 
quantum de energia. O problema, durante muito tempo, consistia em 
tentar obter analiticamente a função f(ω,T).
13Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
e 
1844 - 1906
Ludwig Eduard Boltzmann was anAustrian physicist
famous for his founding contributions in the fields of
statistical mechanics and statistical
thermodynamics. He was one of the most important
advocates for atomic theory when that scientific
model was still highly controversial.
Boltzmann's most important scientific contributions
were in kinetic theory, including the Maxwell-Boltzmann
distribution for molecular speeds in a gas. In addition, 
Maxwell-Boltzmann statistics and the Boltzmann
distribution over energies remain the foundations of
classical statistical mechanics. They are applicable to 
the many phenomena that do not require quantum
statistics . 
Lei de Stefan – Boltzmann e Lei de Wien (ii)
14Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
e 
1844 - 1906
Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien was a 
German physicist who, in 1893, used theories about
heat and electromagnetism to deduce Wien's
displacement law, which calculates the emission of a 
blackbody at any temperature from the emission at
any one reference temperature.
He also formulated an expression for the black-body
radiation which is correct in the photon-gas limit. His 
arguments were based on the notion of adiabatic
invariance, and were instrumental for the formulation of
quantum mechanics. Wien received the 1911 Nobel 
Prize for his work on heat radiation.
1864 - 1928
Steffan (1879), analisando dados experimentais, chegou à conclusão que o 
poder emissivo total W (luminosidade) de um corpo negro é proporcional à 
quarta potência da sua temperatura absoluta T ( Lei de Stefan – Boltzmann)
44 .. TeTbW σ==
Lei de Stefan – Boltzmann e Lei de Wien (iii)
15Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
e 
1844 - 1906
1864 - 1928
Em 1893, usando tanto a Termodinâmica, como a teoria electrónica, Wien
estabeleceu que a função da distribuição espectral deveria ter o seguinte 
aspecto:
onde F – é uma certa função do quociente entre a frequência e a temperatura. 
Podemos reescrever a relação para a função φ(λ,T):
Na tentativa de explicar o máximo obtido experimentalmente na função φ(λ,T), 
diferencia-se e iguala-se o resultado a zero:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
T
FTf ωωω 3),(
)(1222),( 5
3
2 TT
cFccT λϕλλ
π
λ
π
λ
πλφ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
[ ])(5)´(1)(5)´(1 665 TTTTTTd
d λϕλϕλλλϕλλϕλλ
φ −=−=
Lei de Stefan – Boltzmann e Lei de Wien (iv)
16Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
e 
1844 - 1906
1864 - 1928
A expressão entre os parênteses rectos é uma certa função Ψ(λmT). Para o 
valor de λ= λm, em que a função φ(λ,T) atinge o seu máximo, esta expressão 
deve igualar-se a zero. Assim:
Resolvendo esta equação, para Ψ(λmT)=0, obtem-se que λmT=0, ou seja:
Para qualquer temperatura absoluta T, o produto λm·T é sempre constante, 
sendo λm o comprimento de onda ao qual corresponde um poder emissivo 
Wλ máximo do corpo negro:
Aqui, B = 2,90·10-3 mK = 2,90·107 Å.K é a constante de Wien. Este facto 
experimental é conhecido pelo nome de Lei de deslocamento de Wien.
0)(16 =Ψ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
T
d
d
m
mm
λλλ
φ
λλ
Lei de Rayleigh –Jeans e fórmula de Wien (i)
17Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
e 
1844 - 1906
John William Strutt, third Baron Rayleigh, was born in
1842 in Essex, as the son of John James Strutt.
Lord Rayleigh's first researches were mainly
mathematical, concerning optics and vibrating systems, 
but his later work ranged over almost the whole field of
physics, covering sound, wave theory, colour vision, 
electrodynamics, electromagnetism, light scattering, 
flow of liquids, hydrodynamics, density of gases, 
viscosity, capillarity, elasticity, and photography. His 
patient and delicate experiments led to the
establishment of the standards of resistance, current, 
and electromotive force
1864 - 1928
He was awarded the Copley, Royal, and Rumford Medals of the Royal Society, 
and the Nobel Prize for 1904.
Lord Rayleigh died on June 30, 1919
1842 - 1919
Lei de Rayleigh –Jeans e fórmula de Wien (ii)
18Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
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1844 - 1906
1864 - 1928
A experiência mostra que a estabilidade da molécula é consequência da 
existência de forças atractivas entre os átomos que a constituem. Estas forças 
consideram-se como forças relacionadas com movimento ondulatório. 
• No modelo de osciladores admite-se que os átomos de uma molécula, tal 
como as moléculas que constituem um dado corpo, estão em movimentos 
ondulatórios permanentes em relação a dadas posições de equilíbrio. 
• a energia interna dum sistema condensado é a soma das energias dos 
vários osciladores que constituem o sistema
• a radiação electromagnética emitida por um corpo à temperatura T, é uma 
consequência do movimento oscilatório das patículas eletrizadas que 
constituem a fonte. A radiação emitida pela fonte tem frequência υ igual à 
frequência do movimento periódico das partículas
• Com base neste modelo calcula-se o poder emissivo:
Lei de Rayleigh –Jeans e fórmula de Wien (iii)
19Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
e 
1844 - 1906
1864 - 1928
No modelo admite-se que:
• A fonte de radiação é constituída por um grande número de osciladores, 
átomos ou moléculas que irradiam continuamente a energia;
• Que cada oscilador pode oscilar com uma frequência ω qualquer;
• Que os osciladores satisfazem ao modelo mecânico clássico do oscilador 
harmónico linear, isto é, a energia e amplitude das oscilações são 
independentes do valor ω, então o cálculo da energia média conduz ao 
resultado:
Onde k é a constante de Boltzman ( k=1,38066·10-23J/K).
Este resultado deve-se ao facto de que para cada grau de liberdade (dos três 
que um átomo tem) num sistema clássico estatístico atribui-se a energia:
Para um oscilador harmónico a energia cinética é igual à energia potencial e 
por isso sua energia média total será kT . Substituindo na fórmula, obtém-se:
Lei de Rayleigh –Jeans e fórmula de Wien (iv)
20Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
e 
1844 - 1906
1864 - 1928
Esta é a expressão analítica da Lei de Rayleigh –
Jeans. 
Esta fórmula, satisfaz à experiência para as baixas 
frequências ω. Para grandes ω →∞, obtêm-se que a 
luminosidade é infinitamente grande, o que é 
impossível, 
Este facto é conhecido por catástrofe ultra – violeta 
(a região UV é a que tem a maior frequência na 
radiação térmica). 
Lei de Rayleigh –Jeans e fórmula de Wien (v)
21Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
e 
1844 - 1906
1864 - 1928
Wien admitiu que a energia emitida pelo oscilador é proporcional à frequência:
e obteve o poder emissivo de acordo com a expressão
Que é a conhecida Fórmula de Wien.
Esta expressão tem uma certa concordância com os resultados experimentais 
na zona de pequenos comprimentos de onda (grandes frequências ω). Mas as 
curvas experimentais das ω médias e grandes não se descrevem bem com 
base no modelo de energia contínua dos osciladores, isto é, em termos 
da física clássica.
ESTE FACTO CLAMAVA POR UMA ACEITAÇÃO DE NOVOS PARADIGMAS 
PARA A SUA EXPLICAÇÃO, DIFERENTES DOS DA TERMODINÂMICA 
CLÁSSICA.
Introdução de conceitos de quantização: fórmula 
de Planck para a radiação do corpo negro (i)
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1844 - 1906
1864 - 1928
Max Planck em 1900 acertou empiricamente uma expressão analítica para a 
densidade de energia de radiação que para pequenas ω passa à fórmula de 
Rayleigh - Jeans, e para grandes ω à fórmula de Wien, isto é, descreve todo o 
espectrode radiação do corpo negro.
Esta é a fórmula de Planck para a radiação do corpo negro e satisfaz os 
resultados experimentais. Comparando esta expressão com a expressão da 
fórmula Rayleigh-Jeans e Planck pode-se concluir que a energia média dos 
osciladores atómicos é dada pela expressão:
1
1)( 22
−
=
kTe
c
TW ωω π
ω
h
h
Introdução de conceitos de quantização: fórmula 
de Planck para a radiação do corpo negro (ii)
23Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
e 
1844 - 1906
1864 - 1928
Planck mostrou que para obter este valor para a energia média dos 
osciladores era necessário admitir, contrariamente à física clássica, que:
1. A radiação electromagnética é emitida pelos osciladores electrónicos de 
uma maneira descontínua e bem definida.
2. A energia de um oscilador, que vibra com frequência , só pode tomar os 
valores 
onde n é um número inteiro, que pode tomar os valores 0, 1, 2, 3,.... 
é uma porção elementar – quantum de energia.
3. Quando um oscilador irradia energia, ele passa bruscamente de um estado 
de energia Em para o estado Em-1, isto é, cada vez que o oscilador irradia, 
ele emite uma quantidade de energia igual a :
Introdução de conceitos de quantização: fórmula 
de Planck para a radiação do corpo negro (iii)
24Física Moderna: Aula 2 – Radiação TérmicaProf. Doutor Rogério Uthui
e 
1844 - 1906
1864 - 1928
Max Planck (1858 – 1947) was a German physicist. He is
considered to be the founder of the quantum theory, and
thus one of the most important physicists of the twentieth
century. Planck was awarded the Nobel Prize in Physics in
1918.
In 1894 Planck turned his attention to the problem of black-
body radiation. He had been commissioned by electric
companies to create maximum light from lightbulbs with
minimum energy. The problem had been stated by Kirchhoff
in 1859: how does the intensity of the electromagnetic
radiation emitted by a black body (a perfect absorber, also known as a cavity
radiator) depend on the frequency of the radiation (i.e., the color of the light) 
and the temperature of the body? The question had been explored
experimentally, but no theoretical treatment agreed with experimental values. 
Wilhelm Wien proposed Wien's law, which correctly predicted the behaviour
at high frequencies, but failed at low frequencies. The Rayleigh-Jeans law, 
another approach to the problem, created what was later known as the
"ultraviolet catastrophe", 
	FÍSICA MODERNA
	Tema 1: Radiação Térmica
	Radiação térmica e luminescência (i)
	Radiação térmica e luminescência (ii)
	Radiação térmica e luminescência (iii)
	Radiação térmica e luminescência (iv)
	Radiação térmica e luminescência (v)
	Radiação térmica e luminescência (vi)
	Radiação térmica e luminescência (vii)
	Lei de Kirchoff (i)
	Lei de Kirchoff (ii)
	Lei de Kirchoff (iii)
	Lei de Stefan – Boltzmann e Lei de Wien (i)
	Lei de Stefan – Boltzmann e Lei de Wien (ii)
	Lei de Stefan – Boltzmann e Lei de Wien (iii)
	Lei de Stefan – Boltzmann e Lei de Wien (iv)
	Lei de Rayleigh –Jeans e fórmula de Wien (i)
	Lei de Rayleigh –Jeans e fórmula de Wien (ii)
	Lei de Rayleigh –Jeans e fórmula de Wien (iii)
	Lei de Rayleigh –Jeans e fórmula de Wien (iv)
	Lei de Rayleigh –Jeans e fórmula de Wien (v)
	Introdução de conceitos de quantização: fórmula de Planck para a radiação do corpo negro (i)
	Introdução de conceitos de quantização: fórmula de Planck para a radiação do corpo negro (ii)
	Introdução de conceitos de quantização: fórmula de Planck para a radiação do corpo negro (iii)